RINGKASAN MODUL MATEMATIKA EKONOMI ESPA 4122

(1)

RINGKASAN MODUL

MATEMATIKA EKONOMI ESPA 4122

MODUL 1:

HIMPUNAN DAN SISTEM BILANGAN

By:

KELAS ONLINE MATKOM

Eksklusif dan Terbatas untuk Peserta Kelas Online Matkom

TIDAK UNTUK DIPUBLIKASIKAN

(2)

PETA KONSEP

MODUL 1

HIMPUNAN SISTEM

BILANGAN PERTIDAKSAMAAN

Konsep Dasar Himpunan Himpunan Bagian

Himpunan Kosong

Himpunan Bagian Sejati

Himpunan Semesta

Operasi Himpunan

Diagram Venn

Bilangan Desimal

Bilangan Binar

Bilangan Kompleks

Konsep Garis Bilangan

Pertidaksamaan Linier & Kuadrat Pertidaksamaan

Pecahan Pertidaksamaan

Nilai Mutlak

(3)

KELAS ONLINE MATKOM 1

A. HIMPUNAN

1. Konsep Dasar Himpunan

 Himpunan merupakan kumpulan anggota atau elemen yang memiliki sifat yang sama.

 Penulisan anggota himpunan selalu berada di dalam tanda kurawal / { }.

 Sistem penulisan anggota himpunan terdiri dari 2 macam:

 Sistem daftar, yaitu penulisan anggota himpunan yang dijabarkan semua secara detail.

Contoh: Himpunan A merupakan bilangan antara 1 sampai dengan 5.

Penulisan: A = {2, 3, 4}

Dibaca: Himpunan A adalah himpunan yang memiliki anggota 2, 3, dan 4.

 Sistem kaidah, yaitu penulisan anggota himpunan yang menggunakan karakteristik tertentu dari anggota tersebut.

Contoh: Himpunan A merupakan bilangan antara 1 sampai dengan 5.

Penulisan: A = {x I 1 < x < 5}

Dibaca: Himpunan A yang beranggotakan x sedemikian rupa sehingga x merupakan himpunan penyelesaian dari bilangan diantara 1 sampai dengan 5

atau

Himpunan A yang beranggotakan x sedemikian rupa sehingga x lebih dari 1 dan x kurang dari 5

(perlu diingat bahwa tanda < artinya kurang dari, nanti akan dijelaskan lebih lanjut di subbagian Garis Bilangan pada bagian Pertidaksamaan)

 Suatu benda yang merupakan anggota suatu himpunan A dapat ditulis x ∈ A Dibaca "x adalah anggota himpunan A".

2. Himpunan Bagian

 Himpunan bagian/subset adalah himpunan yang seluruh anggotanya menjadi anggota himpunan lain, namun ada satu atau lebih anggota himpunan lain yang bukan anggota himpunan tersebut.

Himpunan bagian disimbolkan dengan lambang ”⊂”

Contoh: Diketahui himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}; maka A ⊂ B.

A ⊂ B dibaca A merupakan himpunan bagian dari B, karena seluruh anggota A {1, 2, 3} juga merupakan anggota dari B {1, 2, 3, 4, 5}, namun terdapat anggota B yang tidak dimiliki oleh A yaitu {4, 5}.

A ⊂ B juga bisa dibaca A terkandung oleh B.

 Kebalikan dari himpunan bagian adalah super himpunan/superset, yaitu himpunan yang sebagian anggotanya merupakan seluruh anggota himpunan lain.

Super himpunan disimbolkan dengan lambang ”⊃”.

Contoh: Diketahui himpunan B = {1, 2, 3, 4, 5} dan A = {1, 2, 3}; maka B ⊃ A.

B ⊃ A dibaca B merupakan super himpunan dari A, karena terdapat sebagian anggota B {1, 2, 3, 4, 5}

yang merupakan seluruh anggota dari himpunan A {1, 2, 3}.

B ⊃ A juga bisa dibaca B mengandung A.

 Banyaknya himpunan bagian yang mungkin terbentuk dari suatu himpunan adalah 2ⁿ dengan n = jumlah anggota himpunan tersebut.

(4)

KELAS ONLINE MATKOM 2 Contoh: Diketahui himpunan A = {a, b, c}, berarti jumlah anggotanya (n) ada 3.

Maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin terbentuk dari A = 2³ = 8.

Apabila dijabarkan, maka semua kemungkinan himpunan bagian dari A itu terdiri dari:

Himpunan bagian A = { }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}

 Metode lain untuk menentukan banyaknya himpunan bagian adalah Segitiga Pascal.

Melalui metode ini, dapat diketahui secara rinci jumlah himpunan bagian pada tiap-tiap anggota.

3. Himpunan Kosong

 Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota sama sekali.

 Himpunan kosong disimbolkan dengan lambang “∅” atau { }, bukan {0}

Contoh: A merupakan himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

Maka, A = { } atau A = ∅, karena semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 2.

 Pada intinya, himpunan kosong merupakan himpunan bagian yang dimiliki oleh semua himpunan.

Sehingga, himpunan kosong selalu ditulis terlebih dahulu pada himpunan bagian, seperti contoh diatas.

4. Himpunan Bagian Sejati

Jika semua anggota suatu himpunan merupakan semua anggota himpunan lainnya, maka himpunan tersebut dinamakan himpunan bagian sejati yang disimbolkan ”⊂”.

Contoh: Diketahui himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {3, 2, 1}; maka A ⊂ B A ⊂ B dibaca A merupakan himpunan bagian sejati dari B.

Untuk setiap A ⊂ B, maka berlaku juga B ⊃ A, karena A = B.

(5)

KELAS ONLINE MATKOM 3 A ∪ B

5. Himpunan Semesta

Himpunan semesta merupakan himpunan yang anggotanya kumpulan dari seluruh himpunan yang ada.

Himpunan semesta disimbolkan dengan lambang “S”

Contoh: Diketahui himpunan A = {1, 2, 3}; B = {2, 3, 4}, dan C = {5}

Maka himpunan semesta dari A, B, dan C adalah S = {1, 2, 3, 4, 5}

6. Operasi Himpunan

 Gabungan (union), yaitu himpunan yang beranggotakan penjumlahan antara dua atau lebih himpunan.

Gabungan disimbolkan dengan lambang “∪”

Contoh: Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5}, maka A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Dari contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa A ∪ B = A + B.

 Irisan (interseksi), yaitu himpunan yang anggotanya sama-sama dimiliki oleh sekelompok himpunan.

Irisan disimbolkan dengan lambang “∩”

Contoh: Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {4, 5, 6}, maka A ∩ B = {4, 5}

 Komplemen, yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunan semesta yang bukan anggota dari himpunan komplemen teresebut.

Komplemen suatu himpunan disimbolkan dengan lambang ^c atau ‘

Contoh: Diketahui A = {1, 2, 3} dan S = {1, 2, 3, 4, 5}, maka A^c atau A’ = {4, 5}

 Selisih dari himpunan A dan B yaitu himpunan yang anggotanya adalah anggota A yang tidak dimiliki oleh anggota B.

Selisih disimbolkan dengan lambang pengurang “ – “

Contoh: Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {2}, maka A – B = {1, 3}

7. Diagram Venn

Diagram Venn adalah diagram yang menggambarkan hubungan atau operasi antar himpunan dalam suatu kotak himpunan semesta. Masing-masing himpunan digambarkan dengan bentuk oval, dan himpunan penyelesaian dari suatu hubungan atau operasi himpunan tersebut merupakan daerah yang diarsir.

Contoh:

S A B S A B S A B

A ∩ B A - B

S A

A^c atau A’

(6)

KELAS ONLINE MATKOM 4 6

10⁰ 7

3

10¹ 10²

, 10⁰

2 4

10¹ 10^-2

3 1

10^-1

0 2³

1 1

2⁴ 2⁰

0 1

2¹ 2²

B. SISTEM BILANGAN

1. Bilangan Desimal

 Bilangan desimal merupakan bilangan basis 10.

 Angka yang digunakan ada 10, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

 Patokan bilangan desimal dimulai dari letak tanda koma ke kiri, bernilai 10⁰, 10¹, 10², dst.

Apabila letak tanda koma dimulai ke kanan, maka nilainya mulai dari 10^-1, 10^-2, dst.

 Perlu diingat! Semua bilangan yang dipangkatkan dengan 0 hasilnya adalah 1.

Jadi 10⁰ = 1; 2⁰ = 1; dst.

Contoh:

376 jika diubah menjadi bilangan desimal adalah (3 x 10²) + (7 x 10¹) + (6 x 10⁰)

42,31 jika diubah menjadi bilangan desimal adalah (4 x 10¹) + (2 x 10⁰) + (3 x 10^-1) + (1 x 10^-2)

2. Bilangan Binar

 Bilangan binar merupakan bilangan basis 2, kebanyakan digunakan sebagai bahasa program komputer.

 Angka yang digunakan ada 2, yaitu 0 dan 1.

 Patokan bilangan binar dimulai dari ujung kanan ke kiri, bernilai 2⁰, 2¹, 2², dst.

 Contoh mengubah bilangan binar menjadi bilangan desimal:

11001 mempunyai nilai (1 x 2⁴) + (1 x 2³) + (0 x 2²) + (0 x 2¹) + (1 x 2⁰) = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25

 Contoh mengubah bilangan desimal menjadi bilangan binar:

18 mempunyai bilangan binar 10010, caranya adalah dengan membagi bilangan tersebut dengan 2 sampai habis/0, kemudian sisa-sisa bilangan tadi diurutkan dari bawah ke atas, seperti berikut:

18 : 2 = 9 sisa 0 9 : 2 = 4 sisa 1

4 : 2 = 2 sisa 0 Sisa-sisanya diurutkan dari bawah ke atas = 1 0 0 1 0 2 : 2 = 1 sisa 0

1 : 2 = 0 sisa 1

(7)

KELAS ONLINE MATKOM 5 -1, 0, 1, 2, 3, dst ¹

2 , ³₄ , ⁵₆ , dst Nilai 𝜋 = ²²

7

Nilai i = √−1

3. Bilangan Kompleks

 Konsep bilangan kompleks dapat dilihat pada bagan berikut:

 Pada bilangan kompleks terdapat kaidah-kaidah sifat bilangan yang harus dipahami sebagai dasar untuk menyelesaikan berbagai operasi matematika lainnya.

(8)

KELAS ONLINE MATKOM 6 -1 0

-2 1 2

x < 0 x > 0

x < a x > a

x < b x > b

x1 x2

1) x1 < x < x2

Biasanya merupakan HP dari pertidaksamaan ax²+bx+c

<

0

2) x < x1 atau x > x2

Biasanya merupakan HP dari pertidaksamaan ax²+bx+c

>

0

Catatan: jika tanda pertidaksamaan di soalnya ada garis bawah (< / >), maka titik x1 dan x2 di HP akan tertutup, sehingga tandanya juga menyesuaikan.

C. PERTIDAKSAMAAN

1. Konsep Garis Bilangan

 Garis bilangan merupakan garis lurus yang terdiri dari himpunan bilangan riil.

 Umumnya, patokan garis bilangan adalah angka 0 yang disebut sebagai titik awal.

Dalam setiap kondisi, titik awal bisa berubah untuk mencari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.

 Di sebelah kiri angka 0 bernilai negatif, sedangkan di sebelah kanan angka 0 bernilai positif.

 Semakin ke kiri, nilai angka akan semakin kecil, disimbolkan dengan lambang < (kurang dari).

Sebaliknya, semakin ke kanan nilai angka akan semakin besar, disimbolkan dengan lambang > (lebih dari).

 Himpunan bilangan riil dalam garis bilangan disimbolkan dengan titik yang bisa terbuka maupun tertutup.

 Terbuka, jika nilai x tidak sama dengan nilai a, artinya x bukan merupakan himpunan penyelesaiannya.

Titik akan terbuka jika tanda pertidaksamaan tidak ada garis bawahnya (< atau >)

 Tertutup, jika nilai x kurang dari/lebih dari sama dengan nilai b, artinya x termasuk ke dalam himpunan penyelesaiannya.

Titik akan tertutup jika tanda pertidaksamaan ada garis bawahnya (< atau >)

 Untuk x1 < x2, ada 2 tipe himpunan penyelesaian (HP) yang sering ditemukan saat mengerjakan pertidaksamaan:

a b

x1 x2

(9)

2. Pertidaksamaan Linier & Kuadrat

 Pertidaksamaan linier merupakan pertidaksamaan dengan variabel berpangkat satu.

 Secara umum, konsep menyelesaikan pertidaksamaan linier sebagai berikut:

a. Pastikan ruas terbesar variabel (x atau dsb) di sisi kiri dan konstanta (angka) di sisi kanan

b. Jika masih terdapat ruas variabel di sisi kanan, maka pindahkan dulu ke sisi kiri, dan dibalik tanda variabelnya (dari positf ke negatif dan sebaliknya)

c. Jika konstanta di sisi kiri, maka pindahkan dulu ke sisi kanan, dan dibalik tanda konstantanya (dari positif ke negatif dan sebaliknya)

d. Jika hanya ada ruas variabel di sebelah kanan, maka pindahkan dulu ke sisi kiri, dan dibalik tanda pertidaksamaannya (dari < ke > dan sebaliknya)

e. Operasikan masing-masing ruas

f. Sederhanakan ruas variabel hingga menjadi bentuk x saja Contoh:

4x + 5 > x + 14 21 < 3x 4x – x > 14 – 5 3x > 21 3x > 9 x > 7 x > 3

 Pertidaksamaan kuadrat merupakan pertidaksamaan dengan variabel berpangkat dua.

 Secara umum, konsep menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat sebagai berikut:

a. Ubah dulu tanda pertidaksamaan menjadi sama dengan ( = )

b. Pastikan bahwa persamaan tersebut telah menjadi bentuk ax² + bx + c = 0, dengan kata lain di sisi kanan sudah tidak ada angka lagi selain 0

c. Apabila masih terdapat angka atau variabel di sisi kanan, pindahkan ke sisi kiri dan dibalik tandanya (dari positif ke negatif dan sebaliknya)

d. Lakukan faktorisasi untuk mencari pembuat nol pertidaksamaan (PNP) e. Temukan nilai x1 dan x2 sebagai PNP

f. Masukkan nilai x1 dan x2 ke garis bilangan, pastikan nilai x yang lebih kecil terletak di sebelah kiri g. Bagilah garis bilangan tersebut ke dalam tiga area, dengan pembatas masing-masing area adalah

kedua nilai x tadi sebagai PNP

h. Tentukan titik x sebagai PNP terbuka atau tertutup: lihat kembali tanda pertidaksamaan di soal.

Apabila tandanya tidak ada garis bawah, berarti titik itu terbuka, dan sebaliknya.

i. Carilah titik 0 yang terdapat di garis bilangan, dan tentukan titik 0 tersebut berada di area berapa Titik 0 ini merupakan titik tertutup, entah dimanapun titik ini berada di area

j. Ujilah tanda area (+ atau -) yang memiliki titik 0 dengan cara sebagai berikut:

1) Masukkan x=0 ke dalam persamaan yang ada di soal 2) Apabila hasilnya positif, maka tanda area tersebut adalah + 3) Apabila hasilnya negatif, maka tanda area tersebut adalah -

k. Tandai area-area yang lain dengan tanda yang berlawanan setiap berganti area

l. Lihat kembali tanda pertidaksamaan di soal untuk menentukan area himpunan penyelesaiannya:

1) Jika tandanya > atau > , maka arsirlah area yang bertanda + 2) Jika tandanya < atau < , maka arsirlah area yang bertanda – m.Tulis himpunan penyelesaiannya berdasarkan arsiran tadi

Tips: lihat bagian terakhir pada konsep garis bilangan

(10)

KELAS ONLINE MATKOM 8 Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x² – x – 6 > 0!

x² – x – 6 = 0 ( diubah dulu tandanya menjadi = ) (x + 2)(x - 3) = 0 ( lakukan faktorisasi )

x + 2 = 0 atau x – 3 = 0 ( mencari PNP )

x = -2 atau x = 3 ( menentukan x1,2 sebagai PNP, diperoleh x1 = -2 dan x2 = 3 ) ( memasukkan ke dalam garis bilangan, dan membagi jadi 3 area ) ( karena 0 berada di antara -2 dan 3, maka 0 ada di area II )

( titik-titik PNP terbuka karena tanda pertidaksamaan di soal adalah > )

Untuk x = 0, maka: ( lakukan uji tanda area ) x² – x – 6 = (0)² – (0) – 6 ( masukkan x = 0 ke dalam soal )

= -6 (negatif) ( karena hasilnya negatif, maka area II bertanda “ – “ )

( karena area II bertanda “ – “, maka area I dan III bertanda “ + “ ) ( karena tanda pertidaksamaan di soal >, maka yang diarsir adalah area yang memiliki tanda + atau area I dan III )

x < -2 atau x > 3 ( tulis himpunan penyelesaiannya )

tips: lihat bagian terakhir pada konsep garis bilangan Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x I x < -2 atau x > 3}

Pelajari tips berikut untuk cara cepatnya:

-2 0 3

I II III

III

I II

+ – +

3 0 -2

(11)

3. Pertidaksamaan Pecahan

 Secara umum, penyelesaian untuk pertidaksamaan pecahan hampir mirip dengan pertidaksamaan linier maupun kuadrat

 Yang perlu diperhatikan untuk pertidaksamaan pecahan ada 2, yaitu:

1) PNP untuk pecahan terdiri atas pembilang dan penyebut, sehingga masing-masing dicari PNP-nya 2) Khusus untuk penyebut, PNP ≠ 0 (ini akan mengakibatkan titik PNP selalu terbuka)

 Contoh:

Himpunan penyelesaian dari ^𝑥−2_𝑥−4 < 0 adalah ...

𝑥−2

𝑥−4 = 0 ( ubah dulu tandanya menjadi = ) x – 2 = 0 atau x – 4 = 0 ( mencari PNP )

x = 2 atau x = 4 ( menentukan x1,2 sebagai PNP, diperoleh x1 = 2 dan x2 = 4 ) x – 4 ≠ 0 ( syarat khusus penyebut tidak boleh sama dengan 0 )

x ≠ 4 ( pada x = 4, titiknya terbuka )

( memasukkan ke dalam garis bilangan, dan membagi jadi 3 area ) ( karena 0 < 2, maka 0 ada di area I )

( titik-titik PNP tertutup karena tanda pertidaksamaan di soal adalah <

kecuali pada titik PNP = 4, titiknya terbuka )

Untuk x = 0, maka: ( lakukan uji tanda area ) ^𝑥−2

𝑥−4 = ⁰⁻²

0−4 ( masukkan 0 ke dalam soal )

= ⁻²₋₄ = ^𝟏_𝟐 (positif) ( karena hasilnya positif, maka area I bertanda “ + “ )

( karena area I bertanda “ + “, maka area II bertanda “ – “ dan area III bertanda “ + “ )

( karena tanda pertidaksamaan di soal <, maka yang diarsir adalah area yang memiliki tanda – atau area II )

2 < x < 4 ( tulis himpunan penyelesaiannya, perhatikan tandanya! ) Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x I 2 < x < 4}

2 4

I II

0

III

2 4

I II

0

III

+ – +

(12)

4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

 Nilai mutlak adalah nilai yang tidak memperhatikan tanda positif ataupun negatif

 Nilai mutlak hanya melihat besaran angkanya

 Penyelesaian untuk nilai mutlak tergolong lebih mudah karena hampir tidak perlu membuat garis bilangan!

 Secara umum, himpunan penyelesaian untuk nilai mutlak memiliki dua kemungkinan jawaban:

1) Tanda pertidaksamaan < atau <

Untuk setiap |𝑥| < a; maka berlaku: |𝑥| < a -a < 𝜒 < a HP = {x I -a < x < a}

Jika tanda < pada soal diganti dengan < , maka tanda di HP juga <

Contoh:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |𝑥 − 2| < 5 adalah ...

x – 2 < 5 ( hilangkan tanda mutlaknya )

-5 < x – 2 < 5 ( salin angka 5 ke ujung kiri sebelah ruas soal dan diganti tandanya ) -5 + 2 < x < 5 + 2 ( pindah angka -2 di tengah ke ujung kiri dan kanan serta diganti tanda ) -3 < x < 7 ( operasikan masing-masing ujung kiri dan kanan untuk menemukan

himpunan penyelesaiannya ) Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x I -3 < x < 7}

2) Tanda pertidaksamaan > atau >

Untuk setiap |𝑥| > a; maka berlaku: |𝑥| > a 𝜒 > a atau ^𝜒 < -a

𝜒 < -a atau 𝜒 > a (biasanya tanda < didahulukan) HP = {x I x < -a atau x > a}

Jika tanda > pada soal diganti dengan > , maka tanda di HP juga >

Contoh:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |3𝑥 − 3| > 6 adalah ...

3x – 3 > 6 ( hilangkan tanda mutlaknya )

3x – 3 > 6 atau 3x – 3 < -6 ( salin soal setelah kata “atau” dan diganti semua tandanya ) 3x > 6 + 3 atau 3x < -6 + 3 ( pindah angka -3 di soal ke ujung kanan dan diganti tanda ) 3x > 9 atau 3x < -3 ( sederhanakan )

x > 3 atau x < -1 ( tentukan himpunan penyelesaiannya ) x < -1 atau x > 3 ( dahulukan tanda yang “ < “ terlebih dulu )

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x I x < -1 atau x > 3}

~ Selamat Belajar ~