Buku ini telah disusun dan dinilai oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset dan Teknologi. Setiap bab dalam buku ini memuat fitur-fitur yang dapat digunakan siswa tidak hanya untuk mengembangkan keterampilan matematika, tetapi juga untuk mengembangkan kompetensi yang lebih luas.
Bilangan Kompleks
Melakukan operasi dengan bilangan kompleks dan menggunakan propertinya untuk menyelesaikan masalah. Menggunakan propertinya untuk menyelesaikan masalah. Bilangan kompleks, notasi bilangan kompleks, medan kompleks, operasi bilangan kompleks, bentuk kartesius, bentuk polar, bentuk eksponensial, akar pangkat n.
Kata Kunci
Bilangan Kompleks
- Pengertian Bilangan Kompleks
Bilangan real bentuk 2 juga dapat dilihat sebagai bilangan kompleks karena bentuk 2 dapat dinyatakan sebagai 2+0i sehingga 2 adalah bagian real dan 0 adalah bagian imajiner. Dengan menggunakan identitas ini, bilangan kompleks zr(cosin ) dapat dinyatakan dalam bentuk zr(cosin ) rei.
Operasi pada Bilangan Kompleks
- Operasi Penjumlahan pada Bilangan Kompleks
- Perkalian Bilangan Kompleks
- Konjugat Bilangan Kompleks
- Modulus dan Argumen Bilangan Kompleks
Diberikan suatu bilangan kompleks zr(cos isin ) maka θ dinyatakan sebagai argumen utama dari z dan dilambangkan dengan Arg(z) = θ dan 0 ≤ θ < 2π.
Polinomial
Polinomial dan Fungsi Polinomial
- Pengertian Polinomial
- Derajat Suatu Polinomial
- Fungsi Polinomial dan Grafiknya
Selain fungsi kuadrat, masih banyak lagi fungsi yang termasuk dalam kategori fungsi polinomial. Derajat fungsi polinomial yang disebutkan dalam definisi tersebut adalah n. Suku dari fungsi polinomial yang mempunyai derajat tertinggi disebut suku pokok. Setelah mengidentifikasi perilaku tepi, cocokkan setiap fungsi polinomial berikut dengan salah satu grafik A–D pada Gambar 2.7 yang paling sesuai. A).
Untuk mengaitkan fungsi polinomial dengan grafiknya, kita perlu mengidentifikasi derajat polinomial tersebut dan tanda koefisien utamanya. Fungsi polinomial yang Anda pelajari di bab ini dapat membantu pembuat konten digital melakukan hal tersebut. Sebagai ilustrasi, Gambar 2.9 di bawah menunjukkan berapa kali video di saluran YouTube ditonton setiap hari pada tahun 2018.
Berdasarkan grafik pada Gambar 2.9, apa yang dapat Anda sarankan kepada pemilik saluran untuk membantu mereka berkembang lebih jauh? Tentukan dari ketiga grafik berikut grafik manakah yang paling cocok sebagai grafik fungsi polinomial P x( ) 2x6x33. Galang menyadari bahwa perilaku ujung grafik pada gambar tersebut tidak sesuai dengan perilaku ujung grafik suatu fungsi polinomial berderajat ganjil dan koefisien utama positif.
Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Polinomial
- Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial
- Perkalian Polinomial
Menurut anda, apa persamaan bilangan dan polinomial yang terletak pada baris yang sama pada tabel? Oleh karena itu, penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada polinomial dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pada bilangan. Melalui kegiatan eksplorasi ini, Anda akan belajar menemukan tata cara penjumlahan dan pengurangan polinomial.
Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel yang sama dan variabel tersebut juga mempunyai pangkat yang sama. Seperti dua operasi sebelumnya yaitu penjumlahan dan pengurangan, kita dapat membuat operasi perkalian pada polinomial dengan mengalikan bilangan. Tentukan persamaan metode ini dengan metode pada part 3. Bisakah metode temanmu pada part 4 dituliskan dalam bentuk berikut?
Akibat angin kencang, pagar arah timur-barat perlu diperkuat. Berdasarkan perhitungannya, biaya pembuatan pagar arah Timur-Barat sebesar Rp 1.500,00 per meter, sedangkan arah Utara-Selatan sebesar Rp 1.000,00.
Pembagian Polinomial
- Pembagian Bersusun
- Metode Horner
- Teorema Sisa
Dalam kegiatan penelitian ini, Anda akan dipandu untuk menemukan cara membagi polinomial dengan pembagian berturut-turut. Pembagian berturut-turut dilakukan dengan terlebih dahulu memasukkan suku 0x2 pada polinomial yang akan dibagi, sehingga suku-suku tersebut lengkap. Selain dengan metode majemuk, polinomial dapat dibagi dengan cara yang lebih sederhana yaitu dengan metode Horner.
Berdasarkan pengamatan anda membandingkan metode susun dan metode Horner, jelaskan langkah-langkah pembagian polinomial menggunakan metode Horner. Kita kemudian menggunakan metode Horner dengan menjumlahkan angka-angka dalam satu kolom, lalu mengalikan hasilnya dengan –3 dan menempatkan hasil perkaliannya di kanan atas. Dalam soal ini, kamu dan temanmu harus menggunakan metode Horner jika pembaginya tidak hanya berbentuk x – c.
Pada kegiatan ini, Anda akan menyelidiki apakah ada hubungan antara membagi polinomial dan menentukan nilai fungsi polinomial. Oleh karena itu, ia menduga sisa pembagian polinomial P(x) dengan x – c selalu sama dengan nilai P(c), yaitu nilai polinomial tersebut jika x = c. Setelah melihat pada teorema sisanya, Ahmad diketahui bahwa P(c) sama dengan sisa P(x) setelah dibagi dengan x – c karena c adalah nol dari x – c (yaitu, solusi x – c = 0 adalah x = c).
Faktor dan Pembuat Nol Polinomial
- Faktor, Pembuat Nol, dan Grafik Fungsi Polinomial
- Pembuat Nol Kompleks
Setelah melengkapi tabel pada Bagian 1, Ambar menduga jika c adalah pembuat nol dari P, maka x – c adalah faktor dari P(x). Selain itu, properti 2.5 berikut juga dapat membantu kita menemukan generator nol rasional dari suatu polinomial. Jika polinomial P(x) mempunyai generator nol rasional p/q, maka p adalah faktor dari a0 dan q adalah faktor dari an.
Dengan coba-coba, kita dapat menunjukkan bahwa 3 adalah salah satu angka nol dari polinomial P(x). Karena jumlah koefisien suku-suku yang berpangkat ganjil adalah genap, maka –1 adalah faktor nol dari f atau x + 1 adalah salah satu faktornya (lihat lagi prinsip Ajenga di Mari, Berpikir Kritis Terakhir). Kegiatan ini akan memandu Anda dalam mencari semua angka nol pada suatu polinomial dan memfaktorkan suatu polinomial secara lengkap.
Dari kegiatan eksplorasi sebelumnya anda mengetahui zero generator – generator nol yang berupa bilangan kompleks dari polinomial. Perhatikan Contoh 2.13 di bawah ini untuk melihat cara menentukan generator nol dan faktor-faktor yang melibatkan bilangan kompleks suatu polinomial. Apakah mungkin suatu polinomial yang semua koefisien dan konstanta bilangan real mempunyai tepat satu bilangan kompleks nol yang bukan bilangan real?
Identitas Polinomial
Dalam kegiatan eksplorasi ini Anda menggunakan persamaan polinomial yang selalu benar untuk setiap kemungkinan nilai variabel. Identitas polinomial yang digunakan pada kegiatan eksplorasi sebelumnya merupakan bentuk khusus... dari salah satu identitas yang dipelajari pada pelajaran sebelumnya... identitas tersebut antara lain sebagai berikut. Karena Anda telah menunjukkan bahwa bentuk sisi kiri sama dengan bentuk sisi kanan, jelas bahwa persamaan yang diberikan adalah identitas polinomial.
Karena terdapat a = 0 yang menyebabkan bentuk ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka persamaan polinomial yang diberikan bukan merupakan identitas polinomial. Jika ada satu nilai variabel saja yang tidak memenuhi persamaan polinomial, maka persamaan polinomial tersebut bukanlah identitas polinomial. Perilaku sisi-sisi grafik suatu fungsi polinomial dipengaruhi oleh derajatnya (genap atau ganjil) dan koefisien utamanya (positif atau negatif).
Pada grafik fungsi polinomial, generator nol dari polinomial tersebut diwakili oleh perpotongan grafik dengan sumbu X. Identitas polinomial adalah persamaan polinomial yang selalu benar untuk setiap kemungkinan nilai variabel. Jelaskan perilaku sisi-sisi grafik fungsi polinomial f(x) = –2x3 + 3x2 + 5x – 6 dan pilihlah grafik pada Gambar 2.27 yang paling sesuai untuk merepresentasikan grafik fungsi f. Dengan menggunakan prinsip fisika dan mempertimbangkan kawah gunung sebagai titik (0, 0), lintasan batuan dapat dimodelkan sebagai fungsi berikut. j 3x 4x 125.
Matriks
Menemukan Konsep Matriks
Guru membagikan hasil ulangan harian matematika dan bahasa Inggris kepada Aisyah, Alex dan Wayan. Alex pada mata pelajaran matematika mendapat nilai 70 dan pada mata pelajaran bahasa Inggris mendapat nilai 95. Sajikan data pada Tabel 3.1 dalam bentuk baris dan kolom dengan menghilangkan judul baris dan kolom pada bentuk berikut.
Sajikan data pada Tabel 3.2 dalam bentuk baris dan kolom dengan menghilangkan judul baris dan kolom pada bentuk berikut.
Matriks
- Jenis-Jenis Matriks
- Kesamaan Dua Matriks
- Pengurangan Matriks
- Perkalian Matriks
- Perkalian Matriks dengan Skalar
Banyaknya elemen matriks A merupakan hasil perkalian jumlah baris dan jumlah kolom matriks A. Kegunaan konsep. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya semuanya nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya semuanya nol.
Kegiatan penelitian ini mengajak Anda untuk mendalami konsep keserupaan antara dua buah matriks... baris-barisnya menunjukkan besar kecilnya persegi besar, persegi sedang, dan persegi kecil. Simpan data A di larik A dan Simpan data B di larik B. Amati kedua larik tersebut. Jika matriks A dan B merupakan matriks berorde m×n dengan elemen aij dan bij, maka terdapat matriks C yang merupakan hasil penjumlahan matriks A ke matriks B atau C=A+B.
Jika matriks A dan B merupakan matriks berorde m×n, maka pengurangan matriks A dengan matriks B didefinisikan sebagai penjumlahan matriks A dan invers matriks B. Jika matriks A dan B merupakan matriks berorde m×n dengan unsur – unsur aij dan bij, maka terdapat matriks C yang merupakan hasil pengurangan matriks A dari matriks B atau C = A–B. Jika matriks A adalah matriks berorde m#n dan B adalah matriks berorde n#p, maka terdapat matriks C yang merupakan hasil perkalian matriks A dengan matriks B atau C=AB.
Invers Matriks
A dapat ditentukan dengan metode Sarrus atau metode ekspansi kofaktor minor dan Adjoin(A) dapat ditentukan dengan mentransposisi matriks kofaktor. Melalui kegiatan eksplorasi ini, Anda diajak untuk menemukan sifat-sifat invers matriks dengan menggunakan pendekatan solusi SPLDV. Sajikan SPLDV di atas dalam bentuk matriks; . ii). kalikan kedua ruasnya dengan a. a a .. hitung hasil langkah ii. Asumsi apa yang Anda peroleh dari kegiatan eksplorasi tersebut?
Jika A adalah matriks dengan invers, maka penyelesaian sistem persamaan linear AX=B dapat ditentukan dengan X=A–1 B. Latihan determinan F dan invers matriks. Jika matriks A adalah matriks berorde m×n dan k adalah bilangan real (k sering disebut skalar), maka kA merupakan matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dalam matriks A dengan k. Dua matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris matriks perkaliannya.
Jika A matriks persegi (berorde lebih dari 2×2), maka determinan matriks A adalah :. kolom ke-j dikurangi ekspansi kofaktor). ekspansi kofaktor minor baris ke-i) 11. Jika matriks A dan B merupakan matriks yang mempunyai invers dan ordo yang sama yaitu n×n, maka matriks tersebut adalah. Ubah setiap elemen hasil mod 27 yang Anda dapatkan dari langkah 7 kembali menjadi huruf sesuai aturan pengkodean pada langkah 3.
Transformasi Geometri
Transformasi pada Bidang Kartesius
- Pencerminan terhadap Garis
Pada subbab ini kita akan mempelajari beberapa jenis transformasi antara lain refleksi garis, refleksi titik, rotasi, dan dilatasi. Sederhananya, mirroring adalah suatu transformasi dimana suatu benda dipantulkan dalam suatu garis, yang dapat disebut dengan garis pantulan.
Pencerminan
Untuk mencari rumus aljabar refleksi sumbu X, selesaikan aktivitas pada fitur eksplorasi berikut. Melihat peta dan peta dari beberapa titik pada Gambar 4.3, dapatkah Anda menemukan pola yang jelas. Karena setiap titik P a b( , ) pada garis 2x-3y=0 dipantulkan terhadap sumbu X menjadi P a'( ,-b), maka untuk memperoleh persamaan bayangan garis tersebut, kita substitusikan x=a dan y =-b. .
Untuk mencari rumus aljabar refleksi sumbu Y, selesaikan aktivitas pada fitur eksplorasi berikut. Melihat peta dan peta dari beberapa titik pada Gambar 4.4, dapatkah Anda menemukan pola yang jelas. Petakan suatu titik dengan refleksi pada sumbu Y. Tentukan peta segitiga ABC dengan A (–2,4), B (3,1), dan C (–3,–1) dicerminkan pada sumbu Y.
Peta garis yang dipantulkan pada sumbu Y. Jika suatu garis dengan persamaan 3x–5y+7=0 dipantulkan pada sumbu Y, tentukan persamaan garis pada bayangan tersebut. Karena setiap titik P (a, b) pada garis 3x–5y+7=0 dipantulkan dari garis sumbu Y di P' (–a, b), maka untuk memperoleh persamaan garis pada gambar tersebut, kita substitusikan x=–a dan y=b. Untuk mencari rumus aljabar titik potong garis y=x, selesaikan aktivitas pada fungsi eksplorasi berikut.
