SIFAT-SIFAT BV -ALJABAR DAN HUBUNGAN DENGAN ALJABAR LAINNYA, SERTA SIFAT
IDEAL PADA BV -ALJABAR
KARYA ILMIAH
OLEH
M. FADHIL RAMADHAN NIM. 1803112873
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2023
SIFAT-SIFAT BV-ALJABAR DAN HUBUNGAN DENGAN ALJABAR LAINNYA, SERTA SIFAT
IDEAL PADA BV-ALJABAR
M. Fadhil Ramadhan
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses the properties of BV-algebras, the relationship between BV- algebras with B-algebras, BF-algebras, and Coxeter-algebras, the relationship is proven through the properties possessed by BV-algebras with B-algebras, BF- algebras, BM-algebras, and Coxeter algebras are interrelated. Then, by using ideal properties of other algebras, the ideal properties of BV-algebras obtained. This article is a review and development of article of Hwang et al. [Mathematics MDPI, 8 (2020), 1779].
Keywords: BV-algebras, B-algebras, BF-algebras, Coxeter-algebras, ideal ABSTRAK
Artikel ini membahas tentang sifat-sifat BV-aljabar, hubungan antara BV-aljabar dengan B-aljabar, BF-aljabar, dan Coxeter-aljabar. Hubungannya dibuktikan me- lalui sifat-sifat yang dimiliki oleh BV-aljabar, B-aljabar, BF-aljabar, dan Coxeter- aljabar adalah saling berkaitan. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat-sifat ideal pada aljabar lainnya, diperoleh sifat-sifat ideal pada BV-aljabar. Artikel ini meru- pakan review dan pengembangan dari artikel Hwang et al. [Mathematics MDPI, 8 (2020), 1779].
Kata kunci: BV-aljabar, B-aljabar, BF-aljabar, Coxeter-aljabar, ideal 1. PENDAHULUAN
Aljabar abstrak adalah bidang subjek matematika yang mempelajari struktur alja- bar. Pada perkembangan aljabar abstrak banyak ditemukan aljabar-aljabar baru.
Imai dan Is´eki [6] memperkenalkan dua konsep dari aljabar abstrak, yaitu BCK dan BCI-aljabar sebagai aljabar yang terhubung dengan beberapa logika. Neggers dan Kim [9] memperkenalkan gagasanB-aljabar yang memenuhi aksioma (B1)x∗x= 0, (B2) x∗0 = x, dan (B) (x∗y)∗z = x∗(z ∗(0∗y)) untuk setiap x, y, z ∈ X.
Walendziak [10] memperkenalkan BF-aljabar yang merupakan generalisasi dari B- aljabar, dan menyelidiki beberapa sifat ideal dalam BF-aljabar, Walendziak juga memperkenalkan gagasan BF1/BF2/BF3-aljabar.
Berdasarkan konsep BV-aljabar yang telah dibahas oleh Hwang et al. [5]. Pe- nulis tertarik membahas beberapa pembahasan seperti sifat-sifat BV-aljabar, dan hubungan BV-aljabar dengan aljabar lainnya. Selain itu penulis juga membahas sifat-sifat ideal pada BV-aljabar.
Adapun struktur penulisan artikel ini adalah dibagian kedua dibahas kajian teori, di bagian ketiga dibahas sifat-sifatBV-aljabar, kemudian di bagian keempat dibahas hubungan BV-aljabar dengan beberapa aljabar abstrak lainnya, selanjutnya pada bagian kelima dibahas sifat-sifat ideal pada BV-aljabar.
2. KAJIAN TEORI
Pada bagian ini diberikan definisi grup, B-aljabar, BF-aljabar,Coxeter-aljabar dan BV-aljabar.
Gilbert dan Gilbert [3, h. 137] menyatakan bahwa struktur aljabar atau sistem aljabar adalah suatu himpunan tak kosong yang dimana setidaknya terdapat satu atau lebih operasi biner. Kemudian Fraleight [2, h. 20] menyatakan bahwa operasi biner ”∗” pada himpunan S adalah pemetaan fungsi dariS×S keS. Untuk setiap (a, b)∈S×S, kita akan menyatakan elemen ∗((a, b)) dari S dengana∗b.
Definisi 1 [4] Grup adalah suatu himpunan tak kosong G yang dilengkapi dengan operasi biner, yang memenuhi sifat berikut:
(i) Tertutup : Jika a∈G dan b∈G maka a∗b ∈G.
(ii) Asosiatif : a∗(b∗c) = (a∗b)∗c. Untuk setiapa, b, c∈G.
(iii) Terdapat elemene∈G(disebut elemen identitas) sedemikian hingga sehingga a∗e =a=e∗a untuk setiap a∈G.
(iv) Untuk setiapa∈G, terdapat elemend∈G(disebut invers daria) sedemikian sehingga a∗d=e=d∗a.
Sebuah grup dikatakan abelian jika memenuhi aksioma berikut:
(v) Komutatif : a∗b=b∗a untuk semua a, b∈G.
Neggers dan Kim [9] memperkenalkan sebuah aljabar abstrak yang dinamakan B-aljabar.
Definisi 2 [9] B-aljabar adalah suatu himpunan tidak kosong X dengan operasi biner ”∗” dan konstanta 0 yang memenuhi aksioma berikut:
(B1) x∗x= 0, (B2) x∗0 =x,
(B) (x∗y)∗z =x∗(z∗(0∗y)), untuk setiap x, y, z ∈X.
Walendziak [10] memperkenalkan BF-aljabar yang merupakan generalisasi dari B-aljabar, dan menyelidiki beberapa sifat ideal pada BF-aljabar.
Definisi 3 [10] BF-aljabar adalah suatu himpunan tak kosong X dengan operasi biner ”∗” dan konstanta 0 yang memenuhi aksioma (B1), (B2), dan aksioma berikut:
(BF) 0∗(x∗y) = y∗x.
untuk setiap x, y ∈X.
Definisi 4 [8]Coxeter-aljabar adalah suatu himpunan tak kosongXdengan operasi biner ”∗” dan konstanta 0 yang memenuhi aksioma (B1), (B2), dan aksioma berikut:
(C) (x∗y)∗z =x∗(y∗z), untuk setiap x, y, z ∈X.
Hwang et al. [5] memperkenalkan gagasan tentangBV-aljabar yang terdiri dari 3 aksioma sederhana.
Definisi 5 [5] BV-aljabar adalah suatu himpunan tak kosong X dengan operasi biner ”∗” dan konstanta 0 yang memenuhi aksioma (B1), (B2), dan aksioma berikut:
(BV) (x∗y)∗z = (0∗y)∗(x∗z), untuk setiap x, y, z ∈X.
3. SIFAT-SIFAT BV-ALJABAR
Pada bagian ini dibahas sifat-sifat BV-aljabar yang ditunjukkan melalui proposisi berikut.
Proposisi 6 [5] Jika (X;∗,0) adalahBV-aljabar, maka memenuhi sifat-sifat berikut:
(i) x∗y= (0∗y)∗(0∗x), (ii) 0∗(0∗x) =x,
(iii) x∗z = 0∗(z∗x), (iv) (x∗y)∗x= 0∗y, (v) x∗(0∗y) =y∗(0∗x), (vi) (x∗z)∗y = (x∗y)∗z,
(vii) x∗y= 0 =⇒x=y, (viii) 0∗x= 0∗y=⇒x=y, (ix) (x∗(0∗x))∗x=x, (x) x∗y=x∗z =⇒y=z, (xi) x∗y=z∗y=⇒x=z, untuk setiap x, y, z ∈X.
Bukti.
(i) Berdasarkan Definisi 5 aksioma (BV), jika z = 0 maka diperoleh (x∗y)∗0 = (0∗y)∗(0∗x), [(BV)]
x∗y = (0∗y)∗(0∗x). [(B2)]
Dengan demikian, poin (i) terbukti.
(ii) Berdasarkan Proposisi 6 poin (i), jika y = 0 dengan menggunakan Definisi 2 aksioma (B2) dan (B1) maka diperoleh
x∗0 = (0∗0)∗(0∗x), [(B2)]
x= 0∗(0∗x). [(B1)]
Dengan demikian, poin (ii) terbukti.
(iii) Berdasarkan Definisi 5 aksioma (BV), jika y= 0 maka diperoleh (x∗0)∗z = (0∗0)∗(z∗x), [(BV)]
x∗z = 0∗(z∗x). [(B2)]
Dengan demikian, poin (iii) terbukti
(iv) Berdasarkan Definisi 5 aksioma (BV), jika z = x dan dengan menggunakan aksioma (B1) dan (B2) maka diperoleh
(x∗y)∗x= (0∗y)∗(x∗x), [(BV)]
= (0∗y)∗0, [(B1)]
= (0∗y). [(B2)]
Dengan demikian, poin (iv) terbukti.
(v) Berdasarkan Proposisi 6 poin (i), jika y = 0 ∗y dan dengan menggunakan Proposisi 6 poin (ii) maka diperoleh
x∗(0∗y) = [0∗(0∗y)]∗(0∗x), [Proposisi 6 poin (i)]
x∗(0∗y) =y∗(0∗x). [Proposisi 6 poin (ii)]
Dengan demikian, poin (v) terbukti.
(vi) Berdasarkan Definisi 5 aksioma (BV), jika y = z, z = y maka dengan meng- gunakan Proposisi 6 poin (iii) dan (i) diperoleh
(x∗z)∗y= (0∗z)∗(y∗x), [(BV)]
= (0∗z)∗[0∗(x∗y)], [Proposisi 6 poin (iii)]
= (x∗y)∗z. [Proposisi 6 poin (i)]
Dengan demikian, poin (vi) terbukti.
(vii) Berdasarkan Proposisi 6 poin (iv), jika x∗y = 0 maka diperoleh 0∗x= 0∗y=⇒0∗(0∗x) = 0∗(0∗y).
Mengikuti Proposisi 6 poin (ii) bahwa x = y. Dengan demikian, poin (vii) terbukti.
(viii) Berdasarkan Proposisi 6 poin (vii), jika 0∗x= 0∗ymaka 0∗(0∗x) = 0∗(0∗y) dan kemuadian berdasarkan Proposisi 6 poin (ii) diperoleh
0∗x= 0∗y =⇒x=y.
Dengan demikian, poin (viii) terbukti.
(ix) Berdasarkan Proposisi 6 poin (iv), jika y = 0∗x dan dengan menggunakan Proposisi 6 poin (ii) maka diperoleh
[x∗(0∗x)]∗x= 0∗(0∗x), [Proposisi 6 poin (iv)]
[x∗(0∗x)]∗x=x. [Proposisi 6 poin (ii)]
Dengan demikian, poin (ix) terbukti.
(x) Berdasarkan Proposisi 6 poin (iv), jika kita asumsikan x∗y=x∗z maka 0∗y = (x∗y)∗x,
= (x∗z)∗x,
= (0∗z).
Berdasarkan Proposisi 6 poin (viii) diperoleh y =z.
Dengan demikian, poin (x) terbukti.
(xi) Misalkan x∗y =z∗y. Berdasarkan Proposisi 6 poin (iii) dan (viii) diperoleh 0∗(y∗x) = 0∗(y∗z), [Proposisi 6 poin (iii)]
y∗x=y∗z. [Proposisi 6 poin (viii)]
Berdasarkan Proposisi 6 poin (x) diperoleh x=z.
Dengan demikian, poin (xi) terbukti. 2
4. HUBUNGAN BV-ALJABAR DENGAN ALJABAR ABSTRAK LAINNYA
Pada bagian ini dibahas hubungan BV-aljabar dengan B-aljabar, BF-aljabar, dan Coxeter-aljabar yang ditunjukkan melalui teorema-teorema berikut.
Teorema 7 Jika (X;∗,0) adalah BV-aljabar, maka (X;∗,0) adalah B-aljabar.
Bukti. Misalkan (X;∗,0) adalah BV-aljabar. Berdasarkan Definisi 5 BV-aljabar memenuhi aksioma (B1), (B2), dan (BV). Kemudian berdasarkan Definisi 2 B- aljabar memenuhi aksioma (B1), (B2), dan (B). Selanjutnya ditunjukkan bahwa sifat BV-aljabar memenuhi sifat B-aljabar untuk setiapx, y, z ∈X.
x∗[z∗(0∗y)] = [0∗(0∗x)]∗[z∗(0∗y)], [Proposisi 6 poin (ii)]
= [(0∗y)∗(0∗x)]∗z, [(BV)]
= (x∗y)∗z. [Proposisi 6 poin (i)]
Dengan demikian sifat B-aljabar terpenuhi, jadi terbukti jika (X;∗,0) adalah BV-
aljabar, maka (X;∗,0) adalah B-aljabar. 2
Teorema 8 Jika (X;∗,0) adalah BV-aljabar, maka (X;∗,0) adalah BF-aljabar.
Bukti. Misal (X;∗,0) adalah BV-aljabar, berdasarkan Definisi 5 BV-aljabar me- menuhi sifat (B1), (B2), dan (BV). Kemudian berdasarkan Definisi 3 BF-aljabar memenuhi sifat (B1), (B2), dan (BF). Selanjutnya ditunjukkan bahwa sifat BV- aljabar memenuhi sifat BF-aljabar untuk setiapx, y, z ∈X.
Berdasarkan Definisi 5 aksioma (BV), jika y= 0, maka
(x∗0)∗z = (0∗0)∗(z∗x), [(BV)]
x∗z = 0∗(z∗x). [Proposisi 6 poin (iii)]
Dengan demikian sifat BF-aljabar terpenuhi, jadi terbukti jika (X;∗,0) adalahBV-
aljabar, maka (X;∗,0) adalah BF-aljabar. 2
Proposisi 9 [8] Jika (X;∗,0) adalah Coxeter-aljabar, maka (X;∗,0) memenuhi sifat berikut:
(i) 0∗x=x.
(ii) x∗y =y∗x, untuk setiap x, y ∈X.
Bukti.
(i) Berdasarkan Definisi 4 untuk x∈X diperoleh
x=x∗0, [(B2)]
=x∗(x∗x), [(B1)]
= (x∗x)∗x, [(C)]
x= 0∗x. [(B1)]
Jadi terbukti bahwa 0∗x=x.
(ii) Berdasarkan Proposisi 9 poin (i) dan Definisi 4 diperoleh
y= 0∗y, [Proposisi 9 poin (i)]
= [(x∗y)∗(x∗y)]∗y,
= (x∗y)∗[(x∗y)∗y], [(C)]
= (x∗y)∗[x∗(y∗y)], [(C)]
= (x∗y)∗(x∗0), [(B1)]
y= (x∗y)∗x.
Kemudian dengan mengalikan x terhadap kedua ruas diperoleh y∗x= [(x∗y)∗x]∗x,
= (x∗y)∗(x∗x),
y∗x=x∗y. [(B1), (B2)]
Jadi terbukti bahwa x∗y=y∗x. 2
Teorema 10 Jika (X;∗,0) adalahCoxeter-aljabar, maka (X;∗,0) adalahBV-aljabar.
Bukti. Berdasarkan Definisi 4, Coxeter-aljabar adalah memenuhi sifat (B1), (B2), dan (C). Kemudian berdasarkan Definisi 5,BV-aljabar adalah memenuhi sifat (B1), (B2), dan (BV). Selanjutnya ditunjukkan bahwa sifat Coxeter-aljabar berlaku da- lam BV-aljabar (X;∗,0) untuk setiap x, y, z∈X.
(0∗y)∗(z∗x) =y∗(z∗x), [(BV)]
=y∗(x∗z), [Proposisi 9 poin (i)]
= (y∗x)∗z, [(C)]
= (x∗y)∗z. [Proposisi 9 poin (ii)]
Dengan demikian sifat BV-aljabar terpenuhi, jadi terbukti bahwa setiap Coxeter-
aljabar adalah BV-aljabar. 2
5. SIFAT-SIFAT IDEAL PADA BV-ALJABAR
Pada bagian ini diberikan definisi ideal dan sifat-sifat ideal pada BV-aljabar yang ditunjukkan melalui beberapa lema berikut.
Definisi 11 [1] Suatu himpunan bagian I dari X dikatakan Ideal pada BV-aljabar X, jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
(I1) 0∈I,
(I2) Jikax∗y∈I dan y ∈I, maka x∈I untuk setiapx, y ∈X.
IdealI dikatakan Ideal Normal dariX, jika untuk setiapx, y, z ∈Xdenganx∗y∈I, maka berlaku (z∗x)∗(z∗y)∈I.
Lema 12 Misalkan (X;∗,0) adalah BV-aljabar dan I adalah ideal dari (X;∗,0).
Jika x, y ∈X dan y∈I sedemikian sehingga x∗y= 0, maka x∈I.
Bukti. Misalkan x, y ∈X dan y∈I. Berdasarkan Definsi 11 dan Proposisi 6 point (vii) x∗y= 0 =⇒x=y, karena y∈I dan I ideal, sehingga x∈I.
Jadi terbukti bahwa jika I adalah ideal dari X maka x∈I. 2 Lema 13 Jika I adalah ideal dari BV-aljabar dan x∈I, maka x∗(0∗x)∈I.
Bukti. Misalkan I ideal dan x∈I, maka dari Definisi 5 aksioma (BV) diperoleh (x∗(0∗x))∗x= (0∗(0∗x))∗(x∗x).
Berdasarkan Proposisi 6 point (ii), aksioma (B1) dan (B2) pada Definisi 2 diperoleh (x∗(0∗x))∗x=x∗0,
=x.
Karena I ideal danx∈I, sehinggax∗(0∗x)∈I. Jadi terbukti bahwa jika I ideal
di BV-aljabar, maka x∗(0∗x)∈I. 2
Lema 14 Jika I adalah ideal normal dari sebuah BV-aljabar dan x, y ∈X, maka:
(a) x∈I =⇒0∗x∈I, (b) x∗y ∈I =⇒y∗x∈I.
Bukti.
(a) Misalkan x∈I, jelas bahwa x=x∗0∈I. Karena I adalah ideal normal dari BV-aljabar, maka berdasarkan Definisi 11 untuk setiap x, y, z ∈ X berlaku (z∗x)∗(z∗y)∈I. Selanjutnya dengan menggunakan aksioma (B2), dan (B2) pada Definisi 2 diperoleh :
(0∗x)∗(0∗0)∈I. (1)
Kemudian, dengan menggunakan aksioma (B1) dan (B2) dari Definisi 2 pada persamaan (1) diperoleh
(0∗x)∗(0∗0)∈I,
(0∗x)∗0∈I, [(B1)]
(0∗x)∈I. [(B2)]
Dengan demikian, poin (a) terbukti.
(b) Misalkan (x∗y)∈ I, berdasarkan Lema 14 poin (a) diketahui bahwa (0∗x)∗ (0∗y)∈I untukz = 0. Kemudian dengan menggunakan Proposisi 6 poin (i) diperoleh
(0∗y)∗(0∗x) = (y∗x)∈I.
Dengan demikian, poin (b) terbukti. 2
6. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa BV-aljabar memiliki beberapa sifat-sifat, keterhubungan dengan aljabar ab- strak lainnya seperti B-aljabar, BF-aljabar, dan Coxeter-aljabar. serta juga terda- pat beberapa sifat-sifat ideal pada BV-aljabar.
Pada hubungan BV-aljabar dengan B-aljabar terdapat beberapa sifat seperti setiap BV-aljabar adalah B-aljabar. BV-aljabar juga mempunyai hubungan de- ngan BF-aljabar, terdapat juga beberapa sifat seperti setiap BV-aljabar adalah BF-aljabar. Kemudian pada hubungan BV-aljabar dengan Coxeter-aljabar juga terdapat beberapa sifat seperti setiap Coxeter-aljabar adalah BV-aljabar. Namun ada beberapa hubungan yang tidak berlaku timbal balik seperti setiap B-aljabar tidak merupakan BV-aljabar, setiapBF-aljabar tidak merupakanBV-aljabar, dan setiap BV-aljabar tidak merupakanCoxeter-aljabar.
Selanjutnya terdapat juga beberapa sifat-sifat ideal pada BV-aljabar. I adalah ideal pada X jika x, y ∈X dan y∈I sedemikian sehingga x∗y= 0, maka x∈I.
Ucapan terima kasih Ucapan terima kasih kepada Dr. Sri Gemawati, M.Si.
yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] H. K. Abdullah, Complete Ideal and n-Ideal of B-Algebra, Applied Mathemat- ical Sciences, Vol.11 2007, no.35, 1705-1713.
[2] J. B. Fraleight, A First Course in Abstract Algebra, Fifth Edition, Addison Wesley Publishing Company, New York, 2004.
[3] L. Gilbert dan J. Gilbert, Elements of Modern Algebra, Seventh Edition, Brooks/Cole Cengage Learning, Belmont, 2009.
[4] T. W. Hungerford, Abstract Algebra, Brooks/Cole Cengage Learning, Boston, 2014.
[5] I. H. Hwang, Y. L. Liu, dan H. S. Kim, On BV-Algebras, Mathematics MDPI, 8 (2020), 1779.
[6] Y. Imai dan K. Iseki, On axiom system of propositional calculi, Scientic Math- ematics Japonica, 42 (1966), 19-22.
[7] Y. B. Jun dan H. S. Kim, On ideals in subtraction algebras, Scientiae Mathe- maticae Japonicae, 65 (2007), 129-134.
[8] H. S. Kim, Y. H. Kim, dan J. Neggers,Coxeter algebras and pre-coxeter algebras in samarandache setting, Honam Mathematics Japoica, 26 (2004), 471-481.
[9] J. Neggers dan H. S. Kim, On B-Algebras, Mathematics Vesnik, 54 (2002), 21-29.
[10] A. Walendziak, On BF-Algebras, Mathematica Slovaca, 57 (2011), 119-128.
