SLIDE TENTANG STATISTIKA & PROBABILITAS

(1)

STATISTIKA

&

PROBABILITAS

Dosen : Windyaning Ustyannie, S.Si., M.Cs.

(2)

Jenis

Distribusi Peluang Diskrit

Jenis Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi

Uniform Diskrit Distribusi

Binomial Distribusi

Multinominal Distribusi

Hypergeometrik Distribusi Poisson

(3)

Distribusi Uniform Diskrit

• Edhy Sutanta (2005:74)

Menyatakan setiap kejadian mempunyai probabilitas atau peluang yang sama/seragam (uniform).

• Budiyono (2009:97)

Distribusi uniform diskrit merupakan distribusi

variable random diskret yang sama untuk muncul.

(4)

Distribusi Uniform Diskrit

Definisi 1:

Bila peubah acak X mendapat harga dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskrit diberikan oleh:

Keterangan:

P(x) : peluang terjadinya x x : harga variable

n : banyaknya data pengamatan/ukuran sampel Teorema I

Rataan distribusi seragam diskrit f(x,k) adalah dimana E(x) = Ekspektasi x

Varians distribusi seragam diskrit adalah

(5)

Contoh Distribusi Uniform Diskrit

Untuk merencanakan persediaan suatu barang x, suatu toko computer perlu memperkirakan jumlah permintaan harian

terhadap barang x. Menurut catatan penjualan, diketahui bahwa permintaan harian terhadap barang x adalah berkisar antara 0-5 unit. Permintaan ini memiliki fluktuasi secara acak, sehingga tidak bisa ditentukan peluang permintaannya. Dalam hal ini,

maka permintaan terhadap barang x dapat dimodelkan mengikuti distribusi uniform.

Untuk mempermudah penyelesaian contoh diatas, akan

digunakan bantuan perhitungan seperti ditampilkan pada Tabel

berikut:

(6)

Tabel Perhitungan untuk distribusi uniform

0 1/6 0 6,25 1,04166

1 1/6 1/6 2,25 0,37500

2 1/6 2/6 0,25 0,04166

3 1/6 3/6 0,25 0,04166

4 1/6 4/6 2,25 0,37500

5 1/6 5/6 6,25 1,04166

Jumlah 15/6 17,5 2,9166

(7)

Berdasarkan hasil perhitungan pada Tabel diatas maka eskpektasi rata-rata permintaan per hari terhadap barang x, sebagai berikut:

Sedangkan dengan pendekatan distribusi uniform, maka rata-rata

permintaan per hari terhadap barang x adalah:

(8)

Pengertian

Distribusi Binomial Menurut Para Ahli

• Sutanta (2005:76)

Distribusi binomial menggambarkan distribusi probabilitas variable acak diskrit yang hanya mempunyai dua nilai yang mungkin, misalnya berhasil atau gagal.

• Budiyono (2009:98)

Distribusi peluang binomial adalah distribusi peluang yang dihasilkan dari sebuah eksperimen yang sering dilakukan berulang-ulang, yang setiap kali hasil ulangan mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat disebut suskes dan gagal.

• Sudjana (2005:130)

Distribusi binomial adalah distribusi yang dihasilkan dari

eksperimen yang hanya menghasilkan peristiwa A dan bukan

A.

(9)

Karateristik Distribusi Binomial

a. Percobaan diulang sebanyak n kali.

b. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas, misal :

“berhasil” atau “gagal” ; “ya” atau “tidak”.

c. Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap, dimana p = 1 – q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q = 1- p.

d. Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan X.

e. Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan yang lainnya.

f. Semakin banyak N maka peluang terjadinya suatu kejadian

tertentu semakin kecil. Perlu diingat bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau[un ditanyakan dari suatu permasalahan bisa

dikategorikan sebagai kejadian “sukses atau berhasil”.

(10)

Definisi

Distribusi Binomial

Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut suatu peubah acak binomial.

Untuk mencari peluang dengan distribusi binomial digunakan rumus:

Sedangkan koefisien binom dicari menggunakan rumus:

Sehingga diperoleh rumus:

dengan

X = 0,1,2,…,N

N! = N(N-1)(N-2)…1 0! = 1

Berdasarkan definisi, dalam distribusi binom dikenal parameter rata-rata ( ) dan simpangan baku ( ) Mean :

Standar Deviasi : Varians :

(11)

Contoh

Distribusi Binomial

Dalam perlambangan sebuah mata uang tiga kali, didefinisikan X = banyaknya Angka yang muncul. Berapa peluangnya muncul 2 buah Angka ?

Jawab:

p = peluang muncul angka pada suatu pelambungan = ½ N = 3 (banyaknya pelambungan, banyaknya pengulangan) X = 2 (banyaknya Angka yang diharapkan muncul)

Jadi, peluang munculnya 2 buah Angka adalah 3/8.

(12)

Distribusi Multinomial Menurut Para Ahli

Distribusi multinomial merupakan distribusi variable acak

diskrit dimana suatu percobaan dapat menghasilkan beberapa kejadian.

• Sudjana (2005:132)

Distribusi multinomial adalah perluasan dari distribusi binomial.

• Budiyono (2009:101)

Eksperimen binomial akan menjadi eksperimen multinomial jika setiap percobaan menghasilkan lebih dari dua kemungkinan hasil.

• Spiegel, Murray R. (2004:35)

Dalam pelambungan sebuah dadu, misalnya akan terjadi 6

kemungkinan yaitu muncul mata 1,2,3,4,5 atau 6.

(13)

Distribusi Multinomial

Misalkan sebuah percobaan menghasilkan kejadian E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …,pk dan dilakukan percobaan sebanyak N kali maka peluang terjadinya x1 peristiwa E1, x2 peristiwa E2, …, xk peristiwa Ek diantara N, ditentukan oleh:

Dimana

Distribusi ini merupakan perluasan dari distribusi

binomial karena rumus diatas adalah suku umum

dalam ekpansi multinomial

(14)

Distribusi Probabilitas

Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola biru

dan 5 bola putih. Sebuah bola diambil dari kotak tersebut, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi kedalam

kotak. Diambil sebuah bola lagi, dilihat warnanya,

kemuadia dikembalikan lagi kedalam kotak. Hal demikian dilakukan sampai 6 kali. Dalam 6 kali pengambilan

tersebut, berapa peluangnya terdapat 1 bola merah, 2 bola biru dan 3 bola putih?

Jawab:

P(1 bola merah, 2 bola putih, dan 3 bola putih)

(15)

Distribusi Hipergeometrik

Banyaknya sukses X dalam percobaan

hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik.

• Budiyono (2009:102)

Distribusi hipergeometrik adalah distribusi dari eksperimen sampling tanpa pengembalian.

• Edhy Sutanta (2005:79)

Jika sebuah variable acak x menyatakan jumlah sukses

dalam n percobaan / sampel dan total jumlah sukses.

(16)

Diambil dari sebuah populasi berukuran N, maka x dikatakan mengikuti

distribusi hipergeometrik dengan fungsi peluang dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan:

P(x) : peluang x D : pengambilan N : populasi

n : banyaknya data pengambilan/sampel

Dengan x = 0,1,2, …,n dan factor-factor diruas kanan ditentukan oleh rumus:

(17)

Apabila populasi besar dan sampel relative kecil, pengambilan secara sampling dilakukan tanpa pengembalian menimbulkan efek terhadap probabilitas sukses dalam setiap percobaan kecil, untuk mendekati nilai probabilitas hipergeometrik dapat

digunakan konsep distribusi binomial, dengan syarat Suatu percobaan hipergeometrik memiliki sifat berikut:

1. Sampel acak berukuran n diambil dari N benda.

2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N – k diberi nama gagal.

Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) adalah

(18)

Contoh

Sebuah kotak memuat 100 bola dan 5 diantaranya merah. Jika 10 bola diambil tanpa pengembalian, berapakah probabilitas

mendapat paling sedikit 4 merah?

Jawab:

(19)

Sejarah

Distribusi Poisson

Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan

penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Percobaan poisson apabila menghasilkan peubah acak X

yang menyatakan banyaknya hasil selama selang waktu, periode atau daerah tertentu. Misalnya

jumlah baarang yang cacat setiap kali

pengiriman, banyaknya hubungan telepon yang

diterima kantor per jam.

(20)

Karateristik Distribusi Poisson

Beberapa karateristik distribusi poisson, sebagai berikut:

a. Banyaknya hasil yang terjadi dalam suatu interval tertentu tidak

terpengaruh oleh apa yang terjadi pada interval lain yang terpisah (tidak berpotongan dan independent) dalam kaitan ini, proses poisson dikatakan tidak punya ingatan.

b. Peluang terjadi suatu hasil (tunggal) dalam selang tertentu yang amat pendek sebanding dengan Panjang selang dan tidak tergantung pada banyaknya hasil yang terjadi diluar selang.

c. Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek (sempit) dapat diabaikan. Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variable diskrit acak yang mempunyai 0,1,2,3 dan seterusnya.

Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan

probabilitas binomial dalam situasi tertentu. Rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan,

misalnya probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor.

(21)

Distribusi Poisson

• Budiyono (2009:103)

jika pada distribusi binomial b(x; n; ), parameter n cukup besar (secara teoritis n ~) maka akan diperoleh distribusi poisson dengan parameter

• Sutanta (2005:80)

Jika suatu variable random x menyatakan rata-rata kedatangan pada suatu rentang waktu yang kecil, maka x dikatakan mengikuti distribusi poisson, dengan formula:

Dimana:

e = 2,71828

= sebuah bilangan tetap untuk x = 1,2,3, …

p(x) = probabilitas kelas sukses

(22)

Distribusi Poisson

Rataan dan variansi distribusi poisson p(x; ) keduanya sama dengan . Distribusi poisson dapat diposisikan sebagai bentuk limit distribusi binomial bila dan np tetap tidak berubah. Jadi nila n besar dan p dekat dengan nol, distribusi poisson dapat digunakan dengan untuk

menghampiri peluang binomial.

(23)

Contoh

Distribusi Poisson