DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

(1)

DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

(2)

Pengertian Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel

kontinu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak

kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila:















dx x f b

X a

P

dx x f x F

) ( )

( . 3

1 )

(

2. R x

semua untuk

0 )

(

.

1

(3)

MACAM2 DISTR KONTINU

• DISTRIBUSI NORMAL DAN NORMAL STANDAR

• DISTRIBUSI T STUDENT

• DISTRIBUSI CHI KUADRAT

• DISTRIBUSI F FISHER

(4)

DITRSIBUSI NORMAL

• Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi

probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika.

Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi densiti probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

• Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski

distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan

kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

(5)

Kurva Distribusi Normal

 x



Berdasarkan gambar di atas, distribusi Normal akan memiliki beberapa ciri diantaranya:

a. Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta.

b. Simetris terhadap rataan (mean).

c. Kedua ekor/ ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya tetapi tidak pernah maemotong.

d. Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan σ e. Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari –  sampai +  sama

dengan 1 atau 100 %.

(6)

SIFAT DISTRIBUSI NORMAL

• Notasi N(  , 

²

)

•  : rata - rata

• 

²

: varian:  : standar deviasi

• x : nilai perubah acak

2 2 )2 (

2 ) 1

,

;

(

^





 

  e

^ ^x^

x

f π = 3.14159...

e = 2.71828...

Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter dan dimana − � �  < < � 

dan �

_�

> 0 jika fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah :

(7)

Fungsi densitas probabilitas

(8)

Probabilitas Normal Standar / Baku

Untuk menghitung probabilitas �(� � � ≤ ≤ ) dari suatu variabel

acak kontinu X yang terdistribusi secara normal dengan parameter dan maka persamaan (1) harus diintegralkan mulai dari =

� � � �

sampai = . � �

Namun, tidak ada satupun dari teknik-teknik pengintegralan biasa yang bisa digunakan untuk menentukan integral tersebut. Untuk itu para ahli statistik/matematika telah membuat sebuah

penyederhanaan dengan memperkenalkan sebuah fungsi

kepadatan probabilitas normal khusus dengan nilai mean = 0 dan � deviasi standard = 1. Distribusi ini dikenal sebagai � distribusi

normal standard (standard normal distribution). Variabel acak dari

distribusi normal standard ini biasanya dinotasikan dengan Z.

(9)

DISTRIBUSI NORMAL STANDAR

Sehingga diperoleh : Notasi N(,

²

)= N(0,1)

2 2

2 ) 1

1 , 0

;

( z e

^z

f 

^



Distribusi normal variabel acak kontinu X dengan nilai-nilai

parameter dan berapapun dapat diubah menjadi distribusi � �

normal kumulatif standard jika variabel acak standard z

_x

memenuhi hubungan :





 x 

z Nilai dari variabel acak standard � �

sering juga disebut sebagai skor z dari

variabel acak X.

(10)

(11)

(12)

Z=0.12

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

1. Diberikan distribusi normal baku, hitunglah daerah di bawah kurva yang dibatasi:

(a) sebelah kanan z = 1.84

(b) antara z = -1.97 dan z = 0.86

(18)

2. Diberikan distribusi normal dengan μ = 50 dan σ = 10, hitunglah peluang x terletak antara 45 dan 62.

(19)

3. suatu distribusi normal dengan μ = 40 dan s = 6, carilah x sehingga:

(a) luas di sebelah kirinya 45%

(b) luas di sebelah kanannya 14%

(20)

Latihan 1

. Suatu jenis batere mobil rata-rata berumur 3,0 tahun dengan simpangan baku 0,5 tahun. Bila dianggap umur bater berdistribusi normal, carilah peluang suatu batere berumur kurang dari 2,3 tahun.

Latihan 2

. Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam,

Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam.

Latihan 3.

dari 200 orang mahasiswa yang mengikuti ujian Kalkulus di sebuah Prodi, diperoleh bahwa nilai rata-rata adalah 60 dan simpangan baku (standard devisasi) adalah 10. Bila distribusi nilai menyebar secara normal, berapa:

(a) persen yang mendapat A, jika nilai A ³ 80;

(b) persen yang mendapat nilai C, jika nilai C terletak pada interval 56 ≤ C ≤ 68;

(c) persen yang mendapat nilai E jika nilai E < 45

(21)

Distribusi t-student

Distribusi student’s t adalah distribusi yang ditemukan oleh seorang mahasiswa yang tidak mau disebut namanya. Untuk menghargai hasil penemuannya itu, distribusinya disebut distribusi Student yang lebih dikenal dengan distribusi “t”, diambil daru huruf terakhir kata “student”.

Distribusi t dipakai untuk jumlah sampel yang kecil (kurang dari 30 ), sehingga nilai standar deviasi berfluktuasi relatif besar.

n

n t t K

f

12

1 1 )

(

2

 

 





 



K merupakan tetapan yang besarnya tergantung dari besar n sedemikian sehingga luas daerah antara kurva fungsi itu dan sumbu t adalah 1.

Bilangan n – 1 disebut derajat kebebasan (dk). Yang dimaksudkan dengan dk ialah kemungkinan banyak pilihan dari sejumlah objek yang diberikan. Misalnya kita mempunyai dua objek yaitu A dan B. Dari dua objek ini kita hanya mungkin melakukan 1 kali pilihan saja, A dan B. Seandainya terpilih A maka B tidak usah dipilih lagi. Dan untuk itu dk = 2 – 1 = 1.

(22)

Distribusi t-student

• x = nilai rata-rata sampel

•  = nilai rata-rata populasi

• S= standar deviasi sampel

• n = banyak sampel

n s t ( x   )



Untuk merubah distribusi normal menjadi distribusi t digunakan rumus :

Sifat Distribusi t

Mempunyai rata-rata sama dengan nol tetapi dengan standar deviasi yang berbeda beda sesuai dengan besarnya sampel . Semakin besar sampel maka

semakin mendekati distribusi normal

(23)

Contoh soal

1. Selama kurun waktu 2003 diketahui harga saham perusahaan pertanian Rp. 354 per lembar. Untuk mengetahui kinerja perusahaan pertanian diadakan penyelidikan dengan sampel 4 perusahaan. Diperoleh rata-rata saham adalah Rp 272 perlembar dengan standar deviasi Rp 260. Dengan taraf signifikan 1% apakah harga saham tersebut mengalami penurunan

• Perkiraan awal harga saham  354

• Apakah turun ≤ 354 (uji satu arah)

• V= n–1 = 3 diperoleh t = 4,541

 

₀_,₆₃

4 260

354

272  

 t

4,541

Yang diterima Yang

ditolak –0,63

Dengan taraf signifikan 1% perusahaan tidak mengalami penurunan yang nyata

(24)

Contoh 2

Kereta api eksekutif jurusan malang, surabaya dan yogya berjumlah 24 unit.

Harga rata-rata tiket Rp.253.000,-.Karena persaingan dengan perusahaan penerbangan agar penumpang tidak turun drastis maka diberikan diskon.

Harga tiket rata-rata setelah didiskon dari 16 jenis tiket adalah Rp.212.000,- dengan standar devisi Rp.46.000,-. Apakah penurunan tarif tersebut untuk tingkat signifikan 5% memberikan perbedaan yang nyata.

–2.131

Yang diterima Yang

ditolak

2.131

Yang ditolak Terdapat perbedaan yang signifikan

• Harga awal Rp.253.000,-.

• Harga berubah  Rp 253.000,-

• Tanda  menandakan kondisi 2 arah

• V = n – 1 = 16 – 1 = 15 dengan  = 5% diperoleh t tabel = 2,131

• t hitung =3,57