DISTRIBUSI PELUANG KONTINYU

DISTRIBUSI

PROBABILITAS KONTINYU

BAHAN KULIAH STATISTIKA TATAP MUKA - 07

TIM PENGAMPU MK STATISTIKA

n

n t t k

f

2 1 2

1 1 )

(

 

 



 + −



Fungsi densitas dist t-Student : =

5. Distribusi t-Student

• Bila ukuran n → ∞ ; semakin menyerupai kurva normal baku

• Bila n ≥ 30 → masih menghampiri dist. normal baku

• Bila n < 30, tidak lagi berdist. normal baku, oleh karena itu berhadapan dgn dist t-Student yang nilai-nilainya adalah:

n s

x − 

0 t

0,5 0,5



Harga t yang memenuhi -∞ < t < ∞



Bilangan (n-1) dinamakan derajat kebebasan (dk)



Jika sebuah populasi mempunyai model dg persamaan f(t) di atas, maka dikatakan populasi itu berdistribusi t dengan dk = (n – 1)

Contoh:

1.

Untuk n = 13, jadi dk = 12 dan p = 0,95 maka t = 1,78

0 t

-t

Jika n = 16, tentukan t supaya luas yg diarsir = 0,95.

Gambar di samping terlihat bahwa luas yang tidak diarsir (baik ujung kanan & kiri) = 1 – 0,95 = 0,05.

Kedua ujung ini sama luas jadi mulai t ke kanan = 0,025 dan mulai t ke kiri luasnya

= 1 – 0,025 = 0,975. Harga p inilah yg dipakai untuk daftar, dgn dk (v) = 15 dan p = 0,975, maka diperoleh t = 2,13. Jadi antara t = -2,13 dan t = 2,13 luas yang diarsir 0,95

Tabel distribusi t Student digunakan dengan cara membandingkan nilai t hitung dengan t tabel yang didapat dari tabel distribusi t

Student. Tabel t Student berguna untuk:

 Pengujian hipotesis

 Uji kesamaan dua rata-rata

 Uji signifikansi koefisien korelasi

6. Distribusi Chi-Kuadrat

• Distribusi chi kuadrat merupakan dist. dgn variabel acak kontinu.

• Grafik dist. Chi kuadrat umumnya merupakan kurva positif, yaitu miring ke kanan.

u v

e

u K

f ( 

²

) = .

^{1/2 −1 −1/2}

Tabel distribusi χ2 berguna untuk mencari hubungan antara data nominal, pengujian normalitas data.

Cara menentukan nilai χ2 tabel:

1. Tentukan nilai α apakah 0,001, 0,01, 0,05, atau 0,1 2. Hitung df atau dk = n – 1

3. Cari nilai tersebut pada tabel χ2 Contoh:

Diketahui α = 0,05; n = 15 maka dk = 15 – 1 = 14 dari tabel χ2 pada kolom α =0,05 dan kolom df = 14 diperoleh nilai χ2 tabel = 23,68



Fungsi densitas distribusi F :

 dengan variabel acak F memenuhi batas F > 0, K =bilangan tetap yg bergantung pada v1 dan v2, luas di bawah kurva = satu (1), v1 = dk pembilang & v2 = dk penyebut

7. Distribusi F

• Distribusi chi kuadrat merupakan dist. dgn variabel acak kontinu.

• Grafik dist. F tidak simetrik & umumnya sedikit positif, yaitu miring ke kanan.

) (

2 / 1

2 1

) 2 ( 2 / 1

2 1

1 . )

(

_{v v}

v

v F v K F

F

f

₊

−

 

 



 +

=

Tabel distribusi F berguna untuk pengujian homogenitas

data, pengujian signifikansi korelasi dan pengujian linieritas data.

Cara menentukan nulai F tabel:

1.Tentukan nilai α apakah 0,01 atau 0,05

2.Hitung df atau dk dengan rumus tertentu, sehingga diperoleh harga dk pembilang dan dk penyebut

3.Cari nilai F tabel di dalam tabel F dengan memperhatikan harga dk pembilang (kolom) dan dk penyebut (baris)

Contoh:

Diketahui α = 0,05 dan 0,01; v₁ = 5 dan v₂ = 10, dari tabel F pada kolom (dk pembilang = 5) dan baris (dk penyebut = 10) diperoleh nilai F tabel (0,05) = 3,33 dan F tabel (0,01) = 5,64 Notasi untuk nilai-nilai F dari daftar F dengan peluang p dan dk = (v₁, v₂) yaitu F_{p(v1, v2)}, sehingga F0,05(5, 10) = 3,33 dan

F0,01(5, 10) = 5,64

x 2

2 1

2 e ) 1

, , x ( n )

x (

f ^

 









− −

 

= 





=

Untuk -∞<x< ∞; π = 3,14159; e = 2,71828

5. Distribusi Normal

 Suatu peubah acak kontinu x yg memiliki dist. berbentuk genta disebut peubah acak normal, dengan persamaan kurva normal yg bergantung pada parameter μ

dan σ adalah

μ x

Daftar F pada lampiran buku Sudjana medruapakan daftra distribusi normal baku rata2 μ = 0 & simpangan baku σ =1





= x − z

0 z

0,5 0,5 -z

μ = 0 σ =1

Luas seluruh kurva = 1

 Mengubah dist. Normal umum ke dist. normal baku dengan transformasi:

 Penggunaan daftar dist normal baku lihat buku Sudjana hal 140 – 141 & Walpole hal 182 - 188

Contoh:

Berat bayi yg baru lahir rata2 3.750 g dg simp. baku 325 g. Jika berat bayi berdist. normal maka tentukan:

a. Brp % bayi yg beratnya lebih dari 4.500g

b. Brp bayi yang beratnya antara 3.500g & 4.500g jika semuanya ada 10.000 bayi

31 , 325 2

750 .

3 500 .

4

z x − =

 =



= − Jawab:

a. Dik: μ = 3.750g dan σ =325 ; x = 4.500

P(z>2,31) = 0,5 – P(z<2,31) = 0,5 – 0,4896

= 0,0104 = 1,04%

b. x1 = 3.500g & x2 = 4.500g

77 , 325 0

750 .

3 500 .

3

z x − = −

 =



= −

P(3.500<x<4.500) = P(-0.77<z<2,31) = 0,5 – 0,4898

= P(z>-0,77) + P(z<2,31) = 0,2794 + 0,4896

= 0,7690

Jadi banyaknya bayi antara 3.500g & 4.500g diduga ada 0,7690 x 10.000 = 7.690 bayi

0 ^2,31

0,4896

0,0104

0 ^2,31

0,4896 0,2794

-0.77

) 1

( N

N z x

ya sin transforma

serta )

1 ( N

&

N maka



−





= −



−



=





=





Hubungan dist. binom dan dist. normal, jika untuk fenomena yang berdistribusi binom berlaku:



N cukup besar



π = P(A) = tidak terlalu dekat dengan nol

Contoh: Lihat Buku Sudjana hal 144 – 145 & Walpole hal 196 - 202

13

DISTRIBUSI NORMAL

DISTRIBUSI NORMAL adalah distribusi probabilitas kontinu yang paling sering digunakan dalam bidang statistika

Grafiknya disebut “ KURVA NORMAL “.

Banyak digunakan pada gugusan data yang terjadi di alam dan “ PENELITIAN “.

Statistik Inferensi banyak mengasumsikan “Data Berdistribusi Normal” N~μη(μ, σ)

14

5. DISTRIBUSI NORMAL

Sifat Grafik :

Grafik berada diatas sumbu mendatar ( x ) Bentuk simetrik terhadap sumbu x = μ

Satu modus, ( uni modal ) yang dicapai pada nilai : x = μ 0,3989

sebesar → --- σ

Luas daerah dibawah kurva = satu unit persegi Mendekati sumbu (X) dimulai dari X = (μ±3σ)

15 Md = Mean = Mo

Kurva berbentuk : “ Bell Shape “ → Kurva normal

Sumbu ( X )

(μ-3σ) X = μ (μ+3σ)

0,3989 X = μ sebesar → ---

σ

16

Md = Mean = Mo Sumbu ( X )

Mean ± 1 SD → luas daerahnya

= 68,27 %.

1 SD

17

Md = Mean = Mo Sumbu ( X )

Mean ± 2 SD → luas daerahnya = 95,45 %.

Mean = ± 2 SD

18

Md = Mean = Mo Sumbu ( X )

- Mean ± 3 SD → luas daerahnya =

99,73 %.

Mean ± 3 SD

19

DISTRIBUSI NORMAL

Setiap variabel random kontinu (X) yang memiliki distribusi berbentuk “ Bell Shape disebut “variabel Random Normal “

Persamaan matematik bagi distribusi peluang

(probability) variabel random normal ini tergantung pada dua parameter yakni : μ dan σ.

Nilai-nilai fungsi kepadatan bagi variabel random normal (X) ini dilambangkan dengan n(x; μ, σ )

20

DEFINISI KURVA NORMAL

Bila (X) adalah suatu variabel random normal dengan nilai

tengah μ dan variance σ², maka persamaan kurva normalnya adalah :

1

n(x; μ, σ) = --- e ^-½ (( x – μ) / σ) ² , untuk - ∞ < x < + ∞

√ 2 πσ²

Sedangkan dalam hal ini : π = 3,14159.. Dan e = 2,71828…

( )

  −   



= ⁻ x

x

f e ^x

2 ) 1

(

2 2

1 /

-  





21

1 2

1 2

2

( )( x )

n(x; , ) e ; x

 

  

− −

= −   

22 μ₁ = 10

Contoh :

Kurva normal dengan standar deviasi (σ₁ = σ₂), dan ( μ₁ < μ₂ ) Perhatikan : Tinggi dan lebar kurva sama

Sumbu ( X )

μ₂ = 20

Kurva (B) σ₂ = 5 Kurva (A)

σ₁= 5

23 μ₁ = μ₂

Contoh :

Kurva normal dengan standar deviasi σ₁ < σ₂ dan ( μ₁ = μ₂ )

Perhatikan : Kurva A lebih tinggi dari kurva B, tetapi lebih sempit

Sumbu ( X )

Kurva (B) σ₂ Kurva (A)

σ₁

24 μ₁ < μ₂

Contoh :

Kurva normal dengan standar deviasi σ₁ dan μ₁ tidak sama serta σ₂ dan μ₂ juga tidak sama

Perhatikan : tingi, letak puncak dan lebar kurva berbeda

Sumbu ( X )

Kurva (B) σ₂ Kurva (A)

σ₁

μ₁ μ₂

25

Sumbu ( X )

Luas Daerah Dibawah Kurva Normal = Peluang

Kurva sembarang distribusi probabilitas random kontinu dibuat sedemikian rupa, sehingga luas daerah dibawah kurva itu, dibatasi oleh nilai x = x₁ ; dan x = x₂ → sama dengan probabilitas variabel random x, yang mengambil nilai antara x =x₁ dan x = x₂.

Luas daerah dibawah kurva

dinyatakan sebagai: P(x₁ < x < x₂) Dinyatakan berupa daerah gelap sebagai berikut :

X₂ X₁

1

2 2

2

1 2

b b x

a a

P(a x b) f(x)dx e dx







 − 

−  

  =



=



26

2 ( )

2 1 2 1 2

2 2

1 2

2 2

1 1

2

1 2

1

1 1

2 2

0 1

x x z

z

x z

z

z

P(x x x ) e dx e dx

n(z, , ) dx P(z z z )





 

 − 

−   −

  = =

= =  

 



Transformasi x ke Z

27

Sumbu ( X )

Luas daerah dibawah kurva II dinyatakan dengan warna biru→

P ( x₁ < X < x₂ )

Luas daerah dibawah kurva I

dinyatakan dengan daerah arsiran

→ P( x₁ < X < x₂ )

Kedua luas daerah sangat

berbeda luasnya sehingga nilai probabilitinya juga berbeda

X₂ X₁

Kurva I

Kurva II

28

Setiap pasangan μ dan σ selalu memenuhi sifat distribusi normal seperti dikemukakan diatas, dan yang berbeda hanyalah bentuk kurvanya saja, dengan demikian berarti setiap pasangan μ dan σ selalu dapat dibuat suatu kurva normal.

Apabila σ semakin besar maka bentuk kurvanya semakin rendah (Platikurtik),

Sedangkan apabila σ semakin kecil maka bentuk kurvanya semakin tinggi (Leptokurtik).

29

Setiap pengamatan yang berasal dari sembarang variabel random normal (x) dapat diubah menjadi variabel random normal Z, dengan nilai tengah = nol (0), dan varians = satu (1).

Perubahan tersebut dapat dilakukan melalui rumus transformasi sebagai berikut :

X – μ

Z = ---

σ

30

Nilai tengah Z = 0 → Pembuktian :

∑(Z) = 1/σ ∑( X- μ ) = 1/σ ( μ - μ ) = 0

Sedangkan variansnya adalah :

σ²_z = σ²_(x-μ)/σ = σ²_x/σ = 1/σ² x σ²_x = σ²/σ² = 1

Berdasarkan pembuktian tersebut maka : Definisi “ DISTRIBUSI NORMAL STANDAR “ sebagai berikut : Adalah suatu Distribusi variabel random normal dengan nilai tengah (rata-rata) = 0 dan standar deviasi = 1

31

Apabila nilai (X) berada diantara x = x₁ dan x = x₂ maka variabel random acak (Z) berada diantara nilai padanannya sebagai berikut :

X

₁

– μ

Z

₁

= --- σ

X

₂

– μ

Z

₂

= --- σ

Dan

32

Sebaran asal dan sebaran hasil transformasi diilustrasikan sebagai berikut :

• Semua nilai (X) yang jatuh antara x₁ dan x₂ mempunyai nilai-nilai (z) padanannya antara z₁ dan z₂, → maka luas daerah dibawah kurva (X) antara x = x₁ dan x = x₂ sama dengan luas daerah dibawah kurva antara nilai hasil transformasi z = z₁ dan z = z₂, sehingga :

• P ( x

₁

< X < x

₂

) = P ( z

₁

< Z < z

₂

).

33

( X )

Luas Daerah Dibawah Kurva Normal (Transformasi ke Normal Baku)

X₂ X₁

σ

μ ^{( z )}

σ = 1

0 z₁ z₁

Sebaran asal

Sebaran transformasi

34

Sebaran transformasi (distribusi normal standar → mean = 0, SD

= 1)

Sumbu ( X )

0 Z₂

Z₁

X₁ X X₂

Sebaran observasi

X₁ – μ Z₁ = ---

σ

X₂ – μ Z₂ = ---

σ

35

Contoh

Hitunglah peluang Z lebih kecil dari pada 1.74.

Penyelesaian sebagai berikut :

36

Penyelesaian

Carilah nilai z yang sama dengan 1.7 pada kolom paling kiri.

Telusuri sepanjang baris tersebut sampai kolom dibawah 0.04, disitu ditemukan nilai 0.9591. sehingga P( Z < 1.74 ) = 0.9591

0.50 0.4591

0

0.9591

0.0409

Contoh

Hitunglah peluang Z lebih kecil dari pada 1.74.

Penyelesaian sebagai berikut :

37

Suatu sebaran normal dengan μ = 50 dan σ = 10. Hitunglah peluang bahwa X mengambil sebuah nilai antara 45 dan 62 Penyelesaian :

Nilai z₁ padanan x₁ = 45 dan z₂ padanan x₂ = 62 Untuk z₁ = 45 – 50 / 10 = - 0.5 ;

Untuk z₂ = 62 – 50 /10 = 1.2 Dengan demikian :

P (45 < X < 62) = P( - 0.5 < Z < 1.2 )

Contoh soal 1:

X – μ Z = ---

σ

38 0

- Z₁= - 0.5 + Z₂ = 1.2

P( - 0.5 < Z < 1.2 ) → diperlihatkan melalui daerah gelap pada kurva

Luas daerah ini diperoleh melalui, pengurangan nilai luas daerah sebelah kanan z₂ = 1.2 dengan z₁ = - 0.5 dengan menggunakan z (atau hitung dari MS Excel):

P(45 < X < 62) = P(- 0.5 < Z <

1.2

= P(+Z < 1.2) – P(- Z < - 0.5)

= 0.8849 – 0.3085 = 0.5764 Luas =

0.576 4