BAB IV FUNGSI PELUANG DISKRET DAN FUNGSI PELUANG KONTINYU Fungsi Peluang Diskret dan Fungsi Peluang Kontinyu Satu Variabel

BAB IV FUNGSI PELUANG DISKRET DAN FUNGSI PELUANG KONTINYU

4.1. Fungsi Peluang Diskret dan Fungsi Peluang Kontinyu Satu Variabel

Permasalahan 4.1.1:

Departemen perhubungan menugaskan seseorang mencatat banyak sepeda motor yang lewat di putaran Pasar Rebo dari jam 5.00 pagi sampai jam 9.00 pagi. Catatan tersebut adalah sebagai berikut.

Tabel 4.1.1: Catatan Motor yang lewat diperempatan Pasar Rebo Waktu (pukul) 5.00 5.30 5.45 6.00 6.15 7.00 7.30 8.00 8.30 9.00 Banyak sepeda

motor yang

lewat 2 4 6 10 12 14 15 12 4 1

Catatan ini merupakan fungsi diskret dengan variabel bebas adalah waktu (x) dan variabel terikat adalah banyak sepeda motor yang

Gambar 4.1.1: Peta Satelit Perempatan Pasar Rebo dari Google Map

lewat {y=g(x)}. Catatan ini dapat dinyakan sebagai fungsi diskret berikut ini (jam 5.30 dinyatakan jam 5¹₂ sebab 30 menit sama dengan

1

2 jam, jam 5.45 dinyatakan dengan jam 5³₄, 7.30 dinyakan sebagai jam 7¹₂, dan seterusnya).

� = � � =

2; 5 4; 5¹₂ 6; 5³₄ 10; 6 12; 6¹₄

14; 7 15; 7¹₂

12; 8 4; 8¹₂ 0; ������ ���1; 9

……….1)

Permasalahan 4.1.2:

Gambar 4.1.2 Gambar Awan Hujan

Sumber:https://www.google.com/search?q=gambar+awan+hujan

&safe=strict&sxsrf=ALeKk0026Tuu9jWrjvlJrd9Ud4OCx4lrmw:1584958414664&tb m=isch&source=iu&ictx=1&fir=J2VSZDEyzcKI8M%253A%252C4hJxV30dhwZoXM

Pada suatu hari BMKG ingin mengukur curah hujan tiap meter persegi disuatu daerah. Mereka menempatkan bak kaca dengan panjang 1m dan lebar 1 m. Pada dinding bak kaca tersebut diberi skala seperti tabung yang ada di laboratorium untuk tiap mm. Pada hari tersebut hujan terjadi pada pukul 5.00 s.d 5.45 lalu berhenti. Kemudian pukul terjadi hujan lagi pukul 9.00 s.d pukul 13.00. Setelah itu tidak lagi tejadi hujan sehingga isi bak tetap sampai pukul 23.59. Lihat data berikut ini.

Tabel 4.1.2: Catatan posisi tinggi air pada bak kaca

Waktu (pukul) 0.00 3.00 5.00 5.30 5.45 9.00 13.00 20.00 23.59 Tinggi air di bak

kaca (mm) 0 0 0 2 6 6 20 20 20

Dari Tabel tersebut kita dapat mengetahui berapa mm curah hujan antara jam 5.00 s.d jam 5.30 yaitu 2 mm. Kita juga dapat mengetahui curah hujan dari jam 5.30 s/d 5.45 yaitu 6 mm dikurangi 2 mm sama dengan 4 mm. Namun kita tidak dapat menentukan banyak curah hujan pada tepat jam 5.30, mengapa? Karena banyak curah hujan ini adalah fungsi kontinyu sehingga harus ada interval pada variabel bebasnya yaitu 0.00 s.d 3.00; 3.00 s.d 5.00; 5.00 s.d 5.45; 5.45 s.d 9.00; 9.00 s.d 13.00; 13.00 s.d 20.00, dan 20.00 s.d 23.59. Dengan menganggap curah hujan dari pukul 5.00 s.d 5.30 stabil, demukian pula dengan curah hujan dari pukul 5.30 s.d 5.45, dan curah hujan dari pukul 9.00 s.d 13.00, maka intensitas hujan perjam dari masing-masing interval waktu tersebut sebagai berikut.

a. Intensitas hujan perjam dari jam 5.00 s.d jam 5.30 ( selama 30 menit sama dengan 0,5 jam) yaitu:²⁻⁰_0,5 = 4 �� /���.

b. Intensitas hujan perjam dari jam 5.30 s.d jam 5.45 ( selama 15 menit sama dengan 0,25 jam) yaitu:⁶⁻²_0,25=_0,25⁴ = 16 �� /���.

c. Intensitas hujan perjam dari jam 9.00 s.d jam 13.00 ( selama 4 jam) yaitu:²⁰⁻⁶₄ =¹⁴₄ = 3¹₂ �� /���.

d. Untuk interval waktu yang alin intensitas hujannya nol.

Data curah hujan curah hujan ini dapat dinyatakan dengan fungsi kontinyu sebagai berikut.

� = ℎ � =

4; 5 ≤ � ≤ 5¹₂; 16; 5¹₂≤ � ≤ 5³₄; 3¹₂;

0;

9 ≤ � ≤ 13

������ ���.

………..2)

Dengan menggunakan fungsi ini kita bisa menghitung banyak hujan yang turun dari jam 9.00 s.d 11.00 dengan integral:

� =

9 11

31 2 �� =

9 117

2 �� = 7 2 � ₉

11 = 7

2 11 − 9 = 7 ��

Bandingkan g(x) sebagai fungsi diskret dan h(x) sebagai fungsi kontinyu. Mudahkan membedakan?

Selanjutnya kita mempelajari fungsi peluang diskret. Tentu fungsi peluang diskret terkait erat dengan fungsi diskret yang telah kita bahas di awal sub bab.

Permasalahan 4.1.3:

Permasalah 4.1.3. ini terkait dengan permasalahan 4.1.1. Dari Tabel 4.1.1 kita bisa menghitung jumlah kendaraan yag lewat pada hari tersebut adalah 80 kendaraan. Jika banyak kendaraan yang lewat pada jam tertentu kita bagi 80, maka jadilah fungsi peluang diskret, lihat Tabel 4.1.3.

Waktu

(pukul) 5.00 5.30 5.45 6.00 6.15 7.00 7.30 8.00 8.30 9.00 Total Banyak

sepeda motor yang

lewat

2 4 6 10 12 14 15 12 4 1 80

kenderanByk dibagi total

kendaraan 2 80

4 80

6 80

10 80

12 80

14 80

15 80

12 80

4 80

1

80 1

Tabel 4.1.3. juga dapat nyatakan sebagai fungsi peluang:

� = � � =

2 80; 5

4 80; 5¹₂

6 80; 5³₄

10 80; 6

12 80; 6¹₄

14 80; 7

15 80; 7¹₂

12 80; 8

4 80; 8¹₂

1 80; 9 0; ������ ���

……….. 3)

Definisi 4.1.1:Fungsi Peluang Diskret

Sebuah fungsi diskret f(x) adalah fungsi peluang diskret dinotasikan dengan P(x) jika memenuhi syarat:

(1). P(x) ≥0 untuk semua x;

(2)

�=−∞

∞

� � = 1

Berikut ini adalah beberapa contoh lain dari fungsi peluang diskret.

1. Peluang muncul masing-masing mata dadu, yaitu:

� � = 1

6; � = 1, 2, 3, 4, 5, 6;

0; ������ ���

Jelas P(x) ≥0 untuk semua x

�=−∞

∞

� � = 0 + � 1 + � 2 + � 3 + � 4 + � 5 + �(6) + 0

= 0 +1 6 +

1 6 +

1 6 +

1 6 +

1 6 +

1

6 + 0 = 1 2. � � = ^�6; � = 1, 2, 3

0; ������ ���

Jelas P(x) ≥0 untuk semua x

�=−∞

∞

� � = 0 + � 1 + � 2 + � 3 + 0 = 0 +1 6 +

2 6 +

3 6 + 0

= 1

Selanjutnya kita akan membicarakan fungsi peluang kontinyu. Tentu saja fungsi peluang kontinyu terkait dengan fungsi kontinyu yang telah di bahas diawal sub bab.

Definisi 4.1.2:Fungsi Peluang Kontinyu

Sebuah fungsi kontinyu f(x) adalah fungsi peluang kontinyu dinotasikan dengan P(x) jika memenuhi syarat:

(1). P(x) ≥0 untuk semua x;

(2). _−∞^∞ � � �� = 1;

Contoh fungsi peluang diskret:

3. Peluang muncul masing-masing mata dadu, yaitu:

� � = 1

6 ; � = 1, 2, 3, 4, 5, 6;

0; ������ ���

Jelas P(x) ≥0 untuk semua x

�=−∞

∞

� � = 0 + � 1 + � 2 + � 3 + � 4 + � 5 + �(6) + 0

= 0 +1 6 +

1 6 +

1 6 +

1 6 +

1 6 +

1

6 + 0 = 1 4. � � = ^�6; � = 1, 2, 3

0; ������ ���

Jelas P(x) ≥0 untuk semua x

�=−∞

∞

� � = 0 + � 1 + � 2 + � 3 + 0 = 0 +1 6+2

6+3 6 + 0

= 1

Contoh fungsi peluang kontinyu:

1. � � = ¹⁵; 2 ≤ � ≤ 7;

0; ������ ���

Jelas P(x) ≥0 untuk semua x

−∞

∞

� � �� = 0 +

2 7 1

5 �� + 0 =

� 5 2

7 =7 − 2 5 = 1 2. � � = ^2�3 ; 1 ≤ � ≤ 2;

0; ������ ���

Jelas P(x) ≥ 0 untuk semua x

−∞

∞

� � �� = 0 +

1 2 2�

3 �� + 0 =

�² 3 ₁

2

= 2²− 1²

3 = 1

4.2. Fungsi Distribusi Komulatif dari Fungsi Peluang

Contoh soal:

1. Tentukan fungsi distribusi komulatif dari fungsi peluang diskret

� � = 1

6; � = 1, 2, 3, 4, 5, 6;

0; ������ ���

Penyelesaian

P(x)≠0 hanya untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sehingga:

Definisi 4.2.1:Distribusi Komulatif dari Fungsi Peluang Diskret Distribusi komulatif dari fungsi peluang diskret P(x) dinotasikan dengan F(x) dan didefinisikan dengan:

� � = � � ≤ � =

�=−∞

�=�

�(�)

Definisi 4.2.3:Distribusi Komulatif dari Fungsi Peluang Kontinyu

Distribusi komulatif dari fungsi peluang kontinyu P(x) dinotasikan dengan F(x) dan didefinisikan dengan:

� � = � � ≤ � =

−∞

�

�(� )��

� � =

0; � < 1

� 1 =1

6; 1 ≤ � < 2

� 1 + � 2 =2

6; 2 ≤ � < 3

� 1 + � 2 + � 3 =3

6; 3 ≤ � < 4

� 1 + � 2 + � 3 + � 4 =4

6; 4 ≤ � < 5

� 1 + � 2 + � 3 + � 4 + � 5 =5

6 ; 5 ≤ � < 6

� 1 + � 2 + � 3 + � 4 + � 5 + � 6 = 1; � ≥ 6

2. Tentukan fungsi distribusi komulatif dari fungsi peluang diskret

� � = �

6 ; � = 1, 2, 3 0; ������ ���

Penyelesaian:

� � =

0; � < 1

� 1 =1

6; 1 ≤ � < 2

� 1 + � 2 =1 6+2

6=3

6; 2 ≤ � < 3

� 1 + � 2 + � 3 =1 6+2

6+3

6= 1; � ≥ 3

3. Tentukan fungsi distribusi komulatif dari fungsi peluang kontinyu

� � = 1

5 ; 2 ≤ � ≤ 7;

0; ������ ���

Penyelesaian:

� �

=

0; � < 2

−∞

2

0 �� +

2

� 1

5 �� = 0 +

� − 2

5 ; 2 ≤ � < 7

−∞

2

0 �� +

2 7 1

5 �� +

7

�

0 �� = 0 +7 − 2

5 + 0 = 1; � ≥ 7

4. Tentukan fungsi distribusi komulatif dari fungsi peluang kontinyu

� � = 2�

3 ; 1 ≤ � ≤ 2;

0; ������ ���

Penyelesaian:

� � =

0; � < 1

−∞

1

0 �� +

1

�2�

3 �� = 0 +

�² 3 ₁

�

=�²− 1²

3 =�²− 1

3 ; 1 ≤ � < 2

−∞

1

0 �� +

1 22�

3 �� +

2

�

0 �� = 0 +�² 3 ₁

2

+ 0 =2²− 1

3 = 1; � ≥ 2

4.3. Fungsi Peluang Diskret Gabungan

Definisi 4.3.1:Fungsi Peluang Diskret Gabungan

Sebuah fungsi P(x1,x2,x3) disebut fungsi peluang diskret gabungan dari x1, x2, dan x3, jika memenuhi syarat:

(1) P(x1,x2,x3)≥0;

(2)

�₁ �₂ �₃

� �₁�₂�₃ = 1

Bagaimana fungsi peluang diskret gabungan dari 4 variabel yaitu x, y, z, dan u? Tentu mudah bukan? Tinggal menambahkan sigma sebanyak variabelnya.

Bagaimana fungsi peluang marjinal P(x2) dari fungsi peluang gabungan P(x1,x2,x3)? Tentu yang di jumlahkan variabel X1dan X3.

Selanjutnya kita akan mempelajari pelaung bersyarat. Sebagai ilustrasi, ada dua orang mahasiswa program studi pendidikan matematika yang bernama Neneng dan Asep. Mereka mengikuti mata kuliah yang sama. Karena untuk menuju Kampus, Neneng menumpang sepeda motor yang di kendarai Asep, maka keterlembatan Asep dari rumah mempengaruh keterlembatan Neneng sampai kampus. Sehingga peluang Neneng tidak terlambat mengikuti perkuliahan bersyarat Asep sampai rumah Neneng tidak telat. Lihat definisi 4.3.3. tentang peluang bersyarat.

Definisi 4.3.2:Fungsi Peluang Marjinal Diskret

Fungsi peluang marjinal P(x1) dari fungsi peluang gabungan P(x1,x2,x3) didefinisikan sebagai

� �1 =

�₂ �₃

� �2�3

Definisi 4.3.3:Fungsi Peluang Bersyarat

Misalkan P(x1,x2,x3) adalah fungsi peluang diskret gabungan dari X1, X2, dan X3. Maka fungsi peluang bersyarat (X1,X2) bila diketahui X3=a didefinisikan :

� �₁, �₂\ �₃ = � =^{� �}_{� �}^1,�2,�3

3=� dengan P(x3) adalah fungsi peluang marjinal X3.

Karena Asep sering terlambat, kemudian Neneng memutuskan untuk membawa kendaran sendiri, sehingga peluang Neneng dan Asep masuk tepat waktu menjadi peluang yang saling bebas, lihat definisi 4.3.4 tentang peluang bebas statistik.

Contoh Permasalahan 4.3:

1. Dua isi ballpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi warna biru, 2 merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya warna biru yang terambil dan Y menyatakan banyak merah yang terambil. {Walpole [1995]}

a. Hitunglah fungsi peluang gabungan X dan Y.

b. P(X+Y≤1)

c. Tentukan fungsi peluang marjinal X.

Definisi 4.3.4:Bebas Statistik untuk 2 fungsi peluang diskret Misalkan fungsi peluang gabungan X dan Y adalah P(x,y) serta fungsi peluang marjinal X adalah P(x) dan fungsi peluang marjinal Y adalah P(y), maka X dan Y dikatakan bebas statistik jika

Definisi 4.3.5:Bebas Statistik untuk n fungsi peluang diskret Misalkan fungsi peluang gabungan dari X1, X2, … , Xn adalah P(x1,x2, ...,xn). Fungsi peluang marjinal masing-masing dari X1, X2, … ,Xn adalah P(x1), P(x2), … , P(xn), maka X1, X2, … , Xn

dikatakan saling bebas statistik jika

P(x1,x2, ...,xn) = P(x1).P(x2). ….. . P(xn) dalam daerah definisinya

e. Tentukan peluang bersyarat X jika Y=1 yaitu P(x\y=1) f. Apakah X dan Y bebas statistik.

Penyelesaian:

a. Pasangan nilai (x,y) yang mungkin hanyalah {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0)}. (0,1) bermakna warna biru tidak terambil, warna merah terambil satu, dan warna selain merah dan biru terambil (2-0-1=1). Banyak cara memilih 2 dari 8 (3biru+2 merah +3 hijau=8) adalah �₂⁸ = 28. Fungsi peluang gabungan X dan Y dapat dinyatakan dengan rumus:

� �, � =^{��3��2�}_�^{2−�−�3}

28 .

Dengan mengganti (x,y) dengan pasangan-pasangan (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0), diperoleh: � 0,0 = ₂₈³ ;� 0,1 =₂₈⁶ ;

� 0,2 =₂₈¹ ; � 1,0 =₂₈⁹ ; 1,1 = ₂₈⁶ ; � 2,0 =₂₈³ . . Fungsi peluang gabungan ini dapat dinyatakan dengan tabel berikut ini.

P(x,y) X

0 1 2

Y

0 ³

28

9 28

3 28

1 ⁶

28

6 28

2 ¹

28

b. � � + � ≤ 1 = P 0,0 + � 0,1 + � 1,0 =₂₈³ +₁₄³ +₂₈⁹ =

3

28+₂₈⁶ +₂₈⁹ = ¹⁸₂₈.

c. Fungsi peluang marjinal X adalah

� � =

� 0,0 + � 0,1 + � 0,2 = 5

14; � = 0

� 1,0 + � 1,1 =15

28 ; � = 1

� 2,0 = 3

28; � = 2

0; selain itu

d. Fungsi peluang marjinal Y adalah

� � =

� 0,0 + � 1,0 + � 2,0 =15

28 ; � = 0

� 0,1 + � 1,1 =3

7; � = 1

� 0,2 = 1

28; � = 2

0; selain itu

e. Peluang bersyarat X jikaY=1 yaitu P(x\y=1)adalah

� � \ � = 1 =

�(0,1)

�(� = 1)= 3 314

7 =1

2; � = 0, � = 1

�(1,1)

�(� = 1)= 3 314

7 =1

2; � = 1, � = 1

0; selain itu

f. Untuk melihat apakah bebas statistik kita menghitung apakah P(x,y) = P(x) P(y) untuk semua (x,y) dalam daerah definisi?

Karena ada� � = 1, � = 1 =₁₄³ ≠ ¹⁵₂₈ ³₇ = � � = 1 �(� = 1), maka X dan Y tidak bebas statistik.

2. Diketahui fungsi peluang gabungan dari 3 variabel (X1,X2,X3)

� �₁, �₂, �₃ = �1�2�3

72 ; jika�¹= 1, 2; �₂= 1, 2, 3; �₃= 1, 3

0; selain itu

b. Tentukan fungsi peluang marjinal dari X2. c. Tentukan fungsi peluang marjinal dari X3. d. Tentukan fungsi peluang marjinal dari (X2,X3).

e. Tentukan fungsi peluang bersyarat dari ( X1,X3)/X2=2.

f. Tentukan fungsi peluang bersyarat dari X3/X2=2.

g. Apakah X2dan X3saling bebas?

h. Apakah X1,X2, dan X3saling bebas? {Dudewicz [1995]}

Penyelesaian:

a. Karena fungsi peluangnya dapat dinyakan dalam bentuk umum, maka menentukan fungsi peluang marjinal X1dapat dilakukan dengan 2 cara:

(i). Cara 1:

Dengan menghitung masing-masing P(x1=1), dan P(x1=2) seperti permasalahan (1).

� �1= 1 = � 1,1,1 + � 1,1,3 + � 1,2,1 + � 1,2,3 + � 1,3,1 + � 1,3,3 =1

3

� �1= 2 = � 2,1,1 + � 2,1,3 + � 2,2,1 + � 2,2,3 + � 2,3,1 + � 2,3,3 =2

3

Fungsi peluang marjinalnya adalah:

� �1 = 1

3 ; �¹ = 1 2

3; �₁ = 2 0; ������ ���

dapat disederhanakan menjadi � �1

�₁

3 ; �₁= 1, 2 0; ������ ���

(ii). Cara 2:

Dengan langsung menghitung dengan x1berupa variabel

� �₁ = � �₁, 1,1 + � �₁, 1,3 + � �₁, 2,1 + � �₁, 2,3 + � �₁, 3,1 + � �₁, 3,3 =�1

3 Fungsi peluang marjinalnya adalah:

� �1

�₁

3 ; �¹ = 1, 2 0; ������ ���

b. Karena fungsi peluangnya dapat dinyakan dalam bentuk umum, maka menentukan fungsi peluang marjinal X2dapat dilakukan dengan 2 cara:

(i). Cara 1:

Dengan menghitung masing-masing P (x1=1), dan P (x1=2) seperti permasalahan (1).

� �2=1 = � 1,1,1 + � 1,1,3 + � 2,1,1 + � 2,1,3 =1 6

� �2=2 = � 1,2,1 + � 1,2,3 + � 2,2,1 + � 2,2,3 =2 6

� �2=3 = � 1,3,1 + � 1,3,3 + � 2,3,1 + � 2,3,3 =3 6

Fungsi peluang marjinalnya adalah:

� �2 = 1

6 ; �2= 1 2

6; �2= 2 3

6; �2= 3 0; ������ ���

dapat disederhanakan menjadi � �21

�1

6 ; �₂ = 1, 2,3 0; ������ ���

(ii). Cara 2:

� �2 = � 1, �2, 1 + � 1, �2, 3 + � 2, �2, 1 + � 2, �2, 3 =�2

6

Fungsi peluang marjinalnya adalah:

� �₂ �₂

6 ; �¹ = 1, 2,3 0; ������ ���

c. Dengan cara yang sama seperti mencari fungsi peluang marjinal X1

dan X2, maka diperoleh fungsi peluang marjinal X3adalah

� �₃ �₃

4 ; �¹= 1,3 0; ������ ���

d. Sama seperti nomor (2a) fungsi peluang marjinal (X2,X3) dapat dilakukan dengan 2 cara:

(i). Cara 1:

Dengan menghitung masing-masing pasangan (X2,X3) yaitu:

� �₂₌1, �₃₌1 = � 1,1,1 + � 2,1,1 = 3 72 =

1 24

� �₂₌1, �₃₌3 = � 1,1,3 + � 2,1,3 = 9 72 =

1 8

� �2=2, �3=1 = � 1,2,1 + � 2,2,1 = 6 72 =

1 12

� �2=2, �3=3 = � 1,2,3 + � 2,2,3 =18 72=1

4

� �2=3, �₃₌1 = � 1,3,1 + � 2,3,1 = 9 72 =

1 8

� �₂₌1, �₃₌1 = � 1,1,1 + � 2,1,1 =27 72 =

3 8 Fungsi peluang marjinalnya adalah:

� �₂�₃ = 1

24; �2�3 = (1,1) 1

8 ; �₂�₃ = (1,3) 1

12; �2�3 = (2,1) 1

4 ; �₂�₃ = (2,3) 1

8 ; �2�3 = (3,1) 3

8; �₂�₃ = (3,3) 0; ������ ���

;

dapat disederhanakan menjadi

� �2, �3

�2�3

24 ; �₂�₃ = 1,1 , 1,3 , 2,1 , 2,3 , 3,1 , (3,2) 0; ������ ���

(ii). Cara 2:

Dengan langsung menghitung dengan x1berupa variabel

� �2,, �3 = � 1, �2,, �3 + � 2, �2,, �3 =3�₂�₃ 72 =�₂�₃

24

Fungsi peluang marjinalnya adalah:

� �₂, �₃ �2�3

24 ; ^�2�3 = 1,1 , 1,3 , 2,1 , 2,3 , 3,1 , (3,2) 0; ������ ���

e. Seperti soal (2d) fungsi peluang bersyarat dari X1,X3/X2=2 dapat dihitung dengan 2 cara.

(i). Cara 1:

Dengan cara menghitung satu persatu tiap pasangan P(x1, x3\ x2=2)

� �₁= 1, �₃= 1 \ �₂= 2 =� �1= 1, �2= 2, �3= 1

� �2= 2 =

1.2.1 722

6

= 1 12

� �1= 1, �₃= 3 \ �₂= 2 =� �1= 1, �2= 2, �3= 3

� �2= 2 =

1.2.3 722

6

= 3 12

� �1= 2, �₃= 1 \ �₂= 2 =� �1= 2, �2= 2, �3= 1

� �2= 2 =

2.2.1 722

6

= 2 12

� �₁= 2, �₃= 3 \ �₂= 2 =� �1= 2, �2= 2, �3= 3

� �2= 2 =

1.2.1 722

6

= 1 12

fungsi peluang bersyarat dari X1,X3/X2=2 adalah:

� �1, �3\ �2= 2 = 1

12; �1= 1; �₃= 1; �₂= 2;

3

12; �₁= 1; �₃= 3; �₂= 2;

2

12 ; �1= 2; �3= 1; �2= 2;

6

12; �1= 2; �3= 3; �2= 2;

0; ������ ���

Disederhanakan menjadi� �1, �₃\ �₂= 2 =

�₁�₃

12 ; �1= 1,2; �3= 1,3; �2= 2

0; selain itu

(ii). Cara 2:

Dengan langsung menghitung dengan pasangan (x1,x2) berupa variabel

� �1, �3\ �2= 2 =� �1, �2= 2, �3

� �2= 2 =

�1. 2. �3

722 6

=�1�3

12

Fungsi peluang marjinalnya adalah:

� �1, �3\ �2= 2 = �1�3

12 ; �1= 1,2; �3= 1,3; �2= 2

0; selain itu

f. Seperti soal (2e) fungsi peluang bersyarat dari X3/X2=2 dapat dihitung dengan 2 cara.

(i). Cara 1:

Dengan cara menghitung satu persatu tiap pasangan P(x3\\x2=2)

� �₃= 1 \ �₂= 2 =� �2= 2, �3= 1

� �2= 2 = 2.124

26

=1 4

� �₃= 3 \ �₂= 2 =� �2= 2, �3= 3

� �2= 2 = 2.324

26

=3 4

fungsi peluang bersyarat dari X1,X3/X2=2 adalah:

� �3\ �2 = 1

4; �3= 1; �2= 2;

3

4; �3= 3; �2= 2;

0; selain itu

Disederhanakan menjadi� �3\ �₂= 2 = ^�43; �3= 1,3; �2= 2 0; selain itu

(ii). Cara 2:

Dengan langsung menghitung dengan pasangan (x1,x2) berupa variabel

� �₃\ �₂= 2 =� �2= 2, �3

� �₂= 2 = 2. �₃

242 6

=�3

4

Fungsi peluang marjinalnya adalah:

� �3\ �2= 2 = �3

4 ; �₃= 1,3; �₂= 2 0; selain itu

g. Untuk melihat apakah X2 dan X3 bebas statistik, kita menguji

� �₂ � �₃ = �2

6

�3

4 =

�2. �₃

24 = � �², �₃

Karena P(x2,x3) =P(x2)P(x3) maka dikatakan X2 dan X3 bebas statistik.

h. Untuk melihat apakah X1, X2 dan X3 saling bebas statistik, kita menguji apakah P(x1,x2,x3) = P(x1)P(x2)P(x3)?

� �1 � �2 � �3 = �₁ 3

�₂ 6

�₃ 4 =

�₁. �₂. �₃

72 = � �1, �2, �3

Karena P(x1,x2,x3) =P(x1)P(x2)P(x3) maka dikatakanX2, X2dan X3

saling bebas statistik.

4.4. Fungsi Peluang Kontinyu Gabungan

Bagaimana fungsi peluang kontinyu gabungan dari 4 variabel yaitu x, y, z, dan u? Tentu mudah bukan tinggal menambah satu variabel dan intergral menjadi lipat empat.

Definisi 4.4.1:Fungsi Peluang Kontinyu Gabungan

Sebuah fungsi P(x1,x2,x3) disebut fungsi peluang kontinyu gabungan dari x1, x2, dan x3, jika memenuhi syarat:

(1).P(x1,x2,x3) ≥0;

(2).

�3=−∞

�3=∞

�2=−∞

�2=∞

�1=−∞

�1=∞

� �₁, �₂, �₃ = 1

Definisi 4.4.2:Fungsi Peluang Marjinal Kontinyu

Fungsi peluang marjinal P(x1) dari fungsi peluang kontinyu gabungan P(x1,x2,x3) didefinisikan sebagai

� � =

�₃=∞ �₂=∞

� � , � , � �� ��

Bagaimana fungsi peluang marjinal P(x2) dari fungsi peluang kontinyu gabungan P(x1,x2,x3)? Tentu mudah bukan tinggal mengintergralkan x1

dan x3.

Definisi 4.4.3:Fungsi Peluang Bersyarat

Misalkan P(x1,x2,x3) adalah fungsi peluang kontinyu gabungan dari X1, X2, dan X3. Maka fungsi peluang bersyarat (X1,X2) bila diketahui X3=a didefinisikan :

� �₁, �₂\ �₃ = � =^{� �}_{� �}^{1,�2,�3=�}

3=� dengan P(x3) adalah fungsi peluang marjinal X3.

Definisi 4.4.d:Bebas Statistik untuk 2 fungsi peluang kontinyu Misalkan fungsi peluang gabungan X dan Y adalah P(x,y) serta fungsi peluang marjinal X adalah P(x) dan fungsi peluang marjinal Y adalah P(y), maka X dan Y dikatakan bebas statistik jika

P(x,y) = P(x) P(y) untuk semua (x,y) dalam daerah definisi.

Definisi 4.4.e: Bebas Statistik untuk n fungsi peluang kontinyu

Misalkan fungsi peluang gabungan dari X1, X2, … , Xnadalah P(x1,x2, ...,xn). Fungsi peluang marjinal masing-masing dari X1, X2, … ,Xnadalah P(x1), P(x2), … , P(xn), maka X1, X2, … ,

Contoh Permasalahan:

Diketahui sebuah fungsi peluang kontinyu gabungan

� 1

6 ; 0 ≤ �¹ ≤ 1; 0 ≤ �₂ ≤ 2; 0 ≤ �₃ ≤ 3;

0; selain itu;

a. Tentukan fungsi peluang marjinal dari X1. b. Tentukan fungsi peluang marjinal dari X2. c. Tentukan fungsi peluang marjinal dari X3. d. Tentukan fungsi peluang marjinal dari (X2,X3).

e. Tentukan fungsi peluang bersyarat dari X1,X3/X2. f. Tentukan fungsi peluang bersyarat dari X3/X2. g. Apakah X2dan X3saling bebas?

h. Apakah X1,X2, dan X3saling bebas?

Penyelesaian:

a. Fungsi peluang marjinal dari X1didapatkan dengan

mengintegralkan fungsi peluang gabungan P(x1, x2, x3) terhadap dx2

dan dx3.

� �1 =

−∞

∞

−∞

∞

� �1, �2, �3, ��2��3=

0 3

0 21

6 ��²��3=

0 3�₂

6 0 2��3

=

0 31

3 ��³=1 3 ₀

3= 1

Fungsi peluang marjinal dari X1adalah:

� �1 = 1; 0 ≤ �1 ≤ 1 0; �1���� ����

b. Fungsi peluang marjinal dari X2didapatkan dengan

mengintegralkan fungsi peluang gabungan P(x1, x2, x3) terhadap dx1

dan dx3.

� �2 =

−∞

∞

−∞

∞

� �1, �2, �3, ��1��3=

0 3

0 11

6 ��¹��3= 1 2

Fungsi peluang marjinal dari X2adalah:

� �₂ = 1

2 ; 0 ≤ �² ≤ 2;

0; �₂���� ����

c. Fungsi peluang marjinal dari X3didapatkan dengan

mengintegralkan fungsi peluang gabungan P(x1, x2, x3) terhadap dx1

dan dx2.

� �3 =

−∞

∞

−∞

∞

� �1, �2, �3, ��1��2=

0 3

0 11

6 ��¹��2= 1 3

Fungsi peluang marjinal dari X3adalah:

� �₃ = 1

3; 0 ≤ �₃ ≤ 3;

0; x₃yang lain;

d. Fungsi peluang marjinal dari (X2,X3) didapatkan dengan

mengintegralkan fungsi peluang gabungan P(x1, x2, x3) terhadap dx1.

� �2, �3 =

−∞

∞

� �₁, �2, �3 �� =

0 1 1

6 ��¹ =1 6 Fungsi peluang marjinal dari (X2,X3) adalah

� �₂, �₃ = 1

6; 0 ≤ �2 ≤ 2; 0 ≤ �3 ≤ 3;

0; x₃yang lain;

e. Fungsi peluang bersyarat dari X1,X3/X2 dihitung dengan cara

� �₁, �₃\ �₂ =� �1, �2, �3

� �₂ = 1 1 6

2 =1 3

Fungsi peluang bersyarat dari X1,X3/X2adalah

� �1, �3\ �2 = 1

3; 0 ≤ �1≤ 1; 0 ≤ �₃≤ 3; 0 ≤ �₂≤ 2; 0 ≤ �₃≤ 3;

0; selain itu;

f. Fungsi peluang bersyarat dari X3/X2dihitung dengan cara sebagai berikut.

� �₃\ �₂ = � �2, �3

� �₂ = 1 6 1 2 =

1 3

Fungsi peluang bersyarat dari X1,X3/X2adalah

� �3\ �2 = 1

3; 0 ≤ �3≤ 3; 0 ≤ �2≤ 2; 0 ≤ �3≤ 3;

0; selain itu;

g. Untuk melihat apakah X2dan X3bebas statistik, kita menguji apakah

P(x2,x3) = P(x2)P(x3)?

� �2 � �3 = �₂ 6

�₃ 4 =

�₂. �₃

24 = � �², �3

Karena P(x2,x3) =P(x2)P(x3) maka dikatakan X2dan X3bebas statistik.

h. Untuk melihat apakah X1, X2dan X3saling bebas statistik, kita menguji apakah P(x1,x2,x3) = P(x1)P(x2)P(x3)?

� �₁ � �₂ � �₃ = �₁ 3

�₂ 6

�₃ 4 =

�₁. �₂. �₃

72 = � �₁, �₂, �₃

Karena P(x1,x2,x3) =P(x1)P(x2)P(x3) maka dikatakanX2, X2dan X3

saling bebas statistik.

4.5. Soal Latihan

1. Tentukan mana dari peubah acak berikut yang diskret dan yang kontinyu.

X : banyaknya kecelakaan mobil per tahun di Bekasi

Y : lamanya waktu pertandingan badminton ganda putra M : banyaknya telur setiap bulan yang dihasilkan seekor ayam

betina

N : berat padi yang dihasilkan per hektar

P : banyaknya susu setahun yang dihasilkan seekor sapi betinatertentu.

2. Suatu uang logam dilantunkan sampai muncul 3 mukaberurutan.

Tuliskan unsur dari ruang sampel yang memerlukan 6 atau kurang lantunan. Apakah ruang sampel ini diskret? Jelaskan

3. Pada suatu pengiriman 5 unit Laptop kesuatu toko elektronik, terdapat 2 laptop yang cacat. Jika seorang pelanggan membeli 3 unit laptop ini secara acak, tanpa mencobanya terlebih dahulu, tentukan:

a. Fungsi peluang banyaknya yang cacat b. Buatlah grafik fungsi peluang

4. Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logam ratusan dan 2 lima puluhan, 3 uang diambil secara acak tanpa pengembalian. Cari distribusi peluang jumlah dari ke 3 uang. Nyatakan fungsi peluang dengan grafik sebagai histogram peluang.

5. Dari suatu kotak yang berisi 4 bola putih dan 2 bola merah, 3 bola diambil secara berurutan, tiap bola dikembalikan sebelum

pengambilan bola berikutnya. Carilah fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil.

6. Carilah rumus fungsi peluang peubah acak X yang menyatakan hasil yang muncul bila sebuah dadu dilantunkan sekali.

7. Diketahui fungsi peluang X, banyaknya cacat per 10 m serat sintetis dalam gulungan yang lebarnya seragam, diberikan oleh

X 0 1 2 3 4

� � 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01 Buatlah fungsi distribusi komulatif X.

komulatif T diketahui, lamanya dalam tahun sampai jatuh tempo, diberikan oleh

� � =

0, � < 1 1

4, 1 ≤ � < 3 1

2, 3 ≤ � < 5 3

4, 5 ≤ � < 7 1, � ≥ 7

Tentukan : a.� � = 5 ; b.� � > 3 ; c.� 1,4 < � < 6 .

9. Diketahui fungsi peluang peubah acak X

X 0 1 2

� � = �

= � � 10

28

15 28

3 28 Tentukan : a. � � > 1

b. � 0 ≤ � < 2

c. Buatlah fungsi distribusi kumulatifnya

10. Proporsi orang yang menjawab suatu tawaran lewat pos berbentuk peubah acak kontinu X yang mempunyai fungsi peluang kontinyu

� � = 2(� + 2)

5 , 0 < � < 1

0, ������ ���

a. Tunjukkan bahwa P(0 < X < 1) = 1;

b. Cari peluang bahwa lebih dari ¼ tapi kurang dari ½ orang yang dihubungi akan menjawab tawaran tersebut.

11. Jumlah jam, diukur dalam satuan 100 jam, suatu keluarga akan menggunakan mesin pengisap debu setahun berbentuk peubah acak kontinu X dengan fungsi peluang kontinu

� � = �, 0 < � < 1 2 − �, 1 ≤ � < 2 0, ������ ���

Cari peluangnya bahwa dalam setahun keluarga itu akan menggunakan mesin pengisap debu

a. Kurang dari 120 jam;

b. Antara 50 dan 100 jam.

12. Jika fungsi peluang gabungan X dan Y berbentuk

� �, � =^(�+�)₃₀ , untuk x = 0, 1, 2, 3; y = 0, 1, 2.

Tentukan:

a. � � ≤ 2, � = 1 ; b. � � > 2, � ≤ 1 ; c. � � > � ; d. � � + � = 4 ;

13. Dari suatu bungkus buah-buahan yang berisi 3 jeruk, 2 mangga, dan 3 pisang dipilih secara acak 4 buah. Bila X menyatakan banyaknya jeruk dan Y banyaknya mangga dalam sampel tersebut, hitunglah

a. Fungsi peluang gabungan X dan Y;

b. � �, �) ∈ � , bila A daerah {(�, �)|� + � ≤ 2}.

14. Dua peubah acak mempunyai fungsi peluang kontinu gabungan sebagai berikut :

� �, � = 4��, 0 < � < 1, 0 < � < 1;

0, ������ ���

a. Tentukan �(0 ≤ � ≤³₄, ¹₈≤ � ≤¹₂);

b. �(� > �).

15. Dari soal no.12, tentukan

a. Fungsi peluang marjinal X ; b. Fungsi peluang marjinal Y ;

16. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi peluang kontinu gabungan sebagai berikut :

� �, � = 1/�, 0 < � < �, 0 < � < 1;

0, ������ ���

Hitunglah �(� + � >¹₂ );

17. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi peluang gabungan yang dinyatakan dengan tabel berikut ini :

P(x,y) X

1 2 3

Y

1 0 1

6

1 12

2 1

5

1

9 0

3 2

15

1 4

1 18 Tentukan :

a. FungsipeluangmarjinalX ; b. FungsipeluangmarjinalY ; c. � � = 3 � = 2 )

18. Diketahui fungsi peluang gabungan dari 3 variabel (X, Y, Z)

� �, �, � = 4���²

9 , 0 < � < 1, 0 < � < 1, 0 < � < 3;

0, ������ ���

Tentukan

a. Fungsi peluang marjinal kontinu gabungan Y dan Z;

b. Fungsi peluang marjinal kontinu Y ; c. � ¹₄< � <¹₂, � >¹₃, 1 < � < 2 ; d. � 0 < � <¹₂| � =¹₄, � = 2 .

19. Tentukan apakah kedua variabel di soal no.16 bebas atau tidak.

20. Tentukan apakah ke dua variabel di soal no.17 bebas atau tidak.