2003 Hubungan antara Estimator Bayes dengan Estimator Klasik pada Distribusi Peluang Diskret yang Khusus

TELAH DIPRT:tINIqSLi.

l,]l

pdDA _SEI'IHj.

I

i,i

JURUSA[,] f,-i,,1;tEt]:.rr j !,(A Fi.,iipA UNNES

TANGGAL 27 5:F] LI48IR ZCO3

l(!, i'uA FAi;it'iA 1r

^ (

|

/j---<-DRA. KUsiJi, t4.Si

NIP. 130515748

HUBUNGAN _{ANTARA ESTIMATOR BAYES DENGAN EST}MATOR KLASIK}

PADA DISTRIBUSI PELUANG DISKRETYANG KHUSUS-} Kismiantini & Himmawati puji Lestari

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNy

Abstrak

Maximum Likelihood Estimator

{MLE) adatah satah

satu

metode klasik yang sering digunakan untuk menentukan estimator parameter. Pada metode klasik parameter dianggap sebagai konstan,

sedangkan pada metode Bayes semua parameter yang terdapat dalam model diperlakukan sebagai

variabel.

Dalam tulisan ini akan

dibahas

mengenai hubungan

antara

estimator

bayes

dengan

estimator klasik pada distribusi peluang diskret yang khusus. Kata kunci : estimator klasik, estimator Bayes.

PENDAHULUAN

Metode yang

biasa

digunakan dalam menentukan estimator parameter adalah

metode klasik. Metode

klasik

adalah suatu metode yang mendasarkan estimasinya

pada Maximum Likelihood Estimator (MLE), Uniformly Minimum Variance Unbiased

Estimator

{UMVU4,

Minimum

Mean

Square

Error

Estimator, Method

of

Moments Estimator

(MMq

dan lain-lain. Salah satu metode yang juga _{dapat digunakan datam}

menentukan _{estimator parameter adalah metode Bayes. Pada metode Bayes, semua} parameter dalam model diperlakukan sebagai variabel sedangkan pada metode klasik parameter dianggap sebagai konstan. Sehingga

jika

_{terjadi suatu kasus} yaitu pada situasi dan tempat pengamatan yang berbeda menyebabkan parameter berubah-ubah maka dengan prinsip Bayes akan dapat diatasi permasalahan tersebut.

Dalam tulisan

ini

akan diselidiki hubungan antara estimator Bayes dengan

estimator klasik pada distribusi peluang diskret yang khusus. Estimator klasik yang

digunakan adalah Maximum _{Likelihood Estimator (MLE).Distribusi peluang diskret} yang

khusus meliputi distribusi seragam, Bernoulli, Binomial, Binomial Negatif, Geometrik,

Hipergeometrik, dan Poisson. Dari ketujuh distribusi tersebut yang memiliki parameter

adalah distribusi Bernoulli, Binomial, Binomial Negatif, Geometrik dan Poisson.

DEFINiSI.DEFINISI

Berikut ini _{diberikan beberapa definisi yang akan digunakan untuk} menyelidiki hubungan antara estimator Bayes dengan estimator klasik pada distribusi peluang _diskret

yang khusus.

Definisi 1 (Bain & Engelhardt, 1992)

Misalkan

Xl

X2,...,X,

sampel acak dengan fungsi peluang f$

i,0),

i ₌ 1, 2, ..., n.

Apabila L yaitu fungsi peluang bersama dari

x1X2,...,X,

dipandang sebagaifungsi dari ddan X,l,Xt,...,Xe sebagai bitangan tertentu maka L(a)

=fff!,,e)

disebut

i=1

sebagai fungsi likelihood.

1 _{Makalah ini disampaikan dalam Seminar Nasional}

IV

_{padatanggal27}

September 2003 yang

Definisi2 (Bain & Engelhardt, 1992)

Misalkan

XI,X2,...,Xn

sampel

acak

dengan

fungsi peluang

fhi,g)

dan

fungsi

likelihood

z(d).

setiap

nitai

w =

h(y,x2,...,xn)

yang memaksimumkan

L(a)

yakni

f(r)>

l(a)

Oinamakan Maximum Liketihaod Estimator(MLfl.

Pada definisi

2,

seringkali akan lebih mudah tidak memaksimalkan

(a)

melainkan

tn(a).

Hal ini dapat dilakukan karena r-(a) oan tnr-(a) mencapai maksimum pada 0

yang sama.

Definisi 3 (Elfessi& Reineke, 2OO1)

Estimator Bayes dari ddidefinisikan sebagai berikut :

_ t e t {e; x1, x2,..., x _nY o

ESTIMATOR KLASIK

1. Distribusi Bernoulli

Misal X1, X2,...,X,7 sampel acak dengan

Xi

*

Atll(,p),

i=

1,2, ..., n.

Xi -

BtN(,p)

o

t6i,p)=

p'i

(-

pl-^i,

i = 1, 2, ..., n

Berdasarkan definisi 'l maka fungsi likelihood :

nn9,r,

n

r-(p)=

IIf8r,

p)=fIpr'

(t- p)',r, =

pi=1

(-

p),-Zi,

i=l

i=1

Dengan menggunakan definisi 2 akan dicari Maximum Likelihood Estimatar

WLq.

n(n\

tnt-(p)=

Ixi

tnp+l

n-Z*i

ltn(t-p)

i=1

[

r=t

)

n'

(

n

)

Tx, ln-)'x,

I

atnr(p)_7=,'''

I e')

dp

p

1-p

Persamaan likelihood :

n(n\

Ir, ir-Ir,

I

i=1 _\

i=1

/_n

b - 1-b -"

t*,

^;a

A p-

J=!-n

1,,

Dengan menggunakan MLE maka diperoleh estimator klasik untuk

p

ddah

2. Distribusi Binomial

Misal X1,X2,...,Xn sampel acakdengan

X;

-

Blru(n,p), i ₌ 1, 2, ..., n.

xi

-

BtN(n,p)

o f8,,ol=[i

]0.,

(-

pY-'',

i =

1, 2, ..., n

Berdasarkan definisi 1 maka fungsi likelihood :

r(p)=

rr(,,, o>y{x,Jr,,

(

-

py

-r

=

[g[x,)],

2.',

t

oy'

-

_po.,

Dengan menggunakan definisi 2 akan dieari Maximum Likelihood Estimator

WLq

,nl(p)

=

"[l[;,

)]

*

2,,

m _o

*(n2-,r,.,1,*,

-

r,

n

I,,

'

<)

b=!=+

n-n

(^

n )

Fx,

lr'-1,*il

drnl(p)_7=,r'(

E',1

dp

p

1-p

Persamaan likelihood :

i-i, _["

--t',)

=.

b

1-b

2,,

Dengan menggunakan MLE maka diperoleh estimator klasik untuk p adalah

T

3. Distribusi'Binomial Negatif

Misal X1,X2,...,X11sampel acak dengan

Xi -

Bff(r,p),

i=

1,2,

.-., n.

x, -eNQ,p)er(x;,r)=[X:;'j p,(-p)*i-, ,i=1,2,

.

,n

Berdasarkan definisi 1 makafungsi likelihood :

r(p) =

II

r(,,, r1 =

g[X,-',,)r.

_{, _ py, _, =

LU(::;,]]r,,

u

_

ilf,.,

_*

Dengan menggunakan definisi 2 akan dicari Maximum Likelihood Estimator (MLA

rnr(p)=,,[g[X,-;')].,,,,,.

[,t,,

-

-)n6

-

oy

'

($*,

-rr)

Persamaan likelihood :

(n

)

lTx,

-nr

I

l'Lt l I

nr [i=t

)

_^

:--=tJ

p

1-p

^nr

e

p=-i--Z*'

i=1

Dengan menggunak

an

MLE maka diperoleh estimator klasik untuk

p

arf,sl;tn

-!I-Zr'

i=1

4. Distribusi Geometrik

Misal X1,X2,...,X11 sampel acak dengan

Xi

-

GeO(p),

i=

1,2, ..., n.

X ₁

-

GEo(p)

o

fQi,

d=

p( -

p)ri -1, i ₌ 1, 2, ..., n Berdasarkan definisi 1 maka fungsi likelihood :

nnn

r_(p) =

fi

r(xi, p) ₌

fJ

p(1

-

p)*,

-,

₌ p,

(

-

p)

i\_1*

i - n

i=1

i=1

Dengan menggunakan definisi 2 akan dicari Maximum Likelihood Estimator (MLq.

(n

\

lnt(p)=

nlnp+i

Ir,

-n

itn(t-p)

ti=t

)

(n

₎

lIx,

-n

I

dtnL(p)

n l7:'

)

dp

p

1-p

Persamaan likelihood :

(n

)

lIx,-nl

tu | -l

n \i=t

.)

_^

:--=L,

p

1- p

^n

e

p=-i-\'-.

4l

i=1

Dengan menggunakan MLE maka diperoleh estimator klaslk untuk p adalah n

n

\-

-.

i=l

5. Distribusi Poisson

Misal X1,X2,...,Xp sampel acak dengan

Xi -

POt(x\, i ₌ 1, 2, ..., n

Xi- PotQ")er(x,,s")={+,

i=

1,2, ..., n

'

xil

Berdasarkan definisi 1 maka fungsi likelihood :

9r,

n

n

e-llxi

"-nllj=1

r(;)=flr$i,t)=fl+=+

i:1

i=1

nt,

Il*,t

i=1

Dengan menggunakan definisi 2 akan dicari Maximum Likelihood Estimator (MLE).

nn

tnt-(z) =

-il,

+lx

i ln2

- lnf[x;

!

i=l

i=1

n

Ix,

atnl(z)

=_n*7=,t

il"

)"

Persamaan likelihood:

Zr'

_

n+i=1,

_=O

)" n

I,,

a

i=

i=t n

i,*,

Dengan menggunakan MLE maka diperoleh estimator klasik untuk 2 adalah i:1

n

ESTIMATOR BAYES

Pada estimator Bayes, fungsi peluang

f(*i,e)

dinyatakan dengan fungsi peluang bersyarat yaitu

(x;la).

1. Distribusi Bernoulli

Sehingga

untuk

X1,X2,...,X4

sampel acak dari populasi yang berdistribusi Bernoulli

dengan parameter p dapat dituliskan sebagai berikut :

Xi

-

BtN(,p)., r(rilp)= p^i

(-

pl-*i,

i = 1, 2, ..., n.

Distribusi Prior

untuk

Xi

-BtN(,p), i

=

t,2,

..., n

adalah

p*BETA{a,B).

Senlngga

fungsi peluang dari distribusi priornya adalah sebagai berikut:

,(p)=ffi*-t(-

pf-t,

o < p <1

Fungsi

likelihood'.

n

n.Zxrn

Fungsi peluang bersama dari

X1XZ,...,Xn

dan p adalah :

f _{o; x _1, x _2,..., x, _{) =} o{p\(x _{t, x 2,...,}

x,

_lp), maka

r(p;x1,xz,...*,) =

#i#o**for'-'

1o

-

oy*o-I*,t

Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk p adalah sebagai berikut :

1 -t a\

o*fri

-l

n

^

[0ffi60

i-=1'

(-

of+f-zxi-t6o

'n

1

-t

^\

a+l.xi

-1

n

[##,

n

(-pY.P-7=i'-'ap

1o*!r1*t-1

n

Ip i=1 (-

oY*t-

_,z=r*i-1dp

1

o*!ri-t

n

Ip

i:1

(-

pY-P-7__i,-tap 0

n

a

+\x;

_

i=1

n+a+

fi

o*i*,

Jadi estimator Bayes untuk p

adalah

'='

= .

'

n+a+B

2. Distribusi Binomial

Misal

X1,X2,...,Xn sampel acak

dari

populasi yang berdistribusi Binomial dengan pararneler p dapat dituliskan sebagai berikut :

X;

-

BtN(n,p)o r(,,|p)=

(:,)n'

(-

pY-'i _,

i=

1,2,

. , n

Distribusi Prior

untuk

Xi

-BlN(n,p),

i=

t,2,

..., n

adatah p-BETA(a,B).

Sehingga

fungsi peluang dari distribusi priornya adalah sebagai berikut :

o(p)=ffint(-pY',

o<p<1

Fungsi likelihood :

f(x1x2,,x,lr)=I[;,)r.,(

py-*i=[g[],)],

E,r'

u-

py'-i'ri

Fungsi peluang bersama dari X1X2,...,

Xn

dan p adalah :

t (p; ^ t,

x _2,..., x _{n) =}

r (p; r _t, x

2,

x _n)

=tr#di

t[

[;,

;]

r".,:,

r' _-'

( -

ovz * p

-

!

r i - t

Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk p adalah sebagai berikut :

n

u

-!'

i#Blz(:,)lfl

zr'

-'

r -

"'

. _o

-

zt'

"

o _o

i#fi[u[;';P

.

E''

-'

u

- oY'.

o -

f;''

oo

1

,*

!xi+l-t

^

n

!

o i"=t'

( -

pY'*

B-,2=rr, -' dp

_0

1 a+\xi-l

^

n

!

o

i'='t'

(1- PY'* P- ,Z=,,r'

-'dP

0

n

a

+lx1

-

i=l

n2

+a+

p

o

*!^,

Jadi estimator Bayes untuk p

adalah

u

_'='

n'

+a + _B

3. Distribusi Binomial Negatif

Misal

X1,X2,.".,Xn sampel acak

dari

populasi yang berdistribusi Binomial Negatif dengan parameter p dapat dituliskan sebagai berikut :

x1

-

BN(,

p)o

r(,,1p)=

(i'

:r')n

l-

pyi-',

i = 1,

2,,

n

Distribusi Prior

untuk

X'

-eN|,p),

i =

1,2,

..., n adalah p-BETA(a,B).

Seningga

fungsi peluang dari distribusi priornya adalah sebagai berikut:

nb)=ffir*'(-

pY-',

o.p<1

Fungsi likelihood :

r(x1,

x2,,

_{x, tr)=}

fi

[X,--r,)r,

o _ p)*i

-,

7

=

[g[X:;')]"'

(

- o)L-r'

-

*

Fungsi peluang bersama dari X1,

Xz,...,X,

dan p adalah : t (p', x _1, x _2,..., x

r)

₌

"bY

6,t, X 2,..., X s1 lp),

rrt,

r (14 x ₁ x

2,

x

)

=

berikut:

1n

I pnr

+u-t

(,

-

p)9*,f

x _i

-

_{nr -1 6o}

0

nr+a

n

o+B+

fx;

i=1

Jadi estimator Bayes untukp

adalah

nr

+1

a+B+lx1

i ='l

4. Distribusi Geometrik

Misal

X,1,X2,...,Xn sampel acak

dari

populasi yang berdistribusi Geometri dengan parameter p dapat dltuliskan sebagai berikut :

X

i'-

GEo(pl<> f(x,lp)=

p(-

pYi -1, _{i =} 1, 2, ..., n.

Distribusi Prior

untuk

Xi*GEO{p),

i= t,2,

...,

n

adalah p-BETA(u,B).

Seningga

fungsi peluang dari distribusi priomya adalah sebagai berikut:

u(p)=ffix-'(-

pY-',

o<p<1

Fungsi likelihood :

f(<1 x2,..., x, _lp)=

flp(r

-

p)*,

-r

₌ p,

( -

rf;'

-,

i=1

Fungsi peluang bersama dari X1X2,...,Xn dan p adalah .

f (p', x _{1, x2,...,}

x,

₎ =

"(pYQ

t, x 2,...,

x,

lp), maka

r(p; x ₁ x2,...x,) =

#;#on

+a'1 (1

-

oy

Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk p adalah sebagai berikut :

b=

lrffion

+u -1

(

-

rY

+ f,-xi - n -t 6o

i#fr,

n+.,-1

(

-

pY *

i

xi -n -t 6o

1on*.,*1-1(r

_

oy.

lf

-n-1 dp

n

1'n *" -r

( -

oY.,2=;i -

n _-1

dP

0

_

n+a

n

a+B+lx1

i=1

Jadi estimator Bayes untuk p adalah

o*

p*!^1

i=1

5. Distribusi Poisson

Misal

X1,X2,...,Xs1 sampel acak

dari

populasi yang berdistribusi Poisson dengan parameter L dapat dituliskan sebagai berikut :

xi

*

Pot(x)er(x,lt)=+,

i=

_{1,2, ...,} n.

Distribusi Prior

untuk Xi -PO\A),

i=

1,2,

..-, n adalah

1-Gamma(",8)

Sehingga

fungsi peluang dari distribusi priornya addlah sebagai berikut :

o(A\=fi1^f

t"-*,

)">a

Fungsi likelihood :

9,*,

e_nA )j =1

f[,,1

i=1

..,Xn

dan

1adalah:

n+d

r(71,x2,..,x,l^)-E+=

Fungsi peluang bersama dari X1, X2,.

f (2', x _1, x _2,. . .,

^

r)

= "@Y 6 1,

x _2,.. ., x _nl,t

),

mata

a*9x,-t

' i"='t'

"-a(n+a) f(A;x1,x2,...xr1=

Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk 2 adalah sebagai berikut :

"-e{n*o)6X.

T^

o

"l

f.Ei'-'

r(P)f[x,t

^ I=l

n" s

P*!xi-t

1 o'

.1,

,-=t'

"-t(n+a)6tr Jn

o

r(P)f{x;t

i=1

*

p+\xi+1-1

J

t'

i=1

"-t"{n+o)67

=!

_n

a

0+T.xi-'l

I

i

F:'

_"-s'(n+a)62

0

F

*L*i

=

----.1=1-

n+a

n

[image:10.612.150.470.474.742.2]

F

+Zxi

Jadi estimator Bayes untuk 2 adalah

-;#

Tabel. Hubungan antara estimator Bayes dengan estimator klasik pada distribusi peluang

'

diskret yang khusus

Nama Distribusi Estimator Bayes a _B Estimator Klasik

dari MLE

Bernoulli

n a

+lxi

n+a+

_B

0 0 n

Z*i

i=1 n Binomial n

a

+lx;

;1

7.".8

0 0

Z*'

i=1 n2 Binomial Negatif

nr+a

n

a+

B+lxi

i_1 0 0 nr n

I,,

i=1 Geometrik

n+a

a+

B

+|,xi

;_1 0 0 n n

2,,

i=1 Poisson n

F

*Zx;

SIMPULAN

Estimator Bayes

pada

distribusi peluang diskret

yang

khusus mempunyai

hubungan dengan estimator klasik dari Maximum Likelihood Estimator (MLE) bila

c

= 0 dan

P=0.

DAFTAR PUSTAKA

Bain,

L.

J. &

Engelhardt,

M.

(1992). lntroduction

to

Probability

and

Mathematical Sfafisfrbs. Belmont Duxburry Press.

Berger,

J. O.

(1985)" Sfafisfibal Decision Theory and Bayesian Analysis- New York: Springer-Verlag.

Elfessi,

A.

&

Reineke, D.

M.

(2001).

"A

Bayesian Look

at

Classical Estimation The ExponentialDistribution," Journalof Sfafisfics Education, _{[Online],9(1).}

(http ://www, amstat. orq/publ ications/ise-/vg-n :l lelfeqsi. htFl )

Hogg, R. V. & Tanis, E.

A.

(2001). Probability

and

Statistical lnference. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.

lriawan, N. (2003). ModulWorkshop Pemodelan Data dengan Markov Chain Monte Carlo {MCMC) menggunakan WINSBUG 1.2. $urabaya: Jurusan Statistika FMIPA lTS.