2003 Aplikasi Deret Tak Hingga Pada Distribusi Peluang Diskret yang Khusus

.{PLIIL{SI DERIT

T-{I\

Hf\rc-{

P.{D.{

DISTRIBLSI PELI-"{.\G DISKRET

}'A\G

KHLSLS')

Kismiantini

dan Himmarvati P.L. Jurusan Pendidikan Matematika

FMIPA LINY

Abstrak

Tulisan

ini

membahas penggunaan deret tak hingga pada distribusi peluang

diskret yang khusus. Deret tak hingga digunakan dalam menunjukkan suatu fungsi merupakan fungsi peluang.

Di

samping

itu

juga digunakan

untuk mencari

mean,

variansi,

dan fungsi

pembangkit momen

dari

distribusi

peluang

diskret

yang khusus yang mempunyai

nilai

x

sampai

takhingga.

Kata

kunci

: deret tak hingga, distribusi peluang diskret

PEI{DAHULUAN

Tulisan

ini

akan membahas tentang penerapan deret

tak

hingga pada bidang statistika, i

aitu

pada

distribusi

peluang

diskret

yang khusus. Pada

buku-buku

Statistika Matematis yang

:itumpai,

pembuktian pada fungsi peluang, mean,variansi, dan fungsi pembangkit momen pada suaru

distribusi

peluang diskret yang khusus sering

tidak

ditunjukkan.

Pada

distribusi

peluang

:iskret

yang khusus dengan nilai _"r mendekati tak hingga, deret tak hingga dapat digunakan untuk :nenunjukkan suatu fungsi merupakan fungsi peluang, serta

untuk

mencari mean, variansi dan lungsi pembangkit momennya. Tulisan

ini

akan menjelaskan hal tersebut.

Sebelum membahas penggunaan deret

tak

hingga pada

distribusi

peluang diskret yang khusus,

terlebih

dahulu akan

disajikan

pengertian deret

tak

hingga dan peluang serta beberapa konsep dasarnya.

Definisi

I

(Stewart, 1987)

Suatu deret tak hingga adalahjumlahan sebanyak tak hingga bilangan-bilangan

ar+

a2 + a3 + aq

*...

Jumlahan dari n suku pertama suatu deret tak hingga disebut

jumlahanparsial

ke-n dan dinotasikan S,, yaitu

Sn ₌ ar + a2 + at

*

...+

a*

=fa,

i=1

\{akalah ini diseminarkan dalam Seminar Nasional Hasil Penelitian MIPA dan Pendidikan MIPA pada tanggal28

Etff-ts&hragEndm

E

il frQlr

fitar&a

*

-lt

huga

yang

ahn

diguaakan

h--.

L llahi

Ilapbabcd o+u+d

+o'+aro

+-..

IH

iri tmqgen

jfta

dar

hanya

jika

l"l

.

f dengan Limit

.o

l*r

Ibo:

I .ltn

s*rsutmya

berupa variabel, makaderetnya dapatditulis sebagai berikut :

I

f(x):=i-:

l+-r+

x'

+

x'

+ xa

+...

-

l--r

Jile

euflr)= +

diturunkan maka diperoleh deret baru, yaitu :

I--r

-

f

-

=l+2x+3x2

+4x3

+...

(r-#

fite

flx)=l-

' \ ' l-x

at*o*an

lagi maka diperoleh deret

=1+3x+6x2

+10x3

+...

(r-rf

L

Deret Taylor

fungsifir)

di

sekitar

titik

a

* f(k)(a\

f(,):Z;(*-a)o

k=A

Deret Taylor di

x:0

untuk

f

(x)

₌

e'

akafimenjadi deret Maclaurin,

yaitu

:

e'=l*!**L*,

+!*,

+...

1! 21

3!

Jilru

f(x)=(t+r)r

maka ekspansi deret Taylor tungsi

ini

adalah (r

+r),

=t+

L

x

*

#;

*

P(P

*tk

-

z),r.

+...

Jikax

diganti

-x

danp diganti

*pmakadidapatkan

deret

,l .

=1a!-**(p*l)p

*z

*(p+zY,p+l)p

*3

*...

Pada deret

di

atas

jikap

2t

3l

:

r+2

maka deretnya menjadi

=

1*?

+2)

*

*('

+3\'

+ 2)

*,

*

Q*.Y

"',

&{frFl*fagiry+66k6

tfu ffi

ffi

htk

pg

bcrtdm

dcnrn

rra

IEfl

-rri-pgh

ff

Hqera

hitrmya

dengan adanya

II mot - kofu fi Eh

troecs

mk

mernbanglritkan data.

Hasil

dari

suatu

p&a fi*

dalu

berry

hlilgm,

cmtohrr5na ndetah :

l-

Pde pdamhmgm

mda

_{uang logam setimbang sebanyak}

3

kali,jika

_yang

diamati

_adalah

tm5atnSa

sisi B yang muncul.

L

ltda

sranr percobaan untuk mengetahui

jenis

golongan daruhpada manusia.

tht

mempermuaan

dahm

menganalisis

hasil

percobaan

tersebut

maka perlu

dilakukan

ptcri:m

nilai

real pada hasil percobaan tersebut. Pemberian

nilaireallskor

_{inilah yang disebut}

*t'i

mendefinisikan _{peubah acak.}

E

sampel (S) adalah himpunan seluruh hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

J*a

X

adalah suatu peubah acak

dt manaX:

S-+

n

{X

suatu fungs

i

dan,S ke

fr),

maka XIS)

:

{renl

X$)

:

x,

xcS},

adalah himpunan seluruh hasil yang

mungkin

daf, X,sedangkan

x

qmtan

nrlai

vaiabel

X.

fite

x(s):

IDUBAE

ACAK DISKRET

MsalXsuatu

peubah acak diskret.

Ifcfinisi

2

(Bain&

Engelhardt,

l99Z)

Fungsi/:

fr

-+

_[0,1J

denganflx)

:

P(X:

-r) disebut sebagai fungsi peluang dari peubah

uk

diskret

X

jikamemenuhi

:

1)

0<

f(*)<1

2)

Zf

_@)

=t

Dcfinisi

3 (Bain

&Engelhardt,1992)

lika X

_{merupakan peubah acak diskret dengan}

fungsi peluangflx)

_maka

nilai

_harapan

untuk

X

adalah

Definisi

4 (Bain

&

Engelhardt, T992)

Variansi

dari

suatu peubah

acakX

adalah

Yar(x)=

ut@

-

z(xD')

Teorema

I

JikaXsuatu

peubah acak

maka

rtar(x)=

s(x')-(u(*)Y

Bukti

:

var(x)=

u(8

-

s!1f)

=

E(x'

-2x

E(x)-(E(x))')

=

r(x')

-

z

r(x)a(x)

*

{z(x)Y

=

r(x')

*

z(r(x))'

+

(z(x))'

=

E(x')-(u(r))'

Definisi

5 (Bain

&

Engelhardt, 1992)

JikaXsuatu

peubah acak maka

nilai

harapan

untukX

adalah

M-k)

:

4r*

₎

MrQ)

disebut sebagai fungsi pembangkit momen

dariX jlkanilai

harapanadauntuk setiap

nilai

t

dengan*h

<t<

h,

h>

0.

Distribusi peluang yang khusus pada peubah acak diskret adalah:

a)

Seragam

b)

Bernoulli

c)

Binomial

d)

Poisson

e)

Geometrik

0

Binomial

Negatif

g)

Hipergeometrik

Pada makalah

ini

akan dibahas penggunaan deret tak hingga pada distribusi peluang diskret khusus dengan

nilai

x

yang

diamati

adalah

nilai

x

yang

mendekati tak

hingga,

yaitu

yang

terdapat pada distribusi Poisson, Geometrik dan Binomial Negatif.

Percobaan

Bernoulli

DISTRIBUSI

PIDISS'ON

Jika

percobaan

Bernoulli diulang

sebanyak

n kali

dengan peluang sukses

untuk

setiap percobaan

itu

tetap.

Xpeubah

acakyangmerryatakan banyaknya sukses pada percobaan tersebut

dimanap

mendekati nol dan n mendekati tak hingga (besar) dengan .2, ₌

np,

maka

-) tt

X

-

PO4X)o

r\ /

fG)-9-!-,x=

0,1,

2,3,...

xl

Fmgsifl;r)

disebut fungsi peluang dari peubah

acakXdiskret

jika

memenuhi kedua syarat fungsi

peluang.

a)

Untuk syarat yang pertama jelas bahwa A <

f

_@)

sl

b)

Akan

diselidiki

apakah

Zf

_@) =

t

zx*>:i/(,)

_{r x=A}

-*

,-^

1.

'L/

r=o

xl

-)

e-^

),

e- ^

,l'

e-^ A'

-"'"* tt *

Zt

* g

*...

-,(-

).

x'

t

)

=e'"1

l+-+-+-+...

I

[1!2t

3!

)

= e-) -el

-l

e-^

ff

lrdi f(x)=:----::-

,x:0,l,2,...adalahsuatufungsipeluangpadapeubahacakXdiskret.

Xt

Sclanjutny

a

akandicari

g(x),

a(x'\vor(x),

M

rk)

f(x):

Ir/(r)

a -.), cx

=l*'

_{l-) --l}

n

s0 n:

=0+l.u

'4

*2.u-^t

*3.u-^t

*4.u-^tr^

*...

11

2t

3!

4t

:

e-t.L*Z.n-^

fr

*V.u-^

fr

*

4.r-^1'

*

-..

v.tt 7.2)

4.31

- )

^

e-^

tr'

e-^

.tr)

e-^ 1o

=€

"/t"

r!

+-+-+.,.

2t

3l

/^),2).3)

:r-^All+L+-+-+

|

I r! 2! 3!

)

-la ).

:g 1.e _7

4nFar(rqlpE(rl

Elx(x

-r)=I'6-t)rE)

:i,G

-i"-';{

-7 a2 -7 c3

21

3l

:2e-1fr

*6.n-^t

*12.r,^1o

+2a.

2.1t 3.2.11

4.3.21

-i

^1 e-'1'

e-^,Lo

e-'

trt

:€

"tL'

|

-+-+-+.,.

l!

21

3l

tl _{^ ^) ^1} \

=e-tX2ll*L+'L-

*L*

|

Ir!2t3!)

-^ _)? .e^

@ _{-)tn x}

5:

_ID 61

e

l\"

Lt _vl

x=O

-_

e-x

*

,,

,-L?"

*

uz,

tf

*

"r,

,-^f

*

...

1!

2t

3t

=u_rlr*(,,^)*W.Ad.

1

[,,2t3!)

-7t

ettt

=g

e

x(r'-.r)

=e \

)

l*

e(x)

:

5",

r(x')

₌

).' *

).,Var(X)

₌

x,

M

*Q)

:

"t"("'

-)

e-^ 1o

-+)

4l

e-^.Lt

-+...

s.4.31

e-^ .Lt

_+...

s!

:g

-t

rrrt)

--

r\r'')

4x')=

t

+.1

rcz{x):

s(x')-(u{*)y

=.1? +

).*

t

=

)..

frr*fl

d 1;-Ir

lqEr pU

Mli

dqru

pelumg

&p4i*ilfl*13F-,*

x

-

Cfrflpl

a

flrl:

p{t- pY,

r

:

t+2,3-..

Ed;f,r)

ilfoch

fugsi

pdumg

dad pflrbah acak

Xdisket jika

memenuhi kedua syarat fungsi

*,

e)

thrk

qarat

yangpertamajelas bahwa 0 <

/(x)

< 1

b)

Ah

diselidiki

ayakah

Z f

b)

:

t

I/k)=

_r:l

Iaa

=

ir(t

-

pY

-1

=

p+

p(r-

p)+

p0-

d'

+

p0-

p)'

+...

(

:

p

[ +(r-

p)+0-

d'

+(r-p)'

+.

.]

1

=

p.t4:A

I

-

p.-p

-l

.5

flr)=

p0-

p)'-'

,

x =l,2,3,...adalahsuatu

fungsi peluang pada peubah

acakXdiskret.

gnrnva

_akan

dicari

r(x),

a{x'\ttar(x),

M

rQ)

4xl=1'rG)

:L*oQ-p)"'

r-l

:

p

*zdt-

p)#p\-

pY

*

qp$- p)'

*

...

:

p**2Q-

p\+t!-

p)' +4(1-p)'*...)

1

(t

-

p)'

1

=P.

,

p-_1

culr-l)=T{r-tY1rl

=i{.-

rlplr- pfu

t=i

=o+2Ar-

pl+3.Lp{t-

pY

+43.p(t-

pf

+s.a

dr-

pY

*...

=2plr-r[+3(r-

d*4r-

pY

*ro(r-

oY *...1

=7At-p+

-r\- ''(l-(t-p)I

=2pU

-

pl\

p'

_

:0

-_p)

p

gtr':

l=

r(x(x-r)*

E(x)-z(

-p)*1=

2-2p-+

p

=2-

p

'/ \/

p'

P

p'

p'

;''r.r

l=

e(x')-(r(r)'

-\

=2-uP-[+l'

=2*

p.-t

=!:-L

p' \P)

p'

p'

l/,

(r

)=

E("-

)

:1'"

f(')

=i""

p(t-

p).-'

-l

-

_"'

p

+ e''

p(l-

p)*

"t'p(l-

p)'

*

uo'

p0-

p)'

*...

=pe'[*r'(r

-p)*G'0-p)Y

*Q'1-of

.

]

:pe,C*e

_

pu'

- t-(t

-

pk'

J.d

E(x)

-

t

,

u(*')='--:

,var(x)-t-l ,M.,(r)-

,Pn'

.

p r- , p,

r

'*.\-

p-

l_(_

py,

IXSTRIBUSI

BINOMIAL

N-EGATIF

Jika

percobaan

Bemoulli

dengan peluang sukses

untuk

setiap percobaan adalah

p.

X

Fubah

acakyangmenyatakan banyaknya percobaan sampai diperoleh

r

sukses, maka

x

-

nr(r,p)o

f(*)=['-]lr't,

'

- p)*-',

x=r,r+t,r+2,...

[,

-

_-t

t

t)

--tfl

dfejfr

di

bela

syud

fingsi

fhtq-;rEibEno</(r)<t

rblfli.rEf.f$l:t

z,ful

FJ

:ff-l)"o-pY-'

:r'

*(l-,)r'o

-^-(::iy'Q-

p)'

.(::?)r'o-

p)'

*

=p'*ffip'{t-d*ffi

9*!ro'6-

pY

*!Ao'Q-

p)'

*

:t(,

-

t)

rt_

:

o'.[,.ffi0

-

d*q##

(r-

p)'.

t'.zx'.rlt','lt'-'r

.

}

:

r'

{r.;(r

-

u).ff1-

p)'

.!.+-!(t-r)'

.

}

_-7

I

-u

'

--(t

-(t-

p))'

rl

=P'

r

p

-l

Ai=(:-i)r'O

-p)'-',

*=/,r+t,r+Z,...adalah

suatu

tungsi

peluang pada

peubah

Xdiskret.

l-e(x):Z.fG)

-,p'

+(r

+,{; _,)r't,

-

p)*r,.

rti:'r)n

(r- p)'

*

)d4r'0-

p)*(,

*r)#*t(t-

p)'

*

.,),,+

o

-

p)

*

t,

.

rtt#fo

-

p)'

-rp'+(r+

:

r'{,

*g

:

,'{,

*U

*t)i(t-

p)*(,.rl*Q-

,)'

*

}

(r

+2\r +t)

(r-

p)'

p'Q-

p)*-'

x

=

s,[,

a lr-1

-,

-f=/ \

{,"+$-p)*

1

:

(r +

r),p'(r-

,{,

*k:2

o'1-

d*

=(r+

1)rp'Q-r)G#f.

.)

:

p'r

=

p'r

r

p

.)

2l

(t-(1

- p)Y*'

rr

P

r

r+l

ef,r(x-r)=

lr(x

-r)f{.)

=

i,(,

-,{:_i)r'fr-

pY-'

=

0+(r.,{l

-r)o'0*

r)+(r+

,yr(;:i)r'|-

pY+(r+

,4;:?)r'(r-pI

*

=

b

l)ffir,

{ -

p)

*

(,

.

ryr#+

_{p, $}

-

py. (,.

rFffi

_{p, 0}

* p,f

*

= (r +

r),p'Q-

p)*(,.r9{.

p'(-

pf

+(r

+3)

(r

+2\r

+1 2l

p'Q-

pY

(r

+t\r

+z)r

-

pl

*...

Lo,Q

.)

2l

=(r

+t)rp'Q-

r)V,

p'

=

(r+tlr(t-p)

flxlx

-'))

=

u(*')-

,r(r\

d.r2

1_1r-tl7t-d+rL=

p'P

,'ulx)=r{*')-tut

lY

t:;Y-(;)'

₌

1

r-

+r-r'p-rp+r'p

1

tlu

r

)

r-

+r-rp

p'

='(l-

p)

p'

r-rp

p'

,.t

.lrl=

E{u*

)

:1'"

f(')

*

/-_t\

=

I'"[;

-

')o'

tu

-

P).-'

-

"'

p'

*

r'*'-'(',

-r)o'

0

- p)*

"'('o(;l

fr'tt

- p)'

*

. .

=

u',"{r*,'ffi1-

p)*r''

*i+.0-r)'.

}

=

o'""1r*"'ffi(r-p)n

,"k7*k:!fr-

d'

.

\

=

r,'""{t*ib,o-

o))*r';:,

(,,rt-

o)y

.

}

=

p'eo

t-t,

-

pY'\'

(

pr' )'

=I.I:;trJ

It

r(r')

=

i.

u(*')Lf-,

rar(x)

=

ry,

M,0)

:

(:-r'

sfu?t

LAN

Fungsi peluang

dari

peubah acak

diskret

mempunyai

kaitan

dengan deret

tak

hingga.

ket

tak hingga

dapat digunakan

untuk menunjukkan

apakah suatu

fungsi

merupakan fungsi

Fllang

atau bukan. Deret tak hingga

juga

memegang peran dalam mencari mean, variansi, dan

E

pembangkit momen suatu distribusi peluang diskret yang khusus, yaitu distribusi peluang

r&E

memiliki nilai

x

sampai

tak

hingga.

Distribusi

_{peluang yang dimaksud adalah distribusi}

ARPUSTAKA

L-J-

&

Engelhardt,

M.

(1992).

Introduction

to

probability

and mathematiccl

statistics.

Beknont

DuxburryPress.

RV. &

Tanis,

E.A.

(2001).

Probabitity

and

statistical

inference. Upper Saddle River, NJ: Prentice

Hall.

in,

L.

J. (1996). Calculus

and

its applications. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.

J. (1987). Calculus. Belmont: Brooks/Cole Pubtishing Company.

---'I

lt*

(0

{f)

o)

t-(t) flI .E ru TL fi, cf)

c)

o

C! .E

)

-@

$t

(E t-s t

'\l

\l

B(

s'

\

!

s

_s t\

.S

trs

=S

;S

q%

E

E

$

:Es

to

PG

EE

_

=g

f{,

fl

*s:

;gsssgglg

&

ro

s

qE$*PEEs

z

*EN,

**

EE

N

HF

zs

g

FP

€

.=

r!

(u

F.S

o-6E

(,)E\

;

E

g

c

{U

(,l

c

()

E

S

E

$

%

=

5

z

J -J

EEf;

itr-Ei=

nu4

rt!

=trf

urClE

?frfr

#==

o-a

f,

J

3

Y

IL

*.I

(a

I

\t

(f)

o

(a

z

3

TL

=

IL

3

-l-tE

o

o)

o

3r,il.

j