MA5283 STATISTIKA Bab 2 Peluang

(1)

Silabus dan Tujuan Ilustrasi Konsep Peluang Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes

MA5283 STATISTIKA

Bab 2 Peluang

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

(2)

Silabus dan Tujuan

Ilustrasi Konsep Peluang Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes

Silabus

Ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peluang bersyarat, Teorema Bayes.

(3)

Silabus dan Tujuan

Ilustrasi Konsep Peluang Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes

Tujuan

1 Mendefinisikan ruang sampel dan kejadian

2 _{Menghitung peluang suatu kejadian}

3 _{Menghitung peluang bersyarat suatu kejadian}

4 Memanfaatkan Teorema Bayes untuk menghitung peluang

(4)

Silabus dan Tujuan

Ilustrasi

Konsep Peluang Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes

Ilustrasi

Ilustrasi-1. Tanti baru saja mengikuti tes mata. Ia masih teringat beberapa huruf yang muncul: A-E-M-R-S. Kini, Tanti mencoba menyusun kata-kata yang mungkin dari huruf-huruf tersebut.

(5)

Silabus dan Tujuan

Ilustrasi

Ilustrasi-2. Hanin bermaksud menyumbangkan darahnya di suatu tempat donor. Hanin terlebih dahulu harus dicek golongan darahnya.

Golongan darah yang mungkin untuk Hanin adalah...

Rupanya Hanin tidak sendirian. Ada Hana dan Hanan disana yang memiliki maksud yang sama dengan Hanin. Jika seorang diantara mereka dipilih secara acak menjadi pendonor, berapa peluang orang yang terpilih adalah Hana?

Jika, diantara mereka bertiga, Hanan terpilih menjadi pendonor, berapa peluang golongan darah Hanan adalah B?

(6)

Silabus dan Tujuan

Ilustrasi

Ilustrasi-3. B dan G pergi berburu dengan cara menembak. Pada waktu yang disepakati, B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B) mengenai sasaran adalah 0.4.

Berapa peluang sebuah tembakan mengenai sasaran? Berapa peluang sasaran tertembak?

(7)

Silabus dan Tujuan

Ilustrasi

Ilustrasi-4. “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku”

(8)

Silabus dan Tujuan Ilustrasi

Konsep Peluang

Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes

Definisi

Aksioma dan Sifat Peluang Latihan dan Solusi

Definisi

Ruang sampel, S , adalah himpunan semua hasil mungkin dari suatu percobaan. Kejadian, E , adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian, P(E ), adalah rasio dari

banyaknya titik kejadian dan ruang sampel, atau

P(E ) = n(E )

n(S ),

dimana n(E ) dan n(S ), berturut-turut, adalah banyaknya titik kejadian dan ruang sampel.

(9)

Konsep Peluang

Definisi

Aksioma dan Sifat Peluang

Latihan dan Solusi

Aksioma dan Sifat-sifat peluang:

1 0 ≤ P(E ) ≤ 1

2 P({}) = 0

3 P(S ) = 1

4 _{Untuk kejadian A dan B,}

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

5 Jika kejadian A dan B saling asing maka P(A ∩ B) = 0

6 Kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika

(10)

Konsep Peluang

Definisi

Latihan dan Solusi

Definisi peluang yang lain merujuk pada frekuensi relatif. Misalkan suatu percobaan dengan ruang sampel S diulang-ulang. Misalkan n(E ) banyaknya kejadian E yang terjadi selama n pengulangan. Peluang kejadian E adalah

P(E ) = lim

n→∞

n(E ) n

(11)

Konsep Peluang

Definisi

Latihan dan Solusi

LATIHAN:

(12)

Konsep Peluang

Definisi

Latihan dan Solusi

Solusi: Ilustrasi-1

SERAM(√), MERAS (X ), SEMAR(X ),

(13)

Konsep Peluang

Definisi

Latihan dan Solusi

Solusi: Ilustrasi-3

Misalkan B kejadian B menembak sasaran Misalkan G kejadian G menembak sasaran

Misalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaran Misalkan S kejadian sasaran tertembak

P(T ) = P(G ∩ Bc) + P(B ∩ Gc)

= (0.4)(0.3) + (0.7)(0.6)

P(S ) = 1 − P(Gc∩ Bc)

(14)

Konsep Peluang

Definisi

Latihan dan Solusi

Latihan

1. Lima orang siswa meletakkan tasnya masing-masing ketika

memasuki perpustakaan. Kemudian, ketika mereka keluar dari perpustakaan mereka mengambil tasnya secara acak tanpa memperhatikan apakah tas yang diambil adalah benar-benar miliknya. Apakah ruang sampel “percobaan” diatas?

(15)

Konsep Peluang

Definisi

Latihan dan Solusi

2. Dalam suatu rapat yang terdiri dari 20 orang, setiap orang

berjabatan tangan dengan orang lain diakhir rapat. Ada berapa banyak jumlah ’salaman’ yang terjadi?

(16)

Konsep Peluang

Definisi

Latihan dan Solusi

3. Sebuah lift bergerak dari lantai dasar berisi 8 orang (tidak

termasuk operator lift) dan orang-orang tersebut akan keluar hingga lift mencapai lantai paling tinggi yaitu lantai 6. Dalam berapa cara sang operator dapat mengenali orang-orang yang keluar dari lift jika semuanya nampak mirip bagi sang

operator? Bagaimana jika 8 orang tersebut terdiri atas 5 pria dan 3 wanita dan sang operator membedakan pria dan wanita?

(17)

Konsep Peluang

Definisi

Latihan dan Solusi

4. Setiap pagi Swarna meninggalkan rumahnya untuk berlari

pagi. Swarna pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah Swarna memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang, Swarna akan masuk lewat pintu atau belakang dan

meletakkan sepatunya dengan pelung sama. Jika dia memiliki 4 pasang sepatu olah raga, akan dihitung berapa peluang Swarna akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki. Pertanyaan awal, tentukan ruang sampelnya!

(18)

Konsep Peluang

Definisi

Latihan dan Solusi

5. Bapak Kepala Sekolah mengundang guru-guru yang memiliki

setidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran. Seorang guru yang bernama Pak Jaim memiliki dua anak. Kita akan menghitung peluang bahwa kedua anak Pak Jaim adalah laki-laki, diberikan bahwa Pak Jaim diundang ke acara syukuran tersebut. Pertanyaan awal adalah apa ruang sampel “percobaan” diatas?

(19)

Konsep Peluang

Definisi

Latihan dan Solusi

Distribusi Frekuensi versus Peluang

Pandang distribusi frekuensi tentang Daerah Asal Peserta Lomba IMO:

Daerah Asal Jumlah Peserta Prosentase

Sumatera 20

Jawa Barat dan DKI 35

Jawa Timur dan Bali 27

Kalimantan dan Sulawesi 14

(20)

Silabus dan Tujuan Ilustrasi Konsep Peluang

Ilustrasi

Definisi Teorema Bayes Latihan dan Solusi

Ilustrasi

Ilustrasi-1. Pandang Ilustrasi-3 diatas.

Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tembakan G?

Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan mengenai sasaran?

Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenai sasaran?

(21)

Ilustrasi

Definisi Teorema Bayes Latihan dan Solusi

Ilustrasi-2. Seorang praktikan, Ega, tahu bahwa sebuah lembar kerja praktikum akan berada di salah satu dari tiga buah kotak

surat lab yang ada. Misalkan pi adalah peluang bahwa Ega akan

menemukan lembar kerja praktikum setelah mengecek kotak surat lab i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat lab i , i = 1, 2, 3.

Misalkan Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat. Berapa peluang hal itu akan terjadi?

Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1?

(22)

Ilustrasi

Definisi

Teorema Bayes Latihan dan Solusi

Definisi

Peluang kejadian A, apabila kejadian B telah terjadi, adalah peluang bersyarat P(A|B) yaitu:

P(A|B) = P(A ∩ B

P(B) ,

asalkan P(B) > 0. Jelas bahwa jika kejadian A dan B saling bebas maka P(A|B) = P(A).

(23)

Ilustrasi

Definisi

Teorema Bayes Latihan dan Solusi

Peluang total:

(24)

Ilustrasi Definisi

Teorema Bayes

Latihan dan Solusi

Teorema Bayes

TEOREMA BAYES:

Misalkan {B1, B2, . . . , Bn} adalah partisi dari ruang sampel dan

misalkan A adalah kejadian yang terobservasi. Peluang kejadian Bj

diberikan A adalah P(Bj|A) = P(A Bj) P(A) = PnP(A|Bj) P(Bj) i =1 P(A|Bi) P(Bi)

(25)

Ilustrasi Definisi Teorema Bayes

Latihan dan Solusi

Latihan

LATIHAN:

1 Kerjakan ilustrasi-ilustrasi diatas

2 Tes darah di suatu laboratorium akan 95% efektif dalam

mendeteksi suatu penyakit tertentu jika penyakit itu ada. Namun demikian, tes tersebut juga memberikan ’hasil positif yang salah’ pada 1% orang sehat yang dites. Jika 0.5% dari populasi mengidap penyakit tertentu tersebut, tentukan peluang bahwa seseorang menderita penyakit itu jika hasil tes positif?