APLIKASI DISTRIBUSI LOGNORMAL DALAM STATISTIKA. Abu Syafik Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.

(1)

APLIKASI DISTRIBUSI LOGNORMAL DALAM STATISTIKA

Abu Syafik

Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo

Abstrak

Salah satu distribusi yang penting dan banyak digunakan dalam statistika adalah distribusi normal. Karena distribusi normal merupakan dasar dari statistika maka distribusi normal merupakan dasar hukum untuk semua distribusi peluang. Terutama distribusi peluang dengan peubah acak kontinu. Satu-satunya distribusi peluang dengan peubah acak kontinu yang mengikuti hukum distribusi normal adalah distribusi lognormal.

Distribusi Lognormal mengikuti hukum distribusi normal, karena distribusi lognormal diperoleh dari transformasi peubah acak pada fungsi densitas distribusi Normal.

Kata Kunci: distribusi normal, fungsi densitas, aplikasi

Pendahuluan

Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpul- an pengaturan, perhitungan, peng-gambaran dari penganalisisan data, serta penarikan kesimpulan dan pengambilan keputusan yang rasio-nal berdasarkan hasil arasio-nalisis yang dilakukan. Penerapan (aplikasi) statistika digunakan dalam berbagai bidang seperti ilmu fisika, ilmu teknik, perdagangan atau usaha, ilmu kesehatan dan biologi, ilmu sosial dan pendidikan.

Dalam penerapan statistika digunakan berbagai metode statistika sesuai dengan kebutuhan. Salah satu metode statistika yang diguna-kan adalah distribusi peluang. Pada Statistika Matematika1 telah dipela-jari beberapa distribusi peluang khusus yang penting baik distribusi peluang dengan peubah acak diskrit maupun distribusi peluang dengan peubah acak kontinu. Salah satu distribusi peluang dengan peubah

(2)

acak kon-tinu adalah distribusi normal.

Distribusi normal merupa-kan salah satu distribusi yang penting dan banyak digunakan. Karena distribusi normal merupakan hukum peluang untuk distribusi peluang terutama. Distribusi peluang dengan peubah acak kontinu. Ada satu distribusi peluang dengan peubah acak kontinu yang mengikuti distribusi normal yaitu distribusi lognormal. Distribusi Lognormal

Distribusi lognormal dalam bentuk sederhana adalah fungsi densitas dari sebuah peubah acak yang logaritmanya mengikuti hu-kum distribusi normal.Adapun de-finisi dari distribusi lognormal ada-lah sebagai berikut :

Definisi 1:

Misalkan sebuah peubah acak X mempunyai ruang range atau daerah hasil Rx{x/0 x}dan Y = lnX mengikuti distribusi normal dengan rata-rata µ1dan varians 2

y

 .

Fungsi densitas dari peubah acak X didefinisikan sebagai : 2 1 2₎ 2 ( 2 1 ) (x _y f   _ _                                          0 , )² (ln 2 1 -exp ₂ x x y   = 0, x lainnya

Fungsi densitas pada definisi 1 diperoleh dari distribusi normal dengan mentransformasikan peu-bah acaknya. Berikut uraian bagai-mana fungsi distribusi lognormal diperoleh.

Misalkan X dan Y adalah dua buah peubah acak dengan Y mengikuti distribusi normal. Jika X = exp (Y) atau Y = ln X, maka distribusi peubah acak X diperoleh dengan mentransformasikan peu-bah acak Y = ln X, yaitu:

f(x) = g(y)

dx dx

dengan g(x) adalah fungsi densitas dari distribusi normal. Hubungan nilai y dari Y dengan x dari X diberikan dengan

(3)

y = ln x, maka sehingga x dx dy 1 = dx dx = x 1

maka fungsi densitas dari distribusi lognormal berbentuk: 2 1 2₎ 2 ( 2 1 ) (x _y f   _[ _(ln _)²_, _>₀_] 2 1 -exp ₂ x π x σy = 0 , x lainnya

Kita periksa bahwa f(x) yang dipe roleh merupakan fungsi densitas. (i) f (x) 0, untuk setiap x > 0 (ii) ∫_ f (x) dx =∫0-½(2 2 y σ )-½exp

[

- ₂ 2 1 y σ (lnx-y)²]dx Misal z = y y x    ln maka dx y x 1 dz   Batas-batas dalam z untuk x0, maka z  untuk x, maka z sehingga diperoleh



z



dx xp e dx x f 2 2 1 2 1 ) 2 ( ) ( 







       



z



dx xp e 2 2 1 0 2 1 ) 2 ( 2  



  

Kita ingat bahwa





 

2, 0 1 2 1 2 0   



 a du au xp e _a Maka



( ) 1     dx x f .

Jadi, fungsi (fx) pada definisi 1 merupakan fungsi densitas.

Kita akan menentukan pa-rameter dari besaran-besaran yang berkaitan dengan distribusi lognor-mal, seperti: rata-rata, varians, mo-dus, median, momen,ukuran kemi-ringan dan ukuran keruncingan. 1. Rata-rata dan Varian

Jika kita memperhatikan definisi 1,maka terdapat dua para- meter dan distribusi lognormal yaitu µy dan 2

y

σ . Rata-rata dan varians dari distribusi lognormal adalah

dx x xp e x dx x f x X E y y x y y    _ _             2 2 1 2 1₍₂ ₎ _(ln ₎ . ) ( . ) ( 2 2 1    

m

isal z = y σ μ x ln ,

(4)

maka dz = dx σ x y 1 x = exp ( σy z + µy) Batas-batas dalam z untuk x0, maka z  untuk x, maka z sehingga:

 

z dx z xp e X E x y y 2 2 1 exp ) 2 )( ( ) ( 2 1        



   



z



dx xp e _y y x ) (2 ) ( ) exp( 2 2 2 1 2 2 1 2 1        

_

   



2



2 1 exp _y _y x      

Sedangkan untuk memperoleh vari-ans kita perlu menghitung

dx x xp e x dx x f x X E y y x  _y    



       2 2 1 2 1 2 2 ) (ln ) 2 ( . ) ( . ) ( 2 2 1   _



z



dx xp e _y y x ) (2 ) ( ) exp( 2 2 2 1 2 2 1 2 1        



    misal z = y y σ μ x ln , maka dz = dx σ x y 1 x = exp ( σy z + µy) Batas-batas dalam z untuk x0, maka z  untuk x , maka z sehingga:



z



dx xp e z X E _y _y 2 2 1 2 2 1 ) 2 )( 2 2 exp( ) ( 



        



z z



dx xp e _y _y y y 2 2 2 2 1 2 ₍₂ ₎ ₍ ₄ ₄ ₎ 2 ) 2 exp( 2 1          

_

   



z



dx xp e _y y y 2 2 2 1 2 ₍₂ ₎ ₂ ₎ 2 ) 2 exp( 2 1        



    2 2 ) 2 exp(_y  _y  sehingga:







 

₂



2 2 1 2 2 2 2 ) exp( 2 2 exp ) ( ) ( ) ( y y y y x E X E X X Var            



2 2

 

exp( ) 1



exp 2 2 2 _ _ _ _ y y y x    

Apabila rata-rata dan varians dari Y dinyatakan dalam rata-rata dan varians dari X, maka dari



2 2

 

exp( ) 1



exp 2 2 2 _ _ _ _ y y y x     = 2 y π [exp( 2 y σ )-1] exp ( 2 y σ ) = 1 + x μ x σ 2 2 atau 2 y σ = ln 1 + x μ x σ 2 2 , dan dari µx = exp (µy + ½ 2 y σ )

(5)

ln µx = µy + ½ 2 y σ µy = ln µx - ½ 2 y σ µy = ln µx -½ ln 1 + x μ x σ 2 2 µy = ln µx - ½ ln 2 2 2₊ y y x μ σ μ µy = ln µx - ½ [ln ( 2 x μ + 2 x σ ) – ln 2 y μ ) µy = lnµx-½ [ln ( 2 x μ + 2 x σ )+ ½ln 2 x μ µy = 2 ln µx - ½ ln ( 2 x μ + 2 x σ ) µy = ln µx - ½ [ln ( 2 x μ + 2 x σ ) µy = ln 2 2 2 + x y x σ μ μ

2. Modus dari Median

Modus dari sebuah dis-tribusi didefinisikan sebagai nilai x yang mengakibatkan nilai fungsi kepadatan peluang f(x) mencapai maksimum.Nilai f (x) akan maksimum jika dan hanya jika f’(x) = 0. Dari definisi 1 kita tahu bahwa:



2



exp (ln ) , 0 ) ( 2 2 1 2 1 2 2 1     _ _   x x x f _x _y _y y   _ maka

 





                       _ _     2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ) ln 2 1 exp ) 2 ( 1 ) ln( ) (ln exp 2 1 ) (' 2 1 2 2 1 y y y y y y x x x x x x f y y        _ Karena f’ (x) = 0, maka

 





                       _ _   2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ) ln 2 1 exp ) 2 ( 1 ) ln( ) (ln exp 2 1 2 1 2 2 1 y y y y y y x x x x x y y        _ sehingga 2 y σ = [ln x - µy] atau ln x = - 2 y σ atau x = exp (µy- 2 y σ )

Jadi modus dari distri-busi lognormal terjadi pada:

x = exp (µy- 2

y σ )

Sedangkan median dari sebuah distribusi didefinisikan sebagai nilai x sedemikian sehingga (X 

x ) = P (X > x). Dari definisi 1 kita ketahui bahwa Y = ln X dengan rata-rata µy dari varians

2 y σ , sehingga: P (X x) = P (X > x) P (ln X ln x) = P (ln X > ln x) P (Y ln x) = P (Y > ln x) P Z 2 ln y y σ μ x =P Z> 2 ln y y σ μ x

(6)

Hal di atas akan terjadi jika hanya jika 2 ln y y σ μ x = 0

Sehingga ln x - µy = 0 atau x = exp (µy)

Jadi media dari distribusi lognormal terjadi pada x = exp (µy)

3. Momen

Nilai ekspektasi dari X (ditulis E(X) adalah momen kesatu sedangkan E (X) adalah rata-rata, maka rata-rata meru-pakan momen kesatu. Sehingga momen kesatu distribusi log-normal adalah :

µ1= exp (µy + ½ 2

y σ ) Nilai ekspektasi X² (ditulis E(X²)) merupakan momen ke-dua. Sehingga momen kedua dari distribusi lognormal adalah : µ2= exp (2µy + 2 2

y σ )

Nilai ekspektasi X3 (ditulis E (X3)) merupakan momen ketiga. Sehingga momen ketiga dari

distribusi lognormal ada-lah: µ3= exp (3µy +

2 9 ₂

y σ )

Secara umum momen ke-k: µk= exp (k1µy + ½ k² 2

y σ ) Sedangkan momen ketiga dan keempat sekitar rata-rata adalah µ3 = µ3 - 3 µ1.µ3 + 2(µ1)3 = exp (3µy + 2 9 ₂ y σ ) – 3





            _              _   2 2 2 2 1 2 1 exp 2 2 4 2 exp ) exp( y y y y y x                   _              _      _  2 2 2 2 3 3 exp 2 2 5 3 exp 3 ) 2 9 3 exp( y y y y y x      

 



exp exp 2



) 2 3 3 exp( 2 2 2       _  y y y x    

 



exp

3

3 exp

2 

)

2

1 exp(

2 2 3 2













_



y y y x





(7)

4. Ukuran Kemiringan

Untuk menentukan mo-del lengkungan kurva dari suatu distribusi ditinjau dari koefisien kemiringannya, kita harus meng-hitung dahulu koefisien kemi-ringan. Koefisien kemiringan diperoleh dengan menggunakan rumus:

1= 3 3

σ μ

dengan 1 : koefisien ketiga sekitar rata-rata

µ3: momen ketiga sekitar rata-rata

σ = simpangan baku

suatu distribusi Sehingga koefisien kemiringan distribusi lognormal adalah:

2 3 ]) 1 ) [exp( ( ) ] 1 ) 3 [exp( 3 ] 1 ) ([exp( ) ( 2 2 2 2 3 2 3 1            x y y 2 1 2 3 ] 1 -) [exp( 3 ] 1 ) [exp( 2 2 1 y y    

5. Ukuran Keruncingan (Kur-tosis)

Untuk menentukan ke-runcingan kurva dari suatu distribusi digunakan rumus:

2= 4 4 σ μ – 3 dengan 2 : koefisien keruncingan µ4: momen keempat sekitar rata-rata σ = simpangan baku

Sehingga koefisien keruncingan distribusi lognormal adalah:

] 1 -) [exp( 16 ] 1 ) [exp( 15 ] 1 -) [exp( 6 ] 1 ) [exp( 2 2 2 3 2 4 2 2 y y y y           

Grafik Distribusi Lognormal

Dari hasil perhitungan sebelumnya, seperti rata-rata modus, median, ukuran kemiringan dan ukuran keruncingan, maka grafik dari distribusi lognormal digambarkan sebagai berikut:

(8)

Contoh soal dan penyelesaian:

1. Misalkan x adalah peubah acak dengan Y = ln X yang meng-ikuti distribusi lognormal dengan rata-rata µy= 50 dan varians 2 y σ = 25. Tentukan:

a. Rata-rata, varians, modus, dan median dari peubah acak X b. P (x 10)21 Penyelesaian: a. µx= exp (µx+ 2 1 ₂ y σ ) = 1,39 x 1027 2 x σ =exp(2µy+ 2 y σ )[exp( 2 y σ )– 1] = 1,39 x 1085 Mo = exp (µy - σ2y ₎ = 7,20 x 1010 Me = exp (µy) = 5,18 x 1010 b. P (X) 1021) = P (ln X 1021) = P (Y 1021) = P (Z  5 50 1021 ) = P (Z - 0,33) = 0,3707

2. Buktikan jika X mempunyai distribusi lognormal dengan rata-rata dan varians 2

y

σ dan a,b beserta d adalah tiga buah konstanta dengan b = exp (d) maka W = b Xa mempunyai distribusi lognormal dan rata-rata (d + 2

y

σ ) dan varians (a² 2

y

σ ). Bukti:

Diketahui : X berdistribusi log-normal, maka :









                             ln , 0 2 1 exp 2 ) ( 2 2 2 1 2 2 1 _x _x x f y y y    W = bxa, maka X = a 1 b W f(x) Mo Me x x Gambar 2.

(9)

Hubungan nilai w dari W de-ngan x dari X diberikan dengan

x = a 1 b w , sehingga dw dx = ab 1 x = 1 a 1 b w Batas dalam w Untuk x > 0, maka w > 0. g(w) = f a 1 b w dw dx





a y a y y a b w ab b w b w 1 ln 2 1 exp 2 1 2 1 2 2 1 2 1                                

















































 2 1 2 2 2 1 2 2

ln

2

1 exp

2

1

y a y y

a

b

w

a

w



















_



















 2 2 2 2 1 2 2

ln

2

1 exp

2

1

y y y

a

b

w

a

w



















_



















 2 2 2 2 1 2 2

ln

2

1 exp

2

1

y y y

a

d

w

a

w







Jadi g(w) merupakan fungsi densitas dari distribusi lognor-mal dengan rata (d + aµy) dan varians (a² 2

y

σ ). Penutup

1. Definisi Distribusi Lognormal Misalkan sebuah peubah acak X mempunyai range atau dae-rah hasil Rx= {x0 < x < ~} dan Y = ln X mengikuti distribusi normal dengan rata-rata y dan varians

2 y

(10)

Fungsi densitas dari peubah acak X didefinisikan sebagai:



2



exp (ln ) , 0 ) ( 2 2 1 2 1 2 2 1     _ _   x x x f _x _y _y y   _ = 0 ,x lainnya 2. Rata-rata dan Varians distribusi

lognormal adalah: µx = exp (µx+ 2 1 ₂ y σ ) dan 2 x σ = exp(2µy+ 2 y σ )[exp( 2 y σ ) – 1] 3. Modus dan median distribusi

lognormal terjadi pada: x = exp (µy- 2

y

σ ) dan x = exp (µy)

4. Secara umum momen ke-k diberikan oleh: k= exp k.y+ 2 1 k² 2 y σ

5. Koefisien kemiringan distribusi lognormal adalah: 2 1 2 3 ] 1 -) [exp( 3 ] 1 ) [exp( 2 2 1 y y    

Koefisien keruncingan distri-busi lognormal adalah:

Daftar Pustaka

Freud, J. E. and Walpole, R. F. 1980.

Mathematical Statitics. Third Edition. Englewood New York: Prentice-Hall. Inc.

Heryanto, Nar. 1992. Pengantar Statistika Matematika. Jilid 1. Bandung: Jurusan Pendidi-kan Matematika FPMIPA IKIP Bandung.

Hinnes, William W. and Montgo-mery, Douglas C., 1972.

Probability and Statistics in Engeneering and Mana-gement

Science. New York: John

Willey & Sons. Inc.

Pollet, A dan Nasrullah. 1994.

Penggunaan Metode Statis-tika untuk Ilmu Hayati. Yog-yakarta: Gadjah Mada University Press.

Purcel and Varberg (terjemahan I.N. Susilo dkk). 1990. Kal-kulus dan Geometri Analitik. Jilid 1. Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga.

R. V, Hogg,. and Craig, A. T. 1978.

Introduction ot Mathematical

Statistics. Fourth Edition.

New York: Macmillan Publishing Co. Inc.

Supranto, J. 1991. Statistik: Teori dan Aplikasi. Jilid 2. Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga

(11)