www.berpikirmatematis.blogspot.com
DISTRIBUSI GEOMETRIK
PEMBUKTIAN PARAMETER VARIANS A. Definisi
Distribusi geometrik adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif untuk r = 1, yaitu distribusi peluang banyaknya percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan sukses pertama. Bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak X yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama diberikan oleh
𝑔(𝑥; 𝑝) = 𝑝𝑞𝑥−1 Atau
𝑔(𝑥; 𝑝) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 Keterangan:
𝑥 = 1, 2, 3, … 𝑞 = 1 − 𝑝
𝑝 dan 𝑞 adalah parameter (probabilitas sukses dan gagal)
B. Parameter Distribusi Geometrik
Parameter distribusi geometrik terdiri dari rata-rata, varians, dan fungsi pembangkit momen,
Pembuktian Parameter Varians
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑞
𝑝2 =1 − 𝑝 𝑝2
Pembuktian:
Rumus Varians
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 Di mana:
𝐸(𝑋) = 1
𝑝→ diperoleh dari pembuktian parameter rata-rata Mencari 𝑬(𝑿𝟐)
𝐸(𝑋2) = Σ𝑥 𝑥2 𝑓(𝑥)
𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑥2 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1
∞
𝑥=1
www.berpikirmatematis.blogspot.com 𝐸(𝑋2) = 𝑝 ∑ 𝑥2(1 − 𝑝)𝑥−1
∞
𝑥=1
𝐸(𝑋2) = 𝑝[12(1 − 𝑝)1−1+ 22(1 − 𝑝)2−1+ 32(1 − 𝑝)3−1+ 42(1 − 𝑝)4−1+ ⋯ ] 𝐸(𝑋2) = 𝑝[1 + 4(1 − p) + 9(1 − 𝑝)2+ 16(1 − 𝑝)3+ ⋯ ] → (1)
Kalikan (1) dengan (𝟏 − 𝒑)
(1 − 𝑝)𝐸(𝑋2) = 𝑝[(1 − 𝑝) + 4(1 − p)2+ 9(1 − 𝑝)3+ 16(1 − 𝑝)4+ ⋯ ] → (2)
Eliminasi (1) dan (2)
𝐸(𝑋2) = 𝑝[1 + 4(1 − p) + 9(1 − 𝑝)2+ 16(1 − 𝑝)3+ ⋯ ] → (1) (1 − 𝑝)𝐸(𝑋2) = 𝑝[ + (1 − 𝑝) + 4(1 − p)2+ 9(1 − 𝑝)3+ ⋯ ] → (2) (1 − (1 − 𝑝))𝐸(𝑋2) = 𝑝[1 + 3(1 − 𝑝) + 5(1 − p)2+ 7(1 − 𝑝)3+ ⋯ ]
𝑝. 𝐸(𝑋2) = 𝑝[1 + 3(1 − 𝑝) + 5(1 − p)2 + 7(1 − 𝑝)3+ ⋯ ] 𝐸(𝑋2) = 1 + 3(1 − 𝑝) + 5(1 − p)2+ 7(1 − 𝑝)3+ ⋯ → (3)
Kalikan (3) dengan (𝟏 − 𝒑)
(1 − 𝑝)𝐸(𝑋2) = (1 − 𝑝) + 3(1 − 𝑝)2+ 5(1 − p)3+ 7(1 − 𝑝)4+ ⋯ → (4)
Eliminasi (3) dan (4)
𝐸(𝑋2) = 1 + 3(1 − 𝑝) + 5(1 − p)2 + 7(1 − 𝑝)3+ ⋯ → (3) (1 − 𝑝)𝐸(𝑋2) = (1 − 𝑝) + 3(1 − 𝑝)2+ 5(1 − p)3+ ⋯ → (4) (1 − (1 − 𝑝))𝐸(𝑋2) = 𝟏 + 𝟐(𝟏 − 𝒑) + 𝟐(𝟏 − 𝒑)𝟐+ 𝟐(𝟏 − 𝒑)𝟑+ ⋯
𝒑. 𝑬(𝑿𝟐) = 𝟏 + 𝟐(𝟏 − 𝒑) + 𝟐(𝟏 − 𝒑)𝟐+ 𝟐(𝟏 − 𝒑)𝟑+ ⋯ → (𝟓)
Kalikan (5) dengan (𝟏 − 𝒑)
(𝒑 − 𝒑𝟐)𝑬(𝑿𝟐) = (𝟏 − 𝒑) + 𝟐(𝟏 − 𝒑)𝟐+ 𝟐(𝟏 − 𝒑)𝟑+ 𝟐(𝟏 − 𝒑)𝟒+ ⋯ → (𝟔)
Eliminasi (5) dan (6)
𝒑. 𝑬(𝑿𝟐) = 𝟏 + 𝟐(𝟏 − 𝒑) + 𝟐(𝟏 − 𝒑)𝟐+ 𝟐(𝟏 − 𝒑)𝟑+ ⋯ → (𝟓) (𝒑 − 𝒑𝟐)𝑬(𝑿𝟐) = (𝟏 − 𝒑) + 𝟐(𝟏 − 𝒑)𝟐+ 𝟐(𝟏 − 𝒑)𝟑+ ⋯ → (𝟔) (𝑝 − (𝑝 − 𝑝2))𝐸(𝑋2) = 1 + (1 − 𝑝)
𝑝2. 𝐸(𝑋2) = 1 + (1 − 𝑝) 𝐸(𝑋2) =1 + (1 − 𝑝)
𝑝2
www.berpikirmatematis.blogspot.com Cari Varians
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =1 + (1 − 𝑝) 𝑝2 − (1
𝑝)
2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =1 + (1 − 𝑝) 𝑝2 − 1
𝑝2 𝑉𝑎𝑟(𝑥) =(1 − 𝑝)
𝑝2 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑞
𝑝2 𝐓𝐄𝐑𝐁𝐔𝐊𝐓𝐈
Video Pembelajaran: https://youtu.be/AMxZn2Bbt6A Referensi
Andriani, D. P. (2014, Oktober 22). Distribusi Probabilitas Diskrit: Geometrik – Hipergeometrik. Diambil kembali dari www.debrina.lecture.ub.ac.id
Berpikir Matematis. (2022, Juli 19). Pembuktian Parameter Varians Distribusi Geometrik | Statistika Matematika - #2. Diambil kembali dari Berpikir Matematis:
https://www.berpikirmatematis.online/2022/07/pembuktian-parameter-varians- distribusi.html
Hidayati, N. A., Azlindah, N., Helmi, M., Jannah, R., & Rohmah, S. A. (2016). Distribusi Binomial Negatif dan Distribusi Geometrik. 1-14.
Rumus Statistik. (2015, Oktober). Nilai Harapan Distribusi Geometrik. Diambil kembali dari Rumus Statistik: https://www.rumusstatistik.com/2015/10/nilai-harapan-distribusi- geometrik.html
