SEJARAH DISTRIBUSI POISSON

(1)

SEJARAH DISTRIBUSI POISSON

y Distribusi poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi, ditemukan oleh S.D. Poisson (1781–1841), seorang terjadi, ditemukan oleh S.D. Poisson (1781 1841), seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis. Distribusi Poisson termasuk distribusi teoritis yang memakai variabel random diskrit.

y Menurut Walpole (1995), distribusi poisson adalah distribusi peluang acak poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses

t j di d l t l kt t d h t t t

yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu.

(2)

DEFINISI DISTRIBUSI POISSON

Distribusi poisson adalah

Distribusi nilai‐nilai bagi suatu variabel random X (X diskret) Distribusi nilai nilai bagi suatu variabel random X (X diskret), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.

Distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata‐rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu

l b b k k d kh

yang saling bebas sejak kejadian terakhir.

CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSON

y Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.

y Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya

d h t b t d tid k b t d b k h il

daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil

percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah

tersebut.

(3)

Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan. Selain itu, Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal berikut:

Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu ruang atau isi luas panjang tertentu seperti

waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, seperti menghitung probabilitas dari:

y ∙ Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan,

y Banyaknya bakteri dalam satu tetes atau 1 liter air,

y Banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku, dan y Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu

pertama bulan Oktober.

y Menghitung distribusi binomial apabila n besar (n ³ 30) dan p kecil (p <>

RUMUS DISTRIBUSI POISSON

Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil.

Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05.

Rumus pendekatannya adalah : P ( x ; μ ) = e ^{– μ}. μ ^X

X ! Dimana : e = 2.71828

μ = rata – ratakeberhasilan = n . p

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel n = Jumlah / ukuran populasi

(4)

y Contoh Soal

Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

Jawaban:

Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01

= 2

P ( x ; μ ) = e

^{– μ}

. μ

^X

X!

= 2.71828

^{– 2}

. 2

³

= 0.1804 atau 18.04 % 3!

• Rumus Proses Poisson Contoh Soal rumus poisson

1.Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang

berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

Jawab :

Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2 P ( x ; μ ) = e – μ . μ X

X!

= 2.71828 – 2 . 2 3 = 0.1804 atau 18.04 % 3!

(5)

y Contoh soal

Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x

= 4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson.!

Jawaban:

Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60

menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t t = 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e ^–λ . t. ( λ . t ) ^x X!

X!

P ( x ) = e –72 . ( 1/ 20 ). ( 72 . 1 / 20 ) ⁴ 4!

= 0.191 atau 19.1 %

Contoh.

Sebuah pabrik ban menyatakan dari 5000 ban yang dikirim ke distributor sebanyak 1000 warnanya sedikit pudar. Seorang pelanggan membeli 10 ban dari distributor secara acak saja.

Berapa probabilitasnya bahwa ada 3 buah ban yg warnanya sedikit pudar?

Jawab: Populasinya N=5000, ukuran sampelnya n=10 (n/N < 5%), jadi bisa dipakai distribusi binomial saja, dengan probabilitas warna sedikit pudar p=k/N = 1000/5000 = 0.2, dan tidak pudar q=1‐p=0.8. Jumlah sampel n=10, banyak yg pudar x=3, berarti probabilitasnya :

P(x=3;n=10,p=0.2)= B(r≤3;n=10,p=0.2)‐

B(r≤2;n=10,p=0.2)

= 0.8791 ‐0.6778 = 0.2013 = 20%

(6)

KESIMPULAN

1. Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai‐nilai bagi suatu variabel random X (X

di k it) it b k h il b t j di d l t

diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu.

2. Distribusi Poisson mengkalkulasi distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses p sangat kecil dan jumlah eksperimen n sangat besar.

3. Rumus Distribusi Poisson suatu peristiwa P ( x ; μ ) = e – μ . μ X

X ! Dimana : e = 2 71828 X ! Dimana : e = 2.71828

Ket P(x) = Nilai probabilitas distribusi poisson

µ = Rata‐rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana µ = n . p e = Bilangan konstan = 2,71828

X = Jumlah nilai sukses

P = Probabilitas sukses suatu kejadian

Spatial distribution : sifat ekologi yang khas suatu spesies ?

Tebaran menurut ruang juga dapat menghasilkan parameter untuk dapat membedakan spesies yang satu dengan yang lain

Pola tebaran ruang :

1. Acak : menunjukkan bahwa terdapat keseragaman dalam lingkungan hidup spesies itu atau adanya perilaku non selektif dari spesies yang bersangkutan dalam hidupnya

Contoh: serangga, memiliki pola tebaran frekuensi poisson

d l d d k

dimana peluang setiap individu untuk menempati tempat dalam suatu ruang adalah sama

Letak individu di suatu tempat tidak mempengaruhi letak individu yang lain: nilai ragamnya sama dengan nilai rataannya

(7)

2. Pola tebaran teratur:

Serangga: pengaruh negatif dari persaingan antar

spesies,termasuk dalam pola tebaran frekuensi binomial, dimana nilai ragam suatu populasi lebih kecil daripada nilai rata-ratanya

3. Pola Penyebaran Mengelompok

karena ada sifat spesies bergerombol (gregorius), adanyanya keragaman habitat sehingga terjadi pengelompokan dan sifat

populasi seperti ini mengikuti tebaran binomial negatif dimana nilai ragam lebih besar daripada nilai rataan

y BAGAIMANA MENENTUKAN POLA TEBARAN DILAPANGAN :

1. Indeks pertama : menghitung perbandingan antara nilai ragam S²dan rata-rata populasi (m), jika rasionya lebih dari 1maka populasi dikatakan berkelompok sama dengan 1 1maka populasi dikatakan berkelompok, sama dengan 1 adalah acak dan jika kurang dari 1 adalah tebaran teratur 2. Pola tebaran : membandingkan besarnya nilai X²hitung

dengan X ²tabel,jika x 2 hitung lebih besar dari x²table dengan 0,025 maka peubah yang diamati tidak mengikuti tebaran poison

3. Diantara X²tabel alpha = 0,025 dan 0,975 adalah teratur 4. Dibawah alpha 0,975 adalah acak

SEJARAH DISTRIBUSI POISSON