Catatan Kuliah
MA4181 MODEL RISIKO
“Risk is managed, not avoided”
disusun oleh
Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung
Tentang MA4181 Model Risiko
A. Jadwal kuliah:
• Selasa; 13.00-13.50; R. Seminar I.2 • Kamis; 13.00-14.40; R. Aktuaria
B. Silabus:
• Distribusi frekuensi klaim • Distribusi severitas klaim • Model kerugian agregat • Ukuran risiko
• Teori kebangkrutan
C. Buku teks:
1. Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation
2. Stuart Klugman, Harry Panjer, Gordon Willmot, 2004, Loss Models
D. Penilaian: 1. Ujian:
• Ujian 1, 26 September 2013 (25%) • Ujian 2, 31 Oktober 2013 (25%) • Ujian 3, 5 Desember 2013 (25%)
2. Kuis, Tugas dan Presentasi (25%)
Daftar Isi
1 Distribusi Frekuensi Klaim 1
BAB 1
Distribusi Frekuensi Klaim
Silabus: Distribusi binomial, geometrik dan Poisson; kelas distribusi (a, b, 0);
zero-modified and zero-truncated distributions; compound distribution
Asuransi berkaitan erat dengan risiko karena dengan produk asuransi-lah ter-jadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi klaim (claim frequency) dan besar atau severitas klaim (claim severity).
Distribusi yang tepat untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi diskrit, antara lain binomial, geometrik, negatif binomial dan Poisson. Mis-alkan peubah acak X menyatakan banyak klaim yang diproses dari semua klaim yang masuk. Misalkan X ∼ B(n, θ), maka fungsi peluangnya
P (X = k) = Cknθk(1− θ)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n
Sifat momen, atau momen ke-m, dapat ditentukan dengan memanfaatkan fungsi peluang (fp), yaitu
E(Xm) =
n
∑
k=0
xmP (X = k).
Untuk m = 1, misalnya, didapat E(X) = · · · , dst. Momen ke-m dapat pula ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm):
MX(t) =· · ·
Catatan: Fpm suatu peubah acak berkorespondensi satu-satu dengan dis-tribusi peubah acak tersebut.
Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang da-pat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif? Dapatkah ditentukan hubungan antara fpm dan fpp?
Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari X yang berdistribusi binomial
den-gan parameter (n, θ). Parameter θ dapat ditaksir denden-gan menggunakan metode likelihood maksimum sbb:
• Fungsi likelihood dan log-likelihood: ...
• Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi: ... • Penaksir bθ: ...
• Turunan kedua terhadap parameter: ...
Tugas:
Pandang data berdistribusi binomial dengan berbagai nilai parameter. Lakukan analisis statistika deskriptif dan inferensial terhadap data tersebut.
Distribusi Geometrik
Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini?
Misalkan X ∼ Geo(α) dengan fungsi peluang
p(x) = (1− α)x−1α, x = 1, 2, . . .
Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya,
E(X) = 1
α, V ar(X) =
1
α2,
dan juga fpm dan fpp. Selain itu, misalkan X ∼ Geo(α), kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari X + 1.
Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan!
Distribusi Poisson
Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya/frekuensi klaim pada suatu periode waktu. Distribusi untuk X adalah Poisson dengan parameter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ,
E(X) = V ar(X) = λ.
Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan
underdispersion)
Bagaimana kaitan antara distribusi Poisson dan Binomial? adakah manfaat yang dapat kita ambil?
Teorema
Jika X1, . . . , Xn peubah acak-peubah acak yang saling bebas dengan Xi ∼
P OI(λi) maka
X = X1+· · · + Xn ∼ P OI(λ1 + . . . + λn).
Misalkan X dan Y peubah acak Poisson dengan parameter, berturut-turut, λ1
dan λ2. Kita dapat menentukan distribusi X|X + Y = n sebagai berikut
P (X = k|X + Y = n) = P (X = k, X + Y = n) P (X + Y = n) = P (X = k, Y = n− k) P (X + Y = n) = P (X = k) P (Y = n− k) P (X + Y = n) = exp(−λ1) λ k 1(k!)−1 exp(−λ2) λn2−k((n− k)!)−1 exp(−(λ1+ λ2)) (λ1+ λ2)n(n!)−1 = n! k!(n− k)! ( λ1 λ1+ λ2 )k( λ2 λ1+ λ2 )n−k .
Kelas Distribusi (a, b, 0)
Perhatikan fungsi peluang dari peubah acak Poisson(λ):
f (x) = e
−λλx
x! , x = 0, 1, 2, . . .
yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untuk
X = x− 1, f (x− 1) = e −λλx−1 (x− 1)!. Diperoleh f (x) f (x− 1) = e−λλx x! /e−λλx−1 (x− 1)! = λ x atau f (x) = ( λ x ) f (x− 1), x = 1, 2, . . .
Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, ge-ometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Ke-las Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif:
f (x) = ( a + b x ) f (x− 1), x = 1, 2, . . . ,
dengan a, b konstanta dan f (0) diberikan.
Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi.
Zero-Modified and Zero-Truncation Distributions
Misalkan X ∼ B(3, 0.4). Kita dapat menentukan distribusi peluang sebagai berikut: X P (X = k) 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064
Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena di-mana peluang terjadinya “0” telah ditentukan, misalnya P (X = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P (X = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang diatas. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai
zero-modified and zero-truncated distributions.
Misalkan peubah acak X dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi pelu-ang f (x). Misalkan fM(x) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari
f (x); fM(x) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b, 1). Untuk fM(0) yang
ditentukan, hubungan antara fM(x) dan f (x) adalah
fM(x) = c f (x), x = 1, 2, . . . dengan c konstanta.
Catatan: Fungsi peluang fM(x) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya,
c dapat diperoleh, c = 1− f
M(0)
1− f(0) .
Untuk distribusi Binomial dengan parameter (3, 0.4) diatas, kita dapat menghi-tung fM(k), k = 1, 2, 3 sebagai berikut:
fM(1) = 1− f M(0) 1− f(0) f (1) = 1− 0.3 1− 0.2160.432 = 0.386.
Untuk zero-truncated distribution, nilai P (X = 0) = 0. Diperoleh nilai seperti tabel berikut: X P (X = k) Zero-Modified Zero-Truncated 0 0.216 0.3 0 1 0.432 0.386 2 0.288 0.258 3 0.064 0.056 Latihan:
1. Tentukan zero-modified distribution untuk X yang berdistribusi Poisson dengan parameter 2.5
2. Misalkan X∗ adalah zero-truncated distribution dari X. Diketahui, fungsi peluang dan fungsi pembangkit peluang X, berturut-turut, adalah fX(x) dan
PX(t). Tentukan fungsi pembangkit peluang untuk X∗
Compound distribution
Misalkan X1, . . . , Xnsampel acak dari X dengan fungsi distribusi FX. Apakah
yang dapat kita katakan tentang distribusi
S = X1+· · · + Xn, ?
Bagaimana dengan
S = X1+· · · + XN, ?
(dimana N adalah peubah acak)
Jika N peubah acak bernilai integer yang saling bebas dengan X1, . . . , XN,
maka peubah acak
S = X1+· · · + XN
dikatakan memiliki compound distribution. Catatan:
- Distribusi N disebut sebagai distribution pertama (primary distribution), sedangan distribusi X dikatakan distribusi kedua (secondary distribution) - Penamaan distribusi: primary-secondary distribution
- Distribusi compound Poisson adalah distribusi dengan distribusi pertama adalah distribusi Poisson dan sebarang distribusi untuk distribusi kedua Untuk menentukan distribusi S, perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan Xi ∼
B(1, θ) dan kita tahu Xi = 0, 1. Sehingga nilai yang mungkin untuk S adalah
{0, 1, 2}. P (S = 0) = P (X1 = 0, X2 = 0) = P (X1 = 0)P (X2 = 0) = f (0)f (0) P (S = 1) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 0) = f (0)f (1) + f (1)f (0) P (S = 2) = P (X1 = 1, X2 = 1) = f (1)f (1) Jadi, fungsi peluang S adalah
Dalam menentukan distribusi S dengan N peubah acak alias compound dis-tribution, distribusi N harus ditentukan lebih dahulu. Dengan demikian, kita peroleh
P (S = s) =∑
n
P (S|N = n)fN(n),
dengan sifat momen pertama
E(S) = E(E(S|N)) = · · ·
dan fungsi pembangkit momen
MS(t) =· · ·
Latihan:
1. Misalkan S1 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama
Poisson dengan parameter 1 dan kedua Geometrik dengan parameter p1.
Mis-alkan S2 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson
dengan parameter 2 dan kedua Geometrik dengan parameter p2. Diketahui S1
dan S2 saling bebas. Misalkan S = S1+ S2. Hitung
P (S = s), s = 0, 1, 2, .
2. Tentukan fpm dan fpp dari dari geometric-binomial compound distribution
BAB 2
Distribusi Severitas Klaim
Silabus: Fungsi kesintasan, distribusi exponensial, Weibull dan Pareto; mixed
and mixture distributions; tail weight and CTE; Aplikasi: deductibles, policy limit dan coinsurance
Severitas claim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim asuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu nonnegatif. Secara khusus, akan dibahas distribusi eksponensial dan Pareto serta sifat-sifat yang menyertainya seperti sifat ekor dan kuantil.
Aplikasi Dalam Asuransi
Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat-sifat khusus peubah acak seperti sifat ekor, kuantil dll adalah manfaat atau aplikasi dalam bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan pada pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage).
Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak jarang pengendara bersikap ceroboh terhadap kendaraannya karena keyaki-nan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asur-ansi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductibles, policy limits dan
coinsurance.
Misalkan X menyatakan besar uang yang dibayar (amount paid) dalam suatu kejadian kerugian (loss event) dimana tidak ada modifikasi cakupan atau dise-but ground-up loss. Misalkan XLmenyatakan besar uang yang dibayar dimana
ada modifikasi cakupan atau cost per loss; XP menyatakan besar uang yang
dibayar dalam suatu kejadian pembayaran (payment event) dimana ada mod-ifikasi cakupan. Catatan: loss event terjadi jika terdapat kerugian, payment
Deductibles
Suatu polis asuransi dengan per-loss deductible d tidak akan menbayar pada pemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengan
d; akan membayar pemegang polis sebesar X− d jika kerugian X lebih dari d.
Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian kerugian, XL, adalah
XL= X − d, untuk X > d,
dan XL= 0 untuk X ≤ d. Distribusi peluang untuk XL adalah...
Peubah acak XP (excess-loss variable) didefinisikan jika terjadi pembayaran,
yaitu saat X > d,
XP = X − d|X > d.
Fungsi kesintasan SXP adalah...
Catatan:
XL memiliki censored distribution, XP memiliki truncated distribution.
Latihan.
1. Misalkan X dan Y , dengan deductible d = 0.25. Hitung E(XL), E(XP), E(YL), E(YP)
Fungsi Kesintasan
Fungsi kesintasan (survival function) merupakan komplemen dari fungsi dis-tribusi. Dapat pula dikatakan bahwa fungsi kesintasan S(x) adalah nilai ku-mulatif peluang yang lebih besar dari x atau
S(x) = 1− F (x) = P (X > x),
dengan sifat-sifat sbb:...
Fungsi hazard berkaitan dengan peluang mendapatkan kegagalan pada suatu waktu,
h(x) = f (x) S(x)
= P (x < X < x + dx|X > x)
Suatu peubah acak X dapat berdistribusi kontinu dan diskrit,
F (x) = P (X ≤ x) = ∫ x −∞ f (x) dx +∑ x P (X = x)
dengan sifat ekspektasi...
Distribusi Eksponensial dan Pareto
Misalkan X peubah acak eksponensial. Fungsi distribusi dan fungsi hazard-nya dapat ditentukan sbb. Distribusi eksponensial sering digunakan untuk menentukan distribusi waktu antar-kedatangan.
Peubah acak X berdistribusi Pareto dengan parameter α > 0 dan γ > 0 jika fungsi distribusinya F (x). Distribusi ini cocok untuk memodelkan pendapatan. Karakteristik menarik dari distribusi Pareto adalah tidak dimilikinya fpm dan dapat diturunkannya distribusi ini dari distribusi eksponensial.
Transformasi Peubah Acak
Beberapa cara dapat digunakan untuk memanipulasi suatu peubah acak men-jadi peubah acak baru. Peubah acak baru ini diperoleh dengan membentuk fungsi peubah acak. Sebagai contoh, diketahui peubah acak X dengan fungsi distribusi tertentu. Kita dapat membentuk fungsi peubah acak
Y = X
λ; Y = X
1 α,
dsb. Contoh lain, misalkan X1, . . . , Xn peubah acak dengan fungsi peluang
fX1, . . . , fXn. Peubah acak baru X dapat dibentuk dengan fungsi peluang
fX(x) = p1fX1(x) +· · · + pnfXn(x),
dengan pi ≥ 0,
∑n
Sifat Ekor Pada Severitas Klaim
Severitas klaim dapat bernilai sangat besar walau dengan frekuensi yang kecil. Kerugian dengan nilai ekstrim, yang terjadi pada ekor kanan distribusi, perlu diperhatikan karena akan mempengaruhi kebijakan polis berikutnya. Dis-tribusi dengan ekor tebal (fat/heavy/thick tail) dapat diidentifikasi melalui eksistensi momen. Sebagai contoh, distribusi Pareto memiliki hingga order
α. Jadi, jika α < 2 maka distribusi Pareto tidak memiliki variansi. Artinya,
terdapat indikasi adanya distribusi ekor tebal.
Untuk membandingkan perilaku ekor distribusi, kita dapat menghitung limit rasio kedua fungsi kesintasan. Semakin cepat suatu fungsi kesintasan menuju nol, maka semakin tipis ekor distribusi tersebut. Cara lain untuk menentukan ketebalan ekor adalah dengan menentukan (i) fungsi hazard dan (ii) fungsi kuantil.
