www.berpikirmatematis.blogspot.com
DISTRIBUSI GEOMETRIK
PEMBUKTIAN PARAMETER RATA-RATA A. Definisi
Distribusi geometrik adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif untuk r = 1, yaitu distribusi peluang banyaknya percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan sukses pertama. Bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak X yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama diberikan oleh
𝑔(𝑥; 𝑝) = 𝑝𝑞𝑥−1
Atau
𝑔(𝑥; 𝑝) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1
Keterangan:
𝑥 = 1, 2, 3, … 𝑞 = 1 − 𝑝
𝑝 dan 𝑞 adalah parameter (probabilitas sukses dan gagal) B. Parameter Distribusi Geometrik
Parameter distribusi geometrik terdiri dari rata-rata, varians, dan fungsi pembangkit momen,
Pembuktian Parameter Rata-rata
𝜇 = 𝐸[𝑋] =1 𝑝 Pembuktian:
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑓(𝑥)
∞
𝑥=1
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1
∞
𝑥=1
𝐸(𝑋) = 𝑝 ∑ 𝑥(1 − 𝑝)𝑥−1
∞
𝑥=1
𝐸(𝑋) = 𝑝[1(1 − 𝑝)1−1+ 2(1 − 𝑝)2−1+ 3(1 − 𝑝)3−1+ ⋯ ] 𝐸(𝑋) = 𝑝[1 + 2(1 − 𝑝) + 3(1 − 𝑝)2+ ⋯ ] → (1)
Kalikan (1) dengan (𝟏 − 𝒑)
(1 − 𝑝)𝐸(𝑋) = 𝑝[(1 − 𝑝) + 2(1 − 𝑝)2+ 3(1 − 𝑝)3+ ⋯ ] → (2)
www.berpikirmatematis.blogspot.com Eliminasi (1) dan (2)
𝐸(𝑋) = 𝑝[1 + 2(1 − 𝑝) + 3(1 − 𝑝)2+ ⋯ ] → (1)
(1 − 𝑝)𝐸(𝑋) = 𝑝[ + 1(1 − 𝑝) + 2(1 − 𝑝)2+ 3(1 − 𝑝)3+ ⋯ ] → (2) (1 − (1 − 𝑝)𝐸(𝑋) = 𝑝[1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2+ (1 − 𝑝)3+ ⋯ ]
(1 − 1 + 𝑝)𝐸(𝑋) = 𝑝[1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2+ (1 − 𝑝)3+ ⋯ ] 𝑝. 𝐸(𝑋) = 𝑝[1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2+ (1 − 𝑝)3+ ⋯ ]
𝐸(𝑋) = 1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2+ (1 − 𝑝)3+ ⋯ Ingat Bentuk Umum Deret Geometri Tak Hingga
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2+ 𝑎𝑟3+ ⋯ 𝑆∞= 1
1 − 𝑟 Sehingga
𝐸(𝑋) = 1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2+ (1 − 𝑝)3+ ⋯ 𝑎 = 1
𝑟 = 1 − 𝑝
𝐸(𝑋) = 1
1 − (1 − 𝑝) 𝐸(𝑋) = 1
𝑝 𝐓𝐄𝐑𝐁𝐔𝐊𝐓𝐈
Video Pembelajaran : https://youtu.be/MNZITMjSvOA
Referensi
Andriani, D. P. (2014, Oktober 22). Distribusi Probabilitas Diskrit: Geometrik – Hipergeometrik. Diambil kembali dari www.debrina.lecture.ub.ac.id
Berpikir Matematis. (2022, Juli 11). Pembuktian Parameter Rata-rata Distribusi Geometrik | Statistika Matematika - #1. Diambil kembali dari Berpikir Matematis:
https://www.berpikirmatematis.online/2022/07/pembuktian-parameter-rata-rata.html Hidayati, N. A., Azlindah, N., Helmi, M., Jannah, R., & Rohmah, S. A. (2016). Distribusi
Binomial Negatif dan Distribusi Geometrik. 1-14.
Rumus Statistik. (2015, Oktober). Nilai Harapan Distribusi Geometrik. Diambil kembali dari Rumus Statistik: https://www.rumusstatistik.com/2015/10/nilai-harapan-distribusi- geometrik.html