Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial, Multinomial, & Binomial Negatif

Distribusi Probabilitas Diskrit:

Binomial, Multinomial, &

Binomial Negatif

Debrina Puspita Andriani

www.debrina.lecture.ub.ac.id

E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id

6

Outline

Distribusi Variabel Acak Diskrit Distribusi Binomial

Distribusi Multinomial

Distribusi Binomial Negatif

2

Distribusi Probabilitas

Adalah sebuah susunan distribusi yang mempermudah mengetahui probabilitas sebuah peristiwa / merupakan hasil dari setiap peluang peristiwa

3

Variabel Acak/Random

¡  Adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh

kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang dapat didefinisikan dalam suatu ruang sampel

¡  Random/Acak karena tidak diketahui pasti nilai yang akan dihasilkan pada percobaan yang dilakukan

¡  Misal: pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali, maka muncul angka 1 sebanyak 0,1,2,3,4,5, atau 6 kali

merupakan kesempatan

4

Macam Variabel Acak/Random

Variabel Acak Diskrit

¡  Variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai

yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.

¡  Nilainya merupakan

bilangan bulat & asli, tidak berbentuk pecahan

¡  Contoh:

¡  Banyaknya pemunculan angka/gambar dalam pelemparan sebuah koin

¡  Jumlah anak dalam keluarga

Variabel Random Kontinu

¡  Variabel random yang

mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai2 pada suatu interval tertentu

¡  Nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan

¡  Contoh:

¡  Pada label kurva baja tertulis diameter 2 ± 0,0005 mm.

sehingga daerah hasil

variabel random X adalah Rx = {X : 1,9995 ≤ x ≤ 2,0005; x adalah bilangan real}

5

1.  Distribusi Binomial

suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan

bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli.

6

Proses Bernoulli

7

usaha

Percobaan terdiri dari beberapa usaha t i a p - t i a p u l a n g a n

percobaan bebas satu sama lainnya.

Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari

percobaan satu ke percobaan lainnya.

Persyaratan:

• Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

• Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan menjadi 2-

kategori, sukses atau gagal

• Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya.

• Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5

kali gambar Sisi angka ^Sisi

Dua macam kartu yang diambil berturut-turut

dengan label ;

•  merah : “berhasil”

•  hitam : “gagal”

berhasil

gagal

8

Distribusi Binomial ⁹

Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan:

§  kesuksesan dengan probabilitas p

§  kegagalan dengan probabilitas q = 1 – p

maka distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknya kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah

0 1 2

x n x

b(x;n,p) n p q ;x , , ,....,n x

⎛ ⎞ −

= ⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

Di mana :

Distribusi Binomial ¹⁰

Statistik Deskriptif 1. Rata-rata

2. Variansi

Contoh

Peluang cacat dan baik dari hasil produksi suatu perusahaan yang hampir bangkrut adalah 50%. Apabila perusahaan itu

memproduksi 3 barang, berapakah probabilitas yang diperoleh, jika:

a.  Satu barang cacat b.  Dua barang baik

c.  Maksimum dua barang cacat

11

maka akan diperoleh ruang sampel sbb:

S = {bbb, bbc, bcb, cbb, bcc, cbc, ccb, ccc}

b = barang baik c = barang cacat

Solusi:

¡  Probabilitas nilai x, yaitu:

¡  X = 0, nilai probabilitasnya = p(x = 0) = 1/8

¡  X = 1, nilai probabilitasnya = p(x = 1) = 3/8

¡  X = 2, nilai probabilitasnya = p(x = 2) = 3/8

¡  X = 3, nilai probabilitasnya = p(x = 3) = 1/8

12

¡  Kasus di atas dapat diselesaikan dengan distribusi binomial Dengan: p = ½, q = ½

x = banyaknya barang yang baik n = 3

Misal x adalah banyaknya barang baik dari 3 barang yang diproduksi, maka nilai x adalah:

sampel bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc

x

^{3 2 2 2 1 1 1 0}

Dengan x = 0, 1, 2, 3

Solusi:

a.  Jika peristiwa A à satu barang cacat, maka A mempunyai ruang sampel :

S = { bbc, bcb, cbb} à p(A) = 3/8

13

b.  Jika peristiwa B à adalah memproduksi dua barang baik, maka B mempunyai ruang sampel :

S = { bbc, bcb, cbb} à p(B) = 3/8 Dengan distribusi binomial x = 2

à 1 barang cacat, yang tidak cacat (x) = 2

Dengan distribusi binomial x = 2 à 2 barang baik

Solusi: ¹⁴

c.  Jika peristiwa C adalah memproduksi maksimum dua barang cacat, maka C mempunyai ruang sampel : S = { bbb, bcb, bcb,cbb, ccb, cbc, bcc} à p(C) = 7/8

Dengan distribusi binomial x = 1, 2 dan 3 à Maksimum 2 barang cacat, x ≠ 0

1 –

Tabel Binomial - Cara membaca

Untuk n=15, p=0.4 ;

n r p

15

0.01 . . . 0.4 . . .

15 1

2 0.0271

: : :

8 0.9050

9 0.9662

: : 15

9 0

15 0 4 0 9662

x

b(x; ; . ) .

=

→ ∑ =

b(x;15;0.4)=0.0271

x=0 2

∑

8 0

15 0 4 0 9050 x

b(x; ; . ) .

=

∑

=

16

Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang:

a.  sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b.  ada 3 sampai 8 orang yg sembuh

c.  tepat 5 orang yg sembuh Penyelesaian:

Misal : X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh Diketahui : p = 0.4 n = 15

a)

Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338

[ ]

9 0

10 1 10 1 0 1 9

1 15 0 4

1 0 9662 0 0338

x

P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )

b(x; ; . ) lihat tabel .

.

=

≥ = − < = − = + = + =

= − ←

= −

=

∑

Contoh

b) 17

Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779

8 2

0 0

3 8 8 2

15 0 4 15 0 4 0 9050 0 0271

0 8779

x x

P( X ) P(X ) P(X )

b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel

. .

.

= =

≤ ≤ = ≤ − ≤

= − ←

= −

=

∑ ∑

c)

Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859  

5 4

0 0

5 5 15 0 4 5 4

15 0 4 15 0 4

x x

P(X ) b( ; ; . ) P(X ) P(X )

b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel 0.4032 - 0.2173

0.1859

= =

= = = ≤ − ≤

= − ←

=

=

∑ ∑

Distribusi Binomial Kumulatif ¹⁸

Adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

) (

...

) 2 (

) 1 (

) 0 (

) (

PBK

0 0

n X

P X

P X

P X

P

x X

P

q p

C

n x

n x

x n x x

n

= +

+

= +

= +

=

=

=

=

⋅

⋅

=

∑

∑

−

−

−

Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif

∑

=

=

r x

p n x b p

n r B

0

) ,

; ( )

,

;

(

B(r=1;n=2,p=0.30) = 0.9100

19

Contoh Soal u/ Tabel Binomial ²⁰

Warna mesin cuci yang diproduksi oleh PT. Makmur Jaya adalah putih dan merah. Suatu rumah tangga memesan 2 mesin cuci tersebut dan pengirimannya dilakukan 2 kali.

Berapa probabilitas ?

1.  Ke-2 mesin cuci berwarna merah 2.  Ke-2 mesin cuci berwarna putih 3.  Berwarna merah minimal 1

Kerjakan dengan Tabel Distribusi Binomial dan

Tabel Distribusi Binomial Kumulatif.

¡  Tabel Distribusi Binomial p = ½, q = ½, dan n=2

X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.

Dari tabel distribusi binomial :

Nilai x 0 1 2

Probabilitas 0,2500 0,500 0,2500

1.  Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah dapat ditentukan x=2, P = 0,2500

2.  Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih dapat ditentukan x=0, P = 0,2500

3.  Probabilitas berwarna merah minimal 1 dapat ditentukan dengan nilai x=1 ditambah nilai x = 2. sehingga:

0,5000 + 0,2500 = 0, 7500

22/03/16 www.debrina.lecture.ub.ac.id

21

¡  Tabel Distribusi Binomial Kumulatif p = ½, q = ½, dan n=2

X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.

Dari tabel distribusi binomial kumulatif:

Nilai x 0 1 2

Probabilitas 0,2500 0,7500 1,0000 1.  Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah

= P(x=2) – P(x=1) = 1,0000- 0,7500= 0,2500 2.  Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih

= P(x=0) = 0,2500

3.  Probabilitas berwarna merah minimal 1

= {P(x=1) – P(x=0)} + {P(x=2) – P(x=1)}

= {0,7500 - 0,2500} + {1,0000 - 0,7500}

= 0,7500

22/03/16 www.debrina.lecture.ub.ac.id

22

Distribusi Multinomial ²³

Distribusi probabilitas binomial digunakan untuk sejumlah sukses dari n percobaan yang independen, dimana seluruh hasil (outcomes) dikategorikan ke dalam dua kelompok

(sukses dan gagal).

Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk

penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok.

Fungsi distribusi probabilitas multinomial:

P(x

₁

, x

₂

,.., x

_k

) = n!

x

₁

!x

₂

!...x

_k

! p

₁^x1

p

₂^x2

... p

_k^xk

Berdasarkan laporan sebuah penelitian tahun 1995, diantara produk

mikroprosesor pentium generasi pertama diketahui terdapat cacat yang mengakibatkan kesalahan dalam operasi aritmatika.

Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan sebagai baik, rusak dan cacat (dapat digunakan dengan kemungkinan muncul kesalahan operasi

aritmatika).

Diketahui bahwa 70% mirkoprosesor dikategorikan baik, 25% cacat dan 5%

rusak. Jika sebuah sample random berukuran 20 diambil, berapa probabilitas ditemukan 15 mikroprosesor baik, 3 cacat dan 2 rusak?

( )( )( )

P( , , )

! ! ! . . . .

15 3 2 20!

15 3 2 7 25 05 0288

15 3 2

=

=

Contoh (1) 24

Penyelesaian :

Bila dua buah dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapat jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11

sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya sebanyak 3 kali?

Penyelesaian : o  S = 36

o  E1 = jumlah kedua dadu 7 atau 11: peluangnya adalah 2/9 o  E2 = bilangan yang sama pada kedua dadu : peluangnya 1/6 o  E3 = kemungkinan lainnya: 1 – P(E1 + E2) = 1 – (2/9 + 1/6) = 11/18

Maka f(2,1,3; 2/9, 1/6, 11/18, 6)

x p n

Contoh (2) ²⁵

= 0,1127

Distribusi Binomial Negatif

26

¡  Percobaan binomial negatif

¡  Mencari peluang sukses dalam percobaan

¡  Variabel acak binomial negatif

¡  Jumlah percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan sukses pada percobaan binomial negatif

¡  Distribusi peluang binomial negatif

¡  Peluang jumlah percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan sukses pada percobaan binomial negatif

Distribusi Binomial Negatif

27

¡  Notasi:

¡  ​𝑏↑∗ 

:peluang sukses pada trial tertentu

¡  x :jumlah percobaan

¡  p :peluang sukses

¡  q :peluang gagal

¡  k :jumlah sukses yang terjadi

Distribusi Binomial Negatif ²⁸

Statistik Deskriptif 1. Rata-rata

2. Variansi

μ = k/p

σ

²

= k(1-p)/p

²

Contoh

22/03/16

29

Solutions: