Distribusi Teoritis Probabilitas - Blog Staff

 Topik

 Distribusi teoritis Binomial

 Distribusi teoritis Poisson

 Distribusi teoiritis Normal

2

Distribusi Teoritis Probabilitas

Distr. Teoritis Probabilitas

Diskrit Kontinyu

Binomial Poisson Lln Normal

Distribusi Binomial



Ciri-ciri Distribusi Binomial

 Masing-masing percobaan hanya mempunyai dua kemungkinan, misal sukses-gagal, sehat-sakit, hidup-mati

 Hasil dari masing-masing percobaan adalah independen antara satu dengan lainnya

 Probabilitas ‘sukses’ (disimbol dengan p) adalah tetap antara satu percobaan dengan pecobaan lainnya

 Probabilitas ‘gagal’ (disimbol dengan q) adalah 1-p

 Probabilitas sukses biasanya adalah probabilitas yang sering terjadi

4

Distribusi Binomial



Rumus

n=jumlah percobaan, r=jumlah ‘sukses’, n-r=jumlah ‘gagal’, p=probabilitas sukses dan q=(1-p)=probabilitas gagal

 Contoh: Sepasang suami istri merencanakan punya anak tiga. Berapa probabilitas untuk mendapatkan dua laki-laki dan satu perempuan

 Jawab: n=3, r=2 (laki-laki) dan p=0.5 P(3,2) = 3!/(2!(3-2)!) 0.5²(1-0.5)^2-1=0.375

maka probabilitas untuk mendapatkan dua laki-laki dan satu perempuan adalah 0.375

r n

r

p

r p n r r n n

B 

^

  ( 1 )

)!

(

! ) ! , (

n jml trial r jml sukses n-r jml gagal p prob sukses q=1-p, prob gagal

Distribusi Binomial



Dari hasil penelitian disimpulkan bahwa prevalensi anemia pada Ibu Hamil di Kecamatan X adalah 20%.

Ada sebanyak 10 Ibu Hamil yang dipilih secara random yang bertempat tinggal di daerah binaan Puskesmas Kecamatan X tersebut. Maka hitunglah berapa probabilitas di antara 10 Ibu Hamil tersebut:



Tidak ada yang anemia?



Ada satu yang anemia?



Paling banyak 2 orang ibu hamil yang anemia?



Paling sedikit 3 orang yang anemia?

6

Distribusi Binomial

 Diketahui:

 p=0.2, q=1-p=1-0.2=0.8 dan n=10

 Ditanya:

 r = 0, r = 1, r ≤ 2, dan r ≥ 3

 Jawab

 P(n=10,r=0) = [10!/(10-0)! 0!] x (0.2)⁰x (0.8)^10-0= 0.107 (lihat tabel)

 P(n=10,r=1) = [10!/(10-1)! 1!] x (0.2)¹x (0.8)^10-1= 0.376-0.107

= 0. 269 (lihat tabel)

 P(n=10,r ≤ 2) = P(r=0) + P(r=1) + P(r=2) = 0.678 (lihat tabel)

 P(n=10,r ≥3) = 1 – [P(r=0) + P(r=1) + P(r=2)] = 1 - 0.678 = 0.322 (lihat tabel)

Tabel Binomial Kumulatif

n=10 p

r 0.01 . 0.2 p kum . .

0 . . 0.1074 0.107 .

1 . . 0.2684 0.376 . .

2 . . 0.3020 0.678 . .

3 . . 0.2013 0.879 . .

4 . . 0.0881 0.967 . .

5 . . 0.0264 0.994 . .

6 . . 0.0055 0.999 . .

7 . . 0.0008 0.999 . .

8 . . 0.0000 1.000 . .

Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif

n=10, p=0.2 dan x≤3

n=10, p=0.2 dan x≤6

8

Distribusi Poisson



Ciri-ciri Distribusi Poisson

 Sama seperti ciri-ciri distribusi binomial

 N percobaan besar

 Probabilitas terjadinya suatu kejadian adalah kecil atau kejadian yang jarang terjadi

 Percobaan dapat juga dalam selang waktu tertentu



Rumus

dimana:

λ

=np, e=2.71828 dan r=probabilitas yang dicari

! ) ) (

( r

r e P

r 



^



Distribusi Poisson



Dalam pelaksanaan Pekan Imunisasi Nasional Polio (PIN) pertama, diketahui bahwa ada sebesar 0.1%

Balita yang mengalami panas setelah diimunisasi Polio. Di suatu daerah diperkirakan ada sebanyak 2500 Balita yang akan diimunisasi dengan Polio pada PIN kedua. Hitunglah berapa probabilitas pada PIN kedua akan mendapatkan:

 Tidak ada balita yang mengalami panas?

 Paling banyak ada tiga balita yang panas?

 Minimal ada lima Balita yang panas?

10

Distribusi Poisson



Diketahui:

 n= 2500, p=0.001, maka λ=2500 x 0.001 = 2.5



Ditanya: r=0, r ≤ 3, r ≥ 5



Jawab

 P(r=0) = [(2.5)⁰x (2.71828)^-2.5] / 0! = 0.082 (lihat tabel)

 P(r ≤ 3 ) = P(r=0) + P(r=1) + P(r=2) + P(r=3) = 0.758 (lihat tabel)

 P(r ≥ 5) = 1 – [P(r=0) +... + P(r=4)] = 1 – 0.891 = 0.109 (lihat tabel)

Tabel Poisson Kumulatif

λ

r 0.1 . . 2.5 . 3.0

0 . . . 0.082 .

1 . . . 0.287 . .

2 . . . 0.544 . .

3 . . . 0.758 . .

4 . . . 0.891 . .

5 . . . 0.958 . .

6 . . . 0.986 . .

7 . . . 0.996 . .

8 . . . 0.999 . .

9 . . . 1.000 . .

Tabel Distribusi Probabilitas Poisson Kumulatif

λ= 2.5

dan x≤3

λ= 2.5 dan x≤6

12

Distribusi Poisson



Suatu penelitian demam typhoid di rumah sakit didapatkan bahwa rata-rata kematian akibat demam tersebut selama satu tahun adalah 4.6.

A) Berapa probabilitas kematian selama setengah tahun sebagai berikut:

 Tidak ada pasien yang mati

 Satu orang pasien yang mati

 Dua orang yang mati

Tabel Poisson Kumulatif

λ

r 0.1 . . 2.3 . 3.0

0 . . . 0.100 .

1 . . . 0.331 . .

2 . . . 0.596 . .

3 . . . 0.799 . .

4 . . . 0.916 . .

5 . . . 0.970 . .

6 . . . 0.991 . .

7 . . . 0.997 . .

8 . . . 0.999 . .

9 . . . 1.000 . .

Tabel Distribusi Probabilitas Poisson Kumulatif

λ= 2.3

0.231

λ= 2.3 0.165

14

Distribusi Normal

Mean Median

Mode

X f(X)



• ‘Bell Shape’

• Simetris

• Mean, Median dan Mode sama

• IQR 1.33 σ

Luas kurva  Probabilitas  1

Distribusi Normal

• Model Matematik Distribusi Normal

 

^{ }

 

 

1 2

2 2

1 2

: density of random variable 3.14159; 2.71828

: population mean

: population standard deviation : value of random variable

X

f X e

f X X

e

X X

 









  



 

   

 X



16

Distribusi Normal Standar

Normal Distribution Standardized

Normal Distribution

Z

1

 

X Z

Z X 



 





0

Distribusi Normal

6.2 5 10 0.12 Z X 



 

  

Normal Distribution Standardized

Normal Distribution

  10

Z

1

 

  5 6.2 X Z

Z

0

  0.12

18

Distribusi Normal

c d ^X

f(X)

 

^?

P cX d 

Z f(X)

Z X 



 

Luas lihat tabel Normal Standar

Luas Distribusi Normal Standar

b 0.00 . 0.04 0.05 . 0.09

0.0 0.0000 . 0.0160 0.0199 . 0.0359

0.1 0.0398 . 0.0557 0.0596 . 0.0753

. . . . . . .

1.0 0.3413 . 0.3508 0.3531 . .0.3621

. . . . . . .

1.5 0.4332 . 0.4382 0.4394 . .0.4441

1.6 0.4452 . 0.4495 0.4505 . 0.4545

. . . . . . .

1.9 0.4713. . 0.4738 0.4750 . 0.4767

. . . . . .

2.5 0.4938 . 0.4945 0.4946 . 0.4952

. . . . . . .

3.0 0.4987. . 0.4988 0.4989 . 0.4990

0 b P(0 ≤ z ≤ b)

20

Distribusi Normal

Z

0 1

0.3413

Z 0 1.5

0.4332

0.3413 0.4332

Distribusi Normal

Z

0 1

0.5-0.3413=0.1587

Z

0 1.5

0.5-0.4332=0.0668

0.4332-0.3413=0.0919

1

Z

0

0.3413 0.4332

1.5

22

Distribusi Normal



Diketahui bahwa nilai mahasiswa MA X angkatan 2002/2003 di FKM UI berdistribusi normal dengan nilai rata-rata sebesar 75 dan simpangan baku sebesar 10. Hitunglah probabilitas mahasiswa akan mendapatkan nilai sebagai berikut:

 Kurang dari 60

 Lebih dari 90

 Antara 65 sampai 85

 Bila ditentukan bahwa ada sebesar 15% mahasiswa akan mendapatkan nilai A, maka hitunglah pada nilai terendah berapa mulai diberikan nila A tersebut?

Distribusi Normal



Diketahui:

µ = 75 dan σ=10



Ditanya: P(x ≤ 60)=?

75

60 x

0 Z

60

Z _  ^



Z X 



 

= - 1.5

-1.5

P ( z ≤ -1.5) = 0.5 – 0.4332

= 0.0668 (

6.68% mahasiswa dapat nilai kurang dari 60)

24

Distribusi Normal



Diketahui:

µ = 75 dan σ=10



Ditanya: P(x

≥

90)=?

75 90 x

0 Z

90

Z _  ^



Z X 



 

= 1.5

1.5

P ( z ≥ 1.5) = 0.5 – 0.4332

= 0.0668 (

6.68% mahasiswa

Distribusi Normal



Diketahui:

µ = 75 dan σ=10.

Ditanya: P(

65 ≤ x ≤ 85)=?

Z ₁ 85 



  ^{= 1.0}

P ( -1.0≤ z ≤ 1.0) = 0.3413+0.3413 =0.6826

= 0.6826 (

68.26% mahasiswa dapat nilai antara 65 s/d 85)

Z ₂ 65 



  ^{= -1.0}

Z

Z

0.4332 0.4332

65 75 85

-1 0 1

26

Distribusi Normal



Diketahui:

µ = 75 dan σ=10.

Ditanya:

x=? Bila 15%

mahasiswa dapat nilai A

1.03 X 



 

Nilai terendah mahasiswa dapat nilai A adalah 64.7 Z

0 1.03

15%

35% atau 0.3500

10.3=X – 75

X=64.7