MAKALAH
STATISTIKA MATEMATIKA
DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DAN DISTRIBUSI GEOMETRIK
Dosen Pembimbing: Abdul Aziz,M.Si
Nama Kelompok:
1. Nurul Anggraeni Hidayati (14610002) 2. Nur Azlindah (14610005) 3. M. Helmi P. (14610020) 4. Roikhatul Jannah (14610021) 5. Siti Ainur Rohmah (14610030)
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
1. Distribusi Binomial Negatif (Negative Binomial)
1.1 Definisi
Distribusi ini berkaitan dengan suatu percobaan yang diulang beberapa kali secara bebas sehingga mendapatkan sukses yang ke- . Dimana sukses terakhir adalah akhir percobaan. Secara khusus, untuk = distribusi ini sama dengan distribusi geometrik.
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial negatif termasuk distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan yang saling bebas.
Percobaan akan mengikuti distribusi binomial jika dalam setiap percobaan selalu memiliki dua kejadian yang mungkin, yakni ”Sukses” atau ”Gagal”. Dimana dua kemungkinan tersebut selalu memiliki nilai probabilitas yang sama. Dalam praktiknya, sukses dan gagal dapat didefinisikan sesuai keperluan, Misal:
1. Lulus (sukses), tidak lulus (gagal) 2. Setuju (sukses), tidak setuju (gagal)
3. Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal) 4. Puas (sukses), tidak puas (gagal)
Percobaan akan mengikuti distribusi binomial negatif jika:
1. Percobaan terdiri atas usaha yang saling independen atau saling bebas, maksudnya hasil suatu percobaan tidak akan berpengaruh terhadap hasil percobaan selanjutnya.
2. Tiap percobaan hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal.
3. Probabilitas sukses dan gagal untuk tiap percobaan adalah tetap, yaitu dan probabilitas gagal adalah −
1.2 Fungsi Peluang
Secara umum jika sebagai banyak percobaan sehingga didapat sukses yang ke-r, menyatakan peluang sukses, dan menyatakan peluang gagal. Sehingga diperoleh pdf atau fungsi kepadatan peluang dari adalah
= −− − = , + , + , + , . .
atau
= −− − − = , + , + , + , . .
Fungsi disebut fungsi kepadatan peluang (distribusi binomial negative) dari peubah acak X diskrit, jika memenuhi kedua syarat fungsi peluang ;
= { + − ! fungsi kepadatan peluang dari peubah acak X diskrit. Peubah acak semacam ini disebut bersebaran binomial negatif (negative binomial), di notasikan sebagai ~ , , dan fungsi kepadatan peluangnya ditulis sebagai
; , . sehingga
~ , ↔ = = ; , = ( −− ) − −
= , + , + ….
Dimana = adalah peluang terjadi sukses ke pada percobaan ke . Distribusi peluang dari peubah acak dapat dinyatakan dengan bentuk lain, dengan menggunakan transformasi = − , dimana menyatakan jumlah kegagalan sebelum terjadi sukses . Distribusi peubah acak Y dapat dinyatakan dengan
= = ; , = ( + −− ) = , , , , …
Kata binomial negatif didapat dari hubungan distribusi peluang dari peubah acak dengan bentuk lain yang sudah dijelaskan sebelumnya, lebih lengkapnya sebagai berikut:
( + − ) = − − = − − − − −… − − +…
Dalam percobaan tertentu dikatakan menyatakan peluang gagal sehingga dapat dikatakan = − , dimana menyatakan peluang sukses, dan percobaan yang dilakukan bebas satu sama lain.
1.3 Parameter Distribusi a. Mean/Ekspektasi
� =
keterangan:
= Jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke− = Peluang sukses
proof:
� = ∑
= ∑∞ ( −− ) − =
= ∑∞= ( −− ) − −
= ( −− ) − − + + ( + −
− ) − + − + +
( + −− ) − + − + ⋯
= ( −− ) − + + ( − ) − + + ( +− ) − + ⋯
= + + ( − − )! − !! − + + ( + − − )! − !+ ! −
+ ⋯
= { + + ! − !! − + + ! − !+ ! − + ⋯ }
= { + + ! − !− ! − + + +! − !− ! − + ⋯ }
= { + + ! − + + +! − + ⋯ }
= { + + − + + + − + ⋯ }
�( − ) = � −
= � − � = � − � � = � − �
= � − �
Penjabaran diatas sesuai dengan teorema ekspektasi.
� =�( − ) + �
= + − +
= + − − +
= + −
Var (x) = � − �
= + − –
= −rp
= −
c. Fungsi Pembangkit Momen
= − −� �
Keterangan: p=Peluang Sukses Proof:
= � ��
= ∑ � = ∑∞= �( −− ) − −
= � + � +
− − + � + (
+
= � { + � !
Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.
Contoh soal binomial negatif
Dalam suatu turnamen bola voli pertandingan dinyatakan berakhir jika salah satu tim sudah memperoleh tiga kali kemenangan. Missal tim A sedang berhadapan dengan tim B. bedasarkan data yang diperoleh dari pertandingan-pertandingan sebelumnya diperoleh bahwa = . , pada tiap pertemuan dan anggap merupakan kejadian bebas. Berapakah peluang bahwa pertandingan berakhir dalam empat pertemuan?
Diketahui: = = = .
= = = .
Ditanyakan: Peluang pertandingan berakhir pada empat pertemuan?
Pertandingan akan berakhir jika A menang atau B menang. Artinya, pertandingan akan berakhir jika A berhasil memperoleh 3 kali kemenangan atau B berhasil memperoleh 3 kali kemenangan.
Jawab:P(A menang dalam pertandingan) = ∗ ; , = ( −− ) −
= ∗ ; , . = ( −− ) . . −
= ( ) . .
= !! . . = !. !. ! .
= .
= .
P(B menang dalam pertandingan)= ∗ ; , = ( −− ) −
= ∗ ; , . = ( −− ) . . −
= ( ) . .
= !! . . = !. !. ! .
= .
= .
P(A menang dalam pertandingan) + P(B menang dalam pertandingan) =
. + . = .
2. Distribusi Geometrik
2.1 Definisi
Distribusi geometrik adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif untuk = , yaitu distribusi peluang banyaknya percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan sukses pertama.
mendapatkan sukses pertama. Dimana setiap percobaan tidak akan berpengaruh pada percobaan selanjutnya.
2.2 Fungsi Peluang
Secara umum jika adalah sebagai banyak percobaan sampai mendapatkan sukses pertama, menyatakan peluang kejadian sukses, dan menyatakan peluan kejadian gagal. Maka diperoleh pdf dari adalah
= − = , , . ..
Atau
= − − = , , . ..
Peubah acak semacam ini disebut bersebaran geometrik, ditulis sebagai ~�� , dan pdf atau fungsi kepadatan peluangnya nya ditulis sebagai
~�� ↔ = = − − , = , , , …
Fungsi disebut fungsi kepadatan peluang (distribusi geometrik) dari peubah acak X diskrit, jika memenuhi kedua syarat fungsi peluang ;
1. Untuk syarat yang pertama jelas bahwa 2. ∑ =
menyatakan jumlah kegagalan sebelum terjadi sukses . Khusus untuk distribusi geometrik, = . Distribusi peubah acak Y dapat dinyatakan dengan
= = ; , = ( + −− ) = , , , , …
ℎ
= = ; , = = , , , , …
= = ; , = = , , , , …
Sifat tanpa memori
Misal ~�� . Maka > + | > = > Proof:
> + | > = � �> +�> = − �≤ +−� �≤
= −( −−( − )+ )= +
= = >
2.3 Parameter Distribusi a. Mean/Ekspektasi
� =
keterangan:
= Peluang sukses
proof:
E(X) = ∑ = ∑∞
= + − + − + − + ⋯
= { + − + − + − + ⋯ }
= − −
=
=
b. Varian
� = −
keterangan:
= Peluang sukses
proof:
�( − ) =∑ −
= ∑∞= − − −
= + − + . . − + . . − +
. . − +..
= − { + − + − + − + ⋯ }
= −
− −
= −
= −
� =�( − ) + �
= − +
= −
Var (x) = � − �
= −
-= − −
= −
c. Fungsi Pembangkit Momen
= − −� �
Keterangan: p=Peluang sukses proof:
= � ��
= ∑ �
= ∑∞= � − −
= � + � − + � − + � − + ⋯
= �{ + � − � − + � − + ⋯ }
= �
−�� −
= ��
− − ��
2.4 Contoh Aplikasi
Contoh soal distribusi geometrik
Peluang seorang pemain basket memasukkan bola kedalam keranjang adalah 0.7. karena dilanggar oleh pemain lawan maka pemain tersebut mendapatkan hadiah “3 bola”. Jika masing-masing kesempatan untuk memasukkan bola kita anggap bebas, maka berapakah peluang bahwa pemain tadi pertama kali memasukkan bola pada kesempatan ketiga? Berapakah peluang paling sedikit pemain tersebut memasukkan satu bola pada ketiga kesempatan? Diketahui: (kejadian sukses memasukkan bola ke dalam keranjang)= .
= – = − . = .
Misalkan “x adalah banyaknya percobaan untuk mendapatkan sukses pertama”
=
Ditanyakan: a. = = ⋯ ?
b. = ⋯ ?
Jawab: = = ; = −
= = ; . = . . −
= . .
= . .
= .
= = + = + =
= ; . + ; . + ; .
= . . − + . . − + . . −
= . { . + . + . }
