6 Distribusi Diskrit Binomial Multinomial

(1)

Distribusi Probabilitas Diskrit:

Binomial & Multinomial

Debrina Puspita Andriani

www.debrina.lecture.ub.ac.id

E-mail : [email protected] / [email protected]

(2)

Outline

Distribusi Variabel Acak Diskrit

Distribusi Binomial

Distribusi Multinomial

(3)

Distribusi

Probabilitas

Adalah sebuah susunan distribusi yang

mempermudah mengetahui probabilitas

sebuah peristiwa / merupakan hasil dari

setiap peluang peristiwa

3

(4)

Variabel Acak/Random

 

Adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan

oleh kesempatan atau variabel yang dapat

bernilai numerik yang dapat didefinisikan dalam

suatu ruang sampel

 

Misal

: pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali,

maka muncul angka 1 sebanyak 0,1,2,3,4,5, atau

6 kali merupakan kesempatan

(5)

Macam Variabel Acak/Random

Variabel Acak

Diskrit

  Variabel random yang tidak

mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang

hanya memiliki nilai tertentu.

  Nilainya merupakan

bilangan bulat & asli, tidak

berbentuk pecahan

  Contoh:

  Banyaknya pemunculan

angka/gambar dalam pelemparan sebuah koin

  Jumlah anak dalam

keluarga

Variabel Random

Kontinu

  Variabel random yang

mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat

memiliki nilai2 pada suatu

interval tertentu

  Nilainya dapat berupa

bilangan bulat maupun pecahan

  Contoh:

  Pada label kurva baja tertulis diameter 2 ± 0,0005 mm.

sehingga daerah hasil

variabel random X adalah Rx = {X : 1,9995 ≤_x≤_{2,0005; x}

adalah bilangan real}

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

(6)

1.

Distribusi Binomial

suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan

bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai

dengan proses Bernoulli.

(7)

Proses Bernoulli

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

7

usaha

Percobaan terdiri dari beberapa usaha t i a p - t i a p u l a n g a n

percobaan bebas satu sama lainnya.

Probabilitas kesuksesan

tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya.

Persyaratan:

•Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

•Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan menjadi

2-kategori, sukses atau gagal

•Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya.

(8)

perlemparan sekeping

uang logam sebanyak 5

kali

gambar Sisi angka

Sisi

Dua macam kartu yang

diambil berturut-turut

dengan label ;

•

merah : “berhasil”

•

hitam : “gagal”

berhasil

gagal

(9)

Distribusi Binomial

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

9

Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan:

  kesuksesan dengan probabilitas p

  kegagalan dengan probabilitas q = 1 – p

maka distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknya kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah

0 1 2

x n x

n

b(x;n,p)

p q

;x

, , ,....,n

x

−

 

=

 

=

 

(10)

Contoh

Peluang cacat dan baik dari hasil produksi suatu perusahaan yang hampir bangkrut adalah 50%. Apabila perusahaan itu

memproduksi 3 barang, berapakah probabilitas yang diperoleh, jika:

a. Satu barang cacat

b. Dua barang baik

c. Maksimum dua barang cacat

10

maka akan diperoleh ruang sampel sbb:

S = {bbb, bbc, bcb, cbb, bcc, cbc, ccb, ccc} b = barang baik

(11)

Solusi:

  Probabilitas nilai x, yaitu:

  X = 0, nilai probabilitasnya = p(x = 0) = 1/8

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

11

  Kasus di atas dapat diselesaikan dengan distribusi binomial Dengan: p = ½_{, q =}½

x = banyaknya barang yang baik n = 3

Misal x adalah banyaknya barang baik dari 3 barang yang diproduksi, maka nilai x adalah:

sampel bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc

x

3 2 2 2 1 1 1 0

(12)

Solusi:

a. Jika peristiwa A _ satu barang cacat, maka A mempunyai

ruang sampel :

S = { bbc, bcb, cbb} _ p(A) = 3/8

12

b. Jika peristiwa B _ adalah memproduksi dua barang baik, maka B mempunyai ruang sampel :

S = { bbc, bcb, cbb} _ p(B) = 3/8

Dengan distribusi binomial x = 2

 1 barang cacat, yang tidak cacat (x) = 2

Dengan distribusi binomial x = 2

(13)

Solusi:

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

13

c.

Jika peristiwa C adalah memproduksi maksimum dua

barang cacat, maka C mempunyai ruang sampel :

S = { bbb, bcb, bcb,cbb, ccb, cbc, bcc}



p(C) = 7/8

Dengan distribusi binomial x = 1, 2 dan 3



Maksimum 2 barang cacat, x

≠

0

(14)

[image:14.720.34.516.38.383.2]

Tabel Binomial -

Cara membaca

Untuk n=15, p=0.4 ;

14

n r p

0.01 . . . 0.4 . . .

15 1

2 0.0271

: : :

8 0.9050

9 0.9662

: :

15

9

0

15 0 4

0 9662

x

b(x; ; . )

.

=

→

∑

=

b(x;15_;0_.4₎₌0_.0271

2

∑

8

0

15 0 4 0 9050

x

b(x; ; . ) .

=

(15)

15

Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang:

a. sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b. ada 3 sampai 8 orang yg sembuh

c. tepat 5 orang yg sembuh

Penyelesaian:

Misal : X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh Diketahui : p = 0.4 n = 15

a)

Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338

[

]

9

0

10

1

10

1

0

1

9

1

15 0 4

1

0 9662

0 0338

x

P(X

)

P(X

)

P(X

) P(X

)

b(x; ; . )

lihat tabel

.

=

≥

=

−

<

=

−

=

+

=

+

=

(16)

16

b)

Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779

8 2

0 0

3

8

2

15 0 4

0 9050

0 0271

0 8779

x x

P(

X

)

P(X

) P(X

)

b(x; , . )

lihat tabel

.

= =

≤

=

≤

−

≤

=

−

←

=

−

=

∑

c)

Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859

5 4

0 0

5

5 15 0 4

5

4

15 0 4

x x

P(X

)

b( ; ; . )

P(X

) P(X

)

b(x; , . )

lihat tabel

0.4032 - 0.2173

(17)

Distribusi Binomial Kumulatif

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

17

Adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

(18)

[image:18.720.57.621.107.523.2]

Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif

∑

=

r

p

n

x

b

p

n

r

B

(

;

,

)

(

;

,

)

(19)

Contoh Soal u/ Tabel Binomial

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

19

Warna mesin cuci yang diproduksi oleh PT. Makmur Jaya

adalah putih dan merah. Suatu rumah tangga memesan

2 mesin cuci tersebut dan pengirimannya dilakukan 2 kali.

Berapa probabilitas ?

1.

Ke-2 mesin cuci berwarna merah

2.

Ke-2 mesin cuci berwarna putih

3.

Berwarna merah minimal 1

Kerjakan dengan Tabel Distribusi Binomial dan

(20)

 

Tabel Distribusi Binomial

p =

½

, q =

½

, dan n=2

X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.

Dari tabel distribusi binomial :

Nilai x

0

1

2

Probabilitas

0,2500 0,500

0,2500

1.

Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah dapat ditentukan

x=2, P = 0,2500

2.

Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih dapat ditentukan

x=0, P = 0,2500

3.

Probabilitas berwarna merah minimal 1 dapat ditentukan

dengan nilai x=1 ditambah nilai x = 2. sehingga:

0,5000 + 0,2500 = 0, 7500

(21)

 

Tabel Distribusi Binomial Kumulatif

p =

½

, q =

½

, dan n=2

X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.

Dari tabel distribusi binomial kumulatif:

Nilai x

0

1

2

Probabilitas

0,2500 0,7500

1,0000

1.

Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah

= P(x=2) – P(x=1) = 1,0000- 0,7500= 0,2500

2.

Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih

= P(x=0) = 0,2500

3.

Probabilitas berwarna merah minimal 1

= {P(x=1) – P(x=0)} + {P(x=2) – P(x=1)}

= {0,7500 - 0,2500} + {1,0000 - 0,7500}

= 0,7500

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

(22)

Distribusi Multinomial

22

Distribusi probabilitas binomial

digunakan untuk sejumlah

sukses dari

n

percobaan yang independen, dimana seluruh

hasil (

outcomes

) dikategorikan ke dalam dua kelompok

(sukses dan gagal).

Distribusi probabilitas

multinomial

digunakan untuk

penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam

lebih dari dua kelompok.

Fungsi distribusi probabilitas multinomial:

P

(

x

₁

,

x

₂

,..,

x

_k

)

=

n!

x

₁

!

x

₂

!...

x

_k

!

p

1

x₁

p

₂x2

...

p

(23)

Berdasarkan laporan sebuah penelitian tahun 1995, diantara produk

mikroprosesor pentium generasi pertama diketahui terdapat cacat yang mengakibatkan kesalahan dalam operasi aritmatika.

Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan sebagai baik, rusak dan cacat

(dapat digunakan dengan kemungkinan muncul kesalahan operasi aritmatika).

Diketahui bahwa 70% mirkoprosesor dikategorikan baik, 25% cacat dan 5%

rusak. Jika sebuah sample random berukuran 20 diambil, berapa probabilitas ditemukan 15 mikroprosesor baik, 3 cacat dan 2 rusak?

(

)

(

)(

)

P

(

, , )

! ! !

.

15 3 2

20!

15 3 2

7

25

05

0288

15 3 2

=

23

Contoh (1)

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

(24)

Bila dua buah dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang

mendapat jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11

sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali,

dan kemungkinan lainnya sebanyak 3 kali?

Penyelesaian :

o S = 36

o E1 = jumlah kedua dadu 7 atau 11: peluangnya adalah 2/9 o  E2 = bilangan yang sama pada kedua dadu : peluangnya 1/6 o  E3 = kemungkinan lainnya: 1 – P(E1 + E2) = 1 – (2/9 + 1/6) = 11/18

Maka f(2,1,3; 2/9, 1/6, 11/18, 6)

x

p

n