Distribusi Teoritis Probabilitas
Topik
Distribusi teoritis Binomial
Distribusi teoritis Poisson
Distribusi teoiritis Normal
3
Distribusi Teoritis Probabilitas
Distr. Teoritis Probabilitas
Diskrit Kontinyu
Binomial Poisson Lln Normal
4
Distribusi Binomial
Ciri-ciri Distribusi Binomial
Masing-masing percobaan hanya mempunyai dua kemungkinan, misal sukses-gagal, sehat-sakit, hidup-mati
Hasil dari masing-masing percobaan adalah independen antara satu dengan lainnya
Probabilitas ‘sukses’ (disimbol dengan p) adalah tetap antara satu percobaan dengan pecobaan lainnya
Probabilitas ‘gagal’ (disimbol dengan q) adalah 1-p
Probabilitas sukses biasanya adalah probabilitas yang sering terjadi
5
Distribusi Binomial
Rumus
n=jumlah percobaan, r=jumlah ‘sukses’, n-r=jumlah ‘gagal’, p=probabilitas sukses dan q=(1-p)=probabilitas gagal
Contoh: Sepasang suami istri merencanakan punya anak tiga. Berapa probabilitas untuk mendapatkan dua laki-laki dan satu perempuan
Jawab: n=3, r=2 (laki-laki) dan p=0.5 P(3,2) = 3!/(2!(3-2)!) 0.52(1-0.5)2-1=0.375 maka probabilitas untuk mendapatkan dua laki-laki
dan satu perempuan adalah 0.375
r n
r p
r p n r r n n
B
(1 )
)!
(
! ) ! , (
n jml trial
r jml sukses
n-r jml gagal p prob sukses q=1-p, prob gagal
6
Distribusi Binomial
Dari hasil penelitian disimpulkan bahwa prevalensi anemia pada Ibu Hamil di Kecamatan X adalah 20%.
Ada sebanyak 10 Ibu Hamil yang dipilih secara random yang bertempat tinggal di daerah binaan Puskesmas Kecamatan X tersebut. Maka hitunglah berapa probabilitas di antara 10 Ibu Hamil tersebut:
Tidak ada yang anemia?
Ada satu yang anemia?
Paling banyak 2 orang ibu hamil yang anemia?
Paling sedikit 3 orang yang anemia?
Distribusi Binomial
Diketahui:
p=0.2, q=1-p=1-0.2=0.8 dan n=10
Ditanya:
r = 0, r = 1, r ≤ 2, dan r ≥ 3
Jawab
P(n=10,r=0) = [10!/(10-0)! 0!] x (0.2)0x (0.8)10-0= 0.107 (lihat tabel)
P(n=10,r=1) = [10!/(10-1)! 1!] x (0.2)1x (0.8)10-1= 0.376-0.107
= 0. 269 (lihat tabel)
P(n=10,r ≤ 2) = P(r=0) + P(r=1) + P(r=2) = 0.678 (lihat tabel)
P(n=10,r ≥3) = 1 – [P(r=0) + P(r=1) + P(r=2)] = 1 - 0.678 = 0.322 (lihat tabel)
Tabel Binomial Kumulatif
n=10 p
r 0.01 . 0.2 p kum . .
0 . . 0.1074 0.107 .
1 . . 0.2684 0.376 . .
2 . . 0.3020 0.678 . .
3 . . 0.2013 0.879 . .
4 . . 0.0881 0.967 . .
5 . . 0.0264 0.994 . .
6 . . 0.0055 0.999 . .
7 . . 0.0008 0.999 . .
8 . . 0.0000 1.000 . .
Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif
n=10, p=0.2 dan x≤3
n=10, p=0.2 dan x≤6
9
Distribusi Poisson
Ciri-ciri Distribusi Poisson
Sama seperti ciri-ciri distribusi binomial
N percobaan besar
Probabilitas terjadinya suatu kejadian adalah kecil atau kejadian yang jarang terjadi
Percobaan dapat juga dalam selang waktu tertentu
Rumus
dimana: λ=np, e=2.71828 dan r=probabilitas yang dicari
! ) ) (
( r
r e P
r
10
Distribusi Poisson
Dalam pelaksanaan Pekan Imunisasi Nasional Polio (PIN) pertama, diketahui bahwa ada sebesar 0.1%
Balita yang mengalami panas setelah diimunisasi Polio. Di suatu daerah diperkirakan ada sebanyak
2500Balita yang akan diimunisasi dengan Polio pada PIN kedua. Hitunglah berapa probabilitas pada PIN kedua akan mendapatkan:
Tidak ada balita yang mengalami panas?
Paling banyak ada tiga balita yang panas?
Minimal ada lima Balita yang panas?
11
Distribusi Poisson
Diketahui:
n= 2500, p=0.001, maka λ=2500 x 0.001 = 2.5
Ditanya: r=0, r ≤ 3, r ≥ 5
Jawab
P(r=0) = [(2.5)0x (2.71828)-2.5] / 0! = 0.082 (lihat tabel)
P(r ≤ 3 ) = P(r=0) + P(r=1) + P(r=2) + P(r=3) = 0.758 (lihat tabel)
P(r ≥ 5) = 1 – [P(r=0) +... + P(r=4)] = 1 – 0.891 = 0.109 (lihat tabel)
12
Tabel Poisson Kumulatif
λ
r 0.1 . . 2.5 . 3.0
0 . . . 0.082 .
1 . . . 0.287 . .
2 . . . 0.544 . .
3 . . . 0.758 . .
4 . . . 0.891 . .
5 . . . 0.958 . .
6 . . . 0.986 . .
7 . . . 0.996 . .
8 . . . 0.999 . .
9 . . . 1.000 . .
Tabel Distribusi Probabilitas Poisson Kumulatif
λ= 2.5 dan x≤3
λ= 2.5 dan x≤6
Distribusi Poisson
Suatu penelitian demam typhoid di rumah sakit didapatkan bahwa rata-rata kematian akibat demam tersebut selama satu tahun adalah 4.6.
A) Berapa probabilitas kematian selama setengah tahun sebagai berikut:
Tidak ada pasien yang mati
Satu orang pasien yang mati
Dua orang yang mati
Tabel Poisson Kumulatif
λ
r 0.1 . . 2.3 . 3.0
0 . . . 0.100 .
1 . . . 0.331 . .
2 . . . 0.596 . .
3 . . . 0.799 . .
4 . . . 0.916 . .
5 . . . 0.970 . .
6 . . . 0.991 . .
7 . . . 0.997 . .
8 . . . 0.999 . .
9 . . . 1.000 . .
Tabel Distribusi Probabilitas Poisson Kumulatif
λ= 2.3 0.231
λ= 2.3 0.165
15
Distribusi Normal
Mean Median
Mode
X f(X)
• ‘Bell Shape’
• Simetris
• Mean, Median dan Mode sama
• IQR 1.33 σ
Luas kurva Probabilitas 1
16
Distribusi Normal
• Model Matematik Distribusi Normal
1 2 2 2
1 2
: density of random variable 3.14159; 2.71828 : population mean
: population standard deviation : value of random variable
X
f X e
f X X
e
X X
X
f(X)
17
Distribusi Normal Standar
Normal Distribution Standardized
Normal Distribution
Z
1
X Z
Z X
0
Untuk dpt menentukan p didlm kurva normal umum, maka Nilai yg dicari ditransformasi ke nilai kurva normal standar
18
Distribusi Normal
6.2 5 10 0.12 Z X
Normal Distribution Standardized
Normal Distribution
10
Z
1
5 6.2 X Z
Z
0
0.12
Distribusi Normal
c d
Xf(X)
?
P cXd
0 ?
Z f(X)
Z X
Luas lihat tabel Normal Standar
Luas Distribusi Normal Standar
b 0.00 . 0.04 0.05 . 0.09
0.0 0.0000 . 0.0160 0.0199 . 0.0359
0.1 0.0398 . 0.0557 0.0596 . 0.0753
. . . . . . .
1.0 0.3413 . 0.3508 0.3531 . .0.3621
. . . . . . .
1.5 0.4332 . 0.4382 0.4394 . .0.4441
1.6 0.4452 . 0.4495 0.4505 . 0.4545
. . . . . . .
1.9 0.4713. . 0.4738 0.4750 . 0.4767
. . . . . .
2.5 0.4938 . 0.4945 0.4946 . 0.4952
. . . . . . .
3.0 0.4987. . 0.4988 0.4989 . 0.4990
0 b P(0 ≤ z ≤ b)
21
Distribusi Normal
Z
0 1
0.3413
Z
0 1.5
0.4332
0.3413
-1
Z Z0 1.5 0.4332
0 -1.5
22
Distribusi Normal
Z
0 1
0.5-0.3413=0.1587
Z
0 1.5
0.5-0.4332=0.0668
0.4332-0.3413=0.0919
1
Z
0
0.3413 0.4332
1.5
23
Distribusi Normal
Diketahui bahwa nilai mahasiswa MA X angkatan 2002/2003 di FKM UI berdistribusi normal dengan nilai rata-rata sebesar 75 dan simpangan baku sebesar 10. Hitunglah probabilitas mahasiswa akan mendapatkan nilai sebagai berikut:
Kurang dari 60
Lebih dari 90
Antara 65 sampai 85
Bila ditentukan bahwa ada sebesar 15% mahasiswa akan mendapatkan nilai A, maka hitunglah pada nilai terendah berapa mulai diberikan nila A tersebut?
24
Distribusi Normal
Diketahui:
µ = 75 dan σ=10
Ditanya: P(x ≤ 60)=?
75
60 x
0 Z
60
Z
Z X
= - 1.5
-1.5
P ( z ≤ -1.5) = 0.5 – 0.4332
= 0.0668 (
6.68% mahasiswa dapat nilai kurang dari 60)Distribusi Normal
Diketahui:
µ = 75 dan σ=10
Ditanya: P(x
≥90)=?
75 90 x
0 Z
90
Z
Z X
= 1.5
1.5
P ( z ≥ 1.5) = 0.5 – 0.4332
= 0.0668 (
6.68% mahasiswa dapat nilai lebih dari 90)Distribusi Normal
Diketahui:
µ = 75 dan σ=10.Ditanya: P(
65 ≤ x ≤ 85)=?Z
185
= 1.0
P ( -1.0≤ z ≤ 1.0) = 0.3413+0.3413 =0.6826
= 0.6826 (
68.26% mahasiswa dapat nilai antara 65 s/d 85)Z
265
= -1.0
Z
Z
0.4332 0.4332
65 75 85
-1 0 1
27
Distribusi Normal
Diketahui:
µ = 75 dan σ=10.Ditanya:
x=? Bila 15%mahasiswa dapat nilai A
X
1.03
Nilai terendah mahasiswa dapat nilai A adalah 64.7
Z0 1.03
15%
35% atau 0.3500
10.3=X – 75
X=64.7