KONSEP DASAR PROBABILITAS OLEH : RIANDY SYARIF

KONSEP DASAR PROBABILITAS

Definisi

• Probabilitas adalah suatu ukuran tentang

kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa mendatang. Probabilitas dinyatakan

antara 0 s/d 1 atau dalam persentase.

• Probabilitas bermanfaat bagi pengambilan keputusan yang tepat, karena kejadian tidak dapat dipastikan, dan setiap pengambilan

keputusan jarang memiliki informasi yg lengkap sehingga perlu untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi.

3 Unsur penting dalam probabilitas

Percobaan (Experiment)

Hasil (Outcome)

• Percobaan (experiment) : pengamatan

terhadap beberapa aktifitas atau proses yg memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yg akan terjadi.

• Hasil (outcome) : suatu hasil dari percobaan • Peristiwa (event) : kumpulan dari satu atau

lebih hasil yg terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan

Contoh urutan kejadian

1. Percobaan Pertandingan sepakbola Real Madrid vs Manchester United

2. Hasil a. M.U menang

b. M.U kalah

c. Seri, M.U tidak menang dan tidak kalah

Menyatakan probabilitas

• Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan antara 0 s/d 1. probabilitas 0 menunjukan peristiwa yg tidak mungkin

terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukan peristiwa yang pasti terjadi.

• Contoh : melihat kesiapan fisik dan mental

para pemain M.U dan Real Madrid, maka M.U memiliki probablitais menang 60% : 40%

Pendekatan Probabilitas

Relatif

Subjektif

Klasik

Pendekatan Klasik

• Pendekatan klasik mengasumsikan bahwa sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi yg sama besar.

• Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai rasio antara jumlah

kemungkinan hasil (peristiwa) dengan jumlah total kemungkinan hasil

Contoh pendekatan klasik

Experiment Outcome Event Probabi

litas

Melempar Uang 1. Muncul gambar 2. Muncul angka

Muncul angka ½

Saham 1. Jual saham 2. Beli saham

Jual saham ½

Harga 1. Inflasi 2. Deflasi

Inflasi ½

Tanding Bola 1. Menang 2. Kalah 3. Seri

Pendekatan Relatif

• Pedekatan yang tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan

percobaan atau kegiatan yg dilakukan

• Contoh : pada kegiatan jual beli saham di BEI triwulan II Tahun 2016 terdapat 3.000.000

transaksi yang terjadi, terdiri atas 2.455.000 transaksi jual dan 545.000 transaksi beli.

• Probabilitas jual = 2.455.000/3.000.000 = 0,82 • Probablitias beli = 545.000/3.000.000 = 0,18

Pendekatan Subjektif

• Pendekatan subjektif menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi.

• Contoh : pendapat pengamat politik bahwa Bupati Sintang bapak Jarot Winarno akan terpilih dua periode

Hukum Penjumlahan

• Hukum penjumlahan mensyaratkan peristiwa yg trjadi saling lepas (mutually exclusive), yaitu

apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.

Contohnya kegiatan kita menjual atau beli saham • Jika kejadian A dan B saling lepas, hukum

penjumlahan menyatakan bahwa probabilitas suatu kejadian atau probabilitas kejadian lain terjadi sama dengan penjumlahan probabilitas masing-masing kejadian

• Hukum tersebut dinyatakan : • “P (A atau B) = P(A) + P(B)”

• Contoh : berikut adalah kegiatan perdagangan saham di BEI untuk tiga perusahaan perbankan dengan jumlah total sebanyak 200 transaksi

• Dari tabel di atas diketahui bahwa :

• Probabilitas jual : P(A) = 120/200 = 0,60 • Probabilitas beli : P(B) = 80/200 = 0,40 • Sehingga probabilitas A atau B :

• P(A atau B) = P(A) + P(B) =0,60 + 0,40=1,0

Jenis Transaksi Volume Transaksi

Jual Saham 120

Beli Saham 80

• Bila dirincikan, maka saham yg

diperjualbelikan terdiri dari 3 jenis bank :

• Probabilitas BCA = P(D) = 70/200 = 0,35 • Probabilitas BRI = P (E) = 80/200 = 0,40 • Probabilitas BNI = P (F) = 50/200 = 0,25 No Bank Transaksi 1 BCA 70 2 BRI 80 3 BNI 50 200

Probabilitas Kejadian Bersama (Joint Even)

• Dua peristiwa disebut kejadian bersama jika persitiwa tersebut terjadi diwaktu yg

bersamaan

• Suatu kegiatan jual/beli saham seharusya terdiri dari dua jenis yaitu : (1) kegiatan jual/beli saham dan (2) jenis saham yg dijual/beli

• Dari tabel di bawah hitunglah probabilitas Jual saham BCA P(AD) dan beli saham BCA P(BD)

• Kegiatan jual saham BCA ada 30 transaksi dan beli saham BCA ada 40 transaksi, sehingga : • P(BD) : 40/200 = 0,20

• P(AD) : 30/200 = 0,15

Kegiatan

Perusahaan

Jumlah BCA (D) BRI (E) BNI (F)

Jual (A) 30 50 40 120

Beli (B) 40 30 10 80

• Diagram Venn

• Diagram venn terlihat adanya perhitungan ganda, yaitu kejadian AD yang dihitung pada kejadian A dan juga kejadian D, sehingga

rumus nya :

• P(A atau D) = P(A) + P(D) –P(AD)

• Dimana :

• P(A atau D) : probabilitas terjadinya A atau D atau A dan D bersama-sama

• P(A) : probabilitas terjadinya A • P(D) : probabilitas terjadinya D

• P(AD) : probabilitas terjadinya A dan D bersama-sama

• Probabilitas jual saham atau saham BCA : P(A atau D) = P(A) + P(D) –P(AD) (0,6 + 0,35 -

Probabilitas Saling Lepas (Mutually Exclusive)

• Terjadinya satu peristiwa dari dua atau lebih

peristiwa yg dapat terjadi, sehingga tidak didapati peristiwa kejadian bersama dalam suatu

percobaan, Dan dinyatakan dengan : • P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB)

• Diagram Venn

• Dari tabel di atas, hitung probabilitas jual dan beli saham P(AB) dan probabilitas saham BCA, BRI dan BNI P(DEF)

• Penyelesaian : Probabilitas kejadian A dan B/ P(AB) = 0, karena kejadian A dan B tidak

terkait, dimana pada satu waktu yg sama aktifitas yg dilakukan hanya satu, beli atau jual.

Kegiatan

Perusahaan

Jumlah BCA (D) BRI (E) BNI (F)

Jual (A) 30 50 40 120

Beli (B) 40 30 10 80

• P(A) : 120/200 = 0,6 dan P(B) : 80/200 = 0,4 • P(A dan B) : P(A) + P(B) - P(AB)

Hukum Perkalian

• Hukum perkalian mensyaratkan setiap

peristiwa yg terjadi independen yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi terjadinya peristiwa lain.

• Contoh : kegiatan melempar uang koin,

dimana setiap lemparan yg dilakukan tidak saling mempengaruhi.

• Hukum perkalian probabilitas dinyatakan sebagai berikut : P(A dan B) = P(A) x P(B)

Prinsip menghitung dalam probabilitas

Faktorial (!)

• Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yg mungkin digunakan dalam

mengatur sesuatu.

• Contoh : jika kita memiliki tiga buku yaitu : Buku Statistik (STS), Buku Makroekonomi (MAK) dan Buku Mikroekonomi (MIK), ada berapa cara menyususn urutan ketiga buku tersebut? Urutan ketiga buku :

STS,MAK,MIK MAK,MIK,STS MIK,STS,MAK STS,MIK,MAK MIK,MAK,STS MAK,STS,MIK

• Dengan tiga buku, maka kita dapat

mengurutkan dengan 6 cara, bagaimana jika ada 100 buku ? Maka cara termudah

menggunakan Faktorial (!)

• Dengan rumus : n! = n (n-1) (n-2)…x 2 x 1, dimana 0 didefiniskan dengan 1.

• Untuk menyusun 3 buku maka dapat dihitung : 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Permutasi (P)

• Adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu.

• Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan,

misalkan A, B, C & D akan dipilih akan dipilih seorang Direktur, seorang sekretaris dan bendahara. Berapa formasi yang mungkin disusun?

• Penyelesaian : permutasi dapat dihitung dengan rumus :

• Dimana “n” banyaknya objek yg dapat dipilih dan “r” adalah jumlah yg harus dipilih

• Kemungkinan susunannya adalah sbb : ABC, ABD, ACB,

ADB, ADC, ACD, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB

n = 4 dan r =3, maka 𝒏𝑷𝒓 = 𝒏! 𝒏 − 𝒓 ! (𝒏 ≥ 𝒓) 𝟒𝑷𝟑 = 𝟒! 𝟒 − 𝟑 ! 𝟒𝑷𝟑 = 𝟒 × 𝟑 × 𝟐 × 𝟏 𝟏 = 𝟐𝟒

Kombinasi (C)

• Kombinasi dipergunakan apabila kita tertarik pada beberapa cara sesuatu diambil dari

keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutanya

• Kombinasi dirumuskan sbb :

• Contoh : ada 5 UKM mengajukan kredit ke Bank Kalbar Sintang, namun Bank Kalbar

sintang hanya akan mencairkan kredit untuk dua UKM saja, berapa kombinasi UKM yg

• Distribusi probabilitas menunjukan hasil yg diharapkan terjadi dari suatu percobaan atau kegiatan dengan nilai probabilitas

masing-masing hasil tersebut.

• Ilustrasi : ada tiga orang nasabah yg akan menabung di bank. Di pasar inspres sintang terdapat 2 bank, yaitu BNI dan BRI. Ketiga orang tersebut bebas memilih bank

tempatnya akan menabung, bisa di BNI semua atau di BNI dan BRI atau BRI semua. Berikut

adalah kemungkinan dari pilihan ketiga orang tersebut :

• Kemungkinan bank pilihan nasabah : BNI tidak dipilih sama sekali ada 1 kejadian, BNI dipilih 1 oleh salah satu nasabah ada 3 kejadian, dan ketiga nasabah memilih BNI ada 1 kejadian. Dari 8 kemungkinan tersebut,

dapat disusun distribusi probabilitas sbb :

Kemungkinan Pilihan

Nasabah

Pilihan BNI

1 2 3

1 BRI BRI BRI 0

2 BRI BRI BNI 1

3 BRI BNI BRI 1

4 BRI BNI BNI 2

5 BNI BRI BRI 1

6 BNI BRI BNI 2

7 BNI BNI BRI 2

• Distribusi probabilitas hasil P(r) memudahkan

kita untuk mengetahui probabilitas dari kejadian. • Jadi Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar

dari keseluruhan hasil suatu percobaan kejadian yg disertai dengan nilai probabilitas

masing-masing hasil BNI yg dipilih Frekuensi Total Kemungkin an Distribusi Probabilitas P(r) 0 1 8 1/8 0,125 1 3 8 3/8 0,375 2 3 8 3/8 0,375 3 1 8 1/8 0,125

Distribusi Probabilitas Binomial

• Distribusi probabilitas binomial menggambar kan data yg dihasilkan oleh suatu percobaan yg dinamakan percobaan Bernoulli.

• Jacob Bernoulli hidup pada tahun 1654-1705, selama 20 tahun mempelajari probabilitas,

dan hasil penemuannya diterbitkan dalam buku berjudul “Ars Conjectandi”

Contoh Percobaan Bernoulli

Percobaan Hasil

Melempar uang koin 1. Muncul Gambar 2. Muncul Angka Transasksi di Bursa 1. Beli Saham

2. Jual Saham

Perubahan harga 1. Inflasi

2. Deflasi

Kelahiran anak 1. Laki-laki

2. Perempuan

Melamar wanita 1. Diterima

• Untuk membentuk suatu distribusi binomial

diperlukan : 1. jumlah percobaan atau kegiatan dan 2. probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal • Distribusi probabilitas binomial dinyatakan sebagai

berikut :

• P(r) : Nilai probabilitas binomial

• p : Probabilitas sukses setiap percobaan

• _{r : Banyaknya peristiwa sukses untuk keseluruhan} percobaan

• n : Jumlah total percobaan

• q : Probabilitas gagal suatu kejadian yg diperoleh dari q=1-p

• Contoh : PT. Riandy Syarif mengirim buah semangka ke Hypermart Pontianak, dengan jaminan kualitas baik, maka 90% semangka yang dikirim lolos seleksi oleh Hypermart Pontianak. PT. Riandy Syarif setiap hari

mengirim 15 buah semangka dengan berat antara 5 s/d 6 Kg. Pertanyaannya :

a) Berapa probabilitas 15 buah diterima? b) Berapa probabilitas 13 buah diterima? c) Berapa probabilitas 10 buah diterima?

Probabilitas 15 buah diterima semua n = 15 r = 15 p = 0,9 q = 0,1 𝑷 𝒓 = 𝒏! 𝒓! 𝒏 − 𝒓 !𝒑𝒓. 𝒒𝒏−𝒓 𝑷 𝟏𝟓 = 𝟏𝟓! 𝟏𝟓! 𝟏𝟓 − 𝟏𝟓 !𝟎, 𝟗𝟏𝟓. 𝟎, 𝟏𝟏𝟓−𝟏𝟓 𝑷 𝟏𝟓 = 𝟏𝟓! 𝟏𝟓! 𝟎 !𝟎, 𝟗𝟏𝟓. 𝟎, 𝟏𝟏𝟓−𝟏𝟓 𝑷 𝟏𝟓 = 𝟏 × 𝟎, 𝟐𝟎𝟔 × 𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟔

Probabilitas 2 ditolak atau 13 buah diterima n = 15 r = 13 p = 0,9 q = 0,1 𝑷 𝒓 = 𝒏! 𝒓! 𝒏 − 𝒓 !𝒑𝒓. 𝒒𝒏−𝒓 𝑷 𝟏𝟑 = 𝟏𝟓! 𝟏𝟑! 𝟏𝟓 − 𝟏𝟑 !𝟎, 𝟗𝟏𝟑. 𝟎, 𝟏𝟏𝟓−𝟏𝟑 𝑷 𝟏𝟑 = 𝟏𝟓! 𝟏𝟑! 𝟐 !𝟎, 𝟗𝟏𝟑. 𝟎, 𝟏𝟐 𝑷 𝟏𝟑 = 𝟏𝟎𝟓 × 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟕

Probabilitas 10 buah diterima n = 15 r = 10 p = 0,9 q = 0,1 𝑷 𝒓 = 𝒏! 𝒓! 𝒏 − 𝒓 !𝒑𝒓. 𝒒𝒏−𝒓 𝑷 𝟏𝟎 = 𝟏𝟓! 𝟏𝟎! 𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 !𝟎, 𝟗𝟏𝟎. 𝟎,𝟏𝟏𝟓−𝟏𝟎 𝑷 𝟏𝟎 = 𝟏𝟓! 𝟏𝟎! 𝟓 !𝟎,𝟗𝟏𝟎.𝟎, 𝟏𝟓 𝑷 𝟏𝟎 = 𝟑.𝟎𝟎𝟑 × 𝟎,𝟑𝟓 × 𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟎

Cara 2 : Menggunakan Tabel Binomial

Distribusi Poisson

• Distribusi Poisson dikembangkan oleh Simon Poisson pada tahun 1837.

• Distribusi Poisson sebagai pelengkap dari

distribusi Binomial, dimana untuk suatu kejadian yang nilai “n” sangat besar (lebih besar dari 50) dan nilai probabilitas sukses nya “p” sangat kecil seperti 0,1, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari.

• Sebagai contoh misalkan emiten saham di BEI (n) = 330 sedangkan, probabilitas harga saham naik dalam kondisi krisis ekonomi hanya 0,1. jika

ditanya berapa probabilitas 5 harga sahamnya meningkat ?

• Maka

• Sulitnya menghitung nilai 330! atau 0,9 pangkat 325 ini dipermudah dengan rumus distribusi

poisson : • Dimana :

• P(X) ; nilai probabilitas distribusi Poisson

• µ ; rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses, dimana µ = n.p

• e ; bilangan konstan = 2,71828 • X ; jumlah nilai sukses