Review Probabilitas dan Statistik Dasar

(1)

Review

(2)

Overview

Dunia nyata dari sudut pandang modeler adalah probabilistik, bukan deterministik

Beberapa model statistik bisa memodelkan variasinya

Model yang cocok bisa dibuat dengan melihat fenomena terkait

Dipilih distribusi yang ada dari dugaan Dibuat perkiraan parameter

(3)

Variable Random Diskret

X adalah variabel random diskret jika jumlah kemungkinan nilai X terbatas

Contoh: X : jumlah pelanggan yang datang pada antrian tunggal

R_x : nilai yang mungkin untuk X = {0,1,2,3,...}

p(x_i) : probabilitas nilai random adalah x_i = P(X=x_i) p(x_i), i=1,2,3,... harus memenuhi:

p(x_i) > 0, untuk semua i

Himpunan dari pasangan [X_i, p(x_i)], i=1,2,... Dinamakan

probability distribution function dari X, dan p(x_i) disebut

probability mass function dari X

∑

∞

(4)

Variabel Random Kontinu

X adalah variabel random kontinu, jika range space dari X (R_x) adalah interval

Probabilitas X berada dalam interval [a,b] adalah

f(x) dinyatakan sebagai pdf dari X, memenuhi:

, , untuk x dalam Rx

, untuk x diluar Rx

∫

=

≤

>

∫

=

(5)

Variabel random kontinu

Contoh : umur suatu perangkat tertentu

, x > 0

f(x) = 0, untuk nilai lainnya

X mempunyai distribusi exponensial dengan mean 2 tahun Probabilitas bahwa perangkat hidup antara 2 dan 3 tahun

−

=

≤

(6)

Cummulative Distribution Function

Cdf dinyatakan sebagai F(x), dimana F(x) = P(X≤x)

Jika x diskret maka

Jika x kontinu maka

∑

≤

=

∫

∞ −

(7)

Sifat CDF

F(X) adalah non decreasing function, a < b, F(a) < F(b) lim_x→∞F(x) = 1

(8)

Contoh CDF

Umur perangkat

Probabilitas umur perangkat kurang dari 2 tahun

Probabilitas umur antara 2 sampai 3 tahun

(9)

Ekspektasi

Ekspektasi nilai dari X dinyatakan E(x)

Jika X diskret

Jika X kontinu

∑

=

∫

∞

∞ −

(10)

Variansi dan deviasi

Varian dari X dinyatakan V(X)

Definisi :V(X) = E[X - E[X]2_]

Juga : V(X) = E(X2_{) – [E(x)]}2

Ukuran dari sebaran nilai kemungkinan nilai x di sekitar mean

Standard Deviasi dari X

(11)

Model Statistik

Antrian

Sistem inventori dan suply chain

Kehandalan dan maintainability

(12)

Sistem Antrian

Waktu antar kedatangan dan lama waktu layanan probabilistik Contoh model

Distribusi eksponensial: jika layanan random Distribusi normal: normal dengan variasi Potongan normal: normal dengan batasan

(13)

Inventori dan Suply Chain

Umumnya tiga variabel random

Unit yang diminta per order atau per waktu Waktu antar order

Lead time

Contoh model lead time

Gamma

Contoh model statistik untuk distribusi permintaan:

Poisson

(14)

Kehandalan dan

Maintainability

TTF (time to failure)

Eksponensial : Random failure

Gamma: untuk stanby redundancy jika setiap komponen adalah exponensial

(15)

Area lain

Untuk kasus keterbatasan data, distribusi yang lain:

Uniform, triangular, dan beta

Distribusi lain:

(16)

Diskusi Kelompok

Bahas masing-masing distribusi berikut:

Bernoulli, binomial, Hyperexponential Uniform, triangular, dan beta

Berikan penjelasan, fungsi, contoh.

Bahas tentang simulasi sistem inventori sederhana

Model

(17)

Distribusi Diskret

Variabel random diskret dipakai untuk memodelkan fenomena random yang hanya menggunakan nilai integer

Percobaan Bernoulli dan distribusi Bernoulli Distribusi binomial

(18)

Percobaan Bernoulli dan distribusi

bernoulli

Misalkan dilakukan n percobaan, masing-masing percobaan bisa sukses dan gagal:

Xj = 1 jika sukses Xj = 0 jika gagal

Distribusi Bernoulli (satu percobaan)

Dimana E(X_j)=p dan V(X_j)=p(1-p)=pq

Bernoulli process:

N percobaan Bernoulli dimana masing-masing bebas: P(x₁,x₂,x₃,...,x_n)=p₁(x₁)p₂(x₂)p₃(x₃)...p_nx_n

(19)

Distribusi binomial

Jumlah sukses dalam n percobaan Bernoulli , X, mempunyai distribusi binomial

Mean : E(x) = p + p + ... + p = n*p

Varians : V(X) = pq + pq + ... + pq = n*pq

(20)

Distribusi binomial negatif dan

geometric

Distribusi geometric

Jumlah percobaan Bernoulli X untuk mendapatkan sukses pertama

E(X)=1/p, V(X)=q/p2

Distribusi binomial negatif

Jumlah percobaan Bernoulli sampai sukses ke k

Jika Y adalah distribusi binomial negatif dengan parameter p dan k maka:

E(Y)=k/p dan V(X)=kq/p

(21)

Distribusi Poisson

Bisa dipakai untuk memodelkan distribusi banyak proses dengan baik dan secara matematis sederhana

Jika α > 0, pdf dan cdf

E(X) = α =V(X)









=

−α

α

∑

=

−

(22)

Distribusi Poisson

Seorang technical support mendapat permintaan per jam dengan distribusi Poisson (α = 2 per jam)

Probabilitas 3 permintaan dalam jam berikutnya

p(3)=(e-2₂3_)/3!=0.18

P(3)=F(3)-F(2)=0.857-0.677=0.18

Probabilitas 2 atau lebih permintaan dalam tiap jam

(23)

Distribusi kontinu

Uniform Exponential

Normal

(24)

Distribusi uniform

Variabel random disktret mempunyai distribusi uniform dalam interval (a,b),U(a,b) jika pdf dan cdfnya

Sifat

E(X)=(a+b)/2, V(X)=(b-a)2_/12

(25)

Distribusi eksponensial

Variabel random X terdistribusi eksponensial dengan parameter λ> 0 jika pdf dan cdfnya

E(X) = 1/λ, V(X) = 1/λ2







>

=

−λ

λ

   

≥ −

= =

(26)

Distribusi Normal

Variabel random dengan distribusi normal mempunyai pdf

(27)

Distribusi Weibull

Variabel random mempunyai distribusi Weibull dengan pdf

3 parameter

Location parameter v

Scale parameter β

Shape parameter α

(28)

Distribusi lognormal

Variable random dengan distribusi lognormal mempunyai pdf

(

)























−

(29)

Distribusi Poisson

Sifat

=

≥

=