DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM

(1)

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik

Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan

DISTRIBUSI PROBABILITAS

VARIABEL RANDOM

(2)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Distribusi Probabilitas Variabel Random

q  Distribusi probabilitas variabel random diskrit

q  Distribusi Hipergeometrik

q  Proses Bernoulli

n  Distribusi Binomial

n  Distribusi Geometrik

n  Distribusi Binomial Negatif

q  Proses Poisson

n  Distribusi Poisson

n  Distribusi Exponensial

n  Distribusi Gamma

q  Distribusi Multinomial

q 

Distribusi probabilitas variabel random kontinu

q  Distribusi Normal

q  Distribusi t

q  Distribusi Chi-kuadrat (χ²)

q  Distribusi F

18-Oct-16

2

Distribusi Probabilitas Variabel Random

(3)

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit

3

(4)

Distribusi Hipergeometrik

4

q 

Situasi

q  Mengambil sampel (random) berukuran n tanpa pengembalian dari suatu populasi berukuran N

q  Elemen-elemen di dalam populasi tersebut terbagi kedalam dua kelompok, masing-masing berukuran k dan (N – k)

q 

Contoh

q  Suatu populasi berupa

n  hari hujan dan hari tak hujan

n  stasiun dengan data baik dan stasiun dengan data jelek

n  sukses dan gagal

18-Oct-16

(5)

Distribusi Hipergeometrik

5

q 

Persamaan/rumus

q  Jumlah cara/hasil dari memilih n elemen dari N objek adalah sebuah kombinasi

q  Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh x sukses dan (n – x) gagal dari suatu populasi yang terdiri dari k sukses dan (N – k) gagal adalah:

( )

^! ^!

! n n N

N n

N

= −

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

( )

( ) (

^!

)

^!

!

x n x n k N

k N x

x k

k x

n k N x k

− +

−

= −

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

(6)

Distribusi Hipergeometrik

18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random

6

q  Jadi probabilitas mendapatkan X = x sukses dalam sampel berukuran n yang diambil dari suatu populasi berukuran N yang memiliki k elemen sukses adalah

q  Distribusi kumulatif dari probabilitas mendapatkan x sukses atau kurang adalah:

( )

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

n N x

n k N x k k

n N x

f_X ; , ,

( ) ∑

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

x i

X n

N i

n k N i k k

n N x F

0

, ,

;

(7)

Distribusi Hipergeometrik

7

q  Nilai rerata (mean) suatu distribusi hipergeometrik adalah

q  Varian

q  Catatan:

( )

N

k X n

E =

( ) ( )( )

(

¹

)

Var ₂

−

= −

N N

n N n N k X n

k N x n N n N k n x k

x ≤ ; ≤ ; ≤ ; ≤ ; − ≤ −

(8)

Distribusi Hipergeometrik

8

q 

Contoh

q  Suatu DAS memiliki 12 stasiun penakar curah hujan dan diketahui bahwa 2 diantaranya dalam keadaan rusak.

q  Manajemen telah memutuskan untuk mengurangi jumlah stasiun menjadi 6 saja.

q  Apabila 6 stasiun dipilih secara acak dari 12 stasiun tersebut, berapakah peluang terpilihnya stasiun rusak sejumlah 2, 1, atau tidak ada sama sekali?

18-Oct-16

(9)

Hypergeometric Distributions

9

q 

Penyelesaian

q  populasi, N = 12

q  jumlah stasiun rusak, k = 2

q  ukuran sampel, n = 6

q  peluang (probabilitas) mendapatkan stasiun rusak sejumlah x = 2, 1, 0 dalam sampel berukuran n = 6 yang diambil dari populasi berukuran N = 12 yang memiliki stasiun rusak sejumlah k = 2 adalah:

( )

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

n N x

n k N x k k

n N x

f_X ; , ,

(10)

Distribusi Hipergeometrik

10

( )

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

n N x

n k N x k k

n N x

f_X ; , ,

( )

(

⁰^;¹²^,⁶^,²

)

₀² ¹²₆ ₀² ¹²₆ ⁰^.²²⁷³

: 0

5454 . 6 0

12 1

6 2 12 1 2 2

, 6 , 12

; 1 :

1

2273 . 6 0

12 2

6 2 12 2 2 2

, 6 , 12

; 2 :

2

⎟⎟=

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

=

⎟⎟=

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

=

⎟⎟=

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

=

X X X

f x

(11)

Distribusi Hipergeometrik

11

q  Ekspektasi jumlah stasiun rusak yang ada di dalam sampel adalah:

q  atau

( )

¹

12 2

E 6× =

=

= N k X n

( )

⁰ ⁰^.²²⁷³ ¹ ⁰^.⁵⁴⁵⁴ ² ⁰^.²²⁷³ ¹

2 0

1 =

∑

= × + × + × =

i=

i X i f x x

M

(12)

Distribusi Hipergeometrik

12

( )

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

n N x

n k N x k k

n N x

f_X ; , ,

( ) ∑

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

x i

X n

N i

n k N i k k

n N x F

0

, ,

;

=HYPGEOM.DIST(x,n,k,N,FALSE)

=HYPGEOM.DIST(x,n,k,N,TRUE)

f_X(2;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(2,6,2,12,FALSE) = 0.2273 f_X(1;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(1,6,2,12,FALSE) = 0.5454 f_X(0;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(0,6,2,12,FALSE) = 0.2273

(13)

Distribusi Binomial

Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit

13

(14)

Contoh Ilustrasi

14

q 

Investigasi thd suatu populasi

q  karakteristik populasi → variabel

q  nilai variabel

n  nilai ujian: 0 s.d. 100

n  status perkawinan: tidak kawin, kawin, cerai, duda/janda

n  usia: 0 s.d. ...

n  cuaca: cerah, berawan, hujan

18-Oct-16

(15)

Contoh Ilustrasi

15

q 

Contoh lain

q  Jawaban pertanyaan:

n  ya / tidak

n  benar / salah

n  menang / kalah

n  lulus / tak-lulus

n  sukses / gagal

SUKSES vs GAGAL

(16)

Distribusi Binomial

16

q 

Jika

q  variabel hanya memiliki 2 kemungkinan hasil

q  probabilitas (peluang) kedua hasil tersebut tidak berubah (tetap) apapun hasil eksperimen sebelumnya

q 

Probabilitas hasil suatu distribusi binomial

q  prob(sukses) = p

q  prob(gagal) = q = 1 – p

Distribusi Binomial

18-Oct-16

(17)

Distribusi Binomial

17

q  Ilustrasi

q  Peluang sukses (S) dalam suatu eksperimen adalah p → prob(S) = p

q  Peluang gagal (G) adalah q = 1 – p → prob(G) = q

q  1x eksperimen:

n  peluang sukses p

n  peluang gagal q

q  2x eksperimen:

n  peluang sukses kmd sukses (S,S): pp

n  peluang sukses kmd gagal (S,G): pq

n  peluang gagal kmd sukses (G,S): qp

n  peluang gagal kmd gagal (G,G): qq

(18)

Sukses-Gagal dalam 2x Eksperimen

18

Jumlah sukses Cara sukses Jumlah cara sukses Probabilitas sukses

2 SS 1 pp 1 p²q⁰

1 SG atau GS 2 pq+qp 2 p¹q¹

0 GG 1 qq 1 p⁰q²

(19)

Sukses-Gagal dalam 3x Eksperimen

19

Jumlah

sukses Cara sukses Jumlah cara

sukses Probabilitas sukses

3 SSS 1 ppp 1 p³q⁰

2 SSG, SGS, GSS 3 ppq+pqp+qpp 3 p²q¹

1 SGG, GSG, GGS 3 pqq+qpq+qqp 3 p¹q²

0 GGG 1 qqq 1 p⁰q³

(20)

Sukses-Gagal dalam 3x atau 5x Eksperimen

20

3 2 3

2 10

2

5⎟⎟p q = p q

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ q 

3x eksperimen:

q  peluang sukses pada eksperimen ke-3: qqp

q  peluang sukses di salah satu eksperimen: pqq + qpq + qqp

q 

5x eksperimen:

q  peluang sukses 2x: ppqqq + pqpqq + ... + qqqpp

18-Oct-16

(21)

Distribusi Binomial

21

q 

Jika

q  peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p

q  probabilitas sukses p tidak berubah apapun hasil eksperimen yang lain

q 

Maka

q  peluang mendapatkan x kali sukses dalam n kali eksperimen adalah:

( )

^p

(

^p

)

^x ⁿ

x p n

n x

f_X ; , ⎟⎟ ^x 1− ⁿ ^x, =0,1,2,...,

⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛ ⁻

koefisien binomial =COMBIN(n,x)

(22)

Distribusi Binomial

22

q  Distribusi binomial dan distribusi binomial kumulatif

( ) ( )

( ) ∑ ( )

=

−

⎟⎟ −

⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

=

⎟⎟ −

⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

x

i

i i n

X

x x n

X

p i p

p n n x F

n x

p x p

p n n x f

0

1 ,

;

..., , 2 , 1 , 0 ,

1 ,

; =BINOM.DIST(x,n,p,FALSE)

=BINOM.DIST(x,n,p,TRUE)

(23)

Distribusi Binomial

23

q  Nilai rerata dan varian

q  Koefisien skewness

( )

^X ⁿ^p^q

p n X

=

= VAR E

q p n

p c_s q−

=

p = q à simetris

q > p à negative skew q < p à positive skew

(24)

Distribusi Binomial

24

q 

Contoh #1

q  Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D).

q  Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana).

q  Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 3x?

q  Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5x, 4x, 3x, 2x, 1x, 0x?

18-Oct-16

(25)

Distribusi Binomial

25

q  Setiap kali pemilihan

n  prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih prob(As) = ¼ = 0.25 = p

n  prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q

q  Dalam 5x pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3x adalah:

( ) ( )

⁰^.²⁵

(

¹ ⁰^.²⁵

)

⁰^.⁰⁸⁷⁹

3 25 5

. 0 , 5

; 3 ,

; ⎟⎟ ³ − ⁵ ³ =

⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

= _X ⁻

X x n p f

f

=BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)

(26)

Distribusi Binomial

26

Jumlah sukses Jumlah cara sukses Probabilitas

0 1 0.237

1 5 0.396

2 10 0.264

3 10 0.088

4 5 0.015

5 1 0.001

Jumlah = 1.000

(27)

Distribusi Poisson

Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit

27

(28)

Distribusi Poisson

28

q 

Situasi

q  Proses Bernoulli dalam suatu selang waktu à p adalah probabilitas terjadinya suatu event dalam selang waktu tersebut.

q  Jika selang waktu t sangat pendek, sedemikian hingga probabilitas p menjadi kecil dan jumlah pengamatan (eksperimen) n bertambah, sedemikian hingga np konstan, maka

n  ekspektasi jumlah kejadian dalam selang waktu total à tetap

18-Oct-16

(29)

Distribusi Poisson

29

q 

Sifat

q  Proses Poisson adalah suatu proses diskrit pada skala waktu kontinu.

n  Oleh karena itu, distribusi probabilitas jumlah event dalam suatu waktu T adalah sebuah distribusi diskrit,

n  akan tetapi distribusi probabilitas waktu antar events serta waktu sampai ke event ke- n adalah distribusi kontinu.

(30)

Distribusi Poisson

30

q 

Probabilitas distribusi Poisson

q 

Distribusi Poisson kumulatif

(

^;

)

^, ⁼⁰^,¹^,²^,^... ^dan ^λ ⁼ ^>⁰

!

= λ λ

λ

− x np

x x e

f_X ^x

( ) ∑

=

λ

−

!

= λ λ

x

i i

X i

x e F

0

;

(31)

Distribusi Poisson

31

q 

Nilai rerata dan varian

q 

Skewness coefficient

( )

^X ⁼ ^λ ^VAR

( )

^X ⁼ ^λ

E

12

λ− s = c

(32)

Distribusi Poisson

32

q 

Contoh

q  Suatu printer membuat kesalahan secara random pada kertas cetak rerata 2 kesalahan per halaman.

q  Hitunglah probabilitas terjadi satu salah cetak dalam satu halaman.

q 

Penyelesaian

( ) ( )

² ⁰^.²⁷⁰⁷

1 2 2

; 1

; ¹ ² = ₂ =

= !

= λ

−

e f e

x

f_X _X

λ = 2, x = 1

(33)

Distribusi Normal

Distribusi Probabilitas Variabel Random Kontinu

33

(34)

Flash-back Distribusi Binomial

34

q 

Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan

q  Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan secara acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D).

q  Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana).

q  Berapakah probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×, 0×?

(35)

Flash-back Distribusi Binomial

35

Distribusi Binomial

memilih 1 di antara 4 kegiatan untuk diberi dana

Histogram distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana

(36)

Flash-back Distribusi Binomial

36

q 

Setiap kali pemilihan

q  prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih prob(As) = ¼ = 0.25 = p

q  prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q

q 

Dalam 5x pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3x adalah:

(

^; ^,

) (

³^;⁵^,⁰^.²⁵

)

₃⁵_⎟⎟⁰^.²⁵³

(

¹⁻⁰^.²⁵

)

⁵ ³ ⁼⁰^.⁰⁸⁷⁹

⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

= _X ⁻

X x n p f

f =BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)

18-Oct-16

(37)

Flash-back Distribusi Binomial

37

Jumlah sukses Jumlah cara sukses Probabilitas

0 1 0.2373

1 5 0.3955

2 10 0.2637

3 10 0.0879

4 5 0.0146

5 1 0.0010

Jumlah = 1.0000

(38)

Flash-back Distribusi Binomial

38

0.2373

0.3955

0.2637

0.0879

0.0146 0.0010

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 1 2 3 4 5

Probabilitas

Frekuensi perolehan dana

Distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana

(39)

Flash-back Distribusi Binomial

39

q 

Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang

q  10 tahun

q  20 tahun

q  n tahun

n  diperoleh n + 1 kemungkinan hasil

n  Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah n kali, n – 1 kali, ... 0 kali

(40)

Flash-back Distribusi Binomial

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Probabilitas

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Probabilitas

18-Oct-16

40

n = 10 n = 20

(41)

Distribusi Binomial vs Kurva Normal

41

q 

Apabila pemilihan (eksperimen) dilakukan sejumlah n kali dan n »

q  histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki selang (interval) kecil

q  garis yang melewati puncak-puncak histogram → kurva mulus berbentuk seperti lonceng

Kurva Normal

(42)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id Distribusi Probabilitas Variabel Random 18-Oct-16

42

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Peobabilitas

n = 20

(43)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

Peobabilitas

n = 50

(44)

Kurva Normal dan Distribusi Normal

44

q  Kurva Normal

q  berbentuk seperti lonceng dengan karakteristika tertentu

q  tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal

q  Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal

q  Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi normal

q  Distribusi normal lebih mudah dilakukan daripada distribusi binomial karena karakteristika distribusi normal telah diketahui (didefinisikan)

q  tabel distribusi normal

q  perintah/fungsi dalam MSExcel

(45)

Distribusi Normal

45

q 

Karakteristika distribusi normal

q  simetris terhadap nilai rerata (mean)

q  score mengumpul di sekitar nilai rerata

q  kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran tiga kali simpangan baku dari nilai rerata

(46)

Distribusi Normal

46

μ−3σ

−∞ X

luas = 1

μ−2σ μ−σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ

+∞

(47)

Distribusi Normal

47

X

luas = 0.9973 luas = 0.00135

luas = 0.00135

μ−3σ

−∞

^μ−2σ ^μ−σ ^μ ^μ+σ ^μ+2σ ^μ+3σ

+∞

(48)

μ−3σ

−∞

^μ−2σ ^μ−σ ^μ ^μ+σ ^μ+2σ ^μ+3σ

+∞

pdf Distribusi Normal

48

X

p_X(x)

N(μ,σ²) ^p^X

( )

^x ⁼

(

²^πσ²

)

⁻¹²^e⁻¹²⁽^x⁻^µ⁾ ^σ²

pdf (probability density function)

(49)

pdf Distribusi Normal

49

X

p_X(x)

N(μ₁,σ₁²)

N(μ₂,σ₂²)

N(μ₃,σ₃²) μ₁=μ₂=μ₃

σ₁> σ₂> σ₃

−∞

^μ₁^=μ₂^=μ₃

+∞

(50)

pdf Distribusi Normal

50

X

p_X(x)

N(μ₁,σ₁²)

N(μ₂,σ₂²)

N(μ₃,σ₃²) μ₁< μ₂< μ₃

σ₁= σ₂= σ₃

−∞

μ₁ ^μ2 ^μ3

+∞

(51)

Distribusi Normal

51

q  Jika X berdistribusi normal, N(µ,σ²), maka prob(X ≤ x) dapat dicari dengan:

−∞

x

+∞

( ) ( ) _∫ ( ) _∫ ( )

⁽ ⁾

∞

−

σ µ

−

− − 2

∞

−

πσ 2

=

≤

x t

x X

X x p t t e t

P x

X d 2 d

prob ¹² ¹²

luas di bawah kurva pdf (dari −∞ s.d. x) à cdf

cdf (cumulative distribution function)

(52)

pdf - cdf

52

–∞ µ

⁰

1

+∞

pdf

p_X(x)

cdf

P_X(x)

(53)

Distribusi Normal

53

q  Luas di bawah kurva pdf

q  menunjukkan probabilitas suatu event

q  menunjukkan percentile rank

q  prob(X ≤ x) = prob(-∞ ≤ X ≤ x)

= luas di bawah kurva antara -∞ s.d. x

q  prob(-∞ ≤ X ≤ +∞) = 1

= luas di bawah kurva antara -∞ s.d. +∞

q  prob(X ≥ x) = prob(x ≤ X ≤ +∞)

= luas di bawah kurva antara x s.d. +∞

= 1 – prob(X ≤ x)

-∞ x +∞

(54)

Distribusi Normal

54

q 

Probabilitas

q  prob(X ≤ µ) = prob(X ≥ µ) = 0.50

q  prob(µ-x ≤ X ≤ µ) = prob(µ ≤ X ≤ µ+x)

µ +∞

−∞

(55)

Distribusi Normal

55

q 

Probabilitas

q  prob(X = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x = 0

q  prob(X ≤ x) = prob(X < x)

q  prob(X ≥ x) = prob(X > x)

q  prob(x_a ≤ X ≤ x_b) = prob(x_a < X < x_b)

x_a _+∞

-∞ x_b

(56)

Distribusi Normal Standar

56

q 

Distribusi normal biasa disajikan dalam bentuk distribusi normal standar

q  dinyatakan dalam variabel Z

q  Z_x berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1) à disebut dengan nama distribusi normal standar

σ µ

= X − Z_x

(57)

Distribusi Normal Standar

57

μ μ+σ μ+2σ μ+3σ

μ−3σ μ−2σ μ−σ

−∞ +∞ X

luas = 1

0

−1

−2

−3 1 2 3

−∞ +∞ Z

(58)

Tabel Distribusi Normal Standar

58

q 

Tabel z vs ordinat kurva normal standar

q  z vs ordinat pdf (probability density function) à file1

q 

Tabel z vs luas di bawah kurva

q  z vs cdf (cumulative distribution function)

q  luas kurva dari 0 s.d. z_x à file2

q  luas kurva dari −∞ s.d. z_x à file3

(59)

Tabel Distribusi Normal Standar

59

q 

Contoh

q  Suatu variabel random X berdistribusi normal, serta memiliki nilai rerata 12, dan simpangan baku 3

q  prob(X < 15)= prob(Z < 1)= … (lihat tabel)

q  prob(X < 9)= prob(Z < −1)= … (lihat tabel)

q  prob(9 < X < 15)= prob(−1 < Z < 1)= … (lihat tabel)

(60)

Perintah (Fungsi) MS Excel

60

q 

Distribusi Normal

q  NORM.DIST(x,mean,standard_dev,cumulative)

n  x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya

n  mean = nilai rerata (aritmetik)

n  standard_dev = nilai simpangan baku

n  cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin menghitung pdf

q  NORM.INV(probability,mean,standard_dev)

n  probability = probabilitas suatu distribusi normal

n  mean = nilai rerata (aritmetik)

n  standar_dev = nilai simpangan baku

(61)

Perintah (Fungsi) MS Excel

61

q  Distribusi Normal Standar

q  NORM.S.DIST(z,TRUE)

n  menghitung nilai cdf distribusi normal standar

q  NORM.S.DIST(z,FALSE)

n  menghitung nilai pdf distribusi normal standar

q  NORM.S.INV(probability)

n  kebalikan dari NORM.S.DIST(z)

n  mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui

q  Ingat

q  Distribusi Normal Standar

n  mean = 0

n  simpangan baku = 1

(62)

Perintah (Fungsi) MS Excel

62

q 

Contoh 1

q  NORM.DIST(15,12,3,TRUE)

n  rerata = 12

n  prob(X < 15) = NORM.DIST(15,12,3,TRUE) = 0.8413

q  NORM.INV(0.8,12,3)

n  prob(X < x) = 0.8

n  x = NORM.INV(0.8,12,3) = 14.5249

(63)

Perintah (Fungsi) MS Excel

63

q 

Contoh 2

q  NORM.S.DIST(3,TRUE)

n  rerata = 0

n  prob(Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) = 0.9987

n  prob(0 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) – 0.5 = 0.4987

n  prob(1 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) – NORM.S.DIST(1,TRUE)

n  prob(Z > 1.5) = 1 – NORM.S.DIST(1.5,TRUE)

q  NORM.S.INV(0.65)

n  prob(Z < z) = 0.65

n  z = NORM.S.INV(0.65) = 0.3843

(64)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id Distribusi Probabilitas Variabel Random 18-Oct-16

64