Probabilitas dan Distribusi Probabilitas

(1)

PROBABILITAS

&

DISTRIBUSI PROBABILITAS

Departemen Biostatistika

Fakultas Kesehatan Masyarakat

Universitas Indonesia, 2023

(2)

Definisi Probabilitas

 Probabilitas = Peluang untuk munculnya suatu kejadian (event)

 Definisi probabilitas



Apriori (Klasik):

Probabilitas satu kejadian dapat ditentukan sebelum eksperimen dilakukan (mis.dadu)



Frekuensi relatif (Empirik):

Probabilitas hanya dapat ditentukan setelah eksperimen berlangsung (mis.survei)



Intuisi (Subjektif):

Probabilitas subjektif berdasarkan dugaan

(3)

Probabilitas Klasik

 Probabilitas Klasik:

Jumlah kejadian yang diinginkan

Jumlah kejadian yang mungkin terjadi



Contoh:

Pengambilan kartu:

 Probabilitas terambilnya kartu ‘As’ dari kartu yang ada adalah = 4/52

 Probabilitas terambil kartu ‘Hati’ dari kartu yang ada adalah= 16/52



Pelemparan dadu:

 Probabilitas munculnya angka 6 dari pelemparan satu dadu adalah = 1/6

 Probabilitas munculnya angka 3 atau 4 dari pelemparan dua dadu adalah = 1/6 + 1/6 = 2/6

(4)

 Probabilitas empirik:

Jumlah kejadian yang muncul Total observasi

Probabilitas bayi BBLR u/ meninggal = 25/200*100 = 12.5%

Probabilitas bayi BBLR u/ hidup = 175/200

Probabilitas bayi non BBLR u/ meninggal = 40/800 = 5%

Probabilitas bayi non BBLR u/ hidup = 760/800

Probabilitas Empirik

(5)

Probabilitas Subjektif

 Probabilitas Subjektif:

Kemungkinan untuk munculnya suatu kejadian diperkirakan berdasarkan asumsi-2 tertentu atau pengalaman subjektif dari seseorang



Contoh:

Pendirian rumah sakit:

 Probabilitas untuk mulai memperoleh keuntungan dalam 5 tahun mendatang adalah 100%

(6)

Hukum Probabilitas

 Hukum probabilitas

 Hukum komplemen



Hukum penjumlahan



Mutually exclusive



Non-mutually exclusive



Hukum perkalian



Independent



Non-independent



Permutasi



Kombinasi

(7)

Hukum probabilitas



KOMPLEMEN

P

(komplemen A)

= P

(tdk terjadinya A) =

1- P

^(A)



PENJUMLAHAN = ATAU:

 MUTUALLY EXCLUSIF (Kejadian yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan  Gol Darah A atau B)

P

^{(A atau B)}

= P

^{(A) +}

P

^(B)

 NON- MUTUALLY EXCLUSIF (Gol darah A atau Laki-laki)

P

(A atau B)

= P

(A) +

P

(B)

- P

(A dan B)



PERKALIAN = DAN

 INDEPENDENT (Kejadian yang tidak saling berkaitan antara satu sama lain, (Jenis kelamin tidak berkaitan dengan tipe Gol darah)

P

(A dan B)

= P

(A) *

P

(B)

 NON- INDEPENDENT/CONDITIONAL (Kematian berkaitan dengan BBLR?

)

P

^{(A dan B)}

= P

^(B|A)

* P

^(A)

= P

^{(A|B) *}

P

^(B)

(8)

Hukum Komplemen



KOMPLEMEN

P

(komplemen A)

= P

(tdk terjadinya A) =

1- P

^(A)

P(BBLR) = 200/1000 = 0.2

P(komplemen BBLR) = 1 - P(BBLR) = 1 – 0.2

= 0.8

(9)

Hukum Penjumlahan



PENJUMLAHAN:

 Mutually Exclusive: Kejadian yang tidak mungkin

terjadi secara bersamaan  P(AnB) = P(A) + P(B)

P

(Gol. O atau B)

= P

(O) +

P

(B) = 0.42 + .011 = 0.53

 Non-Mutually Exclusive

P

(Lk atau gol.O)

= P

(lk) +

P

(O)

- P

(lk dan O)

= 0.5 + 0.42 – 0.21 = 0.71

(10)

Hukum Perkalian

 Kejadian Independent (Kejadian yang tidak saling berkaitan antara satu sama lain)

= (Prob. Marginal * Prob. Marginal = Prob. Joint)  P(AnB) = P(A)*P(B)

= (Prob. Lk * Prob. Gol. O) = 0.21

= 0.5 * 0.42 = 0.21



PERKALIAN:

 Independen

P

^{(Lk dan}^gol.^O)

= P

^{(lk) *}

P

^(O)

(11)

Hukum Perkalian

 Kejadian Non-Independent (Kejadian yang saling berkaitan)

-> Prob. Marginal * Prob. Marginal  Prob. Joint  Kondisional Probabilitas 

 P(AnB) = P(A|B)*P(B) atau = P(B|A)*P(A)



PERKALIAN:

 Non-Independent



P

(Meninggal dan BBLR)

=

P

(Meninggal | BBLR) *

P

^(BBLR)

= 25/200 *200/1000 = 25/1000

P

(BBLR| Meninggal ) *

P

(Meninggal)

= 25/65 * 65/1000 = 25/1000

(12)

Permutasi & Kombinasi



PERMUTASI

-

Suatu kumpulan objek yang memperhatikan urutan objek tsb

(ABC disusun 2 huruf = 6 susunan parmutasi)

= AB, AC, BC, BA, CA, CB

- Jumlah susunan/parmutasi dari n objek, jika setiap kalinya diambil r objek adalah sbb:

nPr = n! / (n-r)!



Contoh:

Berapa banyak susunan password yang bisa dibuat dari angka 0-9 jika satu password terdiri dari 4 digit

Diketahui: n =10, r = 4 10

P

4 = 10! / (10-4)!

= 10! / 6! = 10x9x8x7x6! / 6x5x4x….

= 5.040

 Berapa susunan panitia (ketua, wakil, sekrt) yang bisa dibuat dari 5 orang

(13)

Parmutasi & Kombinasi



KOMBINASI

-

Suatu kumpulan objek yang tidak mempersyaratkan urutan objek tsb

(Dari 3 buah buku A,B,C dipilih 2 buku = hanya ada 3 susunan kombinasi dari buku tersebut)

= AB, AC, BC

- Jumlah susunan/kombinasi dari n objek, jika setiap kalinya diambil r objek adalah sbb:

nCr = n! / (n-r)! * r!



Contoh:

Dari 7 buku referensi Biostatistik, mahasiswa diwajibkan untuk membeli 3 buah buku, berapa banyak kombinasi buku yang bisa dipilih oleh mahasiswa?

Diketahui: n =7, r = 3

7

C

3 = 7! / (7-3)! * 3!

= 7! / (4! * 3!)

= 35

 Dari 5 (ABCD) jenis ‘antibiotik’ di pasaran, ada berapa susunan yg bisa dibuat untuk resep yang terdiri dari gabungan 3 jenis antibiotic (ABC, BCA, ..

5C3 = 5! / (5-3)! * 3!

= 5x4x3! / (2! * 3!)

= 10

(14)

TUGAS PROBABILITAS

1.Kemungkinan calon mahasiswa diterima di S2 FKM UI sebesar 0,50 (50%) dan kalau ia sudah kuliah kemungkinan untuk lulus tepat waktu sebesar

0,80 (80%).

Berapakah kemungkinan seorang calon untuk diterima di S2 FKM UI DAN lulus tepat waktu?

= 0.5 x 0.8 = 0.4 = ….40%

(15)

TUGAS PROBABILITAS-1

1. Dari data kelas: Jika dipilih 1 orang mhs,

a) Berapa peluang untuk terpilih seorang laki2 ATAU seorang yang berumur <30th?

 Mutually eksklusif

(tidak mungkin muncul bersamaan)?

TIDAK

 PA + PB – (PAnB)

b) Berapa peluang untuk terpilih laki2 DAN berumur <30th?

 Independen? Prob LK umur <30 atau>30 sama saja (YA)  PA * PB

c) Berapa peluang untuk terpilih seorang Laki-laki DAN Golongan Darah-O?

 Independen? (Tidak), Kondisional? (Ya)

 Kondisional = PA|B * PB atau PB|A * PA

(16)

TUGAS PROBABILITAS

1. Dari data kelas:Jika berat badan berdistribusi normal, kemudian dipilih 1 orang mhs, berapa peluang untuk terpilih mhs dengan berat badan berkisar 50-60 kg?

(Mean = …. SD = …..)  Z = …?  Prob = ..?

(17)

Distribusi Teoritis Probabilitas

Distr. Teoritis Probabilitas

Kategorik/Numerik-Diskrit Numerik-Kontinyu

Binomial Poisson Log Normal (Z)

Student (t) Anova (F) Chi-square

(18)

Distribusi Probabilitas

 Data Diskrit: 1. Binomial 2. Poisson, , X²

 Data Kontinu: 1. Normal (Z) 2. Lainnya, t, F

 Distribusi Binomial

 Outcome = Dikotomous (yes/no, positif/negatif)

 Kedua outcome adalah independen

 p dan q selalu konstan

P (x,n) = p^x . q^n-x . n! / ((n-x)! . x!)

P (x,n) = probabilitas munculnya x sukses dari n percobaan p = probabilitas sukses dalam setiap percobaan

q = 1 - p probabilitas tidak sukses Mean = n.p

SD =  (n.p.q)

CONTOH: Jika koin dilemparkan 3 kali. Berapa

probabilitas untuk muncul tanda gambar, sebanyak:

a. nol kali, b. 1 kali, c. 2 kali, d.3 kali

e. paling sedikit 1 kali f. paling banyak 1 kali Diketahui p=0.5, n=3,

(19)

Distribusi Probabilitas

 Data Diskrit: 1. Binomial 2. Poisson

 Data Kontinu: 1. Normal (Z) 2. Lainnya, t, F, X²

 Distribusi Binomial

 Outcome = Dikotomous (yes/no, positif/negatif)

 Kedua outcome adalah independen

 p dan q selalu konstan

P (x,n) = p^x . q^n-x . n! / ((n-x)! . x!)

P (x,n) = probabilitas munculnya x sukses dari n percobaan

p = probabilitas sukses dalam setiap percobaan q = 1 - p probabilitas tidak sukses

Mean = n.p SD =  (n.p.q)

CONTOH: Kejadian ISPA pada balita sekitar 50%, jika ada 3 balita. Berapa probabilitas untuk muncul balita dg sakit ISPA, sebanyak:

a. nol balita (x=0), b. 1 balita (x=1), c. 2 balita, d.3 balita

e. paling sedikit 1 balita (x=1, 2, atau 3) f. paling banyak 1 balita (x=0 atau 1) Diketahui p=0.5, n=3,

� ( 0 , 3 ) = ( 0.5 )

⁰

∗ ( 1− 0.5 )

³⁻⁰

∗ 3 !

( 3 − 0 ) ! ∗ 0 ! =0.125

(20)

Distribusi Probabilitas

 Distribusi Poisson

 Outcome = Jumlah kejadian per satuan waktu/keadaan

 Sebagai perkiraan (approximate) dari distribusi binomial pada kejadian yang jarang (p < 0.1) dan n yang besar

P (x) = e^-^. ^x / x!

P (x) = probabilitas munculnya x sukses dari n percobaan

e = 2.7183

 = rata-rata terjadinya suatu peristiwa

p = probabilitas sukses dalam setiap percobaan

Mean (m) = () = n.p SD =  m

 CONTOH

Kematian akibat sakit gigi/th di populasi = 0.002 Dari 2000 penderita sakit gigi, berapa probabilitasnya:

a. Tidak ada yang mati = P(x=0)

b. Satu orang mati = P(x=1) = P-cum-1 – P-0 c. Dua orang mati = P(x=2) = P-cum-2 – P-cum-1 d. Tiga orang mati = P(x=3) = P-cum-3 – P-cum-2

e. Paling sedikit 3 orang mati = 1 – P-cum-2 (x=3,4,5,6…….2.000)

(21)

TUGAS PROBABILITAS-2

1. Kemungkinan mahasiswa S2 FKM UI untuk Lulus Cumlaude sebesar 0,2 (20%). Dari 10 mhs S2 berapakah kemungkinan untuk?

a) Tidak ada yg cumlaude?

b) Persis 3 org cumlaude?

c) Paling sedikit 3 org cumlaude?

d) Paling banyak 3 org cumlaude?

BINOMIAL (Kejadian sering + n kecil)

2. Kemungkinan mahasiswa S2 FKM UI untuk drop out (DO) kuliah sebesar 0,01 (1%). Dari 60 mhs S2 berapakah kemungkinan untuk DO?

a) Tidak ada yg DO?

b) Persis 3 org DO?

c) Paling sedikit 3 org DO?

d) Paling banyak 3 org DO?

POISSON (Kejadian jarang + n besar)

(22)

DISTRIBUSI NORMAL

(23)

Distribusi Probabilitas



Distribusi Normal

 Outcome = kontinuous variabel Z = (x - ) / 

Z = nilai z-score dari kurva normal standar

 = rata-rata (mean) populasi

 = standar deviasi (SD) populasi

x = kejadian yang ingin diketahui probabilitasnya



CONTOH

Tekanan darah sistolik orang dewasa terdistribusi secara normal dengan mean=120 mmHg dan SD=10 mmHg.

Hitunglah:

1. Luas kurva diatas 130 mmHg (probabilitas sistolik lebih 130 mmHg)

2. Luas kurva diatas 140 mmHg (probabilitas sistolik lebih 140 mmHg)

3. Luas kurva diantara 100 – 140 mmHg (prob sistolik antara 100-140 mmHg)

Tentukan nilai SBP yang membagi kurva atas dua bagian yaitu:

1. Nilai sistolik yang membagi kurva <95% dan > 5%

2. Nilai sistolik yang membagi kurva <97.5% dan > 2.5%

TUGAS PROBABILITAS

(24)

Jika pd suatu populasi 100.000 org dewasa Kadar serum

sodium pada orang dewasa sehat terdistribusi secara normal, dengan mean 141 meq/L dan Standar Deviasi 3 meq/L.

Hitunglah:

1.Jika kadar serum sodium 147 meq/L atau lebih dianggab sebagai masalah dan

akan diberikan obat penurunan kadar sodium, berapa paket obat yg harus disiapkan? 0,0228 * 100.000 = 2,280 paket

2.Berapa % populasi yang memiliki sodium 130 meq/L atau lebih rendah?

3.Berapa % populasi yang memiliki sodium antara 132 dan 150 meq/L?

4.Berapa batas kadar sodium, seseorang dinyatakan termasuk kedalam kelompok 10% kadar sodium tertinggi?

TUGAS PROBABILITAS

(25)

TERIMA KASIH

Departemen Biostatistika

Fakultas Kesehatan Masyarakat

Universitas Indonesia, 2020