Distribusi probabilitas
dan normal
Part 1.
DISTRIBUSI PROBABILITAS
Tujuan Perkuliahan
Setelah menyelesaikan kuliah ini, mahasiswa mampu:
Membuat distribusi probabilitas untuk variabel acak.
Menentukan rata-rata, varians, dan deviasi standar, untuk variabel acak diskrit.
Menentukan probabilitas yang tepat untuk keberhasilan X dalam n percobaan dari suatu eksperimen binomial.
Menentukan mean, varians, dan standar deviasi untuk variabel dari binomial distribusi.
Outline
Pengantar
Distribusi Probabilitas
Mean, Varians, dan Deviasi Standar
Pengantar
Banyak keputusan dalam situasi kehidupan nyata yang
dibuat dengan menetapkan probabilitas untuk semua hasil yang mungkin berkaitan dengan situasi dan kemudian
mengevaluasi hasilnya.
Sebagai contoh, pramuniaga dapat menghitung
probabilitas bahwa ia akan membuat 0, 1, 2, atau 3 atau lebih penjualan dalam satu hari
Setelah probabilitas ini dihitung, statistik seperti varians, rata-rata, dan standar deviasi dapat dihitung untuk
peristiwa ini. Dengan statistik ini, berbagai keputusan
dapat dibuat. Pramuniaga akan dapat menghitung rata-rata jumlah penjualan ia buat per minggu, pendapatan per bulan dsb.
Distribusi Probabilitas
Variabel acak
adalah variabel yang nilainya
berkaitan dengan probabilitas.
Variabel acak diskrit
bila himpunan
keluarannya dapat dihitung.
Variabel acak kontinyu
diperoleh dari data
Distribusi Probabilitas
Distribusi probabilitas diskrit terdiri dari nilai-nilai variabel
acak yang mengasumsi dan mengaitkan probabilitas dari nilai-nilai. Probabilitas ditentukan secara teoritis atau dengan observasi.
Contoh:
Buatlah distribusi probabilitas untuk melempar sebuah dadu
Jawab:
Karena ruang sampel adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan hasil
2 persyaratan distribusi probabilitas
1. Jumlah dari probabilitas semua kejadian dalam ruang
sampel harus sama dengan 1, yaitu, ∑P(X) = 1.
2. Probabilitas setiap peristiwa dalam ruang sampel harus
antara atau sama dengan 0 dan 1. Artinya, 0 ≤ P(X) ≤ 1. Soal:
Rata-rata, Varians, dan Deviasi Standar
Rata-rata, varians, dan deviasi standar untuk sebuah
distribusi probabilitas dihitung berbeda dari rata-rata, varians, dan deviasi standar untuk sampel.
Rumus rata-rata pada distribusi probabilitas:
Dimana X1,X2, ...,Xn adalah hasil dan P(X1),P(X2),....,P(Xn) adalah probabilitasnya
Rata-rata
Contoh soal 1: tentukan rata-rata nomor spot yang
muncul jika sebuah dadu dilempar.
Rata-rata
Contoh soal 2:
In a family with two children, find the mean of the number of children who will be girls.
Varians dan deviasi standar
Rumus varians pada distribusi probabilitas:
Varians dan deviasi standar
Contoh soal 1: hitung varians dan deviasi standar dari
data pada contoh soal 1 untuk rata-rata.
Distribusi Binomial
Banyak masalah probabilitas hanya memiliki dua hasil atau dapat dikurangi menjadi dua hasil.
Sebuah pertanyaan pilihan ganda, meskipun ada empat atau lima pilihan jawaban, dapat diklasifikasikan sebagai benar atau salah. Situasi seperti ini disebut eksperimen binomial.
Suatu eksperimen binomial dan hasilnya menghasilkan
distribusi probabilitas khusus yang disebut distribusi binomial. Sebuah eksperimen binomial adalah eksperimen probabilitas
yang memenuhi empat persyaratan sebagai berikut: 1. Harus ada jumlah percobaan yang tetap
2. Setiap percobaan hanya dapat memiliki dua hasil atau hasil yang dapat dikurangi menjadi dua hasil. Hasil-hasil ini dapat dianggap sebagai baik keberhasilan atau kegagalan.
3. Hasil dari setiap percobaan harus independen satu sama lain. 4. Probabilitas sukses harus tetap sama untuk setiap percobaan.
Dalam percobaan binomial, hasil biasanya diklasifikasikan
Contoh 4:
A survey found that one out of five Indonesians say he or she has visited a doctor in any given month. If 10 people are selected at random, find the probability that exactly 3 will have visited a doctor last month.
Penyelesaian contoh soal 3 dengan
menggunakan Tabel Distribusi Binomial.
Since n = 3, X = 2, and p = 0.5, the value 0.375 is found as
Distribusi Multinomial
Agar percobaan menjadi binomial, dua hasil diperlukan
untuk setiap percobaan. Tapi jika dalam setiap percobaan memiliki lebih dari dua hasil, distribusi yang disebut
distribusi multinomial harus digunakan.
Sebagai contoh, survei mungkin memerlukan tanggapan "menyetujui", “tidak setuju" atau "tidak ada opini“
Karena situasi ini memiliki lebih dari dua hasil yang
mungkin untuk setiap percobaan, distribusi binomial tidak dapat digunakan untuk menghitung probabilitas.
Soal latihan
X
6
8
10
12
14
P(X)
0,15
0,3
0,35
0,1
0,1
Jumlah mahasiswa yang menggunakan Lab. Farmakologi
per hari bisa dilihat pada tabel distribusi dibawah ini.
Dari data distribusi probabilitas tersebut, tentukan:
1.Rata-rata
2.Varians
3.Deviasi standar
4.Probabilitas jumlah mahasiswa yang menggunakan
Lab. Farmakologi kurang dari 8 atau lebih dari 12.
Part 2.
DISTRIBUSI NORMAL
Statistik Farmasi 2015Tujuan Perkuliahan
Setelah menyelesaikan kuliah ini, mahasiswa mampu: Mengidentifikasi distribusi simetris atau miring. Mengidentifikasi sifat dari distribusi normal.
Menentukan area di bawah distribusi normal standar.
Menentukan probabilitas untuk variabel berdistribusi normal dengan mengubahnya menjadi variabel normal standar.
Menentukan nilai-nilai tertentu data untuk persentase yang diberikan, menggunakan distribusi normal standar.
Menggunakan teorema limit sentral untuk memecahkan
masalah yang melibatkan rata-rata sampel untuk sampel besar. .
Outline
Pengantar
Distribusi Normal
Aplikasi Distribusi Normal
Pengantar
Distribusi Normal : kurva berbentuk bel, simetris,
Distribusi simetris dan miring
Distribusi normal adalah simetris
"Ekor" kurva menunjukkan arah kemiringan (kanan adalah positif, kiri negatif).
Distribusi Normal
Bentuk dan posisi kurva distribusi normal tergantung pada
dua parameter: rata-rata dan deviasi standar.
Setiap variabel berdistribusi normal memiliki distribusi kurva
normal sendiri, yang tergantung pada nilai-nilai dari rata-rata variabel dan deviasi standar.
Distribusi Normal
Kurva distribusi normal berbentuk lonceng.
Rata-rata, median, dan modus adalah setara dan terletak di pusat distribusi.
Kurva distribusi normal unimodal (ia hanya memiliki satu modus). Kurva simetris terhadap rata-rata, yaitu bentuknya adalah sama pada
kedua sisi garis vertikal melewati pusat.
Kurva kontinu, yaitu, tidak ada gap atau lubang. Untuk setiap nilai X, ada nilai dari Y.
Kurva tidak pernah menyentuh sumbu x. Secara teoritis, tidak peduli seberapa jauh di kedua arah kurva meluas, tidak pernah menyentuh sumbu-x tapi akan semakin dekat.
Total area dibawah kurva distribusi normal adalah sama dengan 1,00 atau 100%.
Area dibawah kurva normal yang ada pada 1 deviasi standar dari
rata-rata adalah sekitar 0,68 atau 68%; pada 2 deviasi standar, sekitar 0,95 atau 95%; dan pada 3 standar deviasi, sekitar 0,997 atau 99,7%.
Distribusi Normal Standar
Distribusi normal standar adalah distribusi normal dengan
Menentukan Area Di bawah Kurva
Distribusi Normal Standar
Langkah 1: Buatlah kurva distribusi normal dan arsir daerah tersebut.
Langkah 2: Cari gambar yang sesuai pada ‘Procedure Table’ dan ikuti petunjuk diberikan.
Misalnya, area di sebelah kiri nilai z dari 1,39 ditemukan
dengan melihat 1,3 di kolom kiri dan 0,09 di baris atas. Dimana dua garis bertemu memberikan area 0,9177
Contoh soal 1
Tentukan area di kiri z = 2,06
Jawab:
Langkah 1: buat gambar
Langkah 2: untuk mencari area di bawah distribusi normal
standar di kiri z = 2,06. Cari area ini di tabel, ditemukan 0,9803. Oleh karena itu, 98,03% adalah area kurang dari z = 2,06.
Contoh soal 2
Tentukan area antara z = 1,68 dan z = – 1,37
Jawab
Langkah 1: buat gambar
Langkah 2: Karena daerah yang diinginkan adalah antara dua
nilai z yang diberikan, mencari daerah sesuai dengan dua nilai z dan kurangi area yang lebih kecil dari area yang lebih luas.
(Jangan mengurangi nilai-nilai z). Daerah untuk z = 1,68 adalah 0,9535, dan daerah untuk z = – 1,37 adalah 0,0853. Daerah
Kurva Distribusi Normal sebagai Kurva
Distribusi Probabilitas
Kurva distribusi normal dapat digunakan sebagai kurva
distribusi probabilitas untuk variabel terdistribusi normal.
Distribusi normal adalah distribusi kontinu
Untuk probabilitas, digunakan notasi khusus. Misalnya,
untuk menentukan probabilitas dari setiap nilai z antara 0 dan 2,32, probabilitas ini ditulis sebagai P(0 < z < 2.32). Contoh soal:
Jawaban soal
a. P (0 < z < 2.32) berarti untuk menentukan area di
bawah distribusi normal standar kurva antara 0 dan 2,32. Pertama mencari area sesuai dengan 2.32 yaitu 0,9898. Kemudian cari area sesuai dengan z = 0 yakni 0,500.
kurangi dua area: 0,9898 - 0,5000 = 0,4898. Oleh karena itu probabilitasnya adalah 0,4898 atau 48,98%.
b. P(z < 1.65). Look up the area corresponding to z =1.65 in Table E. It is 0.9505. Hence, P(z <1.65) = 0.9505,or 95.05%. c. P(z > 1.91). Look up the area that corresponds to z = 1.91.
It is 0.9719. Then subtract this area from 1.0000. P(z >1.91) = 1.0000 - 0.9719 = 0.0281, or 2.81%.
Aplikasi Distribusi Normal
Kurva distribusi normal standar dapat digunakan untuk
menyelesaikan berbagai masalah praktis.
Satu-satunya persyaratan adalah bahwa variabel tersebut menjadi normal atau didistribusikan mendekati normal.
Untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan distribusi normal standar, lakukan dengan mengubah
variabel asli ke variabel distribusi normal standar dengan menggunakan rumus:
Contoh soal
Sebuah survei menemukan bahwa wanita menghabiskan
rata-rata $ 146,21 pada produk kecantikan selama musim panas. Asumsikan deviasi standar $ 29,44. Cari
persentase perempuan yang menghabiskan kurang dari $ 160,00. Asumsikan variabel terdistribusi secara normal. Jawab:
Langkah 1. Buatlah gambar dan arsir areanya seperti yang ditunjukkan pada Gambar berikut:
Langkah 2. Tentukan nilai z yang sesuai dengan $ 160,00.
karena $ 160,00 adalah 0,47 dari standar deviasi di atas rata-rata $ 146,21, seperti ditunjukkan dalam distribusi z pada Gambar berikut:
Langkah 3. Tentukan area tersebut, dengan menggunakan Tabel E. Area di bawah kurva di sebelah kiri z = 0,47 adalah 0,6808. Oleh karena itu 0,6808 atau 68,08%, dari wanita menghabiskan
kurang dari $ 160,00 pada produk kecantikan selama musim panas.
Contoh soal 2.
Orang Solo mengkonsumsi rata-rata 1,64 gelas teh per
hari. Asumsikan variabel adalah distribusi yang mendekati normal dengan standar deviasi 0,24 gelas. Jika dipilih 500 orang, kira-kira berapa banyak yang akan minum kurang dari 1 gelas teh per hari?
Jawab:
Langkah 1. Buatlah gambar dan arsir areanya seperti yang ditunjukkan pada Gambar berikut:
Langkah 2. Tentukan nilai z yang sesuai dengan 1.
Langkah 3. Tentukan area tersebut. Area di bawah kurva di sebelah kiri z = –2,67 adalah 0,0038.
Langkah 4. Untuk mengetahui berapa banyak orang yang
minum kurang dari 1 gelas teh, kalikan ukuran sampel 500 dengan 0,0038 untuk mendapatkan 1,9. Karena kita
bertanya tentang orang, bulatkan jadi 2 orang. Oleh
karena itu, sekitar 2 orang akan minum kurang dari 1 gelas teh sehari.
Contoh soal:
Untuk penelitian medis, seorang peneliti ingin memilih 60% pertengahan populasi dari penduduk berdasarkan tekanan darah. Jika tekanan sistolik rata-rata darah adalah 120 dan
deviasi standar 8, tentukan tekanan atas dan bawah yang akan memenuhi syarat orang untuk berpartisipasi dalam studi.
Jawaban:
Asumsikan bahwa pembacaan tekanan darah terdistribusi normal, kemudian titik batas adalah sebagai ditunjukkan pada Gambar berikut:
Gambar menunjukkan bahwa dua nilai yang diperlukan, satu di atas rata-rata dan satu di bawah rata-rata. Untuk mendapatkan area di sebelah kiri nilai z positif, tambahkan 0,5000 + 0,3000 = 0,8000 (30% = 0,3000). Nilai z dengan luas di sebelah kiri
terdekat dengan 0,8000 adalah 0,84.
Daerah di sebelah kiri nilai z negatif adalah 20%, atau 0,2000. Daerah yang paling dekat dengan 0,2000 adalah -0,84.
Oleh karena itu, 60% populasi ditengah akan memiliki pembacaan tekanan darah 113,28 < X < 126,72.
Menentukan Normalitas
Ada beberapa tes matematika untuk menentukan apakah suatu variabel terdistribusi secara normal.
Cara termudah adalah untuk menggambar histogram dari data dan memeriksa bentuknya. Jika histogram tidak
berbentuk lonceng, maka data tidak terdistribusi normal.
Kemiringan dapat diperiksa dengan menggunakan
koefisien kemiringan Pearson (PC) juga
disebut indeks kemiringan Pearson. Rumusnya adalah:
Jika indeks lebih besar dari atau sama dengan +1 atau kurang dari atau sama dengan –1, dapat disimpulkan bahwa data secara signifikan miring.
Contoh soal:
Jawaban:
Step 1. Construct a frequency distribution and draw a histogram for the data.Contoh soal
The formula
should be used to gain information about a sample mean
The formula
is used to gain information about an individual data value obtained from the population.
Notice that the first formula contains X, the symbol for the sample mean, while the second formula contains X, the symbol for an individual data value.
Contoh soal
The average number of pounds of meat that a person
consumes per year is 218.4 pounds. Assume that the
standard deviation is 25 pounds and the distribution is
approximately normal.
a. Find the probability that a person selected at random
consumes less than 224 pounds per year.
b. If a sample of 40 individuals is selected, find the
probability that the mean of the sample will be less
than 224 pounds per year.
Latihan soal
