Bab VIII : Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal
Posted by vebriana parmita on November 10, 2013 Posted in: Statistika Ekonomi. 1 Comment
A. Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal
Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva normal adalah:
1. Kurva berbentuk genta atau lonceng dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah. Nilai rata-rata hitung (µ) = median (Md) = modus (Mo). Nilai µ = Md = Mo yang berada di tengah membelah kurva menjadi dua bagian yaitu setengah di bawah nilai µ = Md = Mo dan setengah di atas nilai µ = Md = Mo.
2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya (µ).
3. Distribusi probabilitas dan kurva normal bersifat asimptotis. 4. Kurva mencapai puncak pada saat X = µ.
5. Luas daerah di bawah kurva normal adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.
Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah μ, dan standar deviasi σ, maka persamaan kurva normalnya adalah:
B. Jenis-jenis Distribusi Probabilitas Normal
Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ dan σ Berbeda
Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ Berbeda dan σ Sama
Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan μ berbeda dan σ sama mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama. Hal demikian bisa terjadi karena kemampuan antar populasi berbeda, namun setiap populasi mempunyai keragaman yang hampir sama.
Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ dan σ Berbeda
C. Distribusi Probabilitas Normal Baku
Distribusi normal baku adalah distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1.
Seringkali disebut dengan distribusi z.
Hal yang perlu dilakukan dalam rangka distribusi probabilitas normal baku adalah mengubah atau membakukan distribusi aktual dalam bentuk distribusi norma baku yang dikenal dengan nilai Z atau skor Z
Nilai Z adalah jarak yang berbeda antara sebuah nilai X yang dipilih dari ratarata μ, dibagi dengan standar deviasinya, σ.
Rumus nilai Z adalah :
Z = Skor Z atau nilai normal baku
σ= Standar deviasi Contoh Soal:
Rata-rata berat sebuah kotak adalah 283 gram dan standar deviasinya 1,6 gram. Berapakah probabilitas sebuah kotak dibawah 284,5 gram ?
Transformasi dari X ke Z
Transformasi ini juga mempertahankan luas di bawah kurvanya, artinya:
Contoh Soal:
Misalkan kita memilih 20 saham pada bulan Mei 2007. Harga saham ke-20 perusahaan tersebut berkisar antara Rp. 2.000 – 2.805 per lembarnya. Berapa probabilitas harga saham antara Rp. 2.500 sampai 2.805 per lembarnya. Diketahui μ = 2.500 sebagai nilai rata-rata hitung dan standar deviasinya 400.
Z = (X – μ) / σ
Z1 = (2.500 – 2500) / 400 Z1 = 0 / 400 = 0
Z2 = (2.805 – 2.805) / 400 Z2 = 0.76
D. Luas Daerah Di Bawah Kurva Normal
mendapatkan harga antara x = x1 dan x = x2. Luas di bawah kurva antara dua ordinat sembarang tergantung pada harga µ dan σ.
Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah data.
Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa dituis P(0<Z<0,76)? Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan = 0,2764 E. Penerapan Kurva Normal
Contoh Soal 1
PT GS mengklaim rata-rata berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.
Jawab:
Transformasi ke nilai z
AP(x< 250); P(x=250) = (250-350)/50=-2,00 Jadi P(x<250)=P(z<-2,00) Lihat pada tabel luas di bawah kurva normal
P(z<-2,00)=0,4772
Luas sebelah kiri nilai tengah adalah 0,5. Oleh sebab itu, nilai daerah yang diarsir menjadi 0,5 – 0,4772=0,0228. Jadi probabilitas di bawah 250 gram adalah 0,0228 (2,28%). Dengan kata lain probabilitas konsumen protes karena berat buah mangga kurang dari 250 gram adalah 2,28%. Contoh Soal 2
Jawab:
P(800<X<1.000)? Hitung nilai Z
Z1 = (800-900)/50 = -2,00; Z2 = (1.000-900)/50 = 2,00
Jadi: P(800<X<1.000) =P(-2,00<Z<2,00); P(-2,00<Z) = 0,4772 dan P(Z>2,00) = 0,4772
Sehingga luas daerah yang diarsir adalah = 0,4772+0,4772= 0,9544. Jadi P(800<X<1.000) = P(-2,00 < Z<P(-2,00) = 0,9544.
Kurva Normal
Kurva normal adalah satu model distribusi dari sejumlah kemungkinan distribusi. Hal ini disebabkan karena penggunaan konsep kurva normal sangat luas dan dijadikan sebagai alat yang sangat penting dalam pengembangan suatu teori, konsep kurva normal juga memberikan status khusus dalam pengembangan kaidah-kaidah ilmiah.
Kurva normal bukan hanya satu kurva, melainkan mempunyai sejumlah kurva yang tidak terbatas yang mungkin dapat dibuat, dan semua itu dideskripsikan dengan suatu persamaan aljabar berikut.
Persamaan di atas dapat membuat para pelajar menjadi panik dan/atau mengalami kesulitan untuk memahami konsep kurva normal. Secara umum, pemahaman atas persamaan aljabar ini tidak menjadi kebutuhan atau diperlukan untuk
mengapresiasi dan menggunakan kurva normal. Namun demikian persamaan ini perlu dijelaskan untuk memahami bagaimana konsep dan aplikasi suatu kurva normal.
Pertama, penggunaan simbol-simbol dalam persamaan ini dimaksudkan untuk menyederhanakan proses perhitungan. Simbol-simbol itu termasuk “2". “p”, dan “e”. Lambang “e” untuk menunjukkan adanya perhitungan dengan bilangan irasional atau untuk menunjukkan batasan yang sangat panjang. Hal ini
dimungkinakn untuk menunjukkan “sejumlah keunikan”, dalam kasus “e” ini, yang menunjukkan “kekuatan khusus”
Ketiga, dua simbol terakhir dalam persamaan adalah “mu (μ) lambang dari rata-rata ” dan “sigma (σ) lambang dari stadar deviasi” kedua lambang ini disebut dengan parameter atau nilai-nilai. Kedua parameter ini memberikan kemungkinan
pembuatan kurva normal menjadi tidak terbatas, yaitu dengan menghubungkan kedua parameter ini. Dalam hal ini konsep parameter menjadi sangat penting dan perlu diperhatikan secara sungguh-sungguh.
KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL
1.
1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo)
2. Kurva berbentuk simetris
3. Kurva normal berbentuk asimptotis. Kedua ekor kurva memanjang tak berbatas dan pernah memotong sumbu horizontal
4. Kurva mencapai puncak pada saat X=
5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri. Total=1
Daerah Kurva Normal
KURVA NORMAL STANDAR (KURVA NORMAL BAKU)
Kurva normal standar atau kurva normal baku adalah kurva normal yang mana nilai rata-ratanya sama dengan nol (m = 0 ) dan simpangan bakunya adalah 1 (s = 0 ). Dalam kurva normal umum nilai rata-rata
sama dengan x dan nilai simpangan baku 1s, 2s, 3s. dengan kata lain dalam kurva normal umum nilai rata-ratanya tidak sama dengan nol (m ¹ 0) dan nilai simpangan bakunya tidak sama dengan 1 (s ¹ 1).
Kurva normal umum dapat diubah kedalam kurva normal baku dengan menggunakan rumus :
z = nilai standard
X = Data ke i dari suatu kelompok data X = rata-rata kelompok
s = simpangan baku
Nilai Z > Nilai Standarà Konversi Nilai asli ke Standar Deviasi
Nilai Z > untuk menemukan prosentase wilayah total di bawah kurva normal
PENGGUNAAN KURVA NORMAL
Contoh: Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, makatentukanlah:
a. Berapa persen yang beratnya lebih dari 4.500 gram?
Cara menjawab soal tersebut adalah: 1. Hitung nilai z sehingga dua desimal 2. Gambar kurva normal standar
3. Letakkan harga z pada sumbu datar lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva
4. Lihat harga z dalam daftar harga z, caranya cari harga z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas. 5. Dari z paling kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang didapat harus ditulis dalam bentuk 0, x x x x (bentuk empat desimal).
6. Apabila yang diperlukan persen maka setelah melalui langkah ke lima kalikan dengan 100.
