POWER DAN SIZE DISTRIBUSI NORMAL DANAPLIKASINYA

(1)

1756

Tema 7: Ilmu-ilmu murni (Matematika, Fisika, Kimia dan Biologi)

POWER

_DAN

SIZE

_{DISTRIBUSI NORMAL DANAPLIKASINYA}

Oleh

Pratikno, B

1*

, Jajang

1

, Setianingsih

1

, dan Sudarwo, R

2

1

Department of Mathematics, FMIPA, Jenderal Soedirman University

Purwokerto, Indonesia

model regresi linier. Formula power dan size diturunkan secara analitik, sedangkan aplikasi testing

dengan non-sample prior information (NSPI), unrestricted test (UT), restrcited test (RT) dan pre-test pre-test (PTT) pada model regresi linier dilakukan pada data generate yang distandarisasi dari R package. Pemilihan rekomendasi test yang signifikan adalah menggunakan nilai maksimum power

dan minimum size dan juga graphically analysispower and size of the tests (UT, RT, dan PTT).

Hasil riset menunjukan bahwa jika power dan sizedistribusi normal untuk

𝜎

(standar deviasi) semakin besar maka nilai power dan size menuju hasil yang cenderung identik dan atau flat. Sementara itu, aplikasinya menunjukan bahwa grafik UT, RT, dan PTT data terstandarisasi menghasilkan grafik yang similar sebagaima hasil riset terdahulu yang dilakukan Pratikno (2012), yaitu kurva PTT cenderung terletak diantara UT dan RT.

Kata kunci:Power, regresi linier, size.

ABSTRACT

The research studied power and size of normal distribution and its applications on regression linear model. The power and size formula are derived analytically and the tests are unrestricted test (UT), restrcited test (RT) and pre-test test (PTT). Recommendation test is given by choosing maximum power and minimum size, and also graphically analysis. The result showed that the power and size for large standard deviation (

𝜎

) tend to be identical and flat.In simulation study, the graphs of theUT, RT, dan PTT are still similarwith the previous research (Pratikno, 2012), the PTT tend to lie between UT and RT.

Keyword:Power, regression linear model, size.

PENDAHULUAN

Distribusi normalsering disebut Gaussian distribution yang dikembangkan oleh Karl Gauss

dengan probability density function (pdf) univariat normal untuk variabel randomX dengan

parameter mean dan variance2_{dinyatakan sebagai}

(2)

1757

Perhitungan integralprobability density function (pdf) dan cumulativie distribution function (cdf)

persamaan (1) rumit dan sulit sehingga harus diselesaikan secara numerik, demikian juga

perhitingan untuk power yang merupakan probabilitas menolak hipotesis nol (H0) under hipotesis

alternatif (H1)

Penggunaan distribusi normal initelah banyak dilakukan oleh beberapa peneliti, diantaranya

Pratikno (2012) menggunakan distribusi ini untuk perhitung power of the testsunrestricted test

(UT) dan restricted test (RT) untuk pengujian intersep yang menggunakan treatmentnon-sample

prior information (NSPI) pada model regresi linier, demikian juga Khan(2005, 2008), Khan and

Saleh (1997, 2005, 2008), Khan and Hoque (2003), dan Saleh (2006) berkontribusi pada

pengembangan area riset dibidang estimasi yang melibatkan penggunaan R-code dari R-package.

Karena pentingnya nilai power dan size dalam menentukan signifikansi testing UT, RT dan

pre-test test (PTT) yang mendapat treatment NSPI pada SRM maka perlu dilakukan studi tentang

proses penurunan power dan size dari distribusi normal dan juga aplikasinya pada kasus penentuan

model terbaik UT, RT dan PTT. Selanjutnya riset ini dilakukan dengan mengkaji formula power

dan size dari distribusi normal, penghitungan nilai power dan size dengan R-code, menggambar

dan analisis grafik power dan size distribusi normal, dan grafik power dan size UT, RT dan PTT.

Penelitian ini memaparkan bagaimana formulasi power dan size distribusi normal yang

dipaparkan pada Bagian 2. Grafik dan aplikasinya diberikan pada Bagian 3, sedangkan kesimpulan

diberikan pada Bagian 4.

POWER_DANSIZE_{DISTRIBUSI NORMAL}

Cdfdistribusi normal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎 adalah dengan batas 𝑥=𝑥₁ dan 𝑥=

𝑥2untuk vaiabel random X adalah

𝑃 𝑥1 <𝑋<𝑥2 = 𝑛 𝑥_𝑥𝑥2 ;𝜇,𝜎 𝑑𝑥

1 (2)

Perhitungan integral persamaan (2) sebagai intregral fungsi distribusi normal adalah sulit sehingga

integral tersebut harus dihitung dengan pendekatan numerik, yaitu deret Maclaurin. Sementara itu,

hal yang terkait dengan power dan size adalah hipotesis yang akan digunakan. Hal ini untuk dapat

menentukan under H0 atau H1. Dalam kontek ini hipotesis yang diguanakan adalah two-side

Selanjutnya, size distribusi ini dinyatakan sebagai

𝛼∗₌_𝑃_menolak_𝐻

(3)

1758

standar deviasi yang digunakan semakin besar maka nilai powerakan mendekati nilai size. Grafik

cenderung similardengan sifat distribusi normal yaitu jika standar deviasi besarmaka kuvanya flat

(4)

1759

APLIKASI POWER_DANSIZE_{PADA DATA BANGKITAN}

Mengacu penelitian Pratikno (2012), maka power dan sizeUT, RT, dan PTT untuk model

regresi multivariat sederhana data bangkitan dari 4 variabel dependen 𝑦1= 5 + 2𝑥, 𝑦2 = 2 + 4𝑥,

𝑦3 = 3−5𝑥 dan 𝑦4= 6 + 8𝑥yang distandarisasi, dan dengan level of signidicance 0,05 dan

hipotesis two-side𝐻0:𝛽0𝑖 = 0 maka grafik power UT, RT, dan PTT adalah sebagai berikut.

Gambar 2. Grafik Kuasa UT, RT, dan PTT  0,1, 0,3, 0,5, 0,7,



₂= 0,5

Dari Gambar 2 terlihat bahwa PTTmenjadi pilihan alternatif dari UT dan RT hal ini karena

nilai PTT diantara UT dan RT dalam kontek maksimum power.Hasil ini masih sejalan dengan hasil

riset sebelumnya, Pratikno (2012). Demikian juga dengan grafik dan nilai size under H0, dimana

size PTT juga menjadi alternatif sebagai nilai pilihan minimum.

KESIMPULAN

Riset ini membahas power dan size pada distribusi normal dan aplikasinya pada model

regresi. Perhitungan power dan size menggunakan R-code dari R package. Hasil riset menunjukan

bahwa power dan sizedistribusi normal menunjukan bahwa jika𝜎 (standar deviasi) semakin besar

maka nilai power dan sizenaka kurvanya menuju identik dan atau flat. Sedangkan hasil terapannya

menunjukan bahwa PTT masih menjadi pilihan alternatif terbaik dan cenderung similar dengan

riset terdahulu yang dilakukan Pratikno (2012).

(5)

1760

DAFTAR PUSTAKA

Khan, S. 2005. Estimation of parameters of the multivariate regression model with uncertain prior information and Student-t errors, Journal of Statistical Research, 39 (2): 79-94.

Khan, S. 2008. Shrinkage estimators of intercept parameters of two simple regression models with suspected equal slopes, Communications in Statistics - Theory and Methods37: 247-260.

Khan , S. & Saleh, A.K.Md.E. 1997. Shrinkage pre-test estimator of the intercept parameter for a regression model with multivariate Student-t errors, Biometrical Journal 39: 1-17.

Khan, S. & Hoque, Z. 2003. Preliminary test estimators for the multivariate normal mean based on the modified W, LR and LM tests, Journal of Statistical Research37: 43-55.

Khan, S. &A.K.Md.E. Saleh 2005. Estimation of intercept parameter for linear regression with uncertain non-sample prior information, Statistical Papers 46: 379-394.

Khan, S. & A.K.Md.E. Saleh 2008. Estimation of slope for linear regression model

with uncertain prior information and Student-t error,Communications in Statistics-Theory and Methods 37(16), 2564-2581.

Pratikno, B. 2012.Tests of hypothesis for linear regression models with non sample prior information, Dissertation, University of Southern Queensland, Australia, 2012.

Saleh, A.K.Md.E.2006.Theory of preliminary test and Stein-type estimation with applications, John Wiley and Sons, Inc., New Jersey.