MAKALAH STATISTIKA DASAR
PEMAHAMAN TENTANG
DISTRIBUSI NORMAL DAN CONTOH SOAL BESERTA CARA PENYELESAIANYA
Disusun Oleh :
Nama NIM
Jaman : 10.11.1668
Riawan : 10.11.1669
Wahyu Gugus N : 10.11.1832 Ades Priambodo : 10.11.1707
Alvian : 10.11.1708
Dian : 10.11.1712
Chandra : 10.11.1695
Rizal : 10.11.1700
TEKNIK INFORMATIKA STMIK AMIKOM PURWOKERTO
2010/2011
KATA PENGANTAR
Distribusi probabilitas pada makalah ini dengan cara mempelajari probabilitas kontinu yang sangat penting, yaitu Distribusi Probabilitas Normal.
Suatu variable acak kontinu adalah dimana seseorang dapat mengasumsikan nilai yang tidak terbatas dari kemungkinan nilai-nilai yang terletak dalam jarak tertentu. Hal tersebut biasanya adalah hasil pengukuran sesuatu, seperti halnya berat badan seseorang. Berat badan seseorang dapat bernilai 112,0 kilogram, 112,1 kilogram, 112,22 kilogram, dan seterusnya, tergantung dari keakuratan skala yang digunakan. Variabel acak kontinu lainya adalah umur batu baterai alkaline, volume sebuah container, dan berat murni sebuah bijih besi.
Distribusi probabilitas umur beberapa produk, seperti batu baterai, ban, dan bola lampu, cenderung mengikuti suatu pola “ normal “. Demikian pula berat kotak sereal kellog special K, panjangnya suatu skala yang kontinu
Pada makalah ini, karakteristik utama dari distribusi probabilitas normal dan kurva normal akan dipelajari terlebih dahulu. Kemudian distribusi normal baru dan penggunaanya akan disajikan.
BAB I PENDAHULUAN
Salah satu perangkat untuk membuat suatu keputusan adalah statistika.
Statistika tidak hanya digunakan di bidang bisnis, kita semua juga menerapkan konsep-konsep statistika dalam kehidupan. Sebagai contoh, ketika pagi hari, kita menghidupkan shower dan air yang membiarkanya untuk beberapa detik.
Kemudian kita mengulurkan tangan kita menyentuh air yang mengalir di shower untuk mengetahui temperaturnya dan memutuskan apakah perlu menambah lebih banyak air panas atau air dingin, atau anda merasa air tersebut sudah cukup bisa di gunakan untuk mandi. Sebagai contoh kedua anggaplah kita sedang berada di sebuah toko grosir dan hendak membeli pizza beku. Salah satu dari perusahaan pembuat pizza membuka gerai di toko tersebut, dan mereka menawarkan Anda sepotong piza mereka. Setelah mencicipi pizza tersebut, kita memutuskan akan membeli pizza tersebut atau tidak. Pada kedua contoh tersebut, kita bisa membuat keputusan dan memilih serangkaian tindakan berdasarkan sampel, yaitu mencoba temperatur air dan mencicipi pizza.
BAB II
PENGERTIAN UMUM
Definisi statistika, statistika adalah ilmu mengumpulkan, menata, menyajikan, menganalisa dan mengeinterpretasikan data angka dengan tujuan membantu pengambilan keputusan yang efektif.
Apakah anda sedang mendengarkan radio local sekukaan Anda, menonton pertandingan sepak bola PSMS melawan Persib di telivisi, atau membaca harian KOMPAS, Bisnis Indonesia, atau tabloid BOLA, Anda telah menjadi sasaran bermacam- macam angka yang biasa disebut dengan “ Statistik”. Statistik- statistik tersebut mungkin menyinggung tentang olahraga, bursa saham, informasi ketenagakerjaan, hasil-hasil pertanian, kesehatan, agama, perdagangan eceran atau besar dan seterusnya.
Suatu kumpulan yang disusun lebih dari satu angka disebut statistic.
Contohnya kumpulan data dari 55.200 orang pemesan bunga untuk Hari Ayah, 30.000 agen perjalanan di USA, 2,2 persen angkatan kerja bekerja di sector pertanian dan harga sebuah fly rod $10.000, umumnya mengacu pada statistik 1.1 Beberapa pengertian umum tentang distribusi Normal
Fungsi kepekatan normal umum dan standar
Distribusi normal merupakan distribusi teoritis dari variable random yang kontinu. Pengalaman telah membuktikan bahwa sebagian besar dari variable random yang kontinu di pelbagai nidang aplikasi yang beraneka ragam umumnya memiliki distribusi yang didekati dengan distribusi normal atau dapat menggunakan sebagai model teoritisnya.
Distribusi normal yang demikian merupakan distribusi yang simetris, berbentuk genta dan kontinu serta memiliki fungsi frekuensi.
F(x)=
2 2)( ) 12
(
2
1
e
xFungsi f(x) di atas juga dinamakan fungsi kepekatan normal ( normal density function)
Rumus diatas, distribusi normal tergantung pada 2 parameter yaitu rata-rata dan varians σ2. Dengan kata lain, distribusi normal umum merupakan sekeluarga kurva yang berparameter dua buah dan agar kita memperoleh suatu gambaran tentang distribusi normal yang khusus, kedua parameter diatas harus diberi harga yang tertentu pula.
Hasilnya, fungsi kepekatan normal seringkali dinyatakan sebagai berikut :
dengan sendirinya, suatu distribusi normal dapat dibedakan dari distribusi normal yang lain atas dasar perbedaan rata-ratanya atau variansinya atau kedua-duanya.
Jika sudah tertentu tanpa menentukan σ2X, maka kita akan memperoleh serangkaian keluarga distribusi normal yang memiliki rata-rata yang sama dengan varians seperti pada diagram 1
Sebaliknya, jika σ2X sudah tertentu sedangkan tidak ditentukan, kita akan peroleh serangkaian keluarga kurva normal yang memiliki bentuk yang sama dengan lokasi yang berbeda sepanjag sumbu X seperti dalam diagram 2
Diagram 1
n(x|,σ2X) = F(x) =
2 2)( ) 12
(
2
1
x Xe
Diagram 2
Karena distribusinya kontinu, cara menghitung probablitasnya dilakukan dengan jalan menetukan luas di bawah kurvanya. Sayangnya, fungsi frekuensi normal tidak memiliki integral yang sederhana sehingga probabilitas umumnya dihitung dengan menggunakan distribusi normal standar dimana variabel randomnya ialah Z dengan = 0 dan µ2= 1. Tabel bagi variable normal standar Z =
sedemikain itu dapat dilihat pada bab akhir makalah ini.
25 ,
2 0
2 1
2 5
F(x)
0
2
2
Definisi dari diagram 1 bila Z merupakan variabel random yang kemungkinan harga-harganya menyatakan bilangan-bilangan riil antara - ∞ dan + ∞, maka Z dinamakan variabel normal standar bila dan hanya bila probabilitas interval dari a ke b menyatakan luas dari a ke b antara sumbu Z dan kurva normalnya dan persamaanya diberikan sebagai berikut :
Fungi yang dirumuskan dengan 10.1.3 diatas dinamakan fungsi kepekatan normal standart ( standar normal density function). Grafiknya dapat dilihat pada diagram 10.1.3
Diagram 10.1.3. fungsi kepekatan normal standar
f(z) =
2 1 e
) 2
12
(
pada diagram 10.1.3 di atas, skala f(z) dapat berubah. Agar
f(z) = 1, maka f(z) naik, mencapai titik maksimal 0,399 dan turun pula. Harus selalu diingat bahwa probabilitas pada sembarang titik-titik ialah nol karena bagi variabel kontinu, probabilitas selalu dinyatakan dalam interval. Dengan kata lain, probabilitas Z yang merupakan nilai pada interval antara Z = a hingga Z = bf(x)
-3 -2 -1 0 1 2 3 0,4
0,3
0,2
0,1
Z f(z) =
2 1 e
) 2
12
(
adalah sama dengan luas yang dibatasi oleh kurva normalnya, sumbu Z dan garis vertical Z = a dan Z = b. hal demikian dapat dilihat pada diagram 10.1.4
diagram 10.1.14 Kurva normal standar
seperti yang telah penulis katakan, pencarian luas kurva normal diatas dapat dilakukan dengan bantuan tabel luas normal A(z).
contoh 10.1.1 Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai 0 dan 1 ?
Per Table luas kurva normal, maka p(0 < Z < 1) = 0,3413.
Contoh 10.1.2 berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai antara -2 dan +2 ?
Per Tabel luas kurva normal, maka p(-2 < Z < +2) = 2(0,4772) = 0,9544.
Hal tersebut berarti bahwa 95,44 persen dari seluruh luas kurva normal standar terletak antara -2 dan +2.
Contoh 10.1.3 Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai antara 0,1 dan 2,8 ?
f(x)
A(Z)
a 0 Z
b
Per Tabel luas kurva normal, maka p(0,1 < Z < 2,8 ) = p(0 < Z < 2,8 ) – p(0 < Z <
0,1 ) = 0,4974 – 0,0398 = 0,4576.
Luas kurvanya dapat dilihat pada diagram 10.1.5
Diagram 10.1.5 Kurva normal standar, p(0,10 < Z < 2,8 ).
Contoh 10.1.4 carilah p( Z > - 0,20 )
Diagram 10.1.6 Kurva normal standar, p( Z > - 0,20 ) f(z)
p(0,10 < Z < 2,8 ) = 0,4576
f(z)
p(Z>-0, 20 ) = 0,5793 Z
Z
Dari diagram 10.1.6, kita ketahui bahwa p( Z > -0,20 ) = 0,5000 + p(-0,20 < Z < 0 )
= 0,5000 + 0,0793
= 0,5793
10.1.2 Fungsi distribusi kumulatif
Secara umum, fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal yang kontinu dengan dan dirumuskan sebagai berikut : 2
Fungsi distribusi normal kumulatif yang standar ( standardized normal cumulative distribution function ) dirumuskan sebagai berikut :
Dan grafiknya dapat dilihat pada diagram 10.1.7
Diagram 10.1.7 Fungsi distribusi normal kumulatif yang standar F(x) =
2 2
12 )( ) (
2
1
e
xdx
F(z) =
2 12) (
2
1
