BAB 2 DISTRIBUSI INDUK DAN DISTRIBUSI SAMPEL

BAB 2

DISTRIBUSI INDUK DAN DISTRIBUSI SAMPEL

2.1. PENDAHULUAN

Jika suatu besaran memiliki nilai sesungguhnya x sedangkan hasil ukurnya adalah x1

maka kita mengharapkan hasil pengamatan x1 mendekati x, namun kenyataannya tidak

selalu demikian. Jika dilakukan pengukuran berulang mungkin hasilnya x2 berbeda dari

hasil ukur pertama x1. Jika pengukuran diulangi sampai banyak kali maka akan diperoleh

sebaran data. Ada data yang telalu kecil, ada yang terlalu besar. Walaupun demikian kita berharap semua data hasil ukur masih berada di sekitar nilai sebenarnya x asalkan kita dapat memperbaiki ralat sistematis. Jika dilakukan pengukuran sampai tak hingga kali maka kita dapat melukiskan distribusi data yang sesungguhnya. Namun sayangnya hal ini tidak mungkin dilakukan dan bisanya hanya dalam hipotesis. Distribusi ini disebut

distribusi induk. Untuk data yang diperoleh dari pengukuran dalam jumlah terbatas,

maka distribusinya merupakan distribusi sampel. Jika jumlah pengukuran N mendekati tak hingga maka distribusi sampel mendekati distribusi induk.

10 kali 0 100 200 300 400 500 0 2 4 6 8 10 12 30 kali 0 100 200 300 400 500 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Gambar 2.1. Distribusi data dengan 10 kali pengukuran (a), 30 kali pengukuran (b)

(a)

Gambar 2.2. Histogram pengukuran panjang balok. Kurva gaussian yaitu garis penuh

diperoleh dari perhitungan dengan rata-rata (x=19,9 cm) dan deviasi standar (s = 0,52 cm). Kurva garis putus-putus menyatakan distribusi induk dengan rata-rata  = 20,0 cm dan deviasi standar  = 0,50 cm.

Contoh:

Mahasiswa mengukur panjang balok sebanyak 100 kali. Hasil pengamatannya setelah dikoreksi dengan ralat sistematis berada diantara 18 – 22 cm dan beberapa pengamatan hasilnya sama. Gambar 2 menyatakan histogram frekuensi pengukuran. Sumbu y menyatakan jumlah pengukuran. Jika hasil pengukuran berupa distribusi dengan kesalahan acak maka bentuknya mengikuti Gaussian atau distribusi kesalahan normal. Sumbu x digambar mulai dari (x-dx/2)  x  (x+dx/2). Jika kurva dinormalisasi sehingga luas daerah di bawah kurva samadengan 1 maka disebut fungsi distribusi probabilitas.

Untuk menyatakan parameter dari distribusi induk digunakan huruf Yunani sedangkan untuk menyatakan parameter distribusi sampel digunakan huruf latin. Parameter distribusi eksperimen (sampel) akan sama dengan parameter distribusi induk jika jumlah pengukuran mencapai batas tak hingga. Jika eksperimen dilakukan sebanyak N kali maka

(parameter induk) =   N

lim parameter eksperimen

Jika dilakukan pengukuran sebanyak N dan masing-masing pengukuran diberi label N

x

x

x

x

₁

,

₂

,

₃

,...,

maka jumlah dari seluruh pengukuran adalah:

N N i i

x

x

x

x

x















...

3 2 1 1

Untuk penyederhanaan biasa ditulis dengan:



x

_i

2.2. MEAN, MEDIAN DAN MODUS

 Rata-rata untuk populasi sampel: x_i N

x  1  (2.1)

 Mean untuk populasi induk:

















  i N

x

N

1

lim



(2.2)

 Mean sama dengan nilai rata-rata dari x.

Gambar 2.3 Distribusi asimetrik yang menggambarakan posisi mean, median dan modus

dari variabel.

Median dari populasi induk (



_1/2) merupakan nilai tengah dari populasi induk. Adanya 2

/ 1



membuat separoh dari data lebih kecil dari



_1/2 dan separoh data lebih besar dari 2 / 1



. Jadi

2

/

1

)

(

)

(

x

_i





_1/2



P

x

_i





_1/2



P

(2.3)

Modus adalah nilai yang paling sering muncul (most probable value,



_max).

)

(

)

(



_max



P

x





_max

P

(2.4) 2.3. DEVIASI

Deviasi



_i dari semua pengukuran

x

_i dengan nilai rata-rata distribusi induk 





_i



x

_i



(2.5)

Dalam perhitungan, deviasi biasanya dihitung terhadap mean dan bukan terhadap median atau modus.

Rata-rata deviasi



_i harus sama dengan nol.





lim

1

0

1

lim

lim







































     



N i



N i



N

_N

x

_N

x

(2.6)

Rata-rata mutlak deviasi  didefinisikan sebagai rata-rata dari harga mutlak deviasi:

















_

 





_i N

N

x

1

lim

(2.7)

Deviasi rata-rata merupakan ukuran penyebaran pengamatan yang diharapkan di sekitar mean.

Parameter lain yang lebih mudah digunakan secara analitik dan lebih mencerminkan penyebaran pengamatan adalah deviasi standar . Varian 2 _{didefinisikan}

sebagai limit rata-rata dari kuadrat deviasi terhadap nilai :

2 2 2 2

1

lim

)

(

1

lim







































_

_

    i N i N

N

x

N

x

(2.8) Deviasi standar  adalah akar varian. Ruas kanan pers. (2.8) sering diungkapkan dengan “rata-rata dari kuadrat, minus kuadrat rata-rata”. Dalam mekanika kuantum dituliskan

 

_

_x

2

_

_x

2

_

_

_

_x

_

2_{. Deviasi standar merupakan rms (akar kuadrat rata-rata dari}

deviasi). Untuk populasi sampel, deviasi standar kuadrat dinyatakan dengan:









2 2

)

(

1

1

x

x

N

s

_i (2.9)

atau deviasi standar

1

)

(

2









N

x

x

s

i

dimana faktor N-1 pada penyebut untuk menyatakan bahwa parameter

x

ditentukan dari data dan bukan parameter bebas (di luar data).

2.4 MEAN DAN DEVIASI STANDAR DARI DISTRIBUSI PROBABILITAS

Definisi  dan standar deviasi  terkait dengan distribusi induk P(x) dari populasi induk. Fungsi probabilitas P(x) didefinisikan sedemikian rupa sehingga pada batas jumlah

pengamatan yang sangat besar, proporsi dN pengamatan terhadap variabel x yang menghasilkan nilai antara x dan x+dx diberikan oleh dN = P(x) dx.

Nilai mean  merupakan nilai harap dari x atau ditulis x , dan varian merupakan

nilai harap dari kuadrat deviasi dari x terhadap , atau ditulis

(

x





)

2 . Nilai harap sembarang fungsi x,

f

(x

)

didefinisikan sebagai rata-rata berbobot dari f(x) meliputi seluruh nilai yang mungkin dari variabel x, dimana setiap nilai f(x) diberi bobot dengan distribusi rapat probabilitas P(x).

Distribusi diskrit

Jika fungsi probabilitas P(x) merupakan fungsi diskrit dari nilai observabel x, maka jumlah seluruh pengamatan individual



x

_i pada pers. (2.2) diganti dengan jumlah seluruh nilai PROBABILITAS pengamatan, dikalikan dengan banyaknya pengamatan tersebut yang diharapkan terjadi. Jika terdapat n kemungkinan nilai observabel x yang berbeda dan ditulis sebagai xj (dengan indek j berjalan dari 1 sampai n tanpa nilai xj yang sama), maka dari

pengamatan total N dapat diperoleh jumlah pengamatan bagi setiap observabel xj sebanyak

NP(xj). Selanjutnya mean dapat dinyatakan:







    







n j j j N i N

_N

x

_N

x

NP

x

1

)

(

lim

1

1

lim









  



n j j j N

lim

₁

x

P

(

x

)

(2.10)

Bandingkan dengan distribusi frekuensi:

i i i i i i i i i

_x

_P

_x

N

f

N

x

f

f

x

f





















Dengan cara yang sama, varian pada pers. (2.8) dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi probabilitas P(x) menjadi:





2 1 2 1 2 2 ) ( ) ( ) (

_lim

lim







_         





      n j j j N n j j j N x P x x P x (2.11)

Umumnya nilai harap dari sembarang fungsi f(x) dinyatakan dengan:







n j j j

P

x

x

f

x

f

1

)

(

)

(

)

(

(2.12)

Contoh: Di dalam kelas terdiri dari 14 orang dengan sebaran umur sebagai berikut:

No, (j ) Umur, xj Jumlah, N(xj)

1 14 1 2 15 1 3 16 3 4 22 2 5 24 2 6 25 5 Jumlah 116 14

Ungkapan tesebut dapat dinyatakan dengan

N(x1) = N(14) = 1 N(x2) = N(15) = 1 N(x3) = N(16) = 3 N(x4) = N(22) = 2 N(x5) = N(24) = 2 N(x6) = N(25) = 5 14 ) (    N x_j N

Pertanyaan: Berapakah peluang seseorang berumur 15 tahun? Jawab: Ini merupakan peluang individu.

N j N x P( _j) ( ) 14 1 ) 15 (  P

Pertanyaan: Berapakah peluang seseorang berumur 14 tahun?

14 1 ) 14 (  P

Jika ditabelkan maka peluang masing-masing umur adalah:

P(14) = 1/14 P(15) = 1/14 P(16) = 3/14 P(22) = 2/14 P(24) = 2/14

P(25) = 5/14 + P = 14/14 = 1

Pertanyaan: Berapakah peluang memperoleh seorang berumur 14 atau 15 Jawab: adalah jumlah dari kedua peluang individu.

7 1 14 1 14 1 ) 15 ( atau ) 14 ( P    P

Jumlah semua peluang individu adalah 1.

1 ) (    _j total P x P

Pertanyaan: Berapakah umur yang memiliki peluang terbesar?

Jawab: Adalah 25. Tampak bahwa P(25) paling besar dibandingkan yang lain.

Pertanyaan: Berapakah mediannya?

Jawab: 23 karena

P

(

x



x

_1/2

)



P

(

x



x

_1/2

)

= 7 yaitu 7 orang lebih muda dan 7 orang lebih tua.

Umumnya median adalah suatu nilai xj sedemikian rupa sehingga peluang untuk

memperoleh nilai xj lebih besar sama dengan peluang untuk memperoleh nilai xj lebih kecil.

Pertanyaan: Berapakah umur rata-rata? Jawab:

21

14

294

14

5

25

14

2

24

14

2

22

14

3

16

14

1

15

14

1

14







































































































x

_j

Umumnya harga rata-rata dari xj (ada yang menuliskan dengan notasi <xj>) diberikan oleh:

)

(

)

(

)

(

j j j j j j j

x

P

x

N

x

N

x

N

x

N

x

x















Pertanyaan: berapakah umur kuadrat rata-rata? Jawab: ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 2 2 j j j j j j j j j x P x N x N x N x N x x N x N x       = 459,57.

Gambar 2. Dua histogram dengan median, rata-rata, peluang paling besar sama namun

simpangan baku berbeda.

Untuk mengetahui ukuran penyimpangan suatu data (individu) terhadap nilai rata-ratanya digunakan xj.     x_j x_j x_j

Nilai x_j bisa negatif bisa positif. Jika diambil rata-ratanya maka sama dengan nol.





0 1 1 1 1                   

_

_

_

j j j j j j j j j x x x N N x x N x N x x N x

Untuk memunculkan adanya

penyimpangan data terhadap rata-ratanya digunakan kuadrat harga mutlak dari x_j yang dikenal dengan varians (2_).





2





2

(

)





2

(

)

2 j j j j j

x

P

x

x

x

P

x

x

























x

_j2



2

x

_j



x







x



2



P

(

x

_j

)







x

_j2

P

(

x

_j

)



2

x

_j



x



P

(

x

_j

)





x



2

P

(

x

_j

)







)

(

)

(

2

)

(

2 2 j j j j j

P

x

x

x

P

x

x

P

x

x





















1

2

2 2



















x

x

x

x

2 2











x

x

=x 2 x2 (2.12a) i X x = x-xrat (x)2 x2 1 14 -5.33 28.44 196 2 15 -4.33 18.78 225 3 16 -3.33 11.11 256 4 22 2.67 7.11 484

5 24 4.67 21.78 576 6 25 5.67 32.11 625 xrat= 19.33 0.00  =119.33 X2rat=393.67 Varians :

19

,

89

6

33

,

119

)

(

2 2

_





_

_

n

x



Standar deviasi :

n

x

)

2

(







=

4

,

46

6

33

,

119



Jika dari persamaan (7)

Varians:



2



x

2







x



2



393

,

67



19

,

33

2



19

,

89

Standar deviasi:





4

,

46

Hasilnya sama

Untuk varians sample maka bilangan pembaginya (n-1)

Distribusi kontinyu

Jika fungsi probabilitas merupakan fungsi yang bervariasi secara kontinyu dari nilai

x yaitu P(x), maka tanda sumasi untuk seluruh pengamatan individu pada pers. (2.10) dapat

diganti dengan integral untuk seluruh nilai x dikalikan dengan probabilitas P(x). Rumusan dari mean menjadi:







xP )

(

x

dx



(2.13)

dan varian 2 _menjadi:





   









2 2 2 2

₍

_

₎

₍

₎

₍

₎

_



x

P

x

dx

x

P

x

dx

(2.14)

Nilai harap (nilai rata-rata) sembarang fungsi x menjadi:







f

x

P

x

dx

x

Beberapa probabilitas (peluang) yang biasa digunakan untuk menganalisis data adalah distribusi binomial, distribusi Poisson dan distribusi Gaussian. Diantara ketiga jenis tersebut yang paling sering digunakan dalam penelitian fisika adalah distribusi Gaussian yaitu untuk melukiskan distribusi pengamatan acak dari suatu eksperimen. Distribusi Poisson digunakan untuk menganalisis data acak jika item atau peristiwa diamati dalam satuan interval tertentu, seperti analisis peluruhan radioaktif, atau sebaran data yang telah disortir dan dikelompokkan pada setiap interval (jangkau) tertentu sehingga dapat dibuat tabel frekuensi atau histogram. Distribusi binomial biasanya untuk menggambarkan peristiwa 1 dari sejumlah kemungkinan peristiwa yang mungkin, seperti jumlah gambar atau angka yang muncul pada pelemparan mata uang, jumlah partikel yang terhambur menuju atau kembali ke arah berkas sinar datang.

Distribusi Poisson

Dalam teori probabilitas dan statistik, distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan probabilitas suatu peristiwa yang terjadi pada jangkau waktu tertentu dan memiliki rata-rata (harga harap) tidak ada kaitannya dengan peristiwa sebelumnya. Distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk jenis interval yang lain (tidak harus waktu) seperti jarak dan volume, jumlah dan lain-lain. Jika rata-rata kejadian pada jangkau waktu tersebut adalah  maka probabilitas terjadinya peristiwa x adalah :

!

)

,

;

(

)

;

(

_lim

0

x

e

p

n

x

P

x

P

x B p P 





 





(2.16) O  = 1 O  = 4 O  = 10

dengan

P

_P

(

x

;



)

probabilitas Poisson untuk nilai x yang memiliki rata-rata  dan

)

,

;

(

lim

0

p

n

x

P

_B p 

adalah limit probabilitas binomial jika p 0.

Ingat bahwa

P

_P

(

x

;



)

tidak pernah 0 untuk x = 0 karena 0! = 1. Demikian pula tidak didefinisikan untuk x negatif.

Pers. (2.16) menyatakan fungsi probabilitas ternormalisasi, sehingga jumlah fungsi yang dihitung pada semua nilai variabel x samadengan 1.







        









0 0 0

1

!

!

)

;

(

x x x x x P

e

e

x

e

x

e

x

P

   

_





(2.17)

ingat deret taylor untuk



 















0 4 3 2

!

...

!

4

!

3

!

2

!

1

1

n n x

n

x

x

x

x

x

e

Mean dan Standar deviasi

Distribusi Poisson (sebagaimana distribusi binomial) merupakan distribusi diskrit. Distribusi Poisson hanya didefinisikan pada nilai x bulat,  positif dan bilangan riil. Mean distribusi Poisson merupakan parameter  pada pers. fungsi probabilitas

P

_P

(

x

;



)

(2.16).

! ! ) ; ( 1 0 0 x e x x e x x P x x x x x x P x             







   











 _{  }













       





e

e

x

e

x

e

x x x x 1 1 1

(

1

)!

(

1

)!

(2.18) Standar deviasi () dicari dari varians.

 

2 1 1 2 0 0 2 2 2 2

)!

1

(

!

!













  





































         







e

x

_x

x

e

x

x

e

x

x

x

x x x x x x

 

2 1 1

(

1

)!

)

1

)

1

((



















   



x

_x

e

x x

 

2 1 1

(

1

)!

)

1

)

1

((



















   



x

_x

e

x x

 

2 1 1 1 1 ( 1)! ( 1)! ) 1 (             

_

_

        x x x x x e x x e

 

2 1 1 2 2 2

)!

1

(

)!

2

(











 











_

_

        x x x x

x

e

x

e

 















 



 













2

e



e

e



e

2 2 2 . maka





 (2.19).

Maka distribusi poisson hanya memiliki parameter tunggal yaitu .

Contoh 1:

Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

Jawab :

Ungkapan 200 orang telah memesan tiket dan probabilitas tidak berangkat 0,01, artinya rata-rata pemesan tiket yang tidak berangkat adalah 200  0,01 = 2. jadi  = 2. Selanjutnya untuk x = 3 maka

1804

.

0

!

3

2

!

)

,

(

2 3







 

e

x

e

x

P

x 





atau 18.04 % Contoh 2:

Rata–rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman. Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :

1. Tidak ada kesalahan ( x = 0 )

2. Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3 ) 3. Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15)

Diketahui: rata-rata µ = 5 a. untuk x = 0 maka

0

.

0067

!

0

5

)

5

,

0

(

5 0







e

P

b. untuk x ≤ 3 ;

P

(

x



3

;





5

)



P

(

0

;

5

)



P

(

1

;

5

)



P

(

2

;

5

)



P

(

3

;

5

)

= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650 atau 26.5 %

c. untuk x > 3 maka

P

(

x



3

;

5

)



1



P

(

x



3

;

5

)



1



0

.

2650



0

,

735

atau 73,5%

Contoh 3:

Dua siswa mengukur cacah latar dari radiasi sinar kosmis di lab. Fisika sebagai tugas untuk menentukan umur 2 isotop radioaktif perak. Data direkam oleh detektor pada setiap 2 detik sebanyak 100 data dan diperoleh jumlah cacahnya 1,69 cacah / 2 dt. Dari rumus keduanya memperkirakan standar deviasinya



 1,69 1,30 dan dari

perhitungan diperoleh s = 1,29 (dg rumus

s





  



n

2

/

n



1



) . Selanjutnya kedua siswa mengulangi eksperimen, sekarang detektor merekam data setiap 15 dt sebanyak 60 data. Diperoleh mean 11,48 cacah/15detik dan standar deviasi



 11,48 3,17. Standar deviasi yang dihitung dari data dengan pers. (2.9) adalah s = 3,39.

Perincian kedua percobaan adalah sebagai berikut:

Percobaan 1 Percobaan 2

Interval waktu 2 detik 15 detik

Jumlah data 100 60

Mean 1,69 cacah/2 dt 11,48 cacah/15 dt

Standar deviasi  = 1,3  = 3,17

S = 1,29 s = 3,39

Gb. 2.3 Gb. 2.4.

Histogram kedua set data ditunjukkan pada Gambar 2.3 dan 2.4 (bukan gambar distribusi probabilitas, namun langsung dikelompokkan interval cacah terhadap frekuensi atau jumlah kejadian). Dari Gambar 2.3 tampak bahwa kurva tidak simetri, sehingga posisi 

tidak bersama-sama dengan modus x (puncak kurva). Gambar 2.4 hampir simetris pada nilai rerata. Jika  naik maka tingkat simetri distribusi Poisson juga bertambah sampai tidak bisa dibedakan dengan distribusi Gaussian.

Perubahan interval

Distribusi Poisson dapat diimplementasikan dalam kasus yang lebih spesifik jika pada kasus yang lebih umum tidak memberikan cukup arti. Misalnya rata-rata peristiwa dalam interval tiap jam sama, maka tidak ada artinya kita menghitung probabilitas peristiwa dalam suatu jam tertentu. Ada kemungkinan jika interval waktunya dipersempit maka jumlah peristiwa menjadi berbeda. Misalnya jumlah peristiwa pada menit 10 pertama, berbeda dengan jumlah peristiwa pada 10 menit kedua. Maka distribusi poisson menjadi lebih bermakna. Hal tersebut dapat dilakukan jika peristiwa kedua tidak bergantung pada peristiwa pertama. Dalam interval jenis kedua tetap harus terjamin tidak ada kesamaan jumlah peristiwa untuk interval waktu berikutnya. Jika masih terjadi kesamaan maka penggunaan distribusi poisson gagal. Dalam kasus perubahan interval peristiwa ini maka berlaku:

 

!

)

;

(

)

;

(

x

e

t

t

x

P

x

P

t x 







 





Dengan  = jumah peristiwa persatuan waktu

t = jumlah satuan waktu

Contoh soal :

Jika rata–rata kedatangan bis di suatu terminal λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dalam t = 3 menit?

Jawab:

Dalam kasus ini λ = 72 kedatangan setiap jam namun yang ditanyakan adalah 4 kedatangan per 3 menit. Oleh karena itu  = 72/jam diubah menjadi 72/60 menit = 72/(203) menit = (72/20)/3 menit = 3,6 kendaraan / 3menit.

191

,

0

!

4

6

,

3

)

6

,

3

;

4

(

6 , 3 4







e

P

atau 19,1 % 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0 2 4 6 8 10 12

Jum lah kendaraan

P ro b a b il it a s Jumlah Probailitas

Jika diinginkan menentukan jumlah probabilitas sampel mulai dari x1 sampai dengan x2

pada kurva distribusi Poisson dengan mean , maka

) ; ( ) ; , ( 2 1 2 1 x



P x



x S _P x x P 



(2.21)

Jika diinginkan menentukan jumlah probabilitas sampel dengan kejadian sebanyak n atau lebih dan mean  maka :





   











1 1 1 0

!

1

)

;

(

1

)

;

,

(

n x x P n P

x

e

x

P

n

S









(2.22)

Dari contoh di atas cacah terekam rata-rata untuk interval 15 detik adalah  = 11,48. Dalam interval pertama maka diperoleh nilai 23. Probabilitas untuk memperoleh nilai 23 atau lebih adalah ~0,0018.

Pada kasus jumlah kendaraan di atas

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 2 4 6 8 10 12

Jum lah kendaraan

J u m la h p ro b a b il it a s x Jumlah P(x; 3,6) 0 0,027324 1 0,125689 2 0,302747 3 0,515216 4 0,706438 5 0,844119 6 0,926727 7 0,969211 8 0,988329 9 0,995976 10 0,998729 11 0,99963 12 0,9999 13 0,999975 14 0,999994 15 0,999999 16 1

Verifikasi nilai rata-rata distribusi Poisson

x P(x;3,6) xP(x;3,6)

0 0,027324 0

2 0,177058 0,354115 3 0,212469 0,637408 4 0,191222 0,764889 5 0,13768 0,6884 6 0,082608 0,495648 7 0,042484 0,297389 8 0,019118 0,152943 9 0,007647 0,068824 10 0,002753 0,02753 11 0,000901 0,009911 12 0,00027 0,003244 13 7,49E-05 0,000973 14 1,92E-05 0,000269 15 4,62E-06 6,93E-05 16 1,04E-06 1,66E-05 Jumlah 3,6

Dari kolom ketiga bawah, maka sesuai dengan persamaan (2.18) diperoleh

6 , 3 ) ; ( 0  

_

    xPP x x 2



BELUM

2.3 DISTRIBUSI NORMAL ATAU GAUSSIAN

Distribusi Gaussian merupakan keadaan khusus dari pendekatan distribusi binomial jika jumlah pengamatan berbeda yang mungkin n menjadi tak berhingga besar dan probabilitas berhasil untuk setiap pengamatan cukup besar sehingga np >> 1. Keadaan ini menjadi distribusi Poisson jika  menjadi besar.

Karakteristik

Fungsi probabilitas Gaussian didefinisikan:

                 2 2 1 exp 2 1 ) , ; (













x x P_G (2.23)

Bentuk tersebut merupakan fungsi kontinyu yang melukiskan probabilitas untuk memperoleh nilai x, hasil pengamatan secara acak dari distribusi induk dengan parameter 

dan  yaitu mean dan deviasi standar. Karena distribusinya kontinyu maka perlu mendifinisikan interval dimana nilai hasil pengamatan dari x akan berada. Fungsi probabilitas didefinisikan sedemikian rupa sehingga probabilitas

dQ

_G

(

x

;



,



)

nilai suatu pengamatan secara acak akan berada dalam interval dx di sekitar x diberikan oleh:

dx

x

P

x

dQ

_G

(

;



,



)



_G

(

;



,



)

(2.24)

dengan dx merupakan nilai x yang kecil sekali. Maka fungsi probabilitas ternormalisasi menjadi:







      

dQ

G

(

x

;



,



)



dQ

G



P

G

(

x

;



,



)

dx



1

(2.25) Bukti:

Lebar kurva ditentukan dengan nilai  sedemikian rupa sehingga untuk

x



 



maka tinggi kurva berkurang menjadi e-1/2 _{dari nilai puncaknya.}

) , ; ( ) , ; (









1/2 _G







G e P P    (2.26)

Bentuk distribusi Gaussian ditunjukkan pada Gambar 2.25. Kurva berbentuk seperti lonceng dan simetri di mean .

Gambar 2.5 Probabiltas Gaussian yang menggambarkan hubungan , ,  dan P.E.

terhadap kurva. Kurva memiliki luas 1

Karakterisasi yang lain adalah pada lebar setengah puncak maksimum , yang

sering dinyatakan dengan lebar setengah (half-width), didefinisikan dengan jangkau x yang menghasilkan probabilitas setengah dari nilai maksimumnya.

)

,

;

(

)

,

;

(

2 1 2 1

_

_

_

_

_



_G G

P

P







(2.27) karena 1 max  G P .

Dengan definisi ini maka dari pers. (2.23) dapat diperoleh:

 = 2.354 (2.28)

Pada gambar tampak bahwa bagian kurva yang paling terjal berada pada ketinggian e-1/2

bersesuaian dengan absis x =  . Kurva ini jika dilanjutkan akan berpotongan dengan sumbu x =  2.

Contoh: Cacah radioaktif Cs-137 selama 10 detik sebanyak 1000 kali pencacahan di lab

3828 3856 3904 3923 4001 3889 3977 3964 3983 3963 3921 3985 3833 3972 3936 3780 3934 4028 3830 3929 3856 3950 3953 3951 3927 3943 3980 3962 3988 3921 3865 3968 3946 3951 3880 4074 3961 3989 3889 3918 3870 3789 3814 3877 3826 3916 3960 3833 3870 3887 3907 3994 3883 3873 3879 3827 3914 3991 3999 3994 3906 3889 3883 3953 3947 3854 3861 3980 4014 3909 3885 3972 3993 3939 3838 3871 4040 3861 3999 3962 3938 4012 3926 3955 3935 4027 3830 3879 3871 3918 3831 3869 3938 3810 4001 3849 3865 4008 3875 3865 4025 3940 3960 3907 3919 3947 3936 3971 3925 3952 3915 3890 4025 3911 3891 3925 3935 3857 3987 3876 3856 4007 3875 3895 3999 3876 3942 3926 3891 3893 3816 3871 3878 3839 3936 3955 3879 3928 3988 3880 3847 3910 3917 3909 3969 3962 3992 3887 3904 3917 3941 3830 3950 3971 3873 3918 3889 3952 3926 3856 3898 3956 3875 3944 3865 3939 4028 3862 3920 3950 3931 3985 3890 3971 3984 3931 3865 3895 3969 3943 3962 3872 3859 3896 4014 4008 3817 3876 3870 3939 3941 3998 3816 3964 3944 4064 4045 4026 3933 3955 3927 4036 3960 3882 3896 3950 3948 3813 3952 3958 3941 3943 3893 4106 3865 3904 3890 3910 3865 3883 3911 3964 3879 3871 3915 4048 3895 3940 3859 3867 3870 3931 3895 3801 3991 3959 3851 3823 3947 3938 3999 3883 3897 3808 3883 3791 3877 3876 4027 3854 3860 3844 3839 3984 3948 3833 3894 3902 3903 3979 3859 3943 3874 3825 3951 3858 3992 3953 3961 3999 3895 3949 3931 3876 3897 3857 3923 3833 3927 3864 3887 3952 3895 3810 3897 3932 3892 3856 3933 3879 4028 3890 3867 3838 3910 4022 4009 4006 3859 3902 3872 3780 3865 3893 4017 3826 3890 3856 3931 3994 3907 3819 3895 4060 3940 3890 3826 3838 3901 3846 3851 3904 3791 3964 3868 3940 3998 4009 3807 3945 3956 3880 3925 3901 3890 3915 3979 3994 3959 3949 3918 3833 3861 3907 3963 3875 3945 3870 3877 3870 3902 3896 3780 3949 3915 3859 3923 4015 3901 3889 3938 3937 3942 3977 3954 3864 3921 3959 3877 3978 3960 3988 3936 3943 3887 3866 3959 3963 3845 3917 3877 3907 3801 3902 3896 3904 3956 3933 3992 3844 3980 3965 3923 3926 3991 3942 3943 3864 3945 3884 3949 4043 3799 3905 3922 3995 3938 3971 3900 3926 3957 3856 3925 3836 3865 3900 3989 3903 3958 3913 3953 3985 3953 3941 3857 3852 3963 3935 3901 3985 4011 3873 3910 3891 3878 4003 3994 3871 3991 3756 3702 3951 3905 4029 3971 3951 3901 3972 3890 3959 3964 3825 3915 3861 3963 3960 3941 3953 3940 3959 4061 3850 3876 3926 3998 3927 3941 3870 3999 3914 3905 3901 3861 3869 3854 4025 3880 3827 3966 3911 3926 3853 3959 3977 3900 3936 3908 3981 3872 3887 3971 3858 3938 3966 3939 3908 4009 3826 4037 3956 3999 3956 3999 4030 3862 3780 3959 3926 3957 4010 3964 3897 3932 3949 3981 4008 3961 3946 3853 3921 3971 3941 3961 3906 3992 3948 3938 3865 3957 3988 3996 3965 3830 3905 3891 3912 3938 3922 3955 3977 3938 3901 3843 4037 4025 3928 3950 3923 3889 3925 3872 3940 4002 3848 3826 3905 4085 3887 3944 3919 3943 3879 3951 3930 4014 3946 3985 3970 3887 3900 3981 3089 3959 3972 3872 3887 3929 3941 3987 3952 3979 3946 3992 4033 3888 3902 3848 3963 3993 3938 3927 3925 3956 3877 3909 3889 3799 3932 3918 4005 3905 3849 3958 3981 3827 3874 3944 3881 3976 3943 3823 3941 3897 3903 4035 3869 3942 3952 3905 3895 4031 3811 3941 3933 3897 3905 3794 3960 3991 3926 3891 3900 3926 3984 3956 3942 3916 4043 3948 3949 4005 3996 3951 3906 3927 3936 3950 4042 3929 3969 3918 3900 3977 3956 3947 3860 3808 3963

3950 3901 3977 3835 3929 4010 3919 3985 3848 3961 3976 3999 3808 3932 3998 3927 3938 3846 3951 3987 3980 4029 3970 3977 3913 3968 3901 3898 3823 3935 3950 3959 3934 3996 3941 3953 3946 3932 3982 3872 3853 3871 3799 3831 3932 3932 3849 3890 3939 3857 3985 3895 3940 4025 3989 3919 3938 3938 3869 3876 3957 3871 4008 4009 3861 3944 4011 3987 3938 3938 3926 3880 3961 3962 3955 3907 3908 3959 3971 3878 3826 3826 3906 3971 3938 3856 4106 3868 3999 3848 3940 3992 3887 3887 3963 3862 3872 3971 3896 3869 3981 3905 3861 3898 3992 3992 3932 3872 4014 3876 4026 3947 3957 4035 3853 3984 3799 3799 3898 4064 3987 4036 3943 3876 3843 3991 3892 3870 3823 3823 3871 3958 3956 3904 4048 3839 3866 3951 3921 3960 3897 3897 3890 3871 3944 3867 3938 3887 3844 3808 3889 3890 3932 3953 3876 3823 4031 3808 3984 3956 3905 3808 3844 3870 3938 3901 3880 3844 3956 3902 3953 3931 3903 3858 3918 3883 3938 3936 3971 3858 3929 3949 3952 3939 3873 3780 3888 3903 3826 3956 3862 3864 3929 3932 4022 3882 3951 3921 3891 3931 3887 3949 3872 3838 3951 3902 3994 3910 3959 3905 3833 3892 3992 3865 4064 3856 3934 4060 3964 3931 3869 3923 3850 3848 3799 3901 3958 3904 3880 3968 3994 3791 3981 3879 3933 3970 3823 3905 3871 3915 3870 3916 3889 3979 3956 3887 3916 3946 3897 3900 3823 3870 3883 3994 3931 3876 4008 3938 4013 3889 3953 4033 3844 3943 4040 3939 4014 3856 3988 3981 4066 3943 3901 3946 3858 3957 3831 3879 3933 3887 4037 3952 4038 3933 3936 3965 3864 3857 3919 3940 3893 3992 3844 3900 3924 4043 3956 3928 3838 3991 3987 3925 3895 3799 3905 3936 3939 3900 3949 3919 3856 3915 3878 3893 3999 3989 3903 3901 3925 3985 3865 3972 3904 3941 3992 3909 3948 4011 3873 3927 3902 4029 3901 3963 3915 3926 3898 3952 3961 3971 3951 4025 Langkah-langkah

 pertama adalah mengurutkan data

 mensortir data dengan menolak data menggunakan dengan kriteria 2 . Ada sebanyak 22 data yang tertolak.

 Menentukan panjang interval dengan rumus:

k x x_{max min}

interval

panjang  

dengan k adalah jumlah pembagi pada sumbu x:

k



1



3

,

3

log(

N

)

= 10,86 dibulatkan menjadi 11, dengan N jumlah data diterima (dalam hal ini N = 978) interval frekuensi m P(m) 3794 - 3817 24 0 0.0067311 3817 - 3840 46 1 0.0336622 3840 – 3863 76 2 0.0841727 3863 – 3886 131 3 0.1403165 3886 – 3909 145 4 0.1754315 3909 – 3933 122 5 0.1754674

3933 – 3956 178 6 0.1462527 3956 – 3979 101 7 0.1044876 3979 – 4002 88 8 0.0653181 4002 – 4025 39 9 0.0362952 4025 - 4048 28 10 0.0181513  = 978 0.15 0.10 0.05 P (m ) 10 8 6 4 2 0 m 30 detik 60 detik 10 detik

Tamilan running program Igor Display wave1 vs wave0 •ModifyGraph mode=3

•CurveFit gauss wave1 /X=wave0 /D Fit converged properly

fit_wave1= W_coef[0]+W_coef[1]*exp(-((x-W_coef[2])/W_coef[3])^2) W_coef={0.00033021,0.17995,4.7415,3.12}

V_chisq= 0.000519094; V_npnts= 11; V_numNaNs= 0; V_numINFs= 0; W_sigma={0.0106,0.01,0.0758,0.245}

Coefficient values ± one standard deviation y0 = 0.00033021 ± 0.0106 A = 0.17995 ± 0.01 x0 = 4.7415 ± 0.0758 width = 3.12 ± 0.245

Hasil fitting data mengikuti profil gaussian menunjukkan bahwa pada t = 10 detik persamaan berbentuk:

2 3.12 4.7415 x

0.17995

0.00033021

       





e

y

Distribusi Gaussian standar

Bentuk standar dari persamaan Gaussian dibentuk dengan mendefinisikan variabel tak berdimensi z = (x-)/, sehingga:

dz

z

dz

z

P

_G 2 2 1

2

exp

)

(











 



 (2.29)

Jadi dari tabel nilai

P

_G

(z

)

maka dapat diperoleh fungsi distribusi Gaussian

P

_G

(

x

;



,



)

untuk semua nilai parameter  dan  dengan mengubah variabel dan membuat skala fungsi

dengan 1/.

Mean dan Deviasi Standar

Parameter  dan  pada pers. (2.23) untuk distribusi rapat probabilitas Gaussian berhubungan dengan mean dan deviasi standar fungsi. Ekuivalensi ini dapat dibuktikan dengan menghitung  dan  dari pers. (2.13) dan (2.14) sebagai nilai harap untuk fungsi Gaussian x dan (x-)2_.

Untuk sampel data terbatas, yang diharapkan mengikuti distribusi rapat probabilitas Gaussian, mean dan deviasi standar dapat dihitung secara langsung dengan pers. (2.1) dan (2.9). hasilnya

x

dan s merupakan estimasi dari mean  dan deviasi standar

.

Probabilitas Integral

Probabilitas integral merupakan probabilitas pengukuran menyimpang dari harga mean sebesar x. Besarnya dapat diturunkan dengan menghitung integral secara numerik:

dx

x

x

A

x x G



   



























 







 

_











2 2 1

exp

2

1

)

,

;

(

(2.30)

yang artinya probabilitas bahwa sembarang nilai x menyimpang dari mean kurang dari x. Karena fungsi probabilitas

P

_G

(

x

;



,



)

ternormalisasi menjadi 1, maka probabilitas bahwa suatu pengukuran akan menyimpang dari mean lebih dari x hanya

)

,

;

(

1



A

_G



x





. Yang menarik adalah probabilitas yang berhubungan dengan deviasi , 2,.. terhadap mean terkait dengan 1, 2, .. pada deviasi standar. Eror terboleh jadi (probable

error, P.E.) merupakan harga absolut deviasi

x





sedemikian rupa sehingga probabilitas deviasi dari sembarang pengamatan yang dilakukan secara acak

x

_i





kurang dari ½ (atau 50%). Jadi separoh dari observasi dalam ekesperimen diharapkan turun pada batas P.E.

Jika digunakan bentuk distribusi gaussian standar sebagaimana pers. (2.29) maka dapat dihitung probabilitas integral

A

_G

(z

)

dalam variabel tak berdimensi z = (x-)/,



 



z z z G

z

dz

e

dz

A

( /2)2 2 1

)

(

 (2.31)

dimana z = x/ mengukur deviasi dari mean dalam satuan deviasi standar .

Integral pada pers. (2.31) tidak dapat dihitung secara analitik sehingga untuk menentukan

A

_G

(



x

;



,



)

maka fungsi Gaussian arus diekspansikan menurut deret Taylor dan mengintegrasikan suku demi suku atau mengintegrasikan secara numerik.

Tabel dan Grafik

Fungsi probabilitas Gaussian

P

_G

(z

)

dan probabilitas integral

A

_G

(z

)

telah ditabelkan. Dari tabel probabilitas integral diperoleh bahwa probabilitas pengukuran menghasilkan deviasi dari mean 1 dan 2 sekitar 68% dan 95%. Dengan cara yang sama, dengan memisalkan batas probabilitas 50% maka dapat dilihat nilai eror terbolehjadi P.E = 0.6745.

Kemencengan kurva (Skewness)

Kemencengan kebalikan dari simetri. Pada deret simetris modus, mdian, rata-rata identik. Koefisien kemencengan = deviasi standar modus mean  Kurtosis (kemenonjolan)

Merupakan ukuran tingkat kemenonjolan distribusi. Ukuran kurtosis dinyataka dengan 2, 2 dan 4. 2 2 4 2







 dengan

N

x

x

2 2

)

( 







,

N

x

x

4 4

)

( 







o Jika 2 = 3 maka kurva normal (mesokurtik)

o Jika 2 > 3 maka kurva mengerucut (leptokurtik)