distribusi diskrit dan kontinu 7

(1)

Distribusi Diskrit dan Kontinu

yang Penting

(2)

Distribusi Diskrit

• Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi distribusi diskrit.

(3)

Distribusi Uniform Diskrit

• Distribusi uniform diskrit merupakan distribusi variabel random diskrit yang mengasumsikan bahwa semua nilai mempunyai kemungkinan yang sama untuk muncul.

• Definisi : jika variabel random diskrit X dengan nilai-nilai , , … , _� mempunyai probabilitas yang sama, maka variabel random X disebut mempunyai distribusi uniform diskrit, dinotasikan dengan

�~� � , jika fungsi probabilitasnya berbentuk :

(4)

Distribusi Uniform

• Contoh: pada pelambungan sebuah dadu, semua titik sampel dalam S = {1,2,3,4,5,6} mempunyai probabilitas yang sama untuk

muncul, yaitu sebesar . Jadi ; =

untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

• Untuk variabel random X yang mempunyai distribusi uniform diskrit, maka

(5)

Distribusi Binomial

(6)

Distribusi Binomial

• Contoh : sebuah dadu dilemparkan 5 kali. Berapa probabilitas bahwa dalam 5 kali pelambungan muncul mata dadu 2 sebanyak 3? Jawab : x = 3, n

= 5 , p = , maka b(3;5, ) = = .

• Jika variabel random diskrit X mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dan p maka

(7)

Distribusi Geometrik

Contoh kasus : dalam transmisi gelombang, probabilitas gelombang yang ditransmisikan diterima bersifat eror adalah 0,1. Asumsikan bahwa setiap transmisi gelombang adalah kejadian independen (saling bebas), dan misalkan X menotasikan jumlah gelombang yang ditransmisikan sampai terjadinya gelombang eror yang pertama.

(8)

Distribusi Geometrik

• Karena setiap transmisi gelombang adalah kejadian independen, maka

P(X=5) = P{OOOOE} = , , = ,

• Variabel random X yang menyatakan banyaknya percobaan sampai terjadinya sukses yang pertama kali dikatakan berdistribusi geometrik dengan parameter p, dinotasikan dengan �~ , fungsi probabilitas berbentuk

(9)

Distribusi Geometrik

• Jika X berdistribusi Geometrik dengan parameter p, maka

(10)

Distribusi Poisson

• Jika pada distribusi binomial parameter n cukup besar (secara teoritis n → ∞), maka diperoleh distribusi Poisson dengan parameter

λ = .

• Jadi suatu variabel random diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan parameter λ, dinotasikan �~� � λ , jika fungsi probabilitasnya sbb:

(11)

Distribusi Poisson

• Contoh : jika probabilitas seseorang terkena penyakit demam adalah 0.005, berapa probabilitas bahwa terdapat 18 orang yang terkena penyakit demam dari 3000 orang?

Jawab : diperoleh λ = , = , sehingga

p(18;15) = 8�− 5

! = .

• Jika variabel random X mempunyai distribusi Poisson, dengan parameter λ, maka

(12)

Distribusi Kontinu

• Fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu dapat dinyatakan pula dalam formula matematik tertentu yaitu fungsi distribusi kontinu.

• Distribusi kontinu yang akan dipelajari disini adalah distribusi uniform kontinu, distribusi normal, distribusi Chi-Square, distribusi

(13)

Distribusi Uniform Kontinu

• Definisi : suatu variabel random kontinu X mempunyai distribusi uniform kontinu pada selang , , dinotasikan dengan

�~� � , , jika fungsi densitasnya berbentuk:

• ₌ _, _{< <}

(14)

Distribusi Uniform Kontinu

• Jika variabel random kontinu X berdistribusi uniform kontinu pada interval , , maka :

(15)

Distribusi Normal

• Fungsi distribusi dari variabel random kontinu yang paling luas penggunaannya adalah fungsi distribusi normal.

• Kurva normal berbentuk seperti lonceng (bell), sehingga kurvanya disebut bell curve.

(16)

Distribusi Normal

• Kurva normal sangat baik untuk dipakai dalam menggambarkan data yang muncul dalam kehidupan sehari-hari.

(17)

Distribusi Normal

• Definisi : variabel random kontinu dikatakan berdistribusi normal dengan parameter � dan

� , dinotasikan dengan �~� �, � , jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk :

� = _{� �} �−� _untuk−∞ < � < ∞

Apabila � = dan � = 1, maka diperoleh distribusi normal standar, dinotasikan dengan

� , , sering disebut dengan distribusi Z, fungsi densitasnya sbb : =

(18)

Distribusi Normal

Teorema : Luas daerah di bawah kurva normal (normal biasa maupun normal standar) dan di atas sumbu X

• Asimtotik terhadap sumbu X.

• Simetris terhadap garis = �.

• Mempunyai titik koordinat maksimum �,

� �

(19)

Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar

• Jika variabel random X berdistribusi normal biasa dengan fungsi densitas probabilitas , maka

� < � < =

• Atau dengan kata lain kita mencari luas di bawah kurva normal dan dibatasi x = a dan x = b

(20)

• Dengan cara

mentransformasikan

nilai variabel X ke

variabel Z dengan

= � �_� .

(21)

Dari tabel tersebut carilah luas di bawah kurva normal baku:

a. Yang dibatasi oleh Z = 0 dan Z = 1.34 b. Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 0

c. Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 1.34 d. Yang dibatasi oleh Z = 1.34 dan Z = 2.56 e. Di sebelah kanan Z = -0.57

(22)

Contoh Kasus

1. Rataan nilai UAN mata pelajaran Kimia dari 2500 siswa di Kota Solo adalah 85 dan mempunyai standar deviasi 20. Dengan menganggap bahwa data tersebut adalah data yang berasal dari populasi berdistribusi normal, cari berapa banyak siswa:

• Yang nilainya lebih dari 90?

(23)

Contoh Kasus

(24)

Titik

_�

Dalam aplikasi statistika inferensial menyangkut uji hipotesis, sering diperlukan nilai tertentu sehingga luas di sebelah kanan = dan di bawah kurva normal standar sama dengan �. Titik

(25)

Titik

_�

Jika digambarkan:

Dengan melihat tabel distribusi normal standar, akan diperoleh nilai-nilai:

• _. _{= .} _. = .

(26)

Distribusi Chi-Square

• Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi Chi-square dengan derajat kebebasan jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk:

(27)

Distribusi Chi-Square

• Distribusi Chi-square dengan derajat kebebasan disajikan dengan � , dan jika � berditribusi Chi-square dengan derajat kebebasan disajikan dengan �~� .

• Grafik distribusi Chi-square

• Jika var. random X berdistribusi � , maka

(28)

Distribusi Chi-Square

• Untuk nilai � dan tertentu, harga �_�;� dapat dicari melalui tabel.

(29)

Distribusi Student s

• Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi

student s dengan derajat kebebasan jika fungsi

Distribusi tersebut disajikan dengan atau X~ .

(30)

Distribusi Student s

• Nilai-nilai yang bersesuaian dengan derajat kebebasan dan � dapat dilihat pada tabel berikut:

(31)

Distribusi Student s

• Jika variabel random kontinu X berdistribusi

student s dengan derajat kebebasan maka:

� = � = �

(32)

Distribusi F

Suatu variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi F dengan derajat kebebasan dan jika fungsi densitasnya berbentuk:

(33)

Distribusi F

Tabel distribusi F yang tersedia hanya terdapat nilai � = . dan � = . dan nilai-nilai

dan tertentu. Contoh: _{. ; ;} = .

Jika variabel random kontinu X berdistribusi F dengan derajat kebebasan dan maka:

• _{� =} _�� , untuk >

(34)

(35)