Konsep Dasar Probabilitas

1

1 KO

KONS

NSEP D

EP DAS

ASAR P

AR PRO

ROBA

BABI

BILI

LIT

TA

AS

S

 T

 Tujuan Pembelajaran

ujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu :

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu :

Mendefinisikan terminologi- terminologi penting dalam probabilitas dan menjelaskan Mendefinisikan terminologi- terminologi penting dalam probabilitas dan menjelaskan  bagaimana probabilitas kejadian sederhana ditentukan.

 bagaimana probabilitas kejadian sederhana ditentukan.

Memahami dan menjelaskan konsep-konsep mengenai kejadian-kejadian bersyarat, Memahami dan menjelaskan konsep-konsep mengenai kejadian-kejadian bersyarat,  bebas dan

 bebas dan mutually exclusivemutually exclusive..

Menggunakan dengan benar dan tepat aturan perkalian dan penjumlahan dalam Menggunakan dengan benar dan tepat aturan perkalian dan penjumlahan dalam melakukan perhitungan probabilitas.

melakukan perhitungan probabilitas.

Memahami dan menggunakan analisis kombinatorial untuk kejadian kompleks : Memahami dan menggunakan analisis kombinatorial untuk kejadian kompleks :  permutasi dan kombinasi.

 permutasi dan kombinasi.

Pokok Bahasan :

Pokok Bahasan :

1.

1. KoKonsnsep ep dadan n DeDefifininisi si DaDasasar r  2.

2. PrProbobababililititas as PePeririststiia a MaMajejemmuk uk  !.

!. ""eeknknik ik #n#numumererasasi $ i $ pepen%n%a%a%ahahan an && '

'.. ((ooaall--ssooaal l ))aattiihhaann

1.

1.1

1 K

Kon

onse

sep D

p Das

asar

ar

#ksperimen Probabilitas $

#ksperimen Probabilitas $ probab probability experimentility experiment && (egala kegiatan dimana suatu hasil*keluaran$

(egala kegiatan dimana suatu hasil*keluaran$outcomeoutcome&, tanggapan$&, tanggapan$responseresponse& ataupun& ataupun ukuran $

ukuran $measurement measurement & diperoleh.& diperoleh.

+uang (ampel $

+uang (ampel $ sample space sample space &&

impunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil, tanggapan ataupun ukuran dari impunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil, tanggapan ataupun ukuran dari eksperimen.

eksperimen.

Peristia*kejadian $

Peristia*kejadian $ event event  & &

(egala himpunan bagian dari hasil, tanggapan ataupun ukuran dalam ruang sampel. (egala himpunan bagian dari hasil, tanggapan ataupun ukuran dalam ruang sampel.

Contoh 1.1

Contoh 1.1

da ! buah sekering yang akan kita periksa kondisinya $ baik atau putus& satu-persatu se%ara da ! buah sekering yang akan kita periksa kondisinya $ baik atau putus& satu-persatu se%ara  berurutan.

 berurutan.

+uang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan sekering tersebut adalah +uang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan sekering tersebut adalah (  / 000, 00P, 0P0, P00, 0PP, P0P, PP0, PPP 

(  / 000, 00P, 0P0, P00, 0PP, P0P, PP0, PPP  ika 

ika  adalah peristia dimana adalah peristia dimana diperoleh satu buah sekering diperoleh satu buah sekering yang rusak makayang rusak maka   / 00P,

  / 00P, 0P0, P00 , untuk 0P0, P00 , untuk memudahkan pengertian diatas memudahkan pengertian diatas dapat diilustrasikan dapat diilustrasikan dengandengan  bantuan diagram 3

 bantuan diagram 3enenn sbb,n sbb,

S

S

A A

4ambar 1.1 Diagra

4ambar 1.1 Diagram 3em 3en Probabilitasn Probabilitas

1.

1.2

2 De

Defi

fini

nisi P

si Pro

roba

babi

bili

lita

tas

s

Probabilitas adalah sebuah bilangan yang terletak antara 5 dan 1 yang berkaitan dengan suatu Probabilitas adalah sebuah bilangan yang terletak antara 5 dan 1 yang berkaitan dengan suatu  peristia*kejadian $ e6ent & tertentu. ika peristia itu pasti terjadi maka probabilitas

 peristia*kejadian $ e6ent & tertentu. ika peristia itu pasti terjadi maka probabilitas  peristia tersebut adalah 1, namun jika peristia itu mustahil terjadi maka probabilitas  peristia tersebut adalah 1, namun jika peristia itu mustahil terjadi maka probabilitas  peristia tersebut adalah 5. da !

 peristia tersebut adalah 5. da ! definisi probabilitas yang biasa digunakan, yaitudefinisi probabilitas yang biasa digunakan, yaitu

Definisi Klasik  Definisi Klasik 

ika sebuah peristia  dapat terjadi dengan f 

ika sebuah peristia  dapat terjadi dengan f  %ara dari sejumlah total 7 %ara yang %ara dari sejumlah total 7 %ara yang mutually e8%lusif dan memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi, maka

mutually e8%lusif dan memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi, maka  probabilitas terjadinya peristia 

 probabilitas terjadinya peristia  yang dinotasikan dengan P$& adalahyang dinotasikan dengan P$& adalah

 7  7 f  f  P$-& P$-&

==

-- . . . . . . .. . . (1)(1) , sedangkan probabilitas

, sedangkan probabilitas tidak terjadinya peristidak terjadinya peristia  atau komplemen  tia  atau komplemen  $ kegagalan$ kegagalan & dinyatakan dengan

& dinyatakan dengan

(

( )

) (

( ))

(

( )

)

11 PP

(

(



))

 7  7 f  f   7  7   P P  99 P P   P P

==

==

−−

==

−−



==

−−

. . . . . . . .(2)(2) ontoh 1.2.1 ontoh 1.2.1

Dalam satu set kartu bridge yang terdiri dari ;2 kartu terdapat ' kartu s, maka Dalam satu set kartu bridge yang terdiri dari ;2 kartu terdapat ' kartu s, maka  probabilitas pengambilan satu kartu mendapatkan kartu

 probabilitas pengambilan satu kartu mendapatkan kartu s adalah P$s&  '*;2 s adalah P$s&  '*;2  1*1!  5,5<<

1*1!  5,5<<

Definisi =rekuensi relatif  Definisi =rekuensi relatif 

ika suatu eksperimen dilakukan sebanyak 7 kali $ jumlah banyak sekali mendekati ika suatu eksperimen dilakukan sebanyak 7 kali $ jumlah banyak sekali mendekati tak terhingga & ter

tak terhingga & terjadi kejadian  sebanyjadi kejadian  sebanyak f ak f  kali, maka nilai limit dari frekuensi kali, maka nilai limit dari frekuensi relatif f 

relatif f *7 didefinisikan sebagai *7 didefinisikan sebagai probabilitas kejadian  atau P$&, dapat ditulisprobabilitas kejadian  atau P$&, dapat ditulis sbb. sbb.  7  7 f  f  lim lim P$& P$&   7  7→→∞∞

==

 . . . . . . . (3)(3)

, definisi ini yang

, definisi ini yang paling populer dan memungkinkan untuk diterapkan padapaling populer dan memungkinkan untuk diterapkan pada masalah-masalah praktis dimana definisi klasik tidak dapat digunakan. masalah-masalah praktis dimana definisi klasik tidak dapat digunakan.

ontoh 1.2.2 ontoh 1.2.2

(eseorang membeli sepeda motor baru merek >?@. Probabilitas mendapatkan motor  (eseorang membeli sepeda motor baru merek >?@. Probabilitas mendapatkan motor  yang %a%at sulit diketahui jika menggunakan definisi klasik, karena harus diketahui yang %a%at sulit diketahui jika menggunakan definisi klasik, karena harus diketahui  jumlah seluruh populasi produk b

 jumlah seluruh populasi produk baru >?@ aru >?@ dan jumlah yang %a%at.dan jumlah yang %a%at.

Dengan memakai definisi frekuensi relatif, Dengan memakai definisi frekuensi relatif,

 7  7 f  f  lim lim && P$? P$? ??%%  7  7

%%

==

_→→∞∞ , maka perlu dilakukan, maka perlu dilakukan  pemeriksaan

 pemeriksaan terhadap terhadap sampel sampel motor motor >?@ >?@ sebanyak sebanyak mungkin mungkin menuju menuju tak tak terhinggaterhingga  banyaknya,

 banyaknya, namun namun kajian kajian tersebut tersebut biasanya biasanya mahal mahal dan dan kurang kurang efektif efektif $biaya $biaya dandan ak

aktu& tu& sehsehingingga ga %uk%ukup up dendengan gan menmengguggunaknakan an samsampel pel yayang ng memmemadai adai dan dan dapdapatat diper%aya tetapi %ukup ekonomis untuk menentukan frekuensi relatif tersebut.

diper%aya tetapi %ukup ekonomis untuk menentukan frekuensi relatif tersebut.

Definisi (ubyektif $ Antuitif& Definisi (ubyektif $ Antuitif&

Definisi probabilitas yang

Definisi probabilitas yang ukurannya berdasarkan >derajat keyakinan@ yang dimilikiukurannya berdasarkan >derajat keyakinan@ yang dimiliki oleh seseorang, karena itu sifatnya sangat subyektif dan merupakan definisi yang oleh seseorang, karena itu sifatnya sangat subyektif dan merupakan definisi yang  paling luas digunakan dan diperlukan jika sulit d

 paling luas digunakan dan diperlukan jika sulit diketahui besarnya ruang sampeliketahui besarnya ruang sampel maupun jumlah peristia yang dikajiataupun sulit dilakukan pengambilan sampel maupun jumlah peristia yang dikajiataupun sulit dilakukan pengambilan sampel dari populasinya.

dari populasinya.

ontoh 1.2.! ontoh 1.2.!

1.

1. (ua(uatu strattu strategi peraegi perang misang misalnylnya, ada a, ada dua altedua alternarnatif, mentif, menjatujatuhkahkan n bom atabom atauu tidak di

tidak di daerah musuhdaerah musuh. . DampaDampak k yanyang g timbutimbulkan jelas lkan jelas akan berbedaakan berbeda, , karenkarenaa masing-masing alternatif tersebut tidak bisa diuji %oba se%ara eksperimen masing-masing alternatif tersebut tidak bisa diuji %oba se%ara eksperimen maka kita harus per%aya pada >penilaian dari ahli $e8pert judgement&@ untuk  maka kita harus per%aya pada >penilaian dari ahli $e8pert judgement&@ untuk  menentukan probabilitas dari akibat yang akan mun%ul.

menentukan probabilitas dari akibat yang akan mun%ul.

2.

2. Dalam suDalam suatu tuatu turnamen srnamen sepakbepakbola kitola kita juga sua juga sulit merlit meramalkaamalkan siapa yn siapa yang akaang akann menjadi juara karena interpretasi klasik dan frekuensi tidak akan banyak  menjadi juara karena interpretasi klasik dan frekuensi tidak akan banyak  gunan

gunanya, penilaian ya, penilaian yanyang g subysubyektif ektif dari pengamat dari pengamat sepakbsepakbola ola yanyang g handhandalal sering kali lebih diperlukan dalam hal ini.

sering kali lebih diperlukan dalam hal ini.

1.3

1.3 Pro

Probab

babili

ilitas

tas Per

Perist

istiwa

iwa Maj

Majemu

emuk 

k 

1.

1.3.

3.1

1 De

Defi

fini

nisi

si

Pe

Perisristitia a mamajemjemuk uk $$CompCompound ound event event & & adadalalah ah peperisristitia a yyang ang memerurupapakakan n gagabubungngan an ** kombinasi dua atau lebih peristia sederhana $

1.3.2 Probabilitas Bersyarat ( Conditional probability 

Probabilitas bersyarat adalah probabilitas dari sebuah peristia yang akan terjadi jika sebuah  peristia yang lainnya telah terjadi, seperti diilustrasikan pada gambar 1.! berikut.

4ambar 1.!. +uang sampel probabilitas bersyarat

Peristia 0 yang telah terjadi lebih dahulu akan mengubah $mengurangi& besarnya  probabilitas peristia  yang harus dipertimbangkan.

Probabilitas bersyarat peristia  akan terjadi jika peristia 0 telah terjadi didefinisikan sebagai :

(

)

( )

0 P

( )

0 5 P 0 -P 0 -P

=

∩

〉

_{. . . . (4)} ontoh 1.!.1

(ebuah perusahaan pembuat P omputer melengkapi produknya dengan program-program siap pakai. umlah produk yang dilengkapi dengan program word processor  B5C, dan yang dilengkapi dengan program  spreadsheet  ada '5C, sedang yang dilengkapi program dua-duanya ada !5C. Misalkan seseorang membeli komputer di perusahaan tsb dan komputer  telah dilengkapi dengan program  spreadsheet , maka probabilitas komputer itu juga dilengkapi dengan wordprocessor  adalah probabilitas bersyarat P$



0 & dan dapat dihitung sbb.

Misal :  adalah komputer yang dilengkapi dengan word processor , 0 adalah komputer yang dilengkapi dengan  spreadsheet , maka P$&  5,B  P$0&  5,' dan P$

∩

 0 &  5,!

(

)

( )

5,' 5,<; 5,! 0 P 0  P 0  P

=

∩

=

=

Gambar 1.3.1 uan! sampel probabilitas bers"arat

1.3.3 Peristi!a Salin" Bebas #an Ti#a$ Salin" Bebas

(aling 0ebas $ independent & jika terjadinya peristia  tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristia 0, maka akan berlaku

B

A

_B A ∩ B

B

#,3

#,1

A

#,3

B A ∩ B #,1 #,3

P$



0&  P$& dan juga P$0



&  P$0& . . . (5)

sebaliknya jika terjadinya peristia  mempengaruhi peristia 0 maka peristia tersebut tidak saling bebas $dependent &.

1.3.% Peristi!a &'t'ally E)l'si*e ( Salin" &enia#a$an

Peristia  dan0 adalah mutually exclusive $disjoint events& jika terjadinya salah satu  peristia tersebut dalam sebuah eksperimen probabilitas men%egah terjadinya peristia yang lainnya selama berlangsungnya eksperimen probabilitas yang sama. tau peristia  dan 0 tidak mungkin terjadi se%ara bersamaan, dan berlaku

P $  dan 0 &  P $

∩

 0 &  5 artinya juga P$



0&  5  P$0



&  5. . . (6)

 Mutually Exclusive Tidak Mutually Exclusive

4ambar 1.!. 2 Peristia Mutually #8%lusi6e dan "idak Mutually #8%lusi6e

1.3.+ ,'$'-/'$'- Probabilitas Peristi!a &a0e-'$

1. ukum Perkalian $ Multiplication Law&

 Peristia (aling 0ebas $ Independent Event &

ukum perkalian menyatakan baha jika ,0,. . . adalah peristia- peristia yang saling bebas, maka probabilitas baha seluruh peristia itu terjadi $probabilitas gabungan*joint probability& P $

∩

0

∩

   . . . . & adalah  produk $perkalian& dari probabilitas masing-masing peristia.

P$ dan 0 dan  dan . . . .&  P $

∩

 0

∩

  . . . . &  P$&

⋅

 P$0&

⋅

 P$& . . . . atau se%ara matematis ditulis

(

)

(

)

∏

(

)

= −

∩

=

∩

∩

=

n 1 i i n 1 n 2 1 i n i  P   ...  P  P   . . . (7) ontoh 1.!.2

Diketahui !5C mesin %u%i buatan pabrik >?@ memerlukan perbaikan selagi masih dalam masa garansi, sementara pada kondisi yang sama15C mesin  pengering buatannya memerlukan perbaikan. 0erapakah probabilitas kedua

mesin tersebut memerlukan perbaikan selama masih dalam masa garansiE Penyelesaian :

  peristia mesin %u%i memerlukan perbaikan

→

 P$&5,! K  peristia pengering memerlukan perbaikan

→

 P$K&5,1

P$ dan K&  P $ 

∩

 K &  P$&

⋅

P$K&  $5,!&$5,1&  5,5! ontoh 1.!.!

Fntuk menghubungkan sumber listrik di bagian depan sebuah pesaat militer ke  peralatan-peralatan yang menggunakan listrik dibagian belakang, digunakan !  buah kabel yang dihubungkan se%ara paralel dengan jalur masing-masing  berbeda, melalui rangka pesaat. ika diketahui probabilitas sebuah kabel terputus adalah 5,51 untuk setiap satu jam tempur, berapakah probabilitas  putusnya hubungan ke ! kabel dalam satu jam tempurE

Penyelesaian :

P $ K 1

∩

 K 2

∩

 K ! &  P$K 1&

⋅

P$K 2&

⋅

P$K !&  $5,51&$5,51&$5,51&15B

 Peristia "idak (aling 0ebas $ Dependent Event &

ukum perkalian untuk dua peristia  dan 0 yang tidak saling bebas dapat ditulis sbb,

P$ dan 0&  P$

∩

 0&  P$



0&

⋅

P$0&  P$0



&

⋅

P$& . . . (8)

Dengan :

P$



0&  probabilitas bersyarat terjadinya peristia  setelah 0 terjadi. P$0



&  probabilitas bersyarat terjadinya peristia 0 setelah  terjadi. ontoh 1.!.'

(ebuah kotak berisi 15 kelerang arna merah, 1G kelerang arna hijau dan 22 kelereng arna kuning, ke%uali arna kondisi kelereng ketiganya identik. Kemudian isi kotak diaduk agar merata. (eseorang denganmata tertutup disuruh mengambil sebuah kelerang se%ara a%ak.

 0erapa peluang akan terambil kelereng arna merah atau kuningE P$

atau &E

 Kemudian dari kotak diambil kelereng 2 kali, tiap kali sebuah kelereng dan

kelereng yg sudah terambil tidak dikembalikan. ika yg pertama terambil kelereng merah, berapakah peluang mengambil kelereng hijau pada  pengambilan yg kedua. P$0



&E

aab :

Misal   terambil kelereng arna merah, 0  terambil kelereng arna hijau, 0  terambil kelereng arna kuning. Ketiga peristia tsb saling ekslusif

→

P$&  15*$15H1GH22&  15*;5  5,2 P$0&  1G*$15H1GH22&  1G*;5  5,!B P$&  22*$15H1GH22&  22*;5  5,''

P$ atau &  P$& H P$& 5,25 H 5.''  5,B' P$0



&  1G*$IH1GH22&  1G*'I

ontoh 1.!.;

Dari gejala yang ditunjukkan pada komputer yang akan diperbaiki, seorang ahli  perangkat keras komputer memastikan baha kerusakan disebabkan oleh hanya

salah satu dari empat blok rangkaian pada mainboard nya. Fntuk itu dia  beren%ana memeriksa satu persatu ke ' blok tsb. 0erapakah probabilitas baha

sekurang-kurangnya mekanik tsb harus melakukan pemeriksaan ! blok  rangkaian sampai dia dapat menentukan blok rangkaian yang rusak.

Penyelesaian :

?  / pemeriksaan pertama memperoleh blok tidak rusak J  / pemeriksaan kedua memperoleh blok tidak rusak P$?&  

P$J



?&  2*!

Pemeriksaan ke ! harus dilakukan setelah pemeriksaan pertama dan kedua mendapatkan blok yang tidak rusak. Dari hukum perkalian didapatkan :

P $? dan J&  P$?

∩

J& H P$J



? &

⋅

P$?&  $2*!&$!*'&  B*12  5,;

ukum perkalian untuk peristia tidak saling bebas yang ditunjukkan oleh  persamaan (8) dapat diperluas untuk peristia majemuk yang terdiri dari  beberapa peristia yang terjadi se%ara berturutan, misalnya untuk tiga peritia

1, 2, ! :

P$1

∩

 2

∩

 !&  P$!



1

∩

2&

⋅

P$1

∩

2&

 P$!



1

∩

2&

⋅

P$2



1&

⋅

P$1& . . . (9) 2. ukum Penjumlahan $ Addition Law&

ukum penjumlahan pada probabilitas peristia majemuk dinyatakan sebagai : P$atau0&  P$

∪

0&  P$&HP$0&-P$

∩

0& . . . (10)

Persamaan diatas menunjukkan probabilitas peristia  atau peristia 0 atau kedua-duanya sama-sama terjadi.  dan 0 tidak perlu saling bebas, selama diketahui  probabilitas gabungannya P$

∩

 0&.

ika peristia  dan 0 adalah mutually exclusive, maka P$

∩

0&  5, sehingga P$atau0& P$

∪

0& P$& H P$0& . . . (11)

Persamaan $15& dapat digeneralisasi untuk berapapun jumlah peristia dengan  penerapan kembali berlanjut $ %ontinued reappli%ation&, seperti

P$ atau 0 atau &  P $ 

∪

 0

∪

  &  P$& H P$0& H P$&

- P$ 

∩

 0 & L P $ 

∩

  & L P $ 0

∩

  &

H P $ 

∩

 0

∩

  &. . . .$ 12& ontoh 1.!.;

Perhatikan struktur yang di las pada gambar berikut. Kegagalan dari struktur terjadi  jika salah satu atau lebih dati ketiga sambungan las tsb putus. ika probabilitas dari  putusnya masing-masing sambungan las P$)1&  P$)2&  P$)!&  5,551 dan

diasumsikan sambungan saling bebas, maka

$

3

$

1 $%

4ambar 1.!.!. Probabilitas kegagalan pada struktur  P$)1 atau )2 atau )!&  P$)1

∪

)2

∪

 )!&

 P$)1& H P$)2& H P$)!&

- P$)1

∩

 )2 & L P $)1

∩

 )! & L P $)2

∩

 )! & H P $ )1

∩

 )2

∩

 )! &

 5,551H5,551H5,551-$5,551&$5,551&-$5,551&$5,551&- $5,551&$5,551& H

$5,551&$5,551&$5,551&  5,55!

ontoh 1.!.B

4ambar 1.!.' Probabilitas pada sistem bertingkat

(ebuah sistem sembarang seperti yang ditunjuk pada gambar 1.!.' tersusun atas tiga tingkat. (istem ini bekerja dengan baik jika ke ! tingkatnya berjalan dengan baik. Misal seluruh unit dalam setiap tingkat saling bebas dan masing-masing probabilitas diketahui sbb,

P$&  5,< P$0&  5,< P$&  5,I P$D&  5,G P$#&  5,B P$=&  5,B P$4&  5,B

adi :

P$"1&  P$ atau 0&  P$

∪

 0&

 P$& H P$0& L P$

∩

 0&  P$& H P$0& - P$& P$0&  5,< H 5,< L $5,<&$5,<&  5,I1

P$"2&  P$ dan D&  P$

∩

 D&  P$&

⋅

P$D&  $5,I&$5,G&  5,<2

P$"!&  P$# atau = atau 4&  P$#

∪

 =

∪

 4&

 P$#& H P$=& H P$4& L P$#

∩

 =& - P$#

∩

 4& - P$=

∩

 4&

Selesai A B & _' G ( C )ulai  Tin!kat 1 *T₁+  Tin!kat % *T %+  Tin!kat 3 *T 3+

H P$#

∩

=

∩

4&&

 P$#& H P$=& H P$4&-P$#& P$=& - P$#& P$4& - P$=&P$4& H P$#& P$=& P$4&

 5,B H 5,B H 5,B L $5,B&$5,B& - $5,B&$5,B&- $5,B&$5,B& H $5,B&$5,B&$5,B&

 5.I!B Maka diperoleh :

P$sistem berjalan&  P$"1 dan "2 dan"!&  P$"1

∩

 "2

∩

"!&  P$"1&

⋅

P$ "2&

⋅

P$"!&  $5,I1&$5,<2&$5,I!B&  5,B1!

1.3. or-'lasi Bayes

Merupakan pengembangan dari probabilitas bersyarat $conditional probability& dan aturan hukum perkalian $multiplication&.

ndaikan terdapat sekelompok peristia 01, 02, 0!. . . 0n yang mutually exclusive dan exhaustive $ menyeluruh&, artinya masing-masing peristia tidak memiliki keluaran $out%ome& yang sama se%ara bersama-sama memuat keseluruhan keluaran didalam ruang sampel.

Peristia tersebut ditulis se%ara matematis P

( )

0 1 n 1 i i

=

∑

= . . . $13& Didalam peristia2 ₀

i tersebut ada sebuah peristia  yang ada pada peristia2 0i. Karena  peristia 0i  bersifat e8hausti6e maka peristia  pasti beririsan dengan satu atau lebih  peristia 0i.

Fntuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi gambar berikut

4ambar 1.!.; Alustrasi hubungan peristia Mutually #8%lusi6e dan #8hausti6e dengan  peristia lain pada ruang sampel yang sama

A B 1 _B 2 B 3 B i A A A A B i B 2 B 1 B 3

4ambar 1.!.B Pengurangan ruang sampel jika  sudah terjadi Probabilitas  dapat dihitung dengan :

(

)

(

)

n

(

_i

)

1 i i n 1 i i P  0 P 0 0  P  P

=

∑

∩

=

∑

⋅

= = . . . .$ 14&

Misalkan n  ', maka kalau diilustrasikan dalam gambar diatas  terdiri dari 

∩

01, 

∩

02, 

∩

0!, dan 

∩

0', maka

(

)

(

)

n

(

_i

)

1 i i n 1 i i P  0 P 0 0  P  P

=

∑

∩

=

∑

⋅

= =

 P$

∩

01&H P$

∩

02&H P$

∩

0!&H P$

∩

0'&

 P$



01&

⋅

P$01&H P$



02&

⋅

P$02&H P$



0!&

⋅

P$0!&H P$



0'&

⋅

P$0'&

ika diasumsikan peristia  telah terjadi, bagaimana %ara menentukan probabilitas masing-masing peristia 0i juga terjadiE

ika  telah terjadi maka ruang sampel menjadi berkurang seperti pada gambar 1.!.B, maka

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

∑

∑

= =

=

∩

=

∩

=

_n 1  j i i i i n 1  j i i i i i 0  P 0 P 0  P 0 P  0 P 0  P 0 P  P  0 P  0 P . . . .$15& ontoh 1.!.<

eather fore%asting information is sent using one of four routes. )et + i denote the e6ent that route i is used for sending a message $ i1,2,!,'&. "he probabilities of using the four routes are 5.1, 5.2, 5.!, and 5.' respe%ti6ely . =urther, it is knon that the probabilities of an error   being introdu%ed hile transmitting messages are 5.15, 5.1;, 5.25, and 5.2; for routes 1,2,!

and ', respe%ti6ely. Ansending a message an error o%%ured. e no ant to %ompute the  probability that route 2 as used for transmission.

Af the e6ent of an erroneous message is denote by #, e ha6e the folloing %onditional  probbilities P$ #



+ 1&  5.1, P$ #



+ 2&  5.1; P$ #



+ !&5.25 P$ #



+ '&  5.2;

( )

'

( )

_i 1  j i P # +  +  P # P

∑

=

=

 5.1 8 5.15 H 5.2 8 5.1; H 5.!85.25 H 5.'85.2;  5.51 H 5.5! H 5.5B H 5.1  5.2

(

)

( )

( )

5.25 5.1; 5.5! 5.2 5.1; 8 5.2 5.2 +  # P +  P # P # +  P # +  P 2 2 2 2

=

=

=

=

∩

=

1.4 Teknik numerasi 

"ujuannya untuk memudahkan dalam menentukan probabilitas peristia-peristia majemuk yang kompleks.

1. Pohon Probabilitas

P $1

∩

 01&  P$1&

⋅

 P $01



1& P $1

∩

 02&  P$1&

⋅

 P $02



1&

P $1

∩

 0!&  P$1&

⋅

 P $0!



1& . . . dst ontoh 1.'.1

Menurut data penerbangan sistem na6igasi pro%essor pengindra posisi $yang merupakan  bagian dari sistem na6igasi suatu pesaat udara& gagal berfungsi sekali dalam setiap dua

ratus penerbangan, sehingga perlu diadakan pengujian. asil tes menunjukkan baha saat sistem na6igasi gagal berfungsi, I5C disebabkan kerusakan pro%essor pengidera posisi dan 15C oleh sebab lain.(ementara itu saat sistem na6igasi berfungsi baik, IIC pro%essor  pengindra posisi dalam kondisi baik dan hanya 1 C sistem na6igasi tetap berfungsi dengan  pro%essor yang rusak. Dengan asumsi,

1  sistem na6igasi gagal berfungsi, 2  sistem na6igasi berfungsi baik, 01  pro%essor rusak,

02  pro%essor baik,

maka pohon probabilitas peristia-peristia tsb, dapat digambar sbb.:

A₁ A % P*A₁+  1-%## P*A %+  1-%## B₁ B 1 B % B P*B 1A1+#-1## P*B %A1+1#-1## P*B 1A%+1-1## P*A 1∩B1+-%###,##/0 P*B A +-1## P*A 1∩B%+1-%####,###0 P*A %∩B1+1-%#####,##0 P*A_%∩B_%+1#1-%#####,20

A

₁

A

%

P*A

₁

+

P*A

_%

+

B 1 B_% B₁ B 3 B % B 3

P*B

_1

A

₁

+

P*B

_%

A

₁

+

P*B

_3

A

₃

+

P*B

_1

A

_%

+

P*A

_1∩

 B

₁

+

P*B

_%

A

_%

+

P*B

_3

A

_%

+

P*A

_1∩

 B

_%

+

P*A

_1∩

 B

₃

+

P*A

_%∩

 B

₁

+

P*A

_%∩

 B

_%

+

P*A

_%∩

 B

₃

+

ika suatu ketika, dalam sebuah penerbangan, pro%essor utama dalam rangkaian elektronika  pengindra posisi rusak, maka probabilitas sistem na6igasi gagal berfungsi

→

(

)

( )

(

)

5.!11'2 5.55II; 5.55'; 5.55'; & 0 P$ & 0 P$ 0  P 0 P 0  P 0  P 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

=

+

=

∩

+

∩

∩

=

∩

=

2. nalisis Kombinatorial  Prinsip Dasar 

ika suatu peristia dapat terjadi dengan salah satu dari n1 %ara berlainan dan apabila masing-masing %ara bisa terjadi dengan n2 %ara yg berlainan pula, maka  banyaknya %ara yang mungkin bagi peristia tsb untuk bisa terjadi adalah n1n2.

 Permutasi

(uatu permutasi dari n obyek yang berbeda dimana pada setiap pemilihan diambil sebanyak >r@ obyek dari >n@ obyek tsb, dengan memperhatikan susunsnnya, didefinisikan sebagai :

( )

₍

₎

N r  n nN P P r  n, P Pr  n,r  r n n

−

=

=

=

=

 _{dengan, nN  n $n-1&$n-2&. . .}  Kombinasi

(uatu kombinasi dari >n@ obyek yg berbeda dimana pada setiap pemilihan diambil sebanyak >r@ obyek adalah suatu %ara penyusunsn r obyek dari n obyek tsb tanpa memperhatikan susunannya, didefinisikan :

( )

₍

₎

N r  n rN nN : : r  n, : :_{r  n,r}  n_r  n

−

=

=

=

=

ontoh 1.'.2 :

15 buah katup akan digunakan dalam sebuah sistem pemipaan. 7amun diketahui ! diantaranya rusak. Kemudian se%ara a%ak dipilih ! katup dari 15 katup tsb. 0erapa probabilitas baha yg terpilih sekurang-kurangnya 2 katup rusak, maka dapat dihitung sengan %ara sbb.

0anyaknya seluruh %ara memilih ! katup dari 15 katup yg ada $urutan tidak diperhatikan& merupakan ukuran sampel :

(

)

!N<N 125 15N N ! 15 !N 15N : n$(& _{15 !}

=

=

−

=

=

_%ara ika :

Peristia  /terpilih sekurang-kurangnya 2 katup rusakdapat berupa peristia 0  /terpilih ! katup dan 5 katup baik atau   /terpilih 2 katup rusak 1 katup  baik

Maka :

0anyaknya %ara memilih ! katup rusak dan 5 katup baik yang artinya memilih ! katup dari ! katup yg rusak dan 5 katup dari < katup yg baik merupakan

( )( )

₍

₎

1 <N <N !N !N 5&N $< 5N <N N ! ! !N !N : : n$0& _{! ! < 5}

 

=

 

 



 

 

 

 

 



 

 

=

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

−

=

=

%ara

0anyaknya %ara memilih 2 katup rusak dan 1 katup baik yang artinya memilih 2 katup dari ! katup yg rusak dan 1 katup dari < katup yg baik merupakan

 banyaknya peristia  :

( )( )

₍

₎

21 1NBN <N 2N1N !N 1&N $< 1N <N N 2 ! 2N !N : : n$:& _{! 2 < 1}

 

=

 

 



 

 

 

 

 



 

 

=

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

−

=

=

%ara

(ehingga probabilitas yg terpilih sekurang-kurangnya 2 katup rusak adalah :

B5 11 125 22 125 21 125 1 n$(& n$:& n$(& n$0& P$:& P$0& :& P$0 P$-& e8%lusi6e& $mutually 5 :& P$0 :& P$0 P$:& P$0& :& P$0 P$-&

=

=

+

=

+

=

+

=

∪

=

=

∩

→

∩

−

+

=

∪

=

2 DISTRIBSI PROBABILITAS

"ujuan Pembelajaran

(etelah mempelajari bab ini, mahasisa diharapkan mampu :

Mengidentifikasi dan membedakan 6ariabel a%ak diskrit dan kontinyu..

Memahami dan menggunakan konsep-konsep distribusi probabilitas diskrit, fungsi  probabilitas, dan fungsi distribusi kumulatif 6ariabel diskrit.

Memahami dan menggunakan konsep-konsep distribusi probabilitas kontinyu, fungsi kepadatan probabilitas, dan fungsi distribusi kumulatif 6ariabel kontinyu.

Memahami dan menggunakan distribusi probabilitas dengan parameter. Memahami dan menggunakan konsep nilai harapan $ harapan matematik &. Pokok 0ahasan :

1. 3ariabel %ak  

2. Distribusi Probabilitas Diskrit !. Distribusi Probabilitas Kontinyu '. 7ilai arapan $ arapan matematik&

;. (oal-soal )atihan

2.1 !"#$"%& "C"K

simbol ' 

dalah 6ariabel yang memiliki sebuah nilai tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas.

)ihat %ontoh 1.1

Pemeriksaan pada ! buah sekering yang akan kita lihat kondisinya $ baik atau putus& satu- persatu se%ara berurutan.

+uang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan sekering tersebut adalah (  / 000, 00P, 0P0, P00, 0PP, P0P, PP0, PPP 

0ila kita hanya tertarik pada jumlah sekering yang baik, maka nilai numerik 5,1,2 dan ! dapat diberikan pada setiap titik sampel

→

 bilangan 5,1,2 dan ! merupakan besaran a%ak yang nilainya ditentukan oleh hasil per%obaan.

(  / 5, 1, 2, ! 

3ariabel a%ak : suatu fungsi yg nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.

da 2 ma%am 6ariabel a%ak :

 3ariabel a%ak diskrit : 6ariabel a%ak yang memiliki nilai yang dapat di%a%ah

$%ountable&

 3ariabel a%ak kontinyu: 6ariabel a%ak yang memiliki nilai yang tak dapat

di%a%ah$%ountable&

2.2 DISTRIBSI PROBABILITAS DISKRIT

2.2.1 'n"si Probabilitas

P$?  8&  p$8&

→

 probabilitas ? menyandang nilai 8 dengan syarat : a. 5 O p$8& O 1

 b.

∑

 p$8&  1 ontoh :

#ksperimen melempar sepasang dadu, maka hasil yang mungkin :

1,1 1,2 1,! 1,' 1,; 1,B 2,1 2,2 2,! 2,' 2,; 2,B !,1 !,2 !,! !,' !,; !,B ',1 ',2 ',! ',' ',; ',B ;,1 ;,2 ;,! ;,' ;,; ;,B

(SP(4)(5

P6BAB4$4TAS

($7AA5

54$A4 57)(4 

*an!ka-bilan!an+

CACA8A5-84T75GA5

8AS4$ P(5G77A5

B,1 B,2 B,! B,' B,; B,B

?  6ariebel a%ak diskrit yang menyatakan jumlah mata dadu yang mungkin mun%ul

→

?  / 2,!,',;,B,<,G,I,15,11,12

Distribusi probabilitas untuk masing-masing nilai 6ariabel ? membentuk fungsi probabilitas sbb.:

P$?2&  p$2&  1*!B P$?B&  p$B&  ;*!B P$?15&  p$15&  !*!B P$?!&  p$!&  2*!B P$?<&  p$<&  B*!B P$?11&  p$11&  2*!B P$?'&  p$'&  2*!B P$?G&  p$G&  ;*!B P$?12&  p$12&  1*!B P$?;&  p$;&  '*!B P$?I&  p$I&  '*!B

2.2.2 'n"si Distrib'si K'-'latif 

( ) (

)

_∑

( )

≤

=

≤

=

8    p 8 ? P 8

=

_→

_{adalah jumlah dari seluruh nilai ?}

_≤

 _8.

df sering ditampilkan dalam bentuk grafik tangga ontoh :

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

...dst !B ; !B ! !B 2 !B 1 '  p !  p 2  p 8  p ' = !B ! !B 2 !B 1 !  p 2  p 8  p ! = !B 1 2  p 8  p 2 = ' 8 ! 8 2 8

=

+

+

=

+

+

=

=

=

+

=

+

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

≤ ≤ ≤

Dua ukuran penting yang meakili ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran yg paling banyak digunakan Mean distribusi :

∑

( )

=

=

n 1 i i i 8 8 p 8 Q  $2&$1*!B&H$!&$2*!B&H$'&$2*!B&H. . . . H$11&$2*!B&H$12&$1*!B&  <

3arians dari distribusi :

(

) ( )

i 2 n 1 i 8 i 2 8 8 Q  p 8 R

∑

=

−

=

 $2-<&2_$1*!B&H$!-<&2_{$2*!B&H. . . H$12-<&}2_$1*!B&  ;,G!

2.3 DISTRIBSI PROBABILITAS KONTIN4

2.3.1 'n"si Ke5a#atan Probabilitas

(

a ?  b

) (

 p a 8  b

) (

f  8

)

d8 P  b a

∫ 

=

≤

≤

=

≤

≤

 . . . .

atau se%ara umum probabilitas sebuah 6ariabel a%ak kontinyu ? mengambil nilai pada siautu inter6al antara 8 dan 8Hd8, ditulis se%ara matematis :

(

8 ? 8 d8

)

(

f 8

)

d8

P

≤

≤

+

=

∫ 

_{. . . . .}

Dengan syarat :

1. =ungsi kepadatan probabilitas $pdf& : f$8&

≥

5 $non-negatif& 2. Antegral

∫ 

∞f  ( )8 d8 =1

ontoh 2.!.1:

Dalam suatu proses obat-obatan , suatu bahan kimia harus dipanaskan dalam o6en dulu sebelum diproses lebih lanjut.S6en dapat dipergunakan setiap selang aktu ; menit. 7amun karena 6ariasi aktu dalam persiapannya, bahan kimia tsb tidak selalu tersedia pada saat yg bersamaan dg saat o6en siap dipakai. adi jika terlambat bahan kimia tsb harus menunggu sampai aktu o6en siap

kembali digunakan. ika ? 6ariebel a%ak kontinyu yg menyatakan aktu tunggu bahan kimia s ampai  bisa dipanaskan dalam o6en, maka himpunan nilai ? yg mungkin adalah ?/5

≤

8

≤

;.(alah satu

fungsi kepadatan probabilitas $pdf& bagi ? adalah :

1*; 5

≤

 8

≤

 ; =$8& 

5 yg lain

4rafik dari pdf di atas ditunjukkan pada gambar '.'. Dari grafik jelas baha f$8&

≥

 5 dan luas di  baah kur6anya adalah $;&$1*;&  1

Probabilitas aktu tunggu bahan kimia selama 1-! menit adalah :

; 2 ; 8 d8 ; 1 f$8&d8 !& ? P$1 ; 8 1 8 ! 1 ! 1

=









=

=

=

≤

≤

= =

∫

∫ 

Probabilitas aktu tunggu bahan kimia tsb lebih dari !,; menit adalah :

15 ! ; 8 d8 ; 1 f$8&d8 ?& P$!,; ; 8 ; , ! 8 !,; ; !,;

=









=

=

=

≤

= = ∞

∫

∫ 

4ambar : =ungsi kepadatan probabilitas $pdf &

9*+ 1-0 # 0  9*+ 1-0 # 1 3 0

(

1

?

!

) ( )

₁

!

f 

8

d8

P

≤

≤

=

∫ 

2.3.2 'n"si Distrib'si K'-'latif 

Fntuk setiap fungsi kepadatan probabilitas f$8& terdapat sebuah fungsi terkait

( ) (

8 P ? 8

)

f 

( )

t dt =

∫ 

8 ∞

=

≤

=

ubungan se%ara geometris antara grafik =$8& dan f$8& dapat dilihat pada gambar berikut,

(

 b 8 %

)

f 

(

t

)

dt- f 

(

t

)

dt =$%& =$b&

P

≤

≤

=

∫ 

%

∫ 

 b

=

−

∞ ∞

ontoh 2.!.2 :

•

Misalkan pdf dari besarnya beban dinamik ? pada sebuah jembatan $dalam k7& dinyatakan sebagai fungsi :









₊

_≤

_≤

=

lain

yang

5

2

8

5

8

G

!

G

1

f$?&

Maka untuk sembarang nilai 8 antara 5 dan2, fungsi distribusi kumulatif $%df& beban dinamik tsb adalah : 2 8 5 2 8 8 5 _1B8 ! 8 G 1 t 1B ! t G 1 dt t G ! G 1 f$t&dt =$8&

=

+









₊

=

 

 

 



 

  +

=

=

∫

_∞

∫ 

adi :













<

≤

≤

+

<

=

8

2

1

2

8

5

8

1B

!

8

G

1

5

8

5

=$8&

2

•

Probabilitas beban dinamik pada jembatan antara 1 sampai 1,; k7 adalah :

5,2I< B' 1I $1& 1B ! $1& G 1 $1,;& 1B ! $1,;& G 1 =$1& =$1,;& 1,;& 8 P$1 1 2

=

=

 

 

 



 

 

₊

−

 

 

 



 

 

₊

=

−

=

≤

≤

Dua ukuran penting yang meakili ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran yg paling banyak digunakan

Mean Distribusi : ( )8 d8 8.f 

Q

=

∫ 

3arians dari distribusi :

(

8-Q

) ( )

f  8 d8

R2 ₈ 2

8

=

∫ 

2.3.3 ,isto"ra- Distrib'si Probabilitas

istogram distribusi frekuensi

→

 histogram distribusi probabilitas, yang perlu diperhatikan : ketinggian sebuah batang histogram merupakan nilai fungsi kepadatan probabilitas untuk seluruh nilai 6ariabel a%ak sepanjang inter6al yg diakili batang tsb $ luas dari sebuah batang histogram merupakan nilai fungsi probabilitas dari 6ariabel a%ak antara batas-batas kelasnya&

(

)

(

)

lb ub ub lb ub lb 8 8 8 8 8  p 8 8 8 istogram "inggi

−

≤

≤

=

≤

≤

=

dengan :

8lb  batas baah nyata $loer boundary& interfal kelas 8ub  batas atas nyata $upper boundary& interfal kelas

9*+ -2 1-2 # 1 1, %  0 '*+ '*1,0 + '*1+ # 1 1, % 0 

0erikut adalah data mentah hasil pengujian breaking stress dari 155 spe%imen suatu logam ? $k7*m2_&

"abel 1. Data mentah hasil pengujian breaking stress dari 155 spe%imen suatu logam ? $k7*m2

&

11<1 11GB 12B' 125; 1!1B 1'!< 11G; 11;5 1!!G 12I5 15'2 1115 11I2 11IB 1'5B 11B1 1'I2 11<5 12;G 11;2 121G 11G1 12<! 1525 15'2 11!B 12!! 11;G 12!! 1!12 11'1 15'5 121< 11<; 12<! 11B! 12!; I!1 12<5 12'B 12IG 11G; 15;1 121G 1!5! 15;; 15G1 11B2 1!!! 12G; 15G! 11I< 11'B 12!1 I2! 1!I! 1!52 12'I 1!BG 1!2< 122; 15I; 15;1 12;5 1521 11;2 1'G2 152G 1!'1 115B

I!I 112' 1255 15;G 1''I 15I' 12;' 11B5 11'1 15B2

15<< 15B; 11'1 1'1B 15;; 1!II I2' 1!B1 121B 12GI 12<; 1'B' 11!! 125G 1!1' 125I 11'B 12<' 11;B 15I5

 (etelah disusun menjadi data dg urutan menaik $ as%ending& dg menggunakan program spreadsheet Mi%rosoft #8%el :

I2! 15;1 15I5 11'1 11B2 11IB 122; 12B' 1!52 1!BG

I2' 15;1 15I' 11'B 11B! 11I< 12!1 12<5 1!5! 1!I! I!1 15;; 15I; 11'B 11<5 1255 12!! 12<! 1!12 1!II I!I 15;; 115B 11;5 11<1 125; 12!! 12<! 1!1' 1'5B 1525 15;G 1115 11;2 11<; 125G 12!; 12<' 1!1B 1'1B 1521 15B2 112' 11;2 11G1 125I 12'B 12<; 1!2< 1'!< 152G 15B; 11!! 11;B 11G; 121B 12'I 12G; 1!!! 1''I 15'5 15<< 11!B 11;G 11G; 121< 12;5 12GI 1!!G 1'B' 15'2 15G1 11'1 11B5 11GB 121G 12;' 12I5 1!'1 1'G2 15'2 15G! 11'1 11B1 11I2 121G 12;G 12IG 1!B1 1'I2  7o.  reakin! "tress umlah Persentase

$k7*m2

& $f& $ f*n8155C&

1 I55-III ' 'C 2 1555 -15II 1I 1IC ! 1155 - 11II 2I 2IC ' 1255 - 12II 2G 2GC ; 1!55 - 1!II 1! 1!C B 1'55-1'II < <C "otal 7 155 155C

ika dg data tsb akan dibuat suatu distribusi probabilitasnya, maka harus dilakukan perubahan ketinggian batang histogram sesuai persamaan di atas.

 (ebagai %ontoh kita tinjau inter6al kelas 1155 L 11II dg frekuensi 2I maka pd inter6al kelas tsb :

•

?lb  15II,;

•

?ub   11II,;

•

P$8lb

≤

 8 O 8ub&  p $815II,;

≤

 8 O 811II,;&

 ratio frekuensi kelas $815II,;

≤

 8 O 811II,;&  2I*155  5,2I

•

Maka tinggi histogram probabilitasnya :

(

)

(

)

5,552I 155 5,2I 15II,; 11II,; 8 8 8  p 8 8 8

h _{15II,; 11II,;} 15II,; 11II,;

=

=

−

≤

≤

=

≤

≤

asil perhitungan untuk inter6al kelas lainnya ditunjukkan pada tabel berikut :

 7o.  reakin! "tress umlah Probabilitas "inggi istogram $k7*m2_{& $f&  p$8}

lb≤8≤8ub& h$8lb≤8≤8ub&

1 I55-III ' 5.5' 5.555'

2 1555 -15II 1I 5.1I 5.551I

! 1155 - 11II 2I 5.2I 5.552I

' 1255 - 12II 2G 5.2G 5.552G

; 1!55 - 1!II 1! 5.1! 5.551!

B 1'55 - 1'II < 5.5< 5.555<

2.3.% NILAI ,ARAPAN (,ARAPAN &ATE&ATIK

Fntuk 6ariabel diskrit

( )

∑

=

=

n 1 i i i p 8 8 #$?&

7ntuk ;ariabel kontin"u

( )

8 d8 f  8 #$?&

=

∫ 

3arians :

( )

2

(

( )

2 2 8 # ? # ? R

=

−

Pemakaian suatu alat berat semisal e8%a6ator yg berjalan lan%ar $tanpa kerusakan&memberi keuntungan +p.;.555.555,-, sedangkan jika ada gangguan ringan memberikan keuntungan +p.1.555.555,-dan apabila kerusakan yg terjadi dalam kategori berat maka akan memberikan kerugian +p.2.555.555,-.

0erdasarkan pengalaman diketahui probabilitas alat berjalan normal  5,B, dengan gangguan ringan  5,! dan gangguan berat  5,1. 0erapakan harapan keuntungan pengusaha sesuai kondisi tsb.

Penyelesaian :

?  6ariabel a%ak diskrit yg merupakan keuntungan $dlm juta& dg nilai 81 ;, 821 dan 8! - 2, dg  probabilitas p$81&  5,B p82&  5,! dan p$8!&  5,1

→

( )

( )

( )

( )

!,1 2&$5,1& $ $1&$5,!& $;&$5,B& 8  p 8 8  p 8 8  p 8 8  p 8 #$?& _{1 1 2 2 ! !} ! 1 i i i

=

−

+

+

=

+

+

=

=

∑

=

3 DISTRIBSI A6AK DISKRIT

"ujuan Pembelajaran

(etelah mempelajari bab ini, mahasisa diharapkan mampu :

Mengidentifikasi dan menghitung distribusi probabilitas teoritis 6ariabel a%ak diskrit : distribusi bernoulli, binomial, geometrik, poisson

Menentukan statistik deskriptif : ukuran-ukuran pemusatan, penyebaran, kemen%engan dan kerun%ingan pada distribusi probabilitas 6ariabel diskrit.

Menggunakan Pokok 0ahasan : 1. Distribusi 0ernoulli 2. Distribusi 0inomial !. Distribusi Poisson '. (oal-soal )atihan

3.1 DISTRIBSI BERNOLLI

3.1.1 'n"si Distrib'si Berno'lli

(yarat yg harus dipenuhi untuk distribusi 0ernoulli adalah :

 Keluaran $out%ome&yg mungkin hanya salah satu dari >sukses@ atau >gagal@  ika probabilitas sukses p maka probabilitas gagal T  1- p

=ungsi probabilitas 0ernoulli :

 p 8  1

 p0 $8p&  $1-p&  T 8  5 . . . $!.1&

5 8

≠

 5 atau 1

atau

 p0 $8p&  p8 $1-p&1-8  8  5,1

5

≤

 p

≤

 1 . . . $!.2&

→

 merupakan fungsi dg satu parameter >p@

 ontoh !.1

 Pada aal tahun ajaran baru, mahasisa =" biasanya membeli rapido untuk tugas

menggambar teknik. Di koperasi ada 2 jenis rapido, yaitu rapido yang dapat diisi ulang dan yg tidak. 0erdasarkan %atatan pd tahun-tahun sebelumnya diketahui !5C mahasisa memilih rapido yg dapat diisi ulang. ika 8  mahasisa yg membeli rapido isi ulang, maka distribusi  probabilitas 0ernoulli :

1

→

 mahasisa beli rapido isi ulang ? 

 p$1&  P$ ?  1 &  5,!

 p$5&  P$ ?  5&  1 - 5,!  5,<  p$8

≠

5 atau1&  P$?

≠

5 atau1&  5

Maka fungsi probabilitasnya adalah fungsi 0ernoulli dengan satu parameter p  5,! dapat dinotasikan sbb :

5,! 8 1

 p0 $ 8 5,!&  5,< 8  5

5 8

≠

 5 atau 1

atau

 p0 $ 8 5,! &  $5,!&8 $5,<&1-8  8  5,1

4ambar Distribusi Probabilitas 0ernoulli

3.1.2 Statisti$ Des$ri5tif Distrib'si berno'lli

Mean $ 7ilai arapan& :

µ

8  # $?&  p

3arians :

σ

82  p$1-p&  pT

Kemen%engan $ (keness &:

(

)

(

1

)

2 2 1 2 ! 1

−

=

+

−

−

+

−

=

=

#  p  p #  p  p  p  p α  β 

Kerun%ingan $ Kurtosis &:

(

)

(

1

)

! 1 B ! 1 B 1 ' 2

+

−

=

+

−

−

−

=

=

 p#  p#  p  p  p  p α  β  p B *< #,3+  *#,3+  _*#,+1= _{<  } #, 1 p B*< #,3+ 1 #, #,3 # 1 %  3

3.2  DISTRIBSI BINO&IAL

Distribusi ini sering digunakan dalam analisis statistik. Di bidang teknik banyak diaplikasikan  pada pengendalian kualitas $ Tuality %ontrol &.

Distribusi 0inomial disebut juga per%obaan atau proses 0ernouli, yang mengambil anggapan sbb,

1. (etiap per%obaan hanya menghasilkan 2 kemungkinan yang saling meniadakan $mutually e8%lusi6e& yaitu sukses atau gagal,

2. Peluang sukses $p& dari satu per%obaan ke per%obaan berikutnya adalah tetap. Peluang gagal $T& adalah 1 U p,

!. Masing-masing per%obaan merupakan peristia independent, artinya peristia yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristia yang lain.

3.2.1 'n"si Distrib'si Probabilitas Bino-ial

0ila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan T  1 U p, maka distribusi peluang bagi 6ariabel a%ak binom ?, yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas, adalah :

(

)

1  p 5 .... 1,2,!,.... n n , 2,... 1, 5, untuk 8 , T  p 8 n T  p :  p 1  p :  p& n, $8  p 8 n 8 8 n 8 8 n 8 n 8 8 n  b

≤

≤

=

=

 

 

 

 

 

 

=

=

−

=

− − −

dengan : n8  kombinasi dari n obyek dimana untuk setiap pemilihan diambil 8 obyek

n  jumlah per%obaan,

8  jumlah sukses yang diharapkan, p  peluang sukses,

T  peluang gagal.

=ungsi Distribusi Kumulatif :

(

)

(

)

(

)

1 5 ,... ! , 2 , 1 ,... 2 , 1 , 5 1 ,  ,  5 5

≤

≤

=

=

=

−

=

=

∑

∑

∑

− = − =  p b n  x #  p C   p  p C   p n k   p  p n  x  $  _{n k}  k  n k   x k  k  n k  k  n  x k  b ontoh :

1. (uatu kuis terdiri dari ; soal pilihan ganda dengan ' buah jaaban alternatif. ika seseorang yang tidak mengetahui jaaban pasti dari semua soal tsb tetap menjaab dengan %ara menerka maka dia telah melakukan eksperimen binomial. Fntuk soal tsb n  jumlah per%obaan  jumlah soal  ; p  probabilitas sukses menjaab $jaaban  benar&  V T  probabilitas gagal menjaab $ jaaban salah&  1-p  .

Pada soal ini 6ariabek a%ak diskrit $?& adalah jaaban yg benar yg dapat ditentukan dg %ara sbb : =ungsi probabilitasnya:

(

8D;,

)

:

( ) ( )

untuk 8 5,1,2,!,',;  p  p& n, $8D  p ; 8 ' ! 8 ' 1 8 ; ' 1  b  b

=

=

=

−

=ungsi Distribusi Kumulatifnya :

(

8Dn, p

)

=

( )

8D;,  p

( )

kD;, 8 5,1,2,!,',; = 8 5 k  ' 1  b ' 1

=

=

=

∑

= Distribusi probabilitasnya

P $?  5&  p b$5;,V&  ;5$V&5$&; 5,2!<! P $?  1&  p b$1;,V&  ;1$V&1$&' 5,!I;; P $?  2&  p b$2;,V&  ;2$V&2$&! 5,2B!< P $?  !&  p b$!;,V&  ;!$V&!$&2 5,5G<I P $?  '&  p b$';,V&  ;'$V&'$&1 5,51'B P $?  ;&  p b$;;,V&  ;;$V&;$&5 5,5515

=ungsi Distribusi Kumulatifnya :

(

)

( )

( ) ( )

(

)

( )

( ) ( ) ( )

(

)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

1 5.5515 . . . . . 5,2!<! ;BD;, .p . . . . . . . 5D;,  p kD;,  p ;D;, = ; 8 P 5,III5 5,51'B 5,5G<I 5,2B!< 5,!I;; 5,2!<! 'D;,  p ... 5D;,  p kD;,  p 'D;, = ' 8 P ,5IG'' 5,5G<I 5,2B!< 5,!I;; 5,2!<! !D;,  p 2D;,  p 1D;,  p 5D;,  p kD;,  p !D;, = ! 8 P 5,GIB; 5,2B!< 5,!I;; 5,2!<! 2D;,  p 1D;,  p 5D;,  p kD;,  p 2D;, = 2 8 P 5.B!2G 5,2!<! 5,!I;; 5D;,  p 1D;,  p kD;,  p 1D;, = 1 8 P 5,2!<! 5D;,  p kD;,  p 5D;, = 5 8 P ' 1  b ' 1  b ; 5 k  ' 1  b ' 1  b  b ' 1  b ' 1  b ' 5 k  ' 1  b ' 1  b  b ' 1  b ' 1  b ' 1  b ' 1  b ! 5 k  ' 1  b ' 1  b  b ' 1  b ' 1  b ' 1  b 2 5 k  ' 1  b ' 1  b  b ' 1  b ' 1  b 1 5 k  ' 1  b ' 1  b  b ' 1  b 5 5 k  ' 1  b ' 1  b  b

=

+

+

=

+

=

=

=

≤

=

+

+

+

+

=

+

+

=

=

=

≤

=

+

+

+

=

+

+

+

=

=

=

≤

=

+

+

=

+

+

=

=

=

≤

=

+

=

+

=

=

=

≤

=

=

=

=

≤

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = Fungsi Probabilitas 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 1 2 3 4 5 6  X       p        (     x      ;        5  ,        1        /        4

Fungsi Distr ibusi  u!ulati" 

0 0.2 0.4 0.6 0.# 1 1.2 1 2 3 4 5 6  X         F        (     x      ;        5  ,        1        /        4

2. Dalam suatu kajian ketangguhan mesin suatu jenis mobil diketahui baha B<Cnya memiliki jarak tempuh lebih dari '55 ribu kmsampai harus turun mesin yg pertama

kalinya. 12 mobil ybs dipilih se%ara a%ak dan jarak tempuh rata-rata sampai turun mesin diperiksa. #ksperimen tsb merupakan eksperimen binomial dg n  12, p  5.B<, T  5.!!

(tatistik Deskriptif 0inomial  7ilai arapan

µ

8 #$?&  np 3arians

σ

82  np $ 1-p & Kemen%engan

(

)

(

)

n 2 nT  p np T n 2  p 1 n  p np  p 1 W X₁ 2_!

−

=

+

−

−

+

−

=

=

Kurtosis

(

)

(

)

npT ! BpT 1 !  p 1 np  p 1 Bp 1 W X_{2 '}

+

=

−

+

−

−

−

=

=

in!kasan &istribusi &iskrit

Distribusi Parameter =ungsi Probabilita: p$8&

+ata-rata 3arian =ungsi Pembangkit momen 0ernoulli 5≤ p≤1 P$8&p 8 T1-8   85,1  5 lainnya  p pT pe t _{H T} 0inomial n  1,2,... 5≤ p≤1 ( )8  p T 8 5,1,2,...  p 8 n 8 n 8 = −             =  5 lainnya np npT $pet  H T&n 4eometrik 5≤ p≤1 P$8&pT 8-1 8  1,2,...  5 lainnya 1*p T*p

2  _pet_*$1-Tet_&

Pas%al $0inomial  7egatif& 5≤ p≤1 r 1,2,... $r Y 5& ( )  pr T8 r  8 r,r  1,r  2,... 1 -8 1 -r  8  p = _   − = + +           5 lainnya r*p rT*p2 r  t Te 1 t  pe       − ipergeometrik   71,2,.. n 1,2,..7 D 1,2,..7 ( )  pr T8 r  8 1,2,...  7 n D  7 8 n D 8 8  p − = − −                 =                             min $n,D& 5 lainnya      7 D n             − − − 1  7 n  7  7 D 1  7 D n )ihat kendall dan (tuart $1II!& Poisson α Y5 ( ) 5,1,2,.... 8 8N 8 W W e  p$8& = − =  5 lainnya α α W( et 1) e −

S6A$=S6A$ $AT48A5

1.

B misi ruang angkasa ke bulan diterbangkan se%ara bebas.

Diperkirakan probabilita sukses pada setiap misi adalah 5,I;.

0erapakah probabilita paling sedikit lima misi diterbangkan akan

suksesE

aab : dari soal tsb, diketahui n  B p  5,I; 8  ;, maka

(

)

B

5,I;

B

5,5;

5

.

.

.

.

B

1

5,5;

;

5,I;

B

;

;

8

 p

≥

=

+

=

  

 

 

 





 

 

  

 

 

 





 

 

2.

(uatu perusahaan telah meren%anakan penaaran kepada 12 orang

langganan utama. Probabilita penerimaan sebuah pesanan sebagai

hasil penaaran diperkirakan 5,;. 0erapakah probabilita

 penerimaan ' atau lebih pesananE

aab : dari soal tsb, diketahui n  12 p  5,; 8

≥

  ', maka

(

)

12

5,;

12

5,;

5

.

.

.

.

12

.

.

<

5,;

;

5,;

12

;

G

5,;

'

5,;

12

'

'

8

 p

≥

=

+

+

+

=

  

 

 

 





 

 

  

 

 

 





 

 

  

 

 

 





 

 

Atau

(

)

12

5,;

1

5,;

11



.

.

.

.

1

15

5,;

2

5,;

12

2

I

5,;

!

5,;

12

!

/

1

'

8

 p

≥

=

−

+

+

=

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 

 

 







 

 

!.

+ata-rata %urah hujan di%atat ke perseratusan %m yang terdekat, di

0andung pada bulan Sktober adalah I,22 %m. 0ila dimisalkan

distribusinya normal denga simpangan baku 2,G! %m, hitunglah

 peluang $probabilita& baha bulan Sktober yang akan datang

0andung akan mendapat hujan,

a. Kurang dari 1,G' %m,

 b. )ebih dari ; %m tetapi kurang dari < %m,

%. )ebih dari 1!,G %mE

aab : dari soal tsb, diketahui Z  I,22 R  2,G!, maka

a. P$8O1,G' %m&

-2,B5<<<'

2,G!

I,22

1,G'

[

=

−

=

, lihat tabel kur6a normal

→

P$8O1,G' %m&  5,55';  5,';C

 b. P$ ; O 8 O < &  5,21<< L 5,5BG1  5,1'IB

-1,'I

2,G!

I,22

;

1

[

=

−

=

→

5.5BG1

-5,<G

2,G!

I,22

<

2

[

=

−

=

→

5.21<<

%. P$8 Y 1!,G %m&  1- 5,I'<'  5,5;2B

1,B1G'

2,G!

I,22

G

,

!

1

[

=

−

=

_→

_5,I'<'

'.

(uatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga

mengeluarkan rata-rata $Z& 25< ml per %angkir. 0ila banyaknya

minuman berdistribusi normal dengan simpangan baku $R&1; ml,

a. 0erapa %angkir yang akan berisi lebih dari 2!1 ml

 b. 0erapa peluang suatu %angkir berisi antara 1IG dan 21B mlE

%. 0erapa %angkir yang akan kepenuhan $ sampai tumpah& bila

digunakan 1555 %angkir berukuran 2!< mlE

d. Di baah nilai berapakah terdapat 2;C dari jumlah %angkir 

dengan isi terke%il.

dari soal tsb, diketahui Z  25< R  1;, maka



P$8Y2!1&

-1,B

5<

2

!1

2

[

1;

=

−

=

, lihat tabel kur6a normal

→

P$8Y2!1&  1- 5,I';2  5,5;'G  ;,'GC



P$ 1IG O 8 O 21B &  5,<2;< L 5,2<'!  5,';1'

5,B

5<

2

1B

2

1

[

1;

=

−

=

→

5.<2;<

5,B

5<

2

1IG

2

[

1;

=

−

−

=

→

5.2<'!

;.

Manajer personalia sebuah perusahaan besar membutuhkan

 pelamar pekerjaan yang mengikuti ujian tertentu dan men%apai

nilai ;55. ika nilai ujian itu berdistribusi normal dengan rata-rata

'G; dan standar de6iasi 25, berapa C pelamar yang lulus ujian

tersebutE

B.

+ata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba di pelabuhan adalah

15. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 1;

tanker sehari.0erapakah peluang pada suatu hari tertentu tanker 

terpaksa disuruh pergi karena pelabuhan tak mampu melayani.

<.

(eorang sur6eyor lalulintas melaporkan baha <;C kendaraan

yang melintai suatu daerah pemeriksaan berasal dari DKA. 0erapa

 peluang baha paling sedikit tiga dari lima kendaraan mendatang