sdc/2 STMIK MI, SI & TI/_Statistik Dasar HW/ probabilitas, peluang bisnis, cita-cita & harapan

(1)

1

present

future

past

probabilitas,

peluang bisnis,

cita-cita & harapan

planning,

pengembangan,

mau nikah,

kredit motor, dll

sejarah,

masa lalu,

data time series,

Succes Story

Ada ketidakpastian, dg ilmu 

peluang positip 

Optimisme

Kita sekarang menjaga kesehatan,

untuk lebih sehat di masa datang

sdc/2 STMIK MI, SI & TI/_Statistik Dasar HW/

Manfaat : jarang lupa, tidak terkejut, Antisipatif,

Ber-alternatif, Improvisasi, Kreatif & Inovatif

Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

Teori Probabilitas



Teori Probabilitas merup. Cabang dari Ilmu

Matematika Terapan

, dan mempelajari perilaku

dari faktor untung-untung-an



Dipengaruhi :



pemikiran teoritis & hasil observasi perjudian

(2)

Perumusan Probabilitas

• Mis. ada 10 bola merah & 10 bola putih yg identik (kec.

warnanya), dimasukkan ke wadah tertutup. Bila diambil 1

bola maka : terambil BOLA MERAH atau BOLA PUTIH

• Ada 2 macam kondisi :

–

Kondisi yang

diketahui



bola identik, kecuali warnanya ; bolanya

ada 10 MERAH & 10 PUTIH

–

Kondisi yang

tidak diketahui



posisi/kedudukan bola-2 tsb ;

tindakan pemilihan  berdasarkan kemauan saja, tanpa

merencanakan ttg yg akan dipilih

3

Kondisi yang diketahui



tergantung dari

OBYEK

-nya, mis. pada obyek

sederhana  DADU, KARTU, MATA UANG.

Obyek yang lebih komplek  merk sepeda

motor, merk mie instan, jumlah penduduk

suatu wilayah, dll.



harus diketahui terlebih dulu, bila perlu harus

survai atau sensus.

4

(3)

Kondisi yang tidak diketahui



tergantung dari proses eksperimen



bisa ditentukan dg perhitungan



tidak dapat diduga dg PASTI, tapi dapat

dianalisa atas dasar logika ilmiah



Teori

Probabilitas

memberikan

cara

pengukuran KUANTITATIF ttg terjadinya

suatu peristiwa

5

Ada 3 Konsep Probabilitas

1. Pendekatan Klasik

2. Pendekatan Frekuensi Relatif

a)

Newbold, P. (1995) dan Anderson

(2002)

b)

Walpole, RE. (1982)

(4)

KONSEP PROBABILITA

1. Pendekatan Klasik : berbasis obyek-nya



Pendekatan ini menggunakan asumsi jika suatu percobaan

memiliki

n kemungkinan

hasil, maka peluang

masing-masing

kejadian adalah

1/n

.



Contoh: Pelemparan sebuah dadu bermata 6

Percobaan

: Pelemparan sebuah dadu

Ruang Sampel : S = {

1, 2, 3, 4, 5, 6

}

Probabilita

: Masing-masing kejadian munculnya mata

dadu memiliki peluang sama, yaitu

1/6

7

KONSEP PROBABILITA

2. Pendekatan Frekuensi Relatif : eksperimen

a.

Newbold, P. (1995) dan Anderson (2002):

Jika N

_A

merupakan banyaknya

kejadian A

muncul

dalam suatu

percobaan berulang

sebanyak

N

, maka

dengan konsep relative frequency, peluang bahwa A

akan terjadi adalah

N

A

P

₍

₎



A

8

(5)

KONSEP PROBABILITA

2. Pendekatan Frekuensi Relatif: (Lanjutan)

b.

Walpole, RE. (1982):

Bila suatu percobaan mempunyai

N hasil

percobaan

yg berbeda, dan masing-masing mempunyai

kemungkinan yg sama untuk terjadi, dan bila tepat

n

diantara

hasil percobaan

itu menyusun suatu

kejadian A, maka peluang kejadian A adalah

9

n

m

E

p

atau

N

n

A

P

n



(

)

lim

)

(



Pada pelemparan dadu 1000 kali, m/n akan memiliki

tendensi/kecenderungan ke suatu NILAI KONSTAN (1/6)



p(E)  Probabilitas Statistik /Probabilitas Empiris.



Bila n 



maka Probabilitas

empiris

akan mendekati

n

m

E

p

n





 lim

)

(

x 1 2 3 4 5 6 m 166 169 165 167 169 164 m/n 166/1000 169/1000 165/1000 167/1000 169/1000 164/1000

(6)

KONSEP PROBABILITA

3. Pendekatan Subyektif

Contoh:

Pemilihan calon Manajer Pemasaran di sebuah

perusahaan berdasarkan keputusan Pimpinan

perusahaan, umumnya menggunakan pendekatan

ini. Misalkan A yang memiliki pengalaman dan

prestasi kerja yang lebih baik daripada B, maka A

akan

diberikan

peluang

yang

lebih

besar

dibandingkan B.

11

Jadi, ...

Probabilitas dirumuskan

sebagai

RASIO

atau

PROPORSI

atau

PERBANDINGAN

12

(7)

Variabel Random :



Variation + able = berbeda/bervariasi + dapat, lawannya =

konstanta



Variabel yg nilainya merup. suatu bilangan yg ditentukan

oleh terjadinya hasil suatu percobaan



Variabel yg secara teoritis dapat menerima sembarang nilai



Terdiri atas :



Variabel Diskrit  bil. bulat, pencacahan, { 1, 2, 3 }



Variabel Kontinu  bil. pecahan, pengukuran, { 1  x  3 }

13

Diagram Venn & Ruang Sampel

• Azas-azas Teori Kelompok :

–

Perumusan ttg Probabilitas Matematik menggunakan

istilah & pengertian ttg Teori Kelompok = Teori Himpunan

= Set Theory

• Kelompok = set :

–

Kumpulan dari obyek, benda atau simbol yg dapat

(8)

Diagram Venn & Ruang Sampel



Tiap obyek secara kolektif membentuk suatu kelompok

dinamakan UNSUR (ELEMENT). Sehingga tiap unsur

merup. anggota dari kelompok tsb.



Jika a merup. suatu obyek, sedangkan S adalah suatu

Kelompok, maka :

a



S



a merup. satu unsur dari kel. S

a



S



a bukan merup. satu unsur dari kel. S

15

Diagram Venn & Ruang Sampel

Ada 3 jenis kelompok :

1. Kelompok yg TERBATAS / Finite Set, jika

susunannya tertentu, dari awal sd akhir

2. Kelompok yg TIDAK TERBATAS / Infinite Set,

jika susunannya tidak terbatas

3. Kelompok KOSONG/empty set/null set, jika

tidak memiliki unsur atau



16

(9)

Diagram Venn & Ruang Sampel

Perincian ttg KELOMPOK

• Cara

DAFTAR

, semua unsur diuraikan.

mis. mata dadu S = { 1,2,3,4,5,6 }

• Cara

KAEDAH

, dg menuliskan definisi atau

syaratnya.

mis. mata dadu S = { x : x adalah bil. bulat dan

1  x  6 }

17

Diagram Venn & Ruang Sampel

Contoh



Bila S = {

1,2,3,4,5,6

} dan N merup, kelompok yg

terdiri dari angka-angka

kuadrat

dari rumus S, maka

N = {

1,4,9,16,25,36

} atau

N = {

x

2 _{: x merup. unsur dari S }}

(10)

Diagram Venn & Ruang Sampel

Kelompok & Sub-Kelompok :



Keseluruhan obyek yg membentuk kelompok

yg besar dan tetap =

kelompok universil

/

universal set

/

populasi

= disebut

KELOMPOK

saja



Kelompok yg dipilih dan dibentuk dari

kelompok universil =

sub kelompok

/

sampel

19

Diagram Venn & Ruang Sampel

Kelompok & Sub-Kelompok :

• Kelompok A merup. sub-kelompok B, bila

setiap

unsur dari

A

juga merupakan unsur dari

B

, dan dinyatakan sbg

A  B

dan

Kelompok Kosong

sbg sub-kelompok dari tiap kelompok

• Mis.

{ 2,4 }



{ 1,2,4 }

{ 1,3 }



{ x : x  1 }

{ 1,5 }



{ 1,5 }  kelompok dpt merup. sub-kelompok dari

dirinya sendiri. Bila kelompok A = kelompok B, maka A



B

dan B



A = kelompok identik

20

(11)

Unsur Sub-kelompok

• Bila n merup. bil. bulat positip, maka suatu

kelompok dg unsur sebanyak

n

, akan memiliki

2 n

_{sub-kelompok yg berbeda}

• n=1 

2

1 = 2  {a}, {}

• n=2 

2

2 = 4  {a}, {b}, {a,b}, {}

• n=3 

2

3 = 8  {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},

{a,b,c}, {}

21

Diagram Venn & Ruang Sampel

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok :

1. Komplemen atau yg bukan kel. tsb

2. Interseksi/Irisan

3. Gabungan/Union

(12)

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok

1. Komplemen suatu kejadian



Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S

(semesta) adalah himpunan semua anggota S yang

bukan anggota A, dilambangkan dengan A

c

_.



Diagram Venn berikut mengilustrasikan A

c

_.

23

}

:

{

x

U

x

A



C







2. Interseksi/Irisan dari 2 atau lebih kejadian



Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A

 B, adalah kejadian yang mengandung semua unsur

persekutuan kejadian A dan B.



Diagram Venn berikut mengilustrasikan A  B.

24

A  B

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok

}

:

{

x

A

dan

x

B

A







(13)

Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok

3. Union/Gabungan dari 2 atau lebih kejadian



Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan

dengan A  B, adalah kejadian yang mencakup

semua unsur anggota A atau B atau keduanya.



Diagram Venn berikut mengilustrasikan A  B.

25

}

:

{

x

A

atau

x

B

A







Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok

4. Kejadian yang saling meniadakan (Mutually Exclusive

Events)



adalah suatu kejadian yang meniadakan kejadian

lain untuk muncul dalam suatu ruang contoh.

B

A

S





(14)

27

Contoh :



Jika U = 26 abjad alfabet, A = sub-kelompok huruf

vokal { a,i,u,e,o }, dan B = sub-kelompok 3 huruf

pertama dari alfabet { a,b,c }.



Tentukan :



Ac



B

c



A



B =



A



B =

28

A

B

(15)

Contoh :



Jika U = { 1,2,3,4,5,6,7 }, A = { 1,2,3 },

B = { 2,4,6 } & C = { 1,3,5,7 }



Tentukan :



Ac



B

c



C

c



A



B =



A



B =

29

A

C

B

Contoh :



Sebuah perusahaan industri menggolongkan

pegawai A, B & C.

Gol. A = pegawai yg rajin

Gol. B = pegawai yg sehat

Gol. C = pegawai yg berpendidikan

dan mungkin saja seorang pegawai rajin, sehat

dan berpendidikan. Dengan survei 100 orang.

(16)

Contoh :



Hasil survei :

31

Golongan

Jumlah pegawai

A

50 B

52 C

40 A dan B

20 A dan C

13 B dan C

15 A dan B dan C

5 A

C

B

ABC C B A BC A

ABC

C AB _A_B_C C AB BC A

5

15

22 ?

17

8

10

22 Diagram Venn menggambarkan secara sistimatis

jumlah pegawai yg termasuk ke dalam suatu

golongan saja TANPA pencatatan rangkap

Solusi :

1. = 5

2. = AB –

= 20 – 5 = 15

3. = AC –

= 13 – 5 = 8

4. = BC –

= 15 – 5 = 10

5. = A – (

+

)

6. = 50 – ( 5 + 15 + 8 ) = 22

7. = B – (

+

)

8. = 52 – ( 5 + 15 + 10 ) = 22

9. = C – (

+

)

10. = 40 – ( 5 + 8 + 10 ) = 17

32

Golongan Jumlah pegawai

A 50 B 52 C 40 A dan B 20 A dan C 13 B dan C 15 A dan B dan C 5

A

C

B

ABC C B A BC A

ABC

C AB _A_B_C C AB BC A

5

15

22 ?

17

8

10

22

ABC C AB ABC C B A ABC BC A ABC BC A ABC ABC ABC C B A ABC ABC ABC ABC ABC ABC

ABC

ABC

Solusi :

(17)

Ruang Sampel



Bila tiap hasil suatu percobaan sesuai dg

salah satu unsur suatu kelompok, maka

kelompok tsb  Ruang Sampel



Atau, semua kemungkinan hasil percobaan



Termasuk, dalam KONDISI YG DIKETAHUI



Harus ditentukan terlebih dahulu, sebelum

menentukan nilai probabilitas

33

Ruang Sampel



Sebuah ruang sampel S merup. sebuah

kelompok yg :



tiap unsur dari S menyatakan satu hasil

percobaan



Tiap hasil percobaan harus sesuai dg satu dan

hanya satu dari unsur S



Ruang sampel sangat khas, tergantung dari

obyek

yang

akan

ditentukan

nilai

probabilitasnya

(18)

Ruang Sampel

Obyek Ruang Sampel :



Uang Logam, bersisi 2  2

keping



K=kepala,

E=ekor



1 keping  RS = 2

1 = 2  {K, E}



2 keping  RS = 2

2 = 4  {KK, KE, EK, EE}



3 keping  RS = 2

3 = 8  {

K

KK,

K

KE,

K

EK,

K

EE,

E

KK,

E

KE,

E

EK,

E

EE}



4 keping  RS = 2

4 = 16  ...

35

Ruang Sampel

36

(19)

Ruang Sampel : 52 kartu bridge

37

Ruang Sampel

Obyek Ruang Sampel :



Dadu, bersisi 6  6

keping



1 dadu  RS = 6

1

= 6



2 dadu  RS = 6

2

= 36



3 dadu  RS = 6

3

= 216



Bila dadu MERAH & dadu PUTIH dilempar bersama, maka JUMLAH

MATA DADU-nya mempunyai Ruang Sampel

S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

x , y 1 2 3 4 5 6 1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 ) 2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 ) 3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 ) 4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )

(20)

Ruang Sampel



Ruang Sampel pelemparan 2 dadu tsb bisa ditulis :

S = { (x,y) | 1  x  6 ; 1  y  6 }



Maka :



Ruang Sampel terdiri atas 36 titik sampel



Probabilitas terwujudnya tiap titik sampel = 1/36



Contoh :



Buktikan probabilitas x = y sebesar 1/6



Buktikan probabilitas y  x + 3 sebesar 1/6

39 x , y 1 2 3 4 5 6 1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 ) 2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 ) 3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 ) 4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 ) 5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 ) 6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )

RS ATURAN PENGHITUNGAN



Bila obyek masih sederhana (bisa diuraikan

unsur-2-nya), maka Ruang Sampel bisa di tentukan dari

menguraikan unsur-2 Ruang Sampel-nya. Obyek

sederhana, misal. mata uang & dadu



Bila obyeknya lebih KOMPLEK, maka digunakan :

ATURAN PENGHITUNGAN (COUNTING RULES)

Terdiri :



Kaidah penggandaan (Multiplication rule)



Permutasi (seluruhnya, sebagian & berbeda)



Kombinasi

40

(21)

ATURAN PENGHITUNGAN

1. Kaidah penggandaan (Multiplication rule).

Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam

n

₁

cara

, bila

untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan

dalam

n

₂

cara

, bila untuk setiap pasangan dua cara yang

pertama operasi ketiga bisa dilakukan dalam

n

₃

cara

, dan

demikian seterusnya, maka k operasi dalam urutan

tersebut dapat dilakukan dalam

n

₁

×n

₂

×…×n

_k

cara

.

–

Dapat dijabarkan secara mudah dengan bantuan

diagram pohon (tree diagram)

41

ATURAN PENGHITUNGAN

CONTOH: INVESTASI BRADLEY



Bradley menginvestasikan uangnya pada 2 saham, yaitu Markley Oil dan

Collins Mining. Bradley telah menghitung kemungkinan hasilnya selama

3 bulan dari sekarang. Berikut kemungkinannya :

Keuntungan (+)/kerugian (–) investasi dalam 3 bulan ($000)

Markley Oil Collins Mining

10 8

5 -2

(22)

ATURAN PENGHITUNGAN



Diagram Pohon

Markley Oil

Collins Mining

Hasil

(Stage 1)

(Stage 2)

Percobaan

U n tu n g 5 U n tu n g 5 U n tu n g 8 U n tu n g 8 U n tu n g 1 0 U n tu n g 1 0 R u g i 2 0 R u g i R u g i 2 0 R u g i 2 R u g i 2 Im p a s Im p a s (1 0 , 8 ) (1 0 , 8 ) U n tu n gU n tu n g $ 1 8 ,0 0 0$ 1 8 ,0 0 0 (1 0 , (1 0 , --2 )2 ) U n tu n gU n tu n g $ 8 ,0 0 0$ 8 ,0 0 0 (5 , 8 ) (5 , 8 ) U n tu n gU n tu n g $ 1 3 ,0 0 0$ 1 3 ,0 0 0 (5 , (5 , --2 )2 ) U n tu n gU n tu n g $ 3 ,0 0 0$ 3 ,0 0 0 (0 , 8 ) (0 , 8 ) U n tu n gU n tu n g $ 8 ,0 0 0$ 8 ,0 0 0 (0 , (0 , --2 )2 ) R u g iR u g i $ 2 ,0 0 0$ 2 ,0 0 0 ( (--2 0 , 8 )2 0 , 8 ) R u g iR u g i $ 1 2 ,0 0 0$ 1 2 ,0 0 0 ( (--2 0 ,2 0 ,--2 )2 ) R u g iR u g i $ 2 2 ,0 0 0$ 2 2 ,0 0 0 U n tu n g 8 U n tu n g 8 U n tu n g 8 U n tu n g 8 U n tu n g 8 U n tu n g 8 R u g i 2 R u g i 2 R u g i 2 R u g i 2 R u g i 2 R u g i 2 U n tu n g 5 U n tu n g 5 U n tu n g 8 U n tu n g 8 U n tu n g 1 0 U n tu n g 1 0 R u g i 2 0 R u g i R u g i 2 0 R u g i 2 R u g i 2 Im p a s Im p a s (1 0 , 8 ) (1 0 , 8 ) U n tu n gU n tu n g $ 1 8 ,0 0 0$ 1 8 ,0 0 0 (1 0 , (1 0 , --2 )2 ) U n tu n gU n tu n g $ 8 ,0 0 0$ 8 ,0 0 0 (5 , 8 ) (5 , 8 ) U n tu n gU n tu n g $ 1 3 ,0 0 0$ 1 3 ,0 0 0 (5 , (5 , --2 )2 ) U n tu n gU n tu n g $ 3 ,0 0 0$ 3 ,0 0 0 (0 , 8 ) (0 , 8 ) U n tu n gU n tu n g $ 8 ,0 0 0$ 8 ,0 0 0 (0 , (0 , --2 )2 ) R u g iR u g i $ 2 ,0 0 0$ 2 ,0 0 0 ( (--2 0 , 8 )2 0 , 8 ) R u g iR u g i $ 1 2 ,0 0 0$ 1 2 ,0 0 0 ( (--2 0 ,2 0 ,--2 )2 ) R u g iR u g i $ 2 2 ,0 0 0$ 2 2 ,0 0 0 U n tu n g 8 U n tu n g 8 U n tu n g 8 U n tu n g 8 U n tu n g 8 U n tu n g 8 R u g i 2 R u g i 2 R u g i 2 R u g i 2 R u g i 2 R u g i 2 43

ATURAN PENGHITUNGAN

2. Permutasi (berbeda  sama & berbeda n & r-nya) :

Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n

benda yang berbeda adalah

dimana

n! = n.(n-1).(n-2) … (2).(1)

(n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2) … (2).(1)

0! = 1

)!

(

!

r

n

P

_r

n



_

44

(23)

ATURAN PENGHITUNGAN

Contoh :

Permutasi Seluruhnya : bila n = r

Dalam berapa cara 3 buku A, B & C yg berbeda dapat diletakkan secara

teratur di rak buku ?  ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA

Permutasi Sebagian : bila n > r

Dalam berapa carakah 2 huruf yg berbeda dari kata “ l a u t “ dapat diatur

atau dipilih dalam suatu urutan tertentu ?  {l,a}, {l,u}, {l,t}, {a,l}, {a,u},

{a,t}, {u,l}, {u,a}, {u,t}, {t,l}, {t,a} & {t,u}

45

6

1

3 .

2 .

1 !

0 !

3 )!

3

3 (

!

3

3 3







P

12 !

2

4 .

3 !.

2 !

4 )!

2

4 (

!

4

2 4

P



_



Contoh :

Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untuk

menentukan hadiah pertama dan kedua, maka

banyaknya titik contoh [ruang sampel / sample

space] adalah

380

20 .

19 !

18

20 .

19 !.

18 !

20 )!

2

20 (

!

20 )!

(

!

2

20 











r

n

P

ATURAN PENGHITUNGAN

(24)

ATURAN PENGHITUNGAN

3. Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n

₁

diantaranya berjenis pertama, n

₂

berjenis kedua, …, n

_k

berjenis ke-k adalah

Contoh:

Banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuat

sebuah rangkaian lampu hias yang terdiri dari 3 lampu

merah, 4 kuning, dan 2 biru adalah

!

!...

!

)!

...

(

!

!...

!

)!

(

2 1 2 1 2 k k k i i

n







47

1260

!

2 !

4 !

3 !

9 !

2 .

!

4 .

!

3 )!

2

4

3 (



_

ATURAN PENGHITUNGAN

4. Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda

adalah

Contoh:

Jika dari

4 orang anggota partai X akan dipilih

2 orang

untuk menjadi anggota suatu tim Pansus, maka

banyaknya kombinasi adalah

)!

(

!

r

n

r

n

C

r

n

r

n



_















48

6

2

12

2 !.

2

4 .

3 !.

2 !

2 !.

2 !

4 )!

2

4 !.(

2 !

4

2

4

2 4



_















C

(25)

ATURAN PENGHITUNGAN

Contoh:

Berapa jumlah kombinasi sebanyak 3 unsur yg diambil dari

kelompok {a,b,c,d,e} ?



{

a,b

,c}, {

a,b

,d}, {

a,b

,e}, {

a,c

,d}, {

a,c

,e}, {

a,d

,e}, {

b,c

,d}, {

b,c

,e}, {

b,d

,e},

{

c,d

,e}

Probabilitas untuk memilih sebuah sampel yg terdiri dari 3 orang

dari populasi yg terdiri 30 orang adalah :

49

10

2

20

2 .

1 !.

3

5 .

4 !.

3 !

2 !.

3 !

5 )!

3

5 !.(

3 !

5

3

5

3 5



















C

4060 1 3 . 2 . 1 30 . 29 . 28 1 ! 27 . 3 . 2 . 1 30 . 29 . 28 !. 27 1 ! 27 . ! 3 ! 30 1 )! 3 30 !.( 3 ! 30 1 1 ) 3 ( 3 30        C orang p

Perhitungan dalam Probabilitas

1.Probabilitas suatu Peristiwa :



Bila suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n (ruang

sampel) hasil yg berbeda & memiliki kesempatan terwujud

yg sama (var. random), dan bila m (suatu kejadian tertentu)

dari hasil diatas merup. peristiwa A, maka Probabilitas

peristiwa A adalah :



Probabilitas peristiwa bukan A adalah :

sampel

ruang

tertentu

kejadian

seluruh

tertentu

kejadian

n

m

A

p

(

)



m

n



(26)

Perhitungan dalam Probabilitas

1.Probabilitas suatu Peristiwa :

Contoh :



Sebutir dadu empat sisinya dicat MERAH, dua sisinya dicat PUTIH.

Bila dadu dilempar sekali, maka :



berapakah probabilitas muncul sisi MERAH ?



berapakah probabilitas muncul sisi PUTIH ?



Jawab :



Prob (Merah) :



Prob (Putih) :

atau

51

667 ,

0

3

2

6

4 )

(



n

m

merah

p

merah

333 ,

0

3

1

6

2 )

(



n

m

putih

p

putih

3

1

3

2

1 )

(

1 )

(

1 )

(

putih





p

putih





p

merah







p

Perhitungan dalam Probabilitas

2.Peristiwa yg

Eksklusif

: tidak ada yg

sama

satu sama lain



Bila A & B EKSKLUSIF secara Bersama dan merup. peristiwa,

dalam sebuah ruang sampel terbatas, maka :

dimana A



B =



dan p (

A  B) = 0



Mis. Sebutir dadu dilempar sekali,

Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1

ATAU

mata dadu 5

?

Jawab : p (A  B) = p (A) + p(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1

ATAU

3 ATAU

5 ATAU

6 ?  1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3

52

)

(

)

(

)

(

A

B

p

A

p

B

p







(27)

Perhitungan dalam Probabilitas

3.Peristiwa yg

BUKAN Eksklusif

: ada yg sama/kembar



Bila peristiwa A & B merup. suatu gabungan (union) dan TIDAK

EKSKLUSIF secara bersama dan terdapat pada sebuah ruang

sampel terbatas, maka :



Contoh :

Kelompok

brigade

tempur

sukarela,

½-nya

adalah

SUKARELA

WAN

&

½-nya

adalah SUKARELA

WATI

.

20%

dari

SUKARELA

WATI

adalah

MAHA

SISWI

,

dan

60%

dari

SUKARELA

WAN

adalah MAHA

SISWA.

Bila dipilih secara random seorang dari brigade tsb, berapakah

probabilitas seorang

WANITA

atau seorang

Mahasiswa

terpilih ?

53

)

(

)

(

)

(

)

(

A

B

p

A

p

B

p

A

B

p











Perhitungan dalam Probabilitas

3.Peristiwa yg

BUKAN

Eksklusif :

Bila digambar Diagram Pohon-nya (Tree Diagram) :

N

½ N Sukarelawan

60%

Mahasiswa 40% bukanMahasiswa

½ N Sukarelawati

20%

(28)

Perhitungan dalam Probabilitas

3.Peristiwa yg

BUKAN

Eksklusif :

Jawab :

• Bila A = peristiwa

WANITA

terpilih =

0,5



SUKARELAWATI

• Pengertian Mahasiswa  PEREMPUAN & LAKI-LAKI.

Bila B = peristiwa MAHASISWA terpilih  ada 2 asal MAHASISWA =

yg

Perempuan

+

yg Laki-laki

= (20% x ½) + (60% x ½) = 10% + 30% = 40%

= 0,4

• Yang RANGKAP = p (AB) = 20% x ½ = 0,1  ada mahasiswi yg WANITA

sekaligus Kuliah (mahasiswa).

• Maka :

p (A  B) = p (A) + p(B) - p (A  B)

= 0,5 + 0,4 – 0,1

= 0,8 N.

55 0,4 0,3

A

B

S

0,1

Perhitungan dalam Probabilitas

4.Peristiwa yg

KOMPLIMENTER

:



Bila terdapat peristiwa A dan peristiwa A dalam

sebuah ruang sampel yg sama dan bila A meliputi

semua unsur kecuali A, maka A merup. peristiwa

KOMPLIMENTER bagi A



Notasi : p (A) = 1 – p(A)



Contoh lihat Perhitungan

no. 1

56

_

_{_}

_

(29)

57

Perhitungan dalam Probabilitas

5.Peristiwa yg

INDEPENDEN

:



Bila dan hanya bila terjadi atau tidak terjadinya peristiwa PERTAMA,

tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya peristiwa KEDUA.

Peristiwa Pertama

TIDAK TERKAIT

dengan peristiwa Kedua.

Notasi : p (A  B) = p (A) . p(B)



Contoh :

Pada pelemparan

dua

butir dadu MERAH & PUTIH, tentukan probabilitas

DADU MERAH

X  3

dan DADU PUTIH

Y  5

!



Jawab :



Siapkan Ruang Sampelnya

(30)

Perhitungan dalam Probabilitas

5.Peristiwa yg

INDEPENDEN

:



Probabilitas dadu MERAH

X  3

= 18/36 = 1/2



Probabilitas dadu PUTIH

Y  5

= 12/36 = 1/3



p (A  B) = p (A) . p(B) = 1/2 . 1/3 = 1/6

59 x , y 1 2 3 4 5 6 1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 ) 2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 ) 3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 ) 4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 ) 5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 ) 6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )

Perhitungan dalam Probabilitas

6.Probabilitas

BERSYARAT

:



Probabilitas mengenai

sebagian

dari ruang sampel TERKADANG lebih

penting dibandingkan

seluruh

dari ruang sampel 

Mempersempit

Ruang

Sampel



Misal :



Penderita JANTUNG  KOTA BANDUNG  RS HS.



Daerah rawan KEBAKARAN  KOTA BANDUNG  Padat penduduk &

industri



Terdapat perbedaan pengertian antara probabilitas peristiwa dlm

SUB-KELOMPOK & probabilitas ruang sampel ASAL (kelompok)  diperlukan

syarat tambahan



Probabilitas yg berhubungan dg peristiwa dalam sub-kelompok dinamakan

PROBABILITAS BERSYARAT.

60

(31)

Perhitungan dalam Probabilitas

6.Probabilitas

BERSYARAT

:

• Pada pelemparan dadu MERAH (x) & PUTIH (y), bila x + y < 4,

berapakah probabilitas x = 1 ?

1. Hasil x + y < 4  B = {

(1,1), (1,2)

, (2,1)}  dari RS semula 36,

dipersempit menjadi 3 saja. Dari RS = 3, hanya 2 dari 3 yg

memenuhi x = 1  prob. x = 1 dengan syarat x + y < 4 = p(B) =

2/3.

2. Bila prob. x = 1 TANPA SYARAT x + y < 4  A = {

(1,1), (1,2)

, (1,3),

(1,4), (1,5), (1,6)}  p(A) = 6/36 = 1/6

3. Interseksi (yg rangkap) antara peristiwa A & B = A



B :

p(A) = 1/6 & p(B) = 3/36  p (A  B) = 2/36

61

Perhitungan dalam Probabilitas

6.Probabilitas

BERSYARAT

:

4. Bila prob. peristiwa x = 1 dengan syarat peristiwa x+y<4

dinotasikan dg p(A|B) = 2/3, maka :

p (A  B) = p (B) . p (A|B)

2/36 = (3/36) . (2/3)

atau :

5. Bila probabilitas peristiwa B dg syarat peristiwa A, maka :

)

(

)

(

)

|

(

B

p

B

A

p

B

A

p





)

(

)

(

B

A

p

A

B

p









(32)

Variabel Random

Definisi :



Variabel = variatif + able = dapat bervariasi



Random = acak, tidak beraturan, tidak diketahui



Variabel yg nilainya merupakan suatu bilangan

yg ditentukan oleh terjadinya hasil suatu

percobaan



Or, Outcomes of an experiment expressed

numerically

63

Variabel Random

Terdiri :



V.R.

diskrit

/discrete :

dinyatakan dg nilai-nilai atau harga-harga yg terbatas

jumlahnya, atau dinyatakan dg bilangan bulat 

{-2, -1,

0, 1, 2}



V.R.

kontinu

/continous :

dinyatakan dg sembarang nilai atau harga-harga yg

terdapat dalam suatu interval atau kelompok interval

tertentu, atau dinyatakan dg bilangan pecahan 

{-2 

x  2}

64

(33)

Variabel Random DISKRIT

Mis. :



Histogram distribusi frekuensi relatif dari hasil

pengukuran/observasi variabel random X yg DISKRIT

dalam suatu percobaan sebanyak 100 kali, yg juga

merup. DISTRIBUSI EMPIRIS

• Apa bedanya percobaan 100 dg 1000 kali ?

–

Bila n=100  ukuran histogram renggang

–

Bila n=1000  ukuran histogram lebih rapat

–

Bila n=





mendekati kurva kontinu  distribusi

(34)

67

Variabel Random DISKRIT

Contoh :



Distribusi frekuensi timbulnya

JUMLAH MATA DADU sebagai

hasil percobaan sebanyak 100

kali  EKSPERIMEN



Bagaimana bila dibandingkan

dg frekuensi relatif TEORITIS



kalau

yg

TEORITIS

dirumuskan

dari

RUANG

SAMPEL yg memenuhi.

68

(35)

69

(36)

Variabel Random DISKRIT



Meskipun histogram frekuensi relatif TEORITIS tidak sama dg

yg EMPIRIS (eksperimen), tapi jika percobaan diulang sampai

TAK HINGGA, maka frekuensi relatif EMPIRIS akan mendekati

histogram TEORITIS-nya.



Ada dua jenis Fungsi Probabilitas :



f (x) = p (X = x) ; f (x)



0 ;



f (x) = 1



F (x) = p (X  x) ; lim F(x) = 1 untuk x





; lim F(x) = 0 untuk x



- 



Distribusi Kumulatif.

71

Variabel Random DISKRIT

Dari Ruang Sampel : Pelemparan 2 dadu

Ruang Sampel di atas : S = { (x,y) | 1  x  6 ;

1  y  6 }

Fungsi probabilitas Jumlah Mata Dadu, X= 2, 3, ..., 12.

72 x , y 1 2 3 4 5 6 1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 ) 2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 ) 3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 ) 4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 ) 5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 ) 6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )

(37)

VR Diskrit



Jika X menyatakan variabel random yang harganya bagi

sembarang unsur dalam S (ruang sampel) ialah JUMLAH mata

dadu dari sepasang dadu dalam percobaan maka fungsi

probabilitas f(x) adalah :



f(x) = p( X = x ) ; f(x)  0 ;  f(x) = 1.



Dalam pengambilan keputusan, selain X = x, juga probabilitas X 

x atau X  x. Maka probabilitas untuk X  100 atau X  100

dinyatakan dg :



F(100) = p( X  100 ) atau F(100) = p( X  100 ).



F (x) = fungsi probabilitas

kumulatif

73

Variabel Random DISKRIT

Tentukan : ada perbedaan antara f(x) & F(x)



f(5) =



f(7) =



F(3) =



F(6) =

(38)

Variabel Random DISKRIT

75

Metode Teoritis

Variabel Random DISKRIT

76

(39)

Variabel Random DISKRIT

77

(40)

79

Contoh :



Tentukan Rata-rata & Standart Deviasi untuk Jumlah Mata Dadu

yg timbul sebagai hasil pelemparan sepasang dadu.



ܴܽݐܽ െ ݎܽݐܽߤ ׷

௜

_ଷ଺

ଵ

_ଷ଺

ଶ

_ଷ଺

ଷ

_ଷ଺

ସ

_ଷ଺

ହ

଺

ଷ଺

ହ

ଷ଺

ସ

ଷ଺

ଷ

ଷ଺

ଶ

ଷ଺

ଵ

ଷ଺

7

80

(41)

Contoh :



_{ܸܽݎ݅ܽ݊ݏ݅(ߪ}

ଶ

_{) :}

ߪ

ଶ

_{ൌ ȭሺݔ}

௜

െߤሻ

ଶ

Ǥ݂ ݔ

௜

= (2 − 7)

ଶ

.

_ଷ଺ଵ

+ (3 − 7)

ଶ

.

_ଷ଺ଶ

+ (4 − 7)

ଶ

.

_ଷ଺ଷ

+

(5 − 7)

ଶ

_.

ସ ଷ଺

+ (6 − 7)

ଶ

.

ହ ଷ଺

+ (7 − 7)

ଶ

.

଺ ଷ଺

+ (8 − 7)

ଶ

.

ହ ଷ଺

+

(9 − 7)

ଶ

_.

ସ ଷ଺

+ (10 − 7)

ଶ

.

ଷ ଷ଺

+ (11 − 7)

ଶ

.

ଶ ଷ଺

+ (12 − 7)

ଶ

.

ଵ ଷ଺

= 5.833

Maka, Standart Deviasi =  =  VAR =  (5.833) = 2.415

81

X

i

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 Jumlah

f(x

i

)

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

1 X

i

. f(x

i

)

2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 1 6/36 1 4/36

1 30/36 22/36 12/36

7 (X

i

- m)

2

. f(x

i

) 0.694 0.889 0.750 0.444 0.139

0 0.139 0.444 0.750 0.889 0.694 5.833

Contoh :

Jika 4 (empat) keping uang logam di

lempar, berapakah rata-rata & standar

deviasi munculnya K (kepala) ?



Uang Logam mempunyai

2 sisi (Kepala & Ekor)



Fungsi Probabilitas :



ܴܽݐܽ െ ݎܽݐܽ ׷ߤ ൌ ȭݔ

_௜

Ǥ݂ ݔ

_௜

= 2.00



ܸܽݎ݅ܽ݊ݏ݅׷ߪ

ଶ

= 1.00

KKKK

KEKK

EKKK

EEKK

KKKE

KEKE

EKKE

EEKE

KKEK

KEEK

EKEK

EEEK

KKEE

KEEE

EKEE

EEEE

X

i

0

1

2

3

4 Jumlah

f(x

i

)

1/16

4/16

6/16

4/16

1/16

1.00 X

i

. f(x

i

)

0 4/16

12/16

4/16

2.00 (X

i

- m)

2

. f(x

i

)

0.250

0

0.250

1.00

(42)

Harapan Matematis



Bila peristiwa A

₁

, A

₂

, A

₃

, ..., A

_k

merupakan peristiwa

independen yg lengkap terbatas, sedangkan p

₁

, p

₂

, p

₃

, ..., p

_k

merupakan probabilitas terjadinya masing-2 peristiwa di

atas. Maka, andaikan seseorang memenangkan sejumlah

uang U

₁

bila peristiwa A

_{1 ,}

uang U

₂

bila peristiwa A

_{2 ,}

dst.

terjadi maka :



Harapan Matematis memperoleh kemenangan A(U) :

A(U) = U

₁

.p

₁

+ U

₂

.p

₂

+ ... + U

_k

.p

_k



Diterapkan dalam pertaruhan (konsep judi) & asuransi

83

Harapan Matematis [contoh]

Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2

(dua) uang logam dilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerima

sejumlah uang dari Y. X akan menerima :



Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K.



Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K.



Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K).

Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiap

permainan agar taruhan dikatakan seimbang ?

84

(43)

Harapan Matematis [contoh]

Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2 (dua) uang logam

dilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerima sejumlah uang dari Y. X akan

menerima :



Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K.



Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K.



Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K).

Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiap permainan agar taruhan

dikatakan seimbang ?

Soal di atas memiliki 3 peristiwa :

85

Pelemparan 2 keping Uang Logam :

KK 2K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 1,000,-KE 1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4

EK 1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4

EE 0K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 0,- (kalah) --> Rp

500,-Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas

Harapan Matematis [contoh]

Soal di atas memiliki 3 peristiwa :

Kemenangan rata-rata tiap permainan (nilai taruhan

tiap pengundian) :

Pelemparan 2 keping Uang Logam :

X

i

0

1

2 Jumlah

f(x

i

) = p

k

1/4

2/4

1/4

1 U

k

0

500 1000

1500

(44)

Harapan Matematis [contoh]

Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia 25

tahun dapat hidup selama setahun adalah 0.992 (992/1000), yang berarti

probabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah 0.008 (8/1000). Bila

perusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25 tahun

untuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakah keuntungan

dari perusahaan asuransi tsb ? Dengan polis asuransi sebesar Rp

1,000,000,-Ada 2 peristiwa : [Prob.Kecil x UangBesar] vs [Prob.Besar x UangKecil]



Peristiwa pertama/meninggal dalam setahun p

₁

= 0.008



Peristiwa kedua/tidak meninggal dalam setahun p

₂

= 0.992



Peristiwa pertama mengeluarkan uang U

₁

= (1,000,00010,000) =

-990,000



Peristiwa kedua menerima uang U

₂

= + 10,000

87

Harapan Matematis [contoh]

Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia

25 tahun dapat hidup selama setahun adalah 0.992 (992/1000), yang

berarti probabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah 0.008 (8/1000).

Bila perusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25

tahun untuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakah

keuntungan dari perusahaan asuransi tsb ? Dengan polis asuransi sebesar

Rp

1,000,000,-Maka harapan matematisnya :

A(U) = U

₁

.p

₁

+ U

₂

.p

₂

= [- 990,000 x 0.008 ] + [10,000 x 0,992]

=

2,000,-dan selama positip, pihak asuransi masih

memperoleh keuntungan.

88

(45)

Konsep Integral

89

(46)

Konsep Integral

91

Konsep Integral

92

(47)

Konsep Integral

93

Variabel Random Kontinu



Pengukuran-2 berat badan, panjang, diameter, dsb,

dinyatakan

dg

variabel

kontinu.

Variabel

kontinu

menyatakan sembarang nilai dalam suatu interval.

Fungsinya dinamakan Fungsi Kepadatan Probabilitas

(probability density function).



Jika X merupakan variabel random kontinu yg bernilai - ~

s/d + ~ maka Fungsi Kepadatan yang menggambarkan

probabilitas X dalam interval a s/d b dimana a  b ialah :

௕

௔

(48)

V.R. Kontinu – Contoh #1

Variabel random X memiliki Fungsi Kepadatan sbb. :



݂ ݔ ൌ ͲǢݔ ൑ ʹ



݂ ݔ ൌ

ଵ

ଵ଼

. ͵൅ ʹǤݔ Ǣʹ ൏ ݔ ൏ Ͷ



݂ ݔ ൌ ͲǢݔ ൒ Ͷ

Jika x = 2 dan x’ = 3, berapakah p( x < X < x’ ) atau berapakah p ( a <

X < b ) ?

Jawab :

ᇱ

ଷ

ଶ

95

96 no x f(x) 1 2,00 0,3889 2 2,10 0,4000 3 2,20 0,4111 4 2,30 0,4222 5 2,40 0,4333 6 2,50 0,4444 7 2,60 0,4556 8 2,70 0,4667 9 2,80 0,4778 10 2,90 0,4889 11 3,00 0,5000 12 3,10 0,5111 13 3,20 0,5222 14 3,30 0,5333 15 3,40 0,5444 16 3,50 0,5556 17 3,60 0,5667 18 3,70 0,5778 19 3,80 0,5889 20 3,90 0,6000 21 4,00 0,6111 VAR00001 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 V A R 0 0 0 0 2 .7 .6 .5 .4 .3

)

.

2

3 .(

18

1 )

(

x

f





V.R. Kontinu – Contoh #1

Luas Segitiga=½ x alas x tinggi = ½ x 1 x 0,1111 = 0,0556

Luas Persegi Panjang = panjang x lebar = 1 x 0,3889 = 0,3889 0.1111

0.3889

Luas Total = L.Segitiga + L.Persegi Panjang = 0,0566 + 0,3889 = 0,4445 = 4/9

(49)

V.R. Kontinu – Contoh #2

Variabel random X memiliki Fungsi Kepadatan sbb. :



݂ ݔ ൌ ʹǤݔǢͲ ൏ ݔ ൏ ͳ



݂ ݔ ൌ ͲǢ݈ܽ݅݊݊ݕܽǤ

a. Berapakah ݌ሺ

ଵ_ଶ

൏ ܺ ൏

ଷ_ସ

) ?

b. Berapakah ݌ሺെ

ଵ_ଶ

൏ ܺ ൏

ଵ_ଶ

) ?

Jawab :

a. ݌

ଵ_ଶ

൏ ܺ ൏

ଷ_ସ

= ∫ ʹǤݔ݀ݔ ൌ

యర _ଵ଺ହ భ మ

b. ݌ −

ଵ_ଶ

< ܺ <

ଵ_ଶ

= ∫ 2. ݔ݀ݔ = ∫ 2. ݔ݀ݔ+ ∫ 2. ݔ݀ݔ = 0 +

భమ ଵ_ସ ଴

=

ଵସ ଴ ିభ_మ భ మ ିభ_మ 97

V.R. Kontinu – Contoh #2 Grafik

No x f(x) 1 0.00 0.00 2 0.05 0.10 3 0.10 0.20 4 0.15 0.30 5 0.20 0.40 6 0.25 0.50 7 0.30 0.60 8 0.35 0.70 9 0.40 0.80 10 0.45 0.90 11 0.50 1.00 12 0.55 1.10 13 0.60 1.20 14 0.65 1.30 15 0.70 1.40 16 0.75 1.50 17 0.80 1.60 18 0.85 1.70 f(x) = 2.x. Luas Segitiga = = ½ x alas x tinggi = ½ x ¼ x ½ = 1/16

Luas Persegi Panjang =

Luas Total =

= L.Segitiga + L.Persegi Panjang = 1/16 + 4/16 = 5/16

(50)

99 No x f(x) 1 0.00 0.00 2 0.05 0.10 3 0.10 0.20 4 0.15 0.30 5 0.20 0.40 6 0.25 0.50 7 0.30 0.60 8 0.35 0.70 9 0.40 0.80 10 0.45 0.90 11 0.50 1.00 12 0.55 1.10 13 0.60 1.20 14 0.65 1.30 15 0.70 1.40 16 0.75 1.50 17 0.80 1.60 18 0.85 1.70 19 0.90 1.80 20 0.95 1.90 21 1.00 2.00 f(x) = 2.x.

VRK – Rata-rata & Standart Deviasi

100

#1

#2

(51)

Variabel random X memiliki fungsi kepadatan probabilitas sbb. :



݂ ݔ ൌ ͲǢݔ ൑ Ͳ



݂ ݔ ൌ

ଷ

଼

Ǥሺݔെ ʹሻ

ଶ

ǢͲ ൏ ݔ ൏ 2



݂ ݔ ൌ ͲǢݔ ൒ ʹ

Tentukan Rata-rata, Varians & Standart Deviasi-nya !

Jawab :

101

VRK – Rata-rata & Standart Deviasi

Jawab :

(52)

VRK – Rata-rata & Standart Deviasi

Jawab :

103

Info UAS & TUGAS PraUAS



UAS boleh OpenBook, waktu 80-90 menit, Perhitungan

&/ Teoritis, materi : Probabilitas s/d Dist.Kontinu



Soal Tugas PraUAS :

di PUSTAKA-MAYA di folder:

192.168.1.10 - /ebook/1_MK_DASAR/STATISTIK

DASAR & STAT EKO BISNIS

1/Haryoso_Wicaksono/3_Stat.Dasar STMIK pra

UAS/

104

(53)

105

(54)

107