H. KONSEP DASAR PROBABILITAS

KONSEP DASAR

PROBABILITAS

PERTEMUAN VIII

PROBABILITAS

Peluang Kejadian

Menentukan peluang suatu kejadian sama halnya dengan menentukan besar kemungkinan munculnya kejadian tersebut. Peluang kejadian K, dinotasikan dengan P(K) adalah banyak anggota kejadian K dibanding dengan banyaknya anggota ruang sampel.

) (

) ( )

(

S n

K n K

P 

0  P(K)  1 berarti peluang suatu kejadian bernilai antara 0 dan 1 Jika P(K) = 0 berarti K adalah kejadian yang mustahil terjadi

Contoh 1:

Pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali, berapakah peluang munculnya mata dadu ganjil?

Jawab :

Ruang Sampel

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

K = Kejadian muncul mata dadu ganjil K = {1, 3, 5}

 

) (

) ( )

(

S n

K n K

P

2 1 6 3 _

Jadi Peluang kejadian muncul mata dadu ganjil adalah ½ n(K) = 3

Contoh 2:

Dari seperangkat kartu bridge diambil tiga kartu sekaligus secara acak. Tentukan peluang mendapatkan 3 kartu berwarna hitam.

Jawab :

Menentukan n(K)



Jadi Peluang kejadian terambil 3 kartu hitam adalah Banyak kartu hitam yang diambil =

Kartu hitam yang tersedia = Banyaknya kejadian K yang mungkin = n(K) =

3

Menentukan n(S)

Frekuensi Harapan

Jika percobaan dilakukan secara terus menerus secara berulang-ulang maka frekuensi harapan muncul suatu kejadian akan semakin besar. Frekuensi harapan kejadian K dinotasikan dengan F_h (K)

Misalkan pada suatu percobaan yang diulang sebanyak m kali dan peluang kejadian K adalah P(K), frekuensi harapan kejadian K adalah

F_h (K) = m.P(K)

Kejadian majemuk terdiri dari :

• kejadian Bersama (Joint Event)

• kejadian saling lepas (Mutually Exclusive)

• kejadian saling bebas (Independent)

• kejadian bersyarat

Peluang Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian K₁ dan K₂ yang dapat terjadi secara bersamaan disebut

kejadian

Bersama. Hal ini terjadi jika K₁  K₂  

Misalkan pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali.

• K₁ : kejadian munculnya mata dadu prima

• K₂ : kejadian muncul mata dadu kelipatan 3.

K₁ = {2, 3, 5}

K₂ = {3, 6} K1  K2 = 3  

Peluang kejadian K₁ atau K₂ dinotasikan dengan P(K₁  K₂) Pada kejadian berasama berlaku :

P(K₁  K₂) = P(K₁) + P(K₂) – P(K₁

Contoh :

Pada percobaan melempar sebuah dadu, K₁ adalah kejadian muncul mata

dadu prima dan K₂ adalah kejadian munculnya mata dadu kelipatan 3.

Tentukan:

a. Peluang munculnya K₁ atau K₂ jika percobaan dilakukan sebanyak satu

kali.

b. Ekspektasi munculnya K₁ atau K₂ jika percobaan diulang sebanyak 90

S =

b. Frekuensi Harapan jika percobaan

Dua kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersamaan disebut kejadian

saling lepas (Mutually Exclusive).

Misalkan pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali.

• K₁ : kejadian munculnya mata dadu genap

• K₂ : kejadian muncul mata dadu 5.

K₁ = {2, 4, 6}

K₂ = {5} K1  K2 = 

Peluang kejadian K₁ atau K₂ dinotasikan dengan P(K₁  K₂) Pada kejadian saling lepas berlaku :

P(K₁  K₂) = P(K₁) + P(K₂)

) (

) ( )

( )

( _{1 2}

S n

K n

S n

K n

 

Contoh :

Dari seperangkat kartu bridge akan diambil satu kartu secara acak.

Tentukan:

a. Peluang terambilnya kartu bergambar atau kartu As.

Banyak ruang sampel

b. Frekuensi Harapan jika percobaan diulang 65 a. Peluang terambil kartu bergambar atau kartu As

52 1

C

_{= 52}

Misal K₁ : Kejadian terambil kartu bergambar

Dua kejadian yang tidak saling bergantung/mempengaruhi disebut kejadian saling bebas (Independent). Misalkan pada percobaan pelemparan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu secara bersamaan sebanyak satu kali.

• K₁ : kejadian muncul sisi gambar pada uang logam

• K₂ : kejadian muncul mata dadu genap.

Peluang kejadian saling bebas K₁ dan K₂ dinotasikan dengan P(K₁  K₂)

P(K₁  K₂) = P(K₁) . P(K₂)

) (

) ( ) (

) (

2 2 1

1

S n

K n

S n

K n

 

Perhatikan bahwa munculnya sisi gambar pada uang logam tidak mempengaruhi munculnya mata dadu genap, sehingga K₁ dengan K₂

disebut

Kejadian Saling Bebas (Independent)

Contoh :

Dalam sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 4 bola biru, akan diambil 2 bola satu demi satu secara acak tanpa pengembalian. Tentukan: a. Peluang terambil bola pertama berwarna merah dan bola kedua biru, b. Peluang terambil bola keduanya biru.

Ruang sampel pengambilan pertama

n(S₁) =

a. Peluang terambil bola pertama berwarna merah dan bola kedua biru

9 1

C

_{= 9}

K₁ : Kejadian terambil bola merah

n(K₁) =

C

₁5 _{= 5}

Ruang sampel pengambilan kedua

Banyak ruang sampel pengambilan

b. Peluang terambil keduanya biru

9 1

C

_{= 9}

K₃ : Kejadian terambil bola biru

n(K₃) =

C

₁4 _{= 4}

Banyak ruang sampel pengambilan

Misalkan K adalah suatu kejadian. Peluang kejadian bukan K, dinotasikan dengan P(Kc_{) atau} P(K’) _{adalah banyaknya anggota}

kejadian bukan K dibagi dengan banyaknya anggota ruang sampel. Peluang kejadian bukan K disebut juga peluang komplemen kejadian.

) (

) ( )

(

S n

K n K

P

c c



Selain dengan menggunakan banyknya anggota kejadian bukan K, peluang komplemen K dapat juga ditentukan dengan menggunakan banyaknya anggota kejadian K.

) ( 1

)

(K P K

P c  

Contoh :

Pada seperangkat kartu bridge diambil satu kartu. Jika peluang

terambilnya kartu As adalah , tentukan peluang terambilnya kartu

bukan As !

13

1

Jawab :

Misal K : Kejadian terambil kartu As.

Peluang terambil bukan kartu As adalah

) ( 1

)

(K P K

P c  

13 1 1



13 12

Kejadian bersyarat adalah dua kejadian pada suatu

percobaan, kejadian yang satu terjadi dengan syarat

kejadian yang lainnya telah terjadi.

Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi

adalah

)

(

)

(

)

/

(

B

P

B

A

P

B

A

P





Contoh :

Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery.

a. Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery?

Misal W = Wanita S = Suka pasta gigi strawberri L = Pria J = Suka pasta gigi jeruk

Peluang menyukai pasta gigi rasa strawberri dengan syarat ia seorang pria.

Peluang ia menyukai pasta gigi rasa jeruk dengan syarat ia seorang wanita.

P(W) = 

b. Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk?

b. Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia seorang pria...

Peluang ia seorang pria dengan syarat menyukai pasta gigi rasa jeruk

LATIHAN LAGI...

1. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukanlah probabilitas terpilihnya bola : a. Merah

b. Tidak biru

c. Merah atau putih

2. Empat bola diambil sekaligus dari kantong yang berisi 8 bola merah dan 6 bola putih. Hitunglah peluang yang terambil adalah:

a. Keempatnya bola putih.

b. Tiga bola merah dan satu bola putih. c. Paling banyak tiga bola putih.

3. Tiga keping mata uang logam dilemparkan secara bersamaan sebanyak 160 kali. Hitunglah frekuensi harapan untuk kejadian-kejadian berikut:

a. Kejadian munculnya tiga sisi gambar. b. Kejadian munculnya tiga sisi angka.