Dani Leonidas S ,ST.MT

(1)

Distibusi Probabilitas

Statistik Bisnis -8

(2)

(3)

(4)

Contoh

 Jawaban dari pertanyaan benar/ salah adalah tepat atau keliru. Asumsikan bahwa sebuah ujian berisikan 4

pertanyaan benar/salah, dan seorang mahasiswa tidak mempunyai pengetahuan sedikitpun tentang topik

tersebut. Peluang mahasiswa menebak jawaban yang tepat adalah 0,5.

 Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan tidak satu pun dari empat pertanyaan yang tepat ?

 Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan tepat satu dari empat pertanyaan yang tepat?

 Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan paling banyak satu dari empat pertanyaan yang tepat?

(5)

Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan tidak satu pun dari empat pertanyaan yang tepat ?

 X =0, N = 4, p = 0,5, q = 0,5

 P(X=0)=

=0,0625

(6)

(7)

Berapa probabilitas mahasiswa tersebut

mendapatkan tepat satu dari empat pertanyaan yang tepat ?

 X =1, N = 4, p = 0,5, q = 0,5

 P(X=1)=

=0,25

(8)

(9)

Tabel kumulatif cont,,,,

(10)

Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan paling banyak satu dari empat pertanyaan yang tepat?

 X =1, N = 4, p = 0,5, q = 0,5

 P (X≤1) = P(X=0) + P(X=1)

(11)

Berapa probabilitas mahasiswa tersebut

mendapatkan paling sedikit 2 pertanyaan dari 4 pertanyaan yang tepat ?

 X ≥ 2, N = 4, p = 0,5, q = 0,5

 P (X ≥ 2) = 1 – (P(X=0) + P(X=1))

(12)

(13)

Ekspektasi Distribusi

Multinomial

 Ekspektasi terjadinya tiap peristiwa

E₁, E₂, ... , E_K berturut-turut adalah

(14)

 Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 barang oleh mesin B, dan 5 barang oleh mesin C. Semua barang yang

dihasilkan ketiga mesin mempunyai ciri yang sama. Barang-barang tersebut diberi label yg memberikan keterangan diproduksi oleh mesin yang mana, lalu semua dimasukkan ke dalam kotak. Tentukan probabilitas diantara 6 barang yang diambil akan ditemukan 1 barang dari

(15)

(16)

Distribusi Hipergeometrik

(17)

 50 alat diproduksi selama minggu ini.

40 diantaranya dapat beroperasi

secara sempurna. Sampel berukuran 5 diambil secara acak.

 Berapa probabilitas mendapatkan 4 alat

(18)

Berapa probabilitas mendapatkan 4 alat yang beroperasi sempurna dari 5 alat yang diambil secara acak ?

 P(4)==0,431

(19)

(20)

dimana

 µ (myu) = rata-rata hitung aritmatik

dari jumlah pemunculan (kejadian) selama suatu interval waktu tertentu

(21)

 Misalkan rata-rata terdapat 1,4 orang

(22)

probabilitas tidak ada orang yang

buta huruf per 200 orang!

 p(0)= =

(23)

Tabel

(24)

(25)

(26)

Distribusi Normal

 Disebut juga kurva normal atau distribusi

Gauss

 Jika variabel X mempunyai fungsi densitas

pada X=x dengan persamaan

Dan mempunyai batas -∞<x<∞, maka dikatakan bahwa variabel random X

(27)

Distribusi Normal

 Sifat-sifat penting distribusi Normal

1. Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x

2. Bentuknya simetris terhadap x=µ

3. Merupakan kurva unimoda yang tercapai pada x=

yaitu sebesar 0,3989/σ

4. Grafiknya mendekati (asimtut) sumbu datar x

dimulai dari

5. Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

Distribusi Normal

 Untuk menghitung Probabilitas pada

fungsi densitas

(33)

Distribusi Normal

 Sehingga untuk menghitung

(34)

Distribusi Normal Standar

 Distribusi Normal Standar ialah distribusi normal

(35)

Distribusi Normal Standar

 _{Fungsi Densitas distribusi normal}

(36)

Kurva Normal “Umum”

(37)

Cara Menghitung Probabilitas Distribusi Normal Menggunakan Tabel “Setengah” atau ”lengkap”

 Hitung Z hingga 2 desimal

 Gambarkan kurvanya

 Letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu ditarik garis vertikal hingga memotong kurva

 Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara nilai Z dengan garis tegak dititik 0 (tabel setengah)

 Dalam tabel “setengah”, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas

 Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara nilai Z dengan ujung kiri (Tabel Lengkap)

 Dalam tabel “lengkap”, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas

(38)

(39)

Tabel Kurva normal

lengkap

(40)

Tabel Kurva normal

Setengah

P (Z ≤ - 2.54) = 0.0055

 Lihat Z untuk 2.54 = 0.4945

 Untuk mendapatkan Z ≤ - 2,54

(41)

Latihan

(42)

 P(Z ≤ 0) = 0.5

 P(Z ≤ 2.15) = 0.9842

 P(0 ≤ Z ≤ 2.15) = 0.9842 – 0.5

(43)

 P(Z ≤ -1,86) = 0.0314

 P(Z ≤ 0) = 0.5

 P(-1,86 ≤ Z ≤ 0) = 0.5 – 0.0314

(44)

 P(Z ≤ -1,50) = 0.0668

 P(Z ≤ 1,82) = 0.9656

 P(-1,50 ≤ Z ≤ 1,82) = 0.9656 –

0.0668

(45)

 P(Z= 1,40) = 0.9192

 P(Z= 2,65) = 0.9960

 P(1,40 ≤ Z ≤ 2,65) = 0.9960 –

0.9192

(46)

(47)

P(Z ≥ 1,96) = ?

 P(Z ≤ 1,96) = 0.9750

 P(Z ≥ 1,96)= 1 – 0.9750

(48)

Latihan ....

 Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3750 dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi ini berdistribusi normal, maka tentukan:

a. Persentasi bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?

b. Berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika semua ada 10.000 bayi?

c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4000 gram, jika semuanya ada 10000 bayi?

(49)

Distribusi Student (t)

 _{Distribusi dengan variabel random X}

(50)

Sifat penting

 Simetris diatas sumbu t, dan sumbu simetrisnya adalah = 0

 Fungsi densitas t bergantung pada ukuran sampel n

(51)

Kegunaan

 Mengukur tingkat keyakinan

(52)

Penggunaan daftar Grafik distribusi t

dengan dk =

ν (dibaca nu)

 Luas bagian yang diarsir = p dan

dibatasi paling kanan oleh t_p.

 Harga t_p inilah yang dicari dari daftar

untuk pasangan ν dan p yang

(53)

Mencari nilai t



t=

 _{µ = rata-rata dugaan}

 _{s = Standar deviasi/ simpangan baku}

(54)

Contoh penggunaan

 Kedua ujung kiri dan kanan sama luas, jadi luas ujung kanan mulai dari t ke kanan = 0,025

 Mulai dari t ke kiri luasnya = 1 – 0,025 = 0,975

 Harga p yang dipakai = 0,975

 ν = n – 1 = 15, p = 0,975 didapat t = 2,13

(55)

Contoh penggunaan

 Peneliti menyatakan bahwa varietas padi hasil pengembangannya memiliki tingkat produktivitas 5 ton per hektar. Dengan tingkat kepercayaan 95%, apakah

pernyataan ini dapat diterima jika dari sampel 9 hektar didapatkan rata-rata produktivitas 4,7 ton dan deviasi

(56)

 Hitung nilai t

 _t==

 Tentukan berapa batasan nilai t untuk luas 95 %

 p = 0,975

 ν = 9 – 1 = 8

 Maka didapat nilai t antara -2,31 ≤ t ≤ 2,31

 Jika nilai t hitung terletak dalam batasan nilai t untuk luas 95%, maka kita dapat menerima pernyataan dari peneliti tersebut bahwa varietas padinya memiliki

produktivitas 5 ton per hektar

(57)

Distribusi Chi-Square

 _{Memiliki Persamaan distribusi sebagai}

(58)

 Tabel berisikan harga-harga untuk

pasangan dk dan probabilitas p

(59)

Contoh penggunaan daftar

 Untuk mencari dengan p = 0,95 dan

dk ν = 14, maka di kolom kiri cari

bilangan 14 dan di baris atas 0,95.

Maka didapat = 23,7

(60)

 Pada grafik distribusi dengan dk =9

 Jika luas daerah yang diarsir sebelah

kanan = 0,05 , maka =16,9. didapat dari dk = 9 dan p =0,95

 Jika luas daerah yang diarsir sebelah kiri

= 0,025, maka = 2,70. didapat dari dk =9 dan p = 0,025

(61)

Distribusi F

 _{Distribusi ini memiliki persamaan}

(62)

Cara baca tabel

 Untuk pasangan

ν

₁

dan ν

₂

24 dan 8 ,

ditulis juga (

ν1, ν2) = (24,8),

maka untuk p = 0,05 didapat F = 3,12,

sedangkan untuk p = 0,01 didapat F= 5,28.

 Bagaimana untuk p = 0,99 dan dan p

(63)

Soal latihan 1

 Terdapat 200 pasien dimana 10 menderita

tekanan darah tinggi.Secara random diambil 10 pasien.

 Hitung berapa probabilitasnya akan terdapat

paling banyak dua pasien dari yang 10 ini menderita tekanan darah tinggi

 Berapa pasien rata-rata yang menderita

(64)

2

 Peluang bagi seseorang mendapatkan

kecelakaan di lokasi A adalah 0,0005. misalkan dari jam 13.00 s/d jam 15.00 tiap hari lewat 875 buah kendaraan . Jika probabilitas

mendapat kecelakaan untuk tiap kendaraan sama besar dan terjadinya kecelakaan atau tidak terhadap kendaraan yang satu

(65)

3

 Jika permintaan nomer telepon

melalui operator dari jam 10:00 sampai 11:00 rata-ratanya 3.

 Peluang dalam satu jam

 tidak akan menerima permintaan nomor telepon

 Kurang dari 3

 Lebih dari 3

 Peluang Dalam dua jam

 tidak akan menerima permintaan nomor telepon

 Kurang dari 3

(66)

4

 Misalkan tinggi mahasiswa berdistribusi normal

dengan rata-rata 167,5 cm dan simpangan baku 4,6 cm. Semuanya ada 200.000

mahasiswa. Tentukan ada berapa mahasiswa yang tingginya

 Lebih dari 175 cm

 Lebih dari 160 cm

 Kurang dari 170 cm

 Kurang dari 166 cm