ADITHYA SUDIARNO, ST., MT.

(1)

[VAR RANDOM & DISTRIBUSI PROB.]

ADITHYA SUDIARNO, ST., MT.

1

STATISTIKA INDUSTRI ‐ JURUSAN TEKNIK INDUSTRI ‐ ITS

ANALISIS PEMBELAJARAN ANALISIS PEMBELAJARAN

STATISTIK DESKRIPTIF

KONSEP PELUANG/

PROBABILITAS

KONSEP DASAR STATISTIKA

TEKNIK PENGAMBILAN

SAMPLING

RANDOM VARIABLE

DISTRIBUSI PROBABILITAS : DISKRIT

INTRODUCTION &

PENGANTAR STATISTIKA

PROBABILITAS : DISKRIT, KONTINYU, SAMPLING

PENAKSIRAN PARAMETER

(2)

1.

1. MemahamiMemahami definisidefinisi variabelvariabel randomrandom 2.

2. MemahamiMemahami definisidefinisi distribusidistribusi probabilitasprobabilitaspp 3.

3. MengetahuiMengetahui beberapabeberapa macammacam distribusidistribusi probabilitasprobabilitas

PENGANTAR PENGANTAR

Model peluang untuk suatu fenomena biasanya selalu dispesifikasikan dalam suatu ruang sampel, yaitu kumpulan hasil eksperimen yang mungkin. Tetapi tidak semua eksperimen dapat dinyatakan secarag p p p y KUANTITATIF, ada juga yang dinyatakan secara KUALITATIF. Contoh :

– Kekuatan cahaya di suatu ruang dapat dikategorikan menjadi kuat, sedang, maupun lemah.

– Pencemaran udara di suatu kota dapat dikatakan parah atau tidak parah.

Untuk mengkuantifikasikan masalah – masalah yang bersifat kualitatif Untuk mengkuantifikasikan masalah masalah yang bersifat kualitatif, maka perlu diperkenalkan konsep VARIABEL ACAK/ RANDOM DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS.

(3)

VARIABEL RANDOM VARIABEL RANDOM

Secara umum terdapat dua tipe data :

– VARIABLE DATA : disebut juga measurement atau continuous data. Seperti namanya, data ini biasanya merupakan hasil data. Seperti namanya, data ini biasanya merupakan hasil pengukuran/ perhitungan, merupakan data yang kontinyu dari suatu range tertentu. Misal :

Nilai rupiah per 1 USD sepanjang tahun

Hasil pengukuran tinggi badan pada 1000 orang murid Laju kecepatan fluida dalam pipa distribusi minyak – ATTRIBUTE DATA : ciri khas data ini adalah tidak dilakukanATTRIBUTE DATA : ciri khas data ini adalah tidak dilakukan

pengukuran dan bersifat tidak kontinyu. Misal : Jenis kelamin (pria/ wanita)

Hasil ujian (lulus/ tidak lulus)

Jenis warna mobil (hitam, merah, hijau, dll)

Oleh karena itu, variabel random juga bisa dibagi menjadi dua bagian besar, yaitu :

– DISCRETE RANDOM VARIABLE

VARIABEL RANDOM VARIABEL RANDOM

Suatu variabel yang hanya mempunyai nilai pada titik tertentu. Contoh : x = 0, 1, 2, 3. Tidak ada nilai lain yang dapat dilihat.

– CONTINUOUS RANDOM VARIABLE

Suatu variabel dapat mempunyai nilai pada suatu range tertentu. Contoh : y > 10, dimana mungkin didapatkan nilai y

= 11,294 ataupun y = 11.

(4)

Contoh discrete random variable :

– Mahasiswa/ i yang hadir tiap kuliah.

Sepeda motor yang parkir antara pukul 7 00 12 00 – Sepeda motor yang parkir antara pukul 7.00 – 12.00.

– Lamanya waktu yang diperlukan suatu reaksi kimia dengan derajat ketelitian tertentu.

Contoh continuous random variable :

– Jarak yang ditempuh sebuah mobil dengan bahan bakar 10 liter bensin.

– Berat seorang bayi yang baru lahir.

– Lamanya waktu yang diperlukan suatu reaksi kimia.

Ruang sampel discrete random variable banyaknya berhingga atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat.

VARIABEL RANDOM VARIABEL RANDOM

– Data dari cacah/ counting adalah diskrit. Contoh adalah jumlah barang cacat

SEDANGKAN

Ruang sampel continuous random variable banyaknya tak berhingga dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis.

barang cacat.

– Data dari pengukuran biasanya adalah kontinyu. Contoh adalah tinggi, temperatur, jarak, dll.

(5)

VARIABEL RANDOM didefinisikan sebagai :

Fungsi bernilai real yang harganya berhubungan dengan kejadian sederhana dalam ruang sampelnya.

VARIABEL RANDOM VARIABEL RANDOM

g p y

CONTOH :

– Jika kandungan mineral dalam beberapa ton air diukur dalam gram per 1000 galon, maka nilai kandungan tersebut adalah variabel random.

– Pelemparan mata uang sebanyak tiga kali, hasil yang mungkin muncul dinyatakan dalam

S {GGG GGA GAA GAG AGG AGA AAG AAA}

S = {GGG, GGA, GAA, GAG, AGG, AGA, AAG, AAA}

bila diperlukan adalah banyak gambar (G) yang muncul, maka hasil numerik (kuantitatifnya)‐nya adalah 0, 1, 2, 3. Nilai tersebut merupakan variabel random.

CONTOH :

Gambar dibawah menjelaskan variabel random dari suatu ruang

l i t d X( ) d l h

VARIABEL RANDOM VARIABEL RANDOM

sampel yang mempunyai anggota c₁, c₂, c₃, dan c₄. X(c₃) adalah

variabel random yang menghubungkan nilai real 2,0 dengan elemen c₃. Artinya c₃bernilai 2,0. Istilah random digunakan karena nilai dari hasil eksperimen c belum dapat dipastikan sebelumnya.

(6)

Suatu variabel random dinyatakan dalam huruf besar, misalnya adalah X, sedangkan nilainya dinyatakan dalam huruf kecilnya, x.

CONTOH 1 :

Sebuah kontraktor memiliki 4 buah mesin yang digunakan pada suatu proses produksi. Diramalkan mesin tersebut memiliki rata – rata usia pakai 10 tahun. Namun diharapkan setelah 10 tahun masin tersebut masih dapat berfungsi dengan baik. Jika X menyatakan keadaan mesin yang baik tentukan ruang sampel dari variabel random X

yang baik, tentukan ruang sampel dari variabel random X.

PENYELESAIAN :

Kondisi mesin setelah 10 tahun masih BAIK dinotasikan B dan apabila telah RUSAK dinotasikan R. Jika keempat mesin masih baik, maka

VARIABEL RANDOM VARIABEL RANDOM

telah RUSAK dinotasikan R. Jika keempat mesin masih baik, maka ditulis BBBB, artinya x = 4. Bila satu mesin rusak, maka ditulis BBBR dan x = 3. Kemungkinan mesin rusak adalah sbb :

KONDISI MESIN BIL. REAL

RRRR 0

BBBR, BBRB, BRBB, RBBB 3

BBRR, BRBR, RBBR, RBRB, RRBB, BRRB 2

BRRR, RBRR, RRBR, RRRB 1

BBBB 4

Dari tabel di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai variabel random X

(7)

CONTOH 2:

Asumsikan sebuah koin logam dilemparkan dua kali. Maka outcome yang mungkin dihasilkan adalah :

VARIABEL RANDOM VARIABEL RANDOM

MM MB BM BB

2 1 1 0

OUTCOME

Jika diperhatikan jumlah muka yang muncul dalam setiap eksperimen, maka outcome yang non – numerik tersebut dapat ditransformasikan ke

dalam nilai numerik

y g g

Diambil X = variabel random yang menyatakan jumlah muka yang muncul.

TITIK SAMPEL : MM MB BM BB

X : 2 1 1 0

CONTOH 3:

Dimisalkan volume lalu lintas dan kondisi jalan sepanjang 100 km hampir sama maka terdapat kecenderungan terjadinya kecelakaan disepanjang

VARIABEL RANDOM VARIABEL RANDOM

sama, maka terdapat kecenderungan terjadinya kecelakaan disepanjang jalan tersebut seragam. Jika X adalah variabel random yang nilainya

menyatakan jarak dari km 0 sampaisuatu titik tempat terjadinya kecelakaan.

MAKA :

Nilai variabel random X adalah setiap titik disepanjang km 0 sampai dengan km 100, dan dapat ditulis sbb : 0 ≤ x ≤ 100.

Sehingga didapatkan pula ruang sampel S = {x/ 0 ≤ x ≤ 100}

Sehingga didapatkan pula ruang sampel S {x/ 0 ≤ x ≤ 100}

(8)

Peluang terjadinya nilai variabel random X yang meliputi semua nilai ditentukan melalui distribusi peluang. Distribusi peluang suatu variabel random X adalah himpunan nilai peluang dari variabel random X yang random X adalah himpunan nilai peluang dari variabel random X yang ditampilkan dalam bentuk tabel dan atau gambar.

Nama lain dari distribusi probabilitas : – Distribusi peluang

– Fungsi probabilitas Fungsi peluang – Fungsi peluang

CONTOH :

Asumsikan sebuah koin logam dilemparkan dua kali. Maka outcome yang mungkin dihasilkan adalah :

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS

MM MB BM BB

2 1 1 0

OUTCOME

Jika diperhatikan jumlah muka yang muncul dalam setiap eksperimen, maka outcome yang non – numerik tersebut dapat ditransformasikan ke

dalam nilai numerik

yang mungkin dihasilkan adalah :

Diambil X = variabel random yang menyatakan jumlah muka yang muncul.

(9)

Jika diasumsikan koin tersebut ideal. Maka kita memiliki :

SIMPLE EVENT TITIK SAMPEL X P(Ei)

E1 MM 2 1/4

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS

1 /

E2 MB 1 1/4

E₃ BM 1 1/4

E4 BB 0 1/4

Jika fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas dinotasikan : P(X=x) = f (x)

MAKA :

Fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas kasus ini adalah :

x 0 1 2

f(x) 1/4 1/2 1/4

MACAM

MACAM –– MACAM DISTRIBUSI PROBABILITAS MACAM DISTRIBUSI PROBABILITAS

Distribusi

Distribusi peluang

peluang diskrit

p g

kontinyu

(10)

Distribusi binomial

diskrit

Distribusi binomial -

Distribusi geometrik

Distribusi hipergeometrik

Distribusi poison

Distribusi seragam

MACAM

MACAM –– MACAM DISTRIBUSI PROBABILITAS MACAM DISTRIBUSI PROBABILITAS

Distribusi gamma

Distribusi eksponensial

Distribusi weibull Distribusi

peluang kontinyu

Distribusi tipe beta