Kajian Tentang Pendekatan Distribusi Binomial Oleh Distribusi Normal

KAJIAN TENTANG

PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

SKRIPSI

RIDWAN NASUTION 060823034

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

KAJIAN TENTANG

PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

RIDWAN NASUTION 060823034

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul

:

KAJIAN

TENTANG

PENDEKATAN

DISTRIBUSI

BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

Kategori

: SKRIPSI

Nama

: RIDWAN NASUTION

Nim

: 060823034

Program Studi

: SARJANA (S-1) MATEMATIKA

Departemen

: MATEMATIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Diluluskan di

Medan, Juli 2010

Komisi Pembimbing

:

Pembimbing 2

Pembimbing 1

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si

Dra. Rahmawati Pane, M.Si

NIP : 19500321 198003 1 001

NIP : 19560219 198503 2 001

Diketahui / Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua

Dr. Saib Suwilo, M.Sc

PERNYATAAN

KAJIAN TENTANG

PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI

NORMAL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2010

PENGHARGAAN

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT dengan limpahan dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

ABSTRAK

Proses Bernoulli adalah suatu proses yang berlangsung n kali dan tiap eksperimen

berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama. Untuk setiap eksperimen hanya ada 2

(dua) kejadian yang mungkin yang mana kejadian itu saling asing dan juga

independent satu sama lain, yang biasa dinotasikan dengan kejadian sukses dan gagal.

Jika nilai n cukup besar, proses Bernoulli akan mendekati distribusi normal , dengan

menggunakan rumus :

σ µ

− = X

Z =

npq np X −

Dengan menggunakan pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal

diharapkan bisa lebih praktis dan lebih efisien. Disamping itu rumus distribusi normal

terkadang lebih praktis digunakan pada penjumlahan yang rumit, tentu saja dengan

simpangan yang relatif kecil. Diharapkan untuk masalah distribusi binomial bisa

diatasi dengan menggunakan pendekatan normal, dan hasil yang diperoleh tidak jauh

berbeda dengan distribusi aslinya. Atau dengan kata lain simpangan yang diakibatkan

ABSTRAC

Bernoulli process is a process that took place n times and each experiment took place

in the same manner and condition. For each experiment there were only two (two)

events where the incident may be foreign to each other and also independent of each

other, which is usually denoted with the incidence of success and failure. If the value

of n is large enough, the Bernoulli process approaches a normal distribution, using the

formula:

σ µ

− = X

Z =

npq np X −

By using the binomial distribution approaches the normal distribution is expected to

be more practical and more efficient. Besides the normal distribution formula is

sometimes more practical to use the sum of the complex, of course with a relatively

small deviation. Expected for the binomial distribution problem can be solved using

the normal approximation, and the results obtained are not much different from the

original distribution. Or in other words, the deflection caused by the normal approach

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstrac vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Permasalahan 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat penelitian 3

BAB 2 LANDASAN TEORI 4

2.1 Probabilitas 4

2.2 Operasi-Operasi dalam Kejadian 7

2.2.1 Gabungan (Union) 7

2.2.2 Irisan (Intersection) 8

2.2.3 Komplemen (Complement) 8

2.2.4 Selisih 9

2.2.5 Kejadian Majemuk 9

2.3 Probabilitas Bersyarat 10

2.4 Titik Sampel 11

2.4.1 Kombinasi (Combination) 11

2.4.2 Permutasi (Permutation) 12

2.5 Distribusi Probabilitas Diskrit 13

2.5.1 Distribusi Seragam 13

2.5.2 Distribusi Binomial 14

2.5.3 Nilai Harapan Distribusi Binomial 15

2.5.4 Variansi Distribusi Binomial 16

2.6 Distribusi Normal 17

2.6.1 Nilai Harapan Variabel Acak Normal 18

2.6.2 Variansi Variabel Acak Normal 20

2.6.4 Sifat-Sifat Normal Standard 22 2.7 Menghampiri Distribusi Binomial dengan Distribusi Normal 24

BAB 3 PEMBAHASAN 26

3.1 Pendekatan Distribusi Binomial dengan menggunakan

Distribusi Normal 26

3.2 Sifat Distribusi Binomial 27

3.3 Teorema-Teorema Pendukung 29

3.3.1 Teorema Limit Pusat ( Central Limit Theorem) 29

3.3.2 Teorema De Moivre-Laplace 30

3.4 Teknik Perhitungan Pendekatan Distribusi Binomial oleh

Distribusi Normal 31

3.5 Contoh Kasus 33

3.6 Simpangan Akibat Pendekatan 36

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 38

4.1 Kesimpulan 38

4.2 Saran 39

DAFTAR PUSTAKA 40

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Percobaan dan Hasil 5

Tabel 2.2 Urutan Percobaan, Hasil dan Peristiwa 6

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Gabungan 7

Gambar 2.2 Irisan 8

Gambar 2.3 Komplemen 8

Gambar 2.4 Selisih 9

Gambar 2.5 Distribusi Seragam 14

Gambar 2.6 Kurva Normal 17

ABSTRAK

Proses Bernoulli adalah suatu proses yang berlangsung n kali dan tiap eksperimen

berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama. Untuk setiap eksperimen hanya ada 2

(dua) kejadian yang mungkin yang mana kejadian itu saling asing dan juga

independent satu sama lain, yang biasa dinotasikan dengan kejadian sukses dan gagal.

Jika nilai n cukup besar, proses Bernoulli akan mendekati distribusi normal , dengan

menggunakan rumus :

σ µ

− = X

Z =

npq np X −

Dengan menggunakan pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal

diharapkan bisa lebih praktis dan lebih efisien. Disamping itu rumus distribusi normal

terkadang lebih praktis digunakan pada penjumlahan yang rumit, tentu saja dengan

simpangan yang relatif kecil. Diharapkan untuk masalah distribusi binomial bisa

diatasi dengan menggunakan pendekatan normal, dan hasil yang diperoleh tidak jauh

berbeda dengan distribusi aslinya. Atau dengan kata lain simpangan yang diakibatkan

ABSTRAC

Bernoulli process is a process that took place n times and each experiment took place

in the same manner and condition. For each experiment there were only two (two)

events where the incident may be foreign to each other and also independent of each

other, which is usually denoted with the incidence of success and failure. If the value

of n is large enough, the Bernoulli process approaches a normal distribution, using the

formula:

σ µ

− = X

Z =

npq np X −

By using the binomial distribution approaches the normal distribution is expected to

be more practical and more efficient. Besides the normal distribution formula is

sometimes more practical to use the sum of the complex, of course with a relatively

small deviation. Expected for the binomial distribution problem can be solved using

the normal approximation, and the results obtained are not much different from the

original distribution. Or in other words, the deflection caused by the normal approach

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana adalah

distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses Bernoulli. Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika bangsa Swiss

yang bernama J. Bernoulli (1654-1705). Proses Bernoulli adalah suatu proses dengan

ciri-ciri eksperimen berlangsung n kali dan tiap eksperimen berlangsung dalam cara

dan kondisi yang sama. Untuk setiap eksperimen hanya ada 2 (dua) kejadian yang

mungkin terjadi, dimana 2 (dua) kejadian tersebut adalah saling asing dan juga

independen satu sama lain. Biasanya 2 (dua) kejadian tersebut dinotasikan sebagai

kejadian sukses dan kejadian gagal. Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan dengan q, dan p+q=1. Dari proses tersebut, yang kita definisikan sebagai variabel adalah munculnya kejadian sukses,

yang dilambangkan dengan x.

Jika n cukup besar ( n 30 ) dan nilai dari np 5 dan n(1 - p) 5, maka kita

bisa menggunakan distribusi normal untuk mendekati distribusi binomial. Distribusi binomial mempunyai nilai rata-rata = np dan nilai simpangan baku = npq. Ini diperoleh dari variabel rendom diskrit, dimana nilai dari rata-rata dicari dengan

rumus:

) ( )

(

1

X P X X

E

n

i i

=

=

E(X) = Nilai harapan X atau rata-rata X

X = Kejadian X

P(X) = Peluang kejadian X

Dan nilai varians di cari dengan rumus:

[

( )

]

. ( )

) (

1

2

X P X E X X

V

n

i i

=

− =

Dengan :

V(X) = Varians X

X = Kejadian X

E(X) = Nilai harapan X atau rata-rata X

P(X) = Peluang kejadian X

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas

yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal

baku atau disebut juga distribusi Z adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata

nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. Secara

umum suatu distribusi normal dapat mempunyai sembarang nilai tengah , dan

sembarang simpangan baku .

Rumus distribusi normal standard :

σ µ

− = X

Z

Dengan :

Z = normal standard

X = variabel random

= rata - rata

Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistik, misalnya

distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang

diambil tidak berdistribusi normal dan kebanyakan pengujian hipotesis

mengasumsikan normalitas suatu data.

1.2 Permasalahan

Masalah yang dihadapi dalam penelitian ini adalah bagaimana proses pelaksanaan

pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal, dan sejauh mana simpangan

yang ditimbulkan akibat dari dilakukannya pendekatan oleh distribusi normal, jika

dibandingkan dengan hasil perhitungan dari distribusi aslinya (distribusi binomial).

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui proses pendekatan distribusi binomial

oleh distribusi normal dan untuk mengetahui penyimpangan yang diakibatkan dari

pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal.

1.4 Manfaat Penelitian

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua

kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses dan gagal. Bila percobaan

dilakukan n kali dengan n ∞ maka akan sedikit sulit menghitungnya dengan

distribusi binomial, bentuk distribusi normal akan membantu dalam analisis yang

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Probabilitas

Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu

peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya tidak pasti (uncertain event). Probabilitas dinyatakan antara 0 (nol) sampai 1 (satu) atau dalam persentase. Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan

probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. P(A) = 0,99 artinya

probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi sebesar 99 % dan probabilitas A tidak

terjadi adalah sebesar 1%.

Ada tiga hal penting dalam rangka membicarakan probabilitas, yaitu

percobaan (experiment), ruang sampel (sample space) dan kejadian (event).

Percobaan (experiment) adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 (dua) peristiwa tanpa

memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

Contoh :

Kegiatan melempar mata uang akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau

angka, kegiatan jual beli saham akan menghasilkan peristiwa membeli atau menjual,

perubahan harga-harga akan menghasilkan peristiwa inflasi atau deflasi, pertandingan

sepak bola akan menghasilkan peristiwa menang, kalah atau seri. Kegiatan-kegiatan

Ruang sampel (sample space) atau semesta (universe) merupakan himpunan dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan (experiment). Jadi ruang sampel adalah seluruh kemungkinan peristiwa yang akan terjadi akibat adanya

suatu percobaan atau kegiatan.

Contoh :

Dari kegiatan diatas dapat diperoleh hasil sebagai berikut :

Tabel 2.1 Percobaan dan Hasil

Percobaan Ruang Sampel

Melempar Mata Uang

{ Gambar , Angka }

Perdagangan Saham

{ Menjual, Membeli )

Perubahan harga

{ Inflasi, Deflasi }

Pertandingan Sepak Bola

{ Menang, Kalah, Seri}

Kejadian (event) adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada

sebuah percobaan atau kegiatan. Kejadian menunjukkan hasil yang terjadi dari suatu

percobaan. Dalam setiap percobaan atau kegiatan hanya ada satu hasil. Pada kegiatan

jual beli saham, kalau tidak membeli berarti menjual. Pada perubahan harga terjadi

inflasi atau deflasi. Dua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi bersamaan. Pada

pertandingan sepak bola juga hanya terjadi satu peristiwa, apakah klub sepak bola

tersebut menang, kalah atau seri. Tidak mungkin dalam suatu pertandingan sepak

bola, misalnya Persipura dan PSM, hasilnya adalah Persipura menang juga kalah.

Peristiwa yang mungkin adalah Persipura menang, Persipura kalah, atau seri. Urutan

Tabel 2.2 Urutan Percobaan, Hasil dan Peristiwa

Percobaan / Kegiatan Pertandingan sepak bola antara Persipura VS PSM di Stadion Mandala, Jayapura, 27 Februari 2010

Ruang Sampel

Persipura Menang

Persipura Kalah

Seri, Persipura tidak kalah dan menang

Kejadian / Peristiwa Persipura Menang

Nilai probabilitas dapat dihitung berdasarkan nilai hasil observasi (sifatnya

subyektif) atau berdasarkan pertimbangan pembuat keputusan atau tenaga ahli dalam

bidangnya secara subyektif.

Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu

diantaa 0 (nol) dan 1 (satu). Pernyataan ini dapat ditulis sebagai 0≤ P(A)≤1, dimana P(A) menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian A. Jika suatu

percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama (equally likely) dan jika tepat terdapat sebanyak n hasil yang berkaitan dengan kejadian A, makaprobabilitas kejadian A adalah :

N n A P( )=

Contoh:

Didalam kegiatan pengendalian mutu produk, ada 100 buah barang yang diperiksa,

ternyata ada 12 buah barang yang cacat atau rusak. Kalau kebetulan diambil secara

acak satu saja, berapa probabilitasnya bahwa barang yang diambil adalah barang yang

rusak.

Dari soal diketahui bahwa: N = 100 buah barang

n = 12 buah barang yang rusak

A = barang yang diambil secara acak

Jadi, probabilitas memperoleh barang yang rusak adalah :

12 , 0 100

12 )

(A = =

P

Jika n = 0, berarti tidak ada barang yang rusak, ( )= 0 =0

N A

P , kejadian ini disebut impossible event (tidak mungkin terjadi). Tetapi jika n = N = 100, berarti

semua barang rusak, 1

100 100 )

(A = =

P , kejadian ini disebut sure event (pasti terjadi).

2.2 Operasi-Operasi dalam Kejadian

Ada beberapa operasi-operasi dalam kejadian yaitu: gabungan (union), irisan (intersection), komplemen (complement), selisih dan kejadian majemuk

2.2.1 Gabungan (Union)

Gabungan dua kejadian Adan B, dinyatakan dengan A∪B, merupakan kejadian yang mengandung semua elemen yangtermasuk Aatau Batau keduanya.

B

A∪ = {x : x ∈ A atau x ∈ B}

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan

himpunan A∪B.

Gambar 2.1 Gabungan

2.2.2 Irisan (Intersection)

Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, merupakan kejadian yang

elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan B.

= ∩B

A {x : x∈A dan x∈B}

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan

himpunan A∩B.

Gambar 2.2 Irisan

2.2.3 Komplemen (Complament)

Komplemen dari kejadian A, dinyatakan dengan Ac, adalah kejadian dari

elemen-elemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A.

{

x x S x A

}

Ac = : ∈ , ∉

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan

himpunan Ac.

Gambar 2.3 Komplemen

A B

2.2.4 Selisih

Selisih kejadian B dari kejadian A dinyatakan dengan A – B adalah kejadian dari

elemen-elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

{

x x A x B

}

B

A− = : ∈ , ∉

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan

A - B.

Gambar 2.4 selisih

2.2.5 Kejadian Majemuk

1. Bila A and B mutually exclusive (kejadian yang terpisah), maka : P(A∪B)=P(A)+P(B)

2. Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka :

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

3. Bila ada K kejadian yaitu A1, A2, …, Ai, …, Ak yang mutually exclusive dan

membentuk kejadian A, maka:

P(A)=P(A₁∪A₂∪...∪A_i ∪...∪A_k) ( ) ( )

1 =

=

k

i i

A P A

P

P(A)=1

4. Bila A dan B independent (bebas), maka : P(A∩B)=P(A)P(B)

5. Bila A dan B dependent (tidak bebas), maka : P(A∩B)=P(A)P(B| A)

P(A∩B)=P(B)P(A|B), dimana P(A)≠0,P(B)≠0.

2.3 Probabilitas Bersyarat

Peluang terjadinya suatu kejadian A bila diketahui bahwa kejadian B telah terjadi

disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(A|B).

) ( ) ( ) | ( B P B A P B A

P = ∩

Sama halnya dengan peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketaui bahwa

kejadian A telah terjadi dan dinyatakan dengan P(B|A).

) ( ) ( ) | ( A P B A P A B

P = ∩

Dengan mengkombinasikan kedua persamaan maka diperoleh :

) ( ) | ( ) ( ) ( ) |

(A B P B P A B P B A P A

P = ∩ =

) ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) | ( B P A P A B P B P B A P B A

P = ∩ =

Contoh:

Dari 900 nama, terdapat 500 orang pria dengan status 460 orang bekerja, sedangkan

40 orang lagi tidak bekerja, dan 400 orang wanita dengan status 140 orang bekerja

sedangkan 260 orang lagi tidak bekerja. Berapa probabilitas terpilihnya pria dengan

A = pria terpilih

B = orang yang terpilih berstatus bekerja

3 2 900 600 )

(B = =

P

45 23 900 460 )

(B∩A = =

P

30 23

3 2

45 23 ) |

(A B = =

P

Dari perhitungan diatas maka diperoleh kemungkinan bahwa nama yang

terpilih adalah pria dengan status bekerja adalah sebesar 0,77 atau 77%.

2.4 Titik Sampel

Titik sampel (sample point) merupakan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel. Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi ketiga dapat dilakukan dengan n3 cara, dst, maka deretan k operasi dapat dilakukan dengan n1n2...nk cara.

Contoh:

Tiga buah koin (uang logam) dilemparkan sekali. Banyaknya titik sampel dalam ruang

sampel ?

Koin I dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, muka (M) atau belakang (B)

Koin II dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B

Koin III dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B

Jumlah titik sampel yang dihasilkan = (2) (2) (2) = 8

2.4.1 Kombinasi (Combination)

Kombinasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk tanpa

memilih r obyek dari sejumlah n obyek tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi merupakan sekatan dengan dua sel, sel pertama berisi r obyek yang dipilih dan (n – r) obyek sisanya. Jumlah kombinasi dari n obyek yang berlainan jika diambil sebanyak

r.

(

)

!

! !

r n r

n C_rn

− =

Contoh:

Suatu kelas terdiri atas 4 pria dan 3 wanita Banyaknya panitia yang dibentuk yang

beranggotakan 2 pria dan 1 wanita?

Banyaknya cara memilih 2 dari 4 pria = 6 ! 2 ! 2

! 4

4

2 = =

C

Banyaknya cara memilih 1 dari 3 wanita = 3 ! 2 ! 1

! 3

3

1 = =

C

Banyaknya panitia yang dapat dibentuk = (6) (3) = 18

2.4.2 Permutasi (Permutation)

Permutasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk yang

memperhatikan urutan. Banyaknya permutasi n obyek berlainan adalah n! Banyaknya permutasi n obyek berlainan bila diambil r sekaligus.

(

)

!

!

r n

n P_rn

−

= Banyaknya

permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)!

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n1 adalah jumlah obyek jenis pertama, n2 adalah jumlah obyek jenis kedua, ..., nk jumlah obyek ke-k adalah:

! !... !

!

2

1 n nk

n n

Banyaknya cara menyekat n obyek dalam r sel bila masing-masing berisi n1 obyek pada sel pertama, n2 obyek pada sel kedua, dan seterusnya adalah :

! !... !

!

2

1 n nr

n n

2.5 Distribusi Probabilitas Diskrit

Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau melalui rumusan tidak

masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku (kelakuan) perubah acak tersebut.

Sering di menjumpai, pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang

berbeda mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama.

Oleh karena itu perubah acak diskrit yang berkenaan dengan percobaan

tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas yang sama, dan dapat

dinyatakan dengan rumus yang sama.

Dalam banyak praktek yang sering di jumpai, hanya memerlukan beberapa

distribusi probabilitas yang penting untuk menyatakan banyak perubah acak diskrit.

2.5.1 Distribusi Seragam

Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang semua perubah acaknya

mempunyai probabilitas yang sama. Distribusi ini disebut distribusi probabilitas

seragam diskrit.

Jika perubah acak X mendapat nilaix₁,x₂, ,x_kdengan probabilitas yang sama , maka distribusi probabilitas diskrit diberikan oleh:

; 1 ) ; (

k k x

f = untuk x = x1, x2, … , xk

Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa distribusi

k

1

X1 X2 X3 XK

Gambar 2.5 Distribusi Seragam

Rata-rata dan varians dari distribusi seragam diskrit adalah :

k x

k

i i

=

= 1

µ

(

)

k x

k

i i

=

− = 1

2

2

µ σ

Contoh:

Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur dalam ruang sampel

S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6. Jadi jika X menyatakan mata dadu

yang muncul, maka X terdistribusi peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6,

untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

2.5.2 Distribusi Binomial

Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil

yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap

ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah

dari percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli. Jadi

proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:

1. Percobaan terdiri atas n-eksperimen yang berulang

2. Tiap-tiap eksperimen memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi

2-kategori, sukses atau gagal

3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu eksperimen

ke eksperimen berikutnya.

Jadi proses Bernoulli adalah suatu proses dengan ciri-ciri eksperimen

berlangsung n kali dan tiap eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang

sama. Untuk setiap eksperimen hanya ada 2 (dua) kejadian yang mungkin terjadi,

dimana 2 (dua) kejadian tersebut adalah saling asing dan juga independent satu sama

lain. Biasanya 2 (dua) kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian sukses dan

kejadian gagal. Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas

gagal dilambangkan dengan q, dan p+q=1. Dari proses tersebut, yang di definisikan sebagai variabel adalah munculnya kejadian sukses, yang dilambangkan dengan x.

Untuk distribusi Binomial semacam itu, bisa dihitung probabilitas x sukses akan

muncul dalam n percobaan tersebut dengan rumus :

x n x x n x n

x p q

x n x n q p C p n x P x

F − −

− = = = )! ( ! ! ) , ; ( ) ( Dengan:

x = munculnya sukses yang ingin di hitung

n = jumlah eksperimen

p = probabilitas sukses dalam tiap eksperimen

q = probabilitas gagal dalam tiap eksperimen = 1 – p

n-x = jumlah gagal dalam n eksperimen

Distribusi binomial mempunyai nilai rata-rata = np dan nilai simpangan baku

= npq.

2.5.3 Nilai Harapan Distribusi Binomial

E(X) = = − = = n x x n x n x q p x n x F 0 0 ) (

= n x

n x q x n x n X − = − x 0 p )! ( ! ! .

= n x

n x q x n x n X − = − x 1 p )! ( ! ! .

= n x

= n.p x 1( 1) 1 p )! 1 ( 1 ( )! 1 ( )! 1 ( −− − = − − − −

− n x

n x q x n x n

y = x-1

x = 1 => y = 0

x = n => y = n – 1

= n.p n y

n y q y n y

n −−

−

= − −

− y 1

1 0 p )! 1 ( ! )! 1 (

= n.p (p + q)n -1

= n.p(1)n -1

= np

2.5.4 Variansi Distribusi Binomial

Var (X)

=

E [X2] - (E [X])2

E [X2] =

= − = + − = n x x n x n x q p x n x x x x F x 0 0 2 } ) 1 ( { ) ( = = − − n x x n x q p x n x x 0 ) 1 ( + = − n x x n x q p x n x 0

= 2 2

2 1 .

2 n p qn− + 3 3 3

2 .

3 n p qn− + …+ n(n-1)pn + np = n(n-1)p2 (qn-2 + (n-2) pqn-3 +…+ pn-2) + np

= n(n-1)p2 (q + p)n-2 + np

= n(n-1)p2 + np

Jadi,

Var (X)

=

E [X2] - (E [X])2

= n(n-1)p2 + np – n2p2

= np (1-p)

2.6 Distribusi Normal

Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi

Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng. Distribusi ini ditemukan

Karl Friedrich Gauss (1777-1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak

X yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan persamaan

matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter µ (mean) dan

σ (simpangan baku). Dinyatakan n(x,µ,σ)

Gabar 2.6 Kurva Normal

Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata µ dan simpangan

baku

σ

dinyatakan sebagai :

2

) )( 2 1 (

2 1 )

, ;

( σ

µ

πσ σ

µ

− −

=

x

e x

n untuk −∞< x<∞

Dengan :

µ = mean

σ

= simpangan baku

π = 3,14159…

e = 2, 71828…

Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sbb:

= ≤

≤ )

(a x b

P

b

a

dx x f( )

-4 -2 0 2 4

0

.0

0

.1

0

.2

0

.3

0

.4

x

d

n

o

rm

(x

= e dx x b a 2 ) ( 2 1 2 2

1 _σµ

πσ

[image:31.612.126.374.90.308.2]

− −

Gambar 2.7 Luas Derah P(a < x < b) = Luas Daerah Diarsir

2.6.1 Nilai Harapan Variabel Acak Normal

E [X]

=

∞

∞ −

dx x xf( )

=

x e dx

x

x ₎2

( 2 1

2

1 _σµ

π σ − − ∞ ∞ −

=

xe dx

x

x ₎2

( 2 1

2

1 _σµ

π σ − − ∞ ∞ −

σ µ_x x

z= −

;

σz+µ_x = x

;

dz dx

σ

1

=

;

dx=σdz

=

σz µ_x e z σdz

π σ 2 2 1 ) ( 2

1 ∞ −

∞ −

+

=

z _x e z dz

2 2 1 ) ( 2

1 ∞ −

∞ −

+µ σ π

=

ze z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π σ

+

x e z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π µ

-4 -2 0 2 4

Untuk

ze z dz 2 2 1 2 − ∞ ∞ − π σ

=

( ) 2 ₀ 2 1 0 2

1 2 2

dz ze dz

ze z z

∞ − ∞ − − + π σ 2 2 1 z

y= ; dy=zdz ;

z dy dz=

=

( ) 2 0 0 dy e dy

e y y

∞ − ∞ − − + π σ

untuk ze z dz

∞ − 0 2 1 2

=

z dy ze o y ∞ −

=

dy e y ∞ − 0

=

[ ]

₋ ∞ 0 y e

dimana lim − =0

∞ →

y

y e ; maka 0

0 = ∞ − dy e y

akibatnya ze z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π σ

=

) 0 0 ( 2π + σ

=

0

Untuk

x e z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π µ

=

( ) 2 0 2 1 0 2

1 2 2

dz e dz

e z z

x ∞ − ∞ − − + π µ y z z y 2 2 1 2 = → = z dy dz zdz

dy= → =

=

( ) 2 ₀ 0 z dy e z dy

e y y

x ∞ − ∞ − − + π µ

=

) 2 1 2 1 ( 2 0 2 1 0 2 1 dy e y dy e

y y y

x ∞ − − − ∞ − − + π µ

=

) 2 2 2 2 ( 2 π π π µ +

x

=

x

µ

Sehingga :

E [X]

=

ze z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π σ

+

x e z dz

2 2 1 2 − ∞ ∞ − π µ

E [X]

=

0+µ_x

2.6.2 Variansi Variabel Acak Normal

Var (X)

=

E [X2] - (E [X])2

E [x2]

=

x e dx x

x ₎2

( 2 1 2

2

1 _σµ

π σ − − ∞ ∞ −

=

x e dx

x

x ₎2

( 2 1 2

2

1 _σµ

π σ − − ∞ ∞ − x x _z x

z σ µ

σ µ + → − = dz dx dx dz σ σ → = = 1

=

σz µ_x e z σdz

π σ 2 2 1 2 ) ( 2

1 ∞ −

∞ −

+

=

z z _{x x} e z dz

2 2 1 2 2 ) 2 ( 2

1 ∞ −

∞ − + + σ µ µ σ π

=

z e z dz

2

2 1 2

2

1 ∞ −

∞ −

σ

π

+

z e dz

z x 2 2 1 2 2

1 ∞ −

∞ −

µ σ

π

+

e dz

z x 2 2 1 2 2

1 ∞ −

∞ −

µ π

=

z e z dz

2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ − π σ

+

x z e z dz

2

2 1

2

2 ∞ −

∞ −

π σµ

+

x e z dz

2 2 1 2 2 − ∞ ∞ − π µ

=

z e z dz

2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ − π σ

+

0

+

π

π µ 2 ( 2 2 x

=

z e z dz

2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ − π σ

+

2

x

µ

Untuk z e z dz

2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ − π σ

=

( ) 2 2 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 dz e z dz e

z z − z

z e z dz 2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ − π σ

=

) 2 2 2 2 ( 2 0 0 2 ∞ − ∞ − − ₊ y dy ye y dy

ye y y

π σ

=

) 2 2 2 2 ( 2 2 1 0 2 1 0 2 dy e y dy e

y y −y

∞ − ∞ − + π σ

=

)) 2 1 ( 2 1 2 ) 2 1 ( 2 1 2 ( 2 2 Γ + Γ π σ

=

) 2 2 2 2 ( 2 2 π π π σ +

=

2

σ

Sehingga : E [X2]

=

σ2+µ_X2

Maka :

Var (X)

=

E [X2] - (E [X])2

=

σ2 +µ_X2

-

µ_x2

=

2

σ

2.6.3 Distribusi Normal Standard

Keluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh

rata-rata dan simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas suatu interval dari

variabel random kontinu dapat di permudah dengan menggunakan bantuan distribusi

normal standard.

Distribusi normal standard adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata

(µ) = 0 dan simpangan baku (σ) = 1. Bentuk fungsinya adalah :

2 2 1 2 1 )

(Z e z

f = −

Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standard

di gunakan nilai Z (standard units). Bentuk rumusnya adalah:

σ µ

− = X

Z

Dengan:

Z = Skor Z atau nilai normal baku

X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran

µ = Nilai rata-rata hitung suatu distribusi

σ = Standart deviasi suatu distribusi

Nilai Z (standard units) adalah angka atau indeks yang menyatakan penyimpangan suatu nilai variabel random (X) dari rata-rata (µ) dihitung dalam

satuan simpangan baku (σ).

2.6.4 Sifat-Sifat Normal Standard

Sifat-sifat penting dalam distribusi normal standard yaitu:

1) Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x

2) Bentuknya simetrik terhadap x = µ

3) Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada x = µ

4) Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x di mulai dari x = µ+3σ

ke kanan dan x = µ−3σ ke kiri

5) Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

Untuk tiap pasang µ dan σ , sifat-sifat di atas selalu di penuhi, hanya bentuk

kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar, kurvanya makin rendah

[image:36.612.138.491.89.273.2]

Gambar 2.8 Distribusi Kurva Normal dengan µ Sama dan σσσσ Berbeda

Pada Gambar 2.8 menunjukkan bentuk distribusi dan kurva normal dengan

nilai tengah sama dan standart deviasi yang berbeda. Kurva normal demikian

mempunyai µ = Md = Mo yang sama, namun mempunyai σ yang berbeda. Semakin

besar σ , maka kurva semakin pendek dan semakin tinggi nilai σ , maka semakin

runcing. Oleh sebab itu, σ yang tinggi menunjukkan bahwa nilai data semakin

menyebar dari nilai tengahnya (µ). Sebaliknya apabila σ semakin rendah, maka nilai

semakin mengelompok pada nilai tengahnya, sehingga parameter nilai tengah menjadi

indikator yang baik bagi ukuran populasi.

Gambar 2.9 Distribusi Kurva Normal dengan µ Berbeda dan σ Sama

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

m

[image:36.612.131.502.497.678.2]

Pada Gambar 2.9 menunjukkan bentuk distribusi probabilitas dan kurva

normal dengan µ berbeda dan σ sama, mempunyai jarak antara kurva yang berbeda,

namun bentuk kurva tetap sama. Hal demikian bisa terjadi karena kemampuan antar

[image:37.612.139.500.189.362.2]

populasi berbeda, namun setiap populasi mempunyai keragaman yang hampir sama.

Gambar 2.10 Distribusi Kurva Normal dengan µµµµ dan σσσσ Berbeda

Pada Gambar 2.10 menunjukkan bentuk distribusi probabilitas dan kurva

normal dengan µ berbeda dan σ berbeda. Kurva yang demikian mempunyai titik

pusat yang berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena

mempunyai setandart deviasi yang berbeda. Kurva demikian relatif banyak terjadi,

karena antar-populasi terdapat perbedaan kemampuan, disamping itu di dalam setiap

populasi juga terdapat perbedaan, atau setiap populasi juga mempunyai keragaman

yang berbeda.

2.7 Menghampiri Distribusi Binomial dengan Distribusi Normal

Sebagaimana distribusi poisson sebagai penghampir distribusi binomial, maka

distribusi binomial dapat juga dihampiri dengan distribusi normal. Penghampiran ini

atas dasar teori asimtotik, yaitu dengan mengandaikan banyak pengamatan n dan

p tetap. Atas dasar perandaian ini maka : px p n x x

n x

n x

X P x

f − −

− = =

= (1 )

) ! ( !

! )

Pendekatan distribusi normal ini dapat di gunakan untuk pendekatan distribusi

binomial, dengan memenuhi beberapa syarat, yaitu :

a. Jumlah pengamatan relatif besar (n 30), dan nilai dari np 5 dan n(1-p) 5,

dimana n = jumlah data dan p adalah probabilitas sukses.

b. Memenuhi syarat binomial yaitu mempunyai peristiwa hanya 2 (dua), antara

percobaan bersifat independent, probabilitas sukses dan gagal sama untuk

semua percobaan dan data merupakan hasil perhitungan.

c. Rumus nilai normal untuk mendekati binomial adalah :

npq np X

Z = −

d. Faktor korelasi diperlukan dari binomial yang acak diskrit menjadi normal

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Pendekatan Distribusi Binomial dengan Menggunakan Distribusi Normal

Dalam melakukan proses pengendalian kualitas, penting untuk melakukan pendekatan

suatu distribusi probabilitas dengan distribusi probabilitas yang lain. Proses

pendekatan akan berguna pada saat nilai tabel dari suatu distribusi tak ada. Dengan

pendekatan distribusi yang lain akan didapatkan nilainya dengan tabel. Selain itu

pendekatan distribusi dilakukan jika penggunaan distribusi aslinya tidak praktis.

Meskipun distribusi Poisson dapat di gunakan untuk mendekati distribusi

binomial, terutama dalam kasus-kasus dimana n sangat besar, sedangkan p sangat

kecil. Sebagai penggantinya kita dapat menggunakan distribusi normal untuk

mendekati distribusi binomial apabila n bertambah besar. Umumnya jika µ=np>5, kita akan dapat menggunakan distribusi normal.

Dengan melakukan proses standarisasi peta kendali p berarti dilakukan pendekatan distribusi Binomial yang merupakan distribusi asli probabilitas cacat

dengan menggunakan distribusi Normal.

Karena distribusi Binomial merupakan distribusi yang diskrit, dan distribusi

Normal merupakan distribusi yang kontinu, maka perlu ditambahkan faktor koreksi

kontinuitas (continuity correction), yaitu sebesar 0.5. Jika n bernilai besar, maka pendekatan distribusi Binomial dengan distribusi Normal dapat dilakukan dengan

np

=

Beberapa hal yang perlu dilakukan adalah dengan mengubah atau

membakukan distribusi normal dalam bentuk distribusi normal standard yang dikenal

dengan nilai Z atau skor Z. Rumus nilai Z adalah :

σ µ

− = X

Z

Dengan:

Z = Skor Z atau nilai normal standard

X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran

µ = Nilai rata-rata hitung suatu distribusi

σ = Standart deviasi suatu distribusi

Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal menurut Lind (2002)

diperlukan faktor koreksi, selain syarat binomial terpenuhi yaitu : hanya terdapat dua

peristiwa, peristiwa tersebut bersifat independent, besar probabilitas sukses dan gagal

sama setiap percobaan dan data merupakan hasil penghitungan.

Apabila sudah memenuhi syarat binomial, maka kita menggunakan faktor

koreksi yang besarnya 0,05. Faktor koreksi ini diperlukan untuk mentransformasi dari

binomial menuju normal yang merupakan variabel acak kontinu.

3.2 Sifat Distribusi Binomial

Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil

yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap

ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah

dari percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli. Jadi

proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:

1. Percobaan terdiri atas n-eksperimen yang berulang

2. Tiap-tiap eksperimen memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi

2-kategori, sukses atau gagal

3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu eksperimen

4. Tiap eksperimen bebas dengan eksperimen lainnya.

Banyaknya X yang sukses dalam n- eksperimen Bernoulli disebut “peubah

acak binomial”, dan distribusi dari peubah acak ini disebut “distribusi Binomial”. Jika

p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu eksperimen, maka distribusi

peubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p). Karena nilainya bergantung pada

banyaknya eksperimen (n).

Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu. Tiap

kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan probabilitas q=1-p .

Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil menjadi dua kelompok, sehingga x hasil

ada pada kelompok pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah ini

dinyatakan sebagai

( )

n_x Karena pembagian tersebut saling terpisah (bebas) maka

probabilitasnya adalah

( )

n x n x

x p q

− _.

Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan probabilitas p

dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka distribusi probabilitas peubah acak

binomial X yaitu banyaknya kesuksesan dalam n- eksperimen bebas adalah :

( )

n x n x

x x n x n

x p q C p q

p n x P x

f( )= ( ; , )= − = − dengan x = 1,2,3,...,n Adapun sifat-sifat dari distribusi binomial ini adalah:

1. Nilai rata-rata (µ) dari distribusi binomial yaitu banyaknya eksperimen

dikalikan dengan banyaknya sukses atau dengan kata lain µ = E (X) = np.

2. Nilai dari varians (σ2) untuk distribusi binomial adalah banyaknya eksperimen

dikalikan dengan banyaknya sukses dan banyaknya gagal atau dengan kata lain

2

σ = E (X - µ)2 = npq.

3. Nilai dari Simpangan baku (σ ) untuk distribusi binomial adalah akar dari

3.3 Teorema-Teorema Pendukung

Dalam proses untuk mendekatkan distribusi binomial dengan menggunakan distribusi

normal, maka diperlukan teorema-teorema pendukung yang terkait.

3.3.1 Teorema Limit Pusat ( Central Limit Theorem)

Teorema limit pusat menyatakan bahwa nilai tengah suatu sampel yang terdiri dari n

buah nilai variabel random yang menyebar secara tidak normal, akan tetapi menyebar

secara identik (dengan perkataan lain x1, x2, ..., xn memiliki fungsi kepadatan yang

sama) serta bebas terhadap sesamanya, penyebarannya akan mendekati sebaran

normal dengan pertambahan besarnya nilai n, jadi juga dengan bertambahnya ukuran

sampel.

Jika x1, x2, ..., xn adalah n variabel random independent dengan distribusi yang

identik dan memiliki mean µ dan varians σ2. Jumlahnya dinyatakan sebagai berikut:

X = x1 + x2 + ... + xn

Karena mean dari jumlah adalah jumlah semua mean dan varian dari jumlah

adalah jumlah semua varian, untuk variabel random independent, maka :

E (X) = nµ Var (X) = n 2

σ

Untuk setiap variabel random, mengurangi mean dan membaginya dengan

standart deviasi akan menghasilkan variabel random dengan mean 0 dan varian 1.

maka variabel random :

) (

) (

X Var

X E X

Z = − =

2

σ µ

n n X −

Kemudian dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan n, maka :

n X Z

σ µ

Dengan :

n X n

x x

x

X ₌ 1+ 2+...+ n _{= adalah nilai rata-rata X}

i.

Central Limit Theorem, jika x1, x2, ..., xn adalah n variabel random

independent dengan distribusi yang identik, dengan mean µ dan varian σ2.

Dilambangkan dengan X dan X adalah jumlah dari rata-rata dari variabel random ini. Sejalan dengan bertambahnya n, distribusi :

Z =

2

σ µ

n n X −

=

n X

σ µ

−

cenderung mendekati normal standard.

Dengan bantuan Central Limit Theorem ini, dalam prakteknya untuk masalah

jumlah dan rata-rata variabel random, distribusi normal akan memberikan perkiraan

yang cukup tepat mengenai distribusi yang sebenarnya.

Apapun distribusi dari sekelompok variabel random, selama variannya bersifat

finit, jumlah atau rata-rata dari sejumlah besar variabel tersebut akan berupa variabel

random dengan distribusi mendekati normal. Namun rata-rata variabel random dengan

distribusi seragam yang independent dalam jumlah cukup besar, akan memiliki

distribusi mendekati normal pula.

Bila nilai n makin besar, maka akan mendekati normal standard. Bentuk fungsi

densitas probabilitas untuk n variabel random independent dari distribusi Chi-squere

dengan derajat kebebasan 1. Validitas Central Limit Theorem tidak terbatas hanya

untuk jumlah variabel random kontinu, juga bisa berlaku untuk variabel random

diskrit.

3.3.2 Teorema De Moivre-Laplace

Misalkan x1, x2, ..., xn suatu barisan variabel random, Sn menyatakan banyaknya

dengan probabilitas sukses p, 0<p<1. Misalkan Zn, n = 1, 2, ... barisan variabel

random dengan :

npq np S

Z n

n

−

= ,

Dan misalkan z suatu tetapan. Maka, bila n menuju ke takberhingga, P(Zn > z)

mendekati luas pada distribusi normal standard di sebelah kanan z.

Atau dengan pernyataan lain teorema De Moivre-Laplace menyatakan bahwa :

Jika Sn banyaknya sukses dalam n percobaan Bernoulli dan p adalah probabilitas

sukses dan

npq np S

Z n

n

−

= , maka :

dt e z

Z P z F

z t

n Zn

∞ −

−

→ >

= 2

2

) (

)

( , dimana n .

Teorema De Moivre-Laplace merupakan suatu bentuk dari teorema limit pusat

yang cukup umum. Teorema ini membicarakan limit distribusi jumlah variabel

random, dan limit distribusinya biasanya normal. Pentingnya teorema ini ialah bahwa

dengan menggunakannya, dapat di hitung pendekatan peluang untuk jumlah variabel

random dengan menggunakan distribusi normal tanpa perlu tahu distribusi jumlah

variabel random dengan tepat.

3.4 Teknik Perhitungan Pendekatan Distribusi Binomial oleh Distribusi Normal

Oleh karena distribusi binomial adalah distribusi untuk variabel random diskrit yang

mana probabilitasnya berupa ordinat. Sedangkan distribusi normal merupakan

distribusi untuk variabel random kontinu yang mana probabilitasnya berupa area

(luasan), maka perlu diadakan penyesuaian (perubahan) dari ordinat menjadi luas.

(panjang dikalikan lebar). Penyesuaian ini dilakukan sebagai berikut :

Misalkan X berdistribusi B(n,p), maka P(X=x) merupakan ordinat pada absis

x. Tinggi ordinat sebagai nilai probabilitas dalam distribusi binomial, diambil sebagai

berpusat pada x, dengan panjang setinggi nilai ordinat dan lebarnya adalah 1 unit

(panjang interval x – 0,5 sampai dengan x + 0,5), sehingga didapatkan probabilitas

yang asli (probabilitas diskrit = ordinat) sama dengan luas persegi panjang tersebut.

Dengan memperhatikan proses pendekatan dari distribusi binomial ke

distribusi normal yang telah dibahas di atas, maka perhitungan pendekatan distribusi

binomial oleh distribusi normal dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

Jika X ~ B(n,p), maka untuk keperluan penghitungan P(X=x) dengan

menggunakan distribusi normal adalah sebagai berikut:

P(X = x) = P (x – 0,5 < X < x + 0,5)

= − − < − < + −

npq np x

npq np X npq

np x

P ( 0,5) ( 0,5)

= − − < < + −

npq np x

Z npq

np x

P ( 0,5) ( 0,5)

Dengan Z ~ N(0,1)

P (X x) = ≥ − −

npq np x

Z

P ( 0,5)

P (X x) = ≤ + −

npq np x

Z

P ( 0,5)

P (x1 < X < x2) = P (x1 – 0,5 < X < x2 + 0,5)

= − − < − < + −

npq np x

npq np X npq

np x

P ( 1 0,5) ( 2 0,5)

= − − < < + −

npq np x

Z npq

np x

3.5 Contoh Kasus

Dari data kelahiran bayi menurut jenis kelamin di RS. Bunda Zahara Medan, selama

[image:46.612.136.503.175.340.2]

bulan Januari – Juni 2007 diperoleh data seperti tabel di bawah ini:

Tabel 3.1 Tabel Kelahiran Bayi Menurut Jenis Kelamin

Bulan Laki-laki Perempuan Jumlah

Januari 34 orang 43 orang 77 orang

Februari 48 orang 25 orang 73 orang

Maret 39 orang 46 orang 85 orang

April 26 orang 42 orang 68 orang

Mei 47 orang 49 orang 96 orang

Juni 32 orang 37 orang 69 orang

Jumlah 226 orang 242 orang 468 orang

Dari data jenis kelamin bayi yang lahir diatas, dapat di peroleh hasil sebagai berikut :

Banyak bayi lahir = 468 orang, yang terdiri dari :

Jenis kelamin laki-laki = 226 orang

Jenis kelamin perempuan = 242 orang

Dari data sampel ini dapat dihitung misalnya :

a. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki > 0,5

b. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki < 0,5

c. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki = 0,5

d. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5

Penyelesaian :

Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya bayi laki-laki yang

lahir.

n = 468 orang, p = peluang kelahiran bayi laki-laki = 468 226

= 0,4829,

q = 1-0,4829 = 0,5171

npq

=

a. Probabilitas kelahiran bayi laki-laki = 0,5 berarti :

X = (0,5) . (468) = 234, Sehingga :

Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki > 0,5 adalah:

P (X > 234) = ( ( 0,5) )

npq np x

Z

P > − −

= )

8103 , 10

226 ) 5 , 0 234 (

(Z > − −

P

= P (Z > 0,69)

= 0,5 - 0,2549

= 0,2451

[image:47.612.153.407.291.432.2]

Jadi probabilitas banyaknya bayi laki-laki lebih dari 234 orang adalah 0,2451.

Gambar 3.1 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki > 0,5

b. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki < 0,5

P (X > 234) = ( ( 0,5) )

npq np x

Z

P < + −

= )

8103 , 10

226 ) 5 , 0 234 (

(Z < + −

P

= P (Z < 0,78)

= 0,5 + 0,2823

= 0,7823

Jadi, probabilitas banyaknya bayi laki-laki kurang dari 234 adalah 0,7823.

-4 -2 0 2 4

0

.0

0

.1

0

.2

0

.3

0

.4

x

d

n

o

rm

(x

[image:48.612.152.408.77.221.2]

Gambar 3.2 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki < 0,5

c. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki = 0,5

P ( X = 234 ) =

(

−

)

− < <

(

+

)

−

npq np x

Z npq

np x

P 0,5 0,5

=

(

−

)

− < <

(

+

)

− 8103 , 10

226 5 , 0 234 8103

, 10

226 5 , 0 234

Z P

= P ( 0,69 < Z < 0,78 )

= 0,2823 – 0,2549

= 0,0274

[image:48.612.153.408.467.609.2]

Jadi probabilitas banyaknya bayi laki-laki sama dengan 234 adalah 0,0274

Gambar 3.3 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki = 0,5

-4 -2 0 2 4

0

.0

0

.1

0

.2

0

.3

0

.4

x

d

n

o

rm

(x

)

-4 -2 0 2 4

0

.0

0

.1

0

.2

0

.3

0

.4

x

d

n

o

rm

(x

d. Probabilitas kelahiran bayi laki-laki = 0,4 berarti :

X = (0,4) . (468) = 187, sehingga :

Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5 adalah :

P ( 187 < X < 234 ) =

(

−

)

− < <

(

+

)

−

npq np x

Z npq

np x

P 0,5 0,5

=

(

−

)

− < <

(

+

)

− 8103 , 10

226 5 , 0 234 8103

, 10

226 5 , 0 187

Z P

= P ( -3,65 < Z < 0,69)

= 0,4999 + 0,2549

= 0,7548

[image:49.612.163.472.158.297.2]

Jadi brobabilitas banyaknya bayi laki-laki antara 187 dan 234 adalah 0,7548.

Gambar 3.4 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki antara 0,4 dan 0,5

3.6 Simpangan Akibat Pendekatan

Untuk melihat besarnya simpangan yang terjadi akibat pendekatan, akan diperlihatkan

hasil perhitungan simpangan yang terjadi untuk setiap variabel random X (banyaknya

sukses) dalam distribusi binomial dengan parameter n dan p, untuk pendekatan suku

tunggal binomial maupun pendekatan binomial kumulatif. Dalam perhitungan ini

digunakan program microsoft excel.

Tabel Distribusi Binomial (Terlampir) di peroleh dengan jalan menjalankan

program untuk setiap parameter n dan p yang telah diketahui secara berulang-ulang.

-4 -2 0 2 4

0

.0

0

.1

0

.2

0

.3

0

.4

x

d

n

o

rm

(x

[image:49.612.163.415.320.463.2]

Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki > 0,5 dengan

menggunakan distribusi binomial adalah sebesar 0,2437. Sedangkan dengan

pendekatan distribusi normal diperoleh 0,2451. Itu berarti simpangan yang terjadi

adalah sebesar 0,2451 – 0,2437 = 0,0014

Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki < 0,5 dengan

menggunakan distribusi binomial adalah sebesar 0,7842. Sedangkan dengan

pendekatan distribusi normal diperoleh 0,7823. Itu berarti simpangan yang terjadi

adalah sebesar 0,7842 – 0,7823 = 0,0019.

Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki = 0,5 dengan

menggunakan distribusi binomial adalah sebesar 0,0280. Sedangkan dengan

pendekatan distribusi normal diperoleh 0,0274. Itu berarti simpangan yang terjadi

adalah sebesar 0,0280 – 0,0274 = 0,0006.

Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5 dengan

menggunakan distribusi binomial adalah sebesar 0,7541. Sedangkan dengan

pendekatan distribusi normal diperoleh 0,7548. Itu berarti simpangan yang terjadi

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian bab-bab sebelumnya, maka dapatlah dibuat kesimpulan sebagai berikut :

1. Pada distribusi binomial dengan parameter n dan p, dengan rumus :

x n x x

n x n

x p q

x n x

n q

p C p n x P x

f − −

− = =

=

)! ( !

! )

, ; ( ) (

Dapat didekati dengan distribusi normal, dengan rumus :

2

) )( 2 1 (

2 1 )

( σ

µ

πσ

− −

=

x

e x

f untuk −∞<x<∞

2. Simpangan terbesar yang terjadi dalam pendekatan akan semakin besar jika

jarak p semakin jauh terhadap 0,5 dan atau n semakin kecil.

3. Pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal kurang baik dilakukan

untuk kondisi p yang berjarak jauh terhadap 0,5 dan n yang kecil.

4. Khusus untuk data kelahiran bayi, disini dapat diperoleh hasil taksiran dengan

interval yang relatif pendek (relatif baik), hal ini disebabkan karena dalam data

tersebut ukuran sampelnya cukup besar yaitu n = 468. Untuk probabilitas

proporsi kelahiran bayi laki-laki > 0,5, diperoleh distribusi binomialnya adalah

sebesar 0,2437, sedangkan dengan pendekatan distribusi normal diperoleh

0,2451. Sehingga simpangan yang terjadi adalah sebesar 0,2451 – 0,2437 =

0,0014. Untuk probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki < 0,5, diperoleh

distribusi binomialnya adalah sebesar 0,7842, sedangkan dengan pendekatan

distribusi normal diperoleh 0,7823. Sehingga simpangan yang terjadi adalah

laki-laki = 0,5, diperoleh distribusi binomialnya adalah sebesar 0,0280,

sedangkan dengan pendekatan distribusi normal diperoleh 0,0274. Sehingga

simpangan yang terjadi adalah sebesar 0,0280 – 0,0274 = 0,0006. Untuk

probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5, diperoleh

distribusi binomialnya adalah sebesar 0,7541, sedangkan dengan pendekatan

distribusi normal diperoleh 0,7548. Sehingga simpangan yang terjadi adalah

sebesar 0,7548 – 0,7541 = 0,0007.

4.2 Saran

Saran yang dianggap perlu untuk dikemukakan sehubungan dengan kesimpulan, yaitu:

1. Dalam menentukan ukuran sampel yang akan digunakan dalam pendekatan

distribusi binomial oleh distribusi normal, sebaiknya dipenuhi kondisi bahwa

jika p semakin jauh dari 0,5 maka ukuran sampel yang diperoleh harus semakin

besar. Atau dengan perkataan lain simpangan pendekatan yang diinginkan

sebaiknya dijadikan salah satu faktor penentu dalam menentukan besarnya

ukuran sampel.

2. Untuk melihat besarnya simpangan yang di akibatkan dari pendekatan distribusi

binomial oleh distribusi normal, sebaiknya di buat tabel yang lebih lengkap

DAFTAR PUSTAKA

Adiningsih, Sri. 1993. Statistik. Yogyakarta: BPFE.

Boediono dan Koster, W. 2004. Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. Bandung: Remaja Rosdakarya.

Hakim, Abdul. 2002. Statistik Induktif untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: Ekonisia.

Jong Jek Siang. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta: Andi.

Noer, Ahmad. 2004. Statistik Deskriptif dan Probabilita. Yogyakarta: BPFE. Sarwoko. 2007. Statistik Inferensi untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: Andi. Suharyadi dan Purwanto. 2003. Statistika untuk Ekonomi dan keuangan Modren.

Bandung: Salemba Empat.

Supranto, J. 2001. Statistik Teori dan Aplikasi. Jilid 2. Jakarta: Erlangga.

LAMPIRAN

TABEL DISTRIBUSI BINOMIAL P

Binomial Tunggal

Binomial Kumulatif

46 4.82429E-72 5.45786E-72

47 4.04512E-71 4.5909E-71

48 3.31325E-70 3.77234E-70

49 2.6521E-69 3.02934E-69

50 2.07547E-68 2.37841E-68

51 1.58857E-67 1.82641E-67

52 1.18966E-66 1.3723E-66

53 8.7201E-66 1.00924E-65

54 6.25833E-65 7.26757E-65

55 4.39925E-64 5.12601E-64

56 3.02987E-63 3.54247E-63

57 2.04517E-62 2.39941E-62

58 1.3534E-61 1.59334E-61

59 8.78293E-61 1.03763E-60

60 5.59106E-60 6.62869E-60

61 3.49226E-59 4.15513E-59

62 2.14088E-58 2.55639E-58

63 1.28843E-57 1.54407E-57

64 7.6141E-57 9.15817E-57

65 4.41946E-56 5.33528E-56

66 2.52007E-55 3.0536E-55

67 1.41204E-54 1.7174E-54

68 7.77615E-54 9.49355E-54

69 4.20977E-53 5.15913E-53

70 2.24087E-52 2.75678E-52

71 1.17307E-51 1.44875E-51

72 6.04038E-51 7.48912E-51

73 3.05998E-50 3.8089E-50

74 1.52534E-49 1.90623E-49

75 7.48315E-49 9.38939E-49

76 3.61365E-48 4.55259E-48

77 1.718E-47 2.17326E-47

78 8.04246E-47 1.02157E-46

79 3.70774E-46 4.72931E-46

80 1.68365E-45 2.15658E-45

81 7.53149E-45 9.68807E-45

82 3.31941E-44 4.28822E-44

83 1.44163E-43 1.87045E-43

84 6.17045E-43 8.0409E-43

85 2.60323E-42 3.40731E-42

86 1.08267E-41 1.4234E-41

87 4.43937E-41 5.86277E-41

88 1.79493E-40 2.3812E-40

89 7.15686E-40 9.53807E-40

90 2.81451E-39 3.76831E-39

P

Binomial Tunggal

Binomial Kumulatif

1 3.9211E-132 3.9301E-132

2 8.5503E-130 8.5896E-130

3 1.2403E-127 1.2489E-127

4 1.3465E-125 1.359E-125

5 1.1669E-123 1.1805E-123

6 8.4091E-122 8.5271E-122

7 5.1829E-120 5.2682E-120

8 2.7891E-118 2.84