Distribusi Binomial

DISTRIBUSI BINOMIAL

Oleh Kelomok 1 :

1.SHABRINA RAHMA P (105060701111015)

2.FAIZAL RANDY PUTRA (105060700111017)

3.ASTARI PRAMUWARDHANI (105060700111027)

Oleh Kelomok 1 :

1.SHABRINA RAHMA P (105060701111015)

2.FAIZAL RANDY PUTRA (105060700111017)

3.ASTARI PRAMUWARDHANI (105060700111027)

Daftar Isi

1

Pengertian Distribusi Binomial

 Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas peubah acak diskret (nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga ) yang berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. DISTRIBUSI MERUPKAN HASIL PERHITUNGAN JUMLAH SUKSES DALAM SEJUMLAH PERCOBAAN TERTENTU.

Daftar Isi

Ciri – Ciri Distribusi Binomial

 Hasil setiap percobaan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal :

› "BERHASIL" atau "GAGAL";

› "YA" atau "TIDAK";

 Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap

percobaan nilai p tetap. peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1 - p.

 Percobaan yang berulang bersifat SALING BEBAS

 Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali / harus tertentu (Ronald E. Walpole).

 Nilai n < 20 dan p > 0.05,,, n bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

 Percobaannya besifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan

lainnya.

 Hasil setiap percobaan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal :

› "BERHASIL" atau "GAGAL";

› "YA" atau "TIDAK";

 Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap

percobaan nilai p tetap. peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1 - p.

 Percobaan yang berulang bersifat SALING BEBAS

 Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali / harus tertentu (Ronald E. Walpole).

 Nilai n < 20 dan p > 0.05,,, n bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

 Percobaannya besifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan

lainnya. Daftar Isi

Contoh Soal

Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda, setiap pertanyaan memiliki 5 alternatif jawaban. Jika dalam menjawab

pertanyaan, mahasiswa tersebut bespekulasi maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah

1) untuk menjawab benar, P(B) = 1/5

2) untuk menjawab salah, P(S) = 4/5

Misalkan susunan 5 jawaban benar adlah B B B B B maka:

Kemungkinan lain susunan 5 jawaban benar adalah B B B S B B, sehingga:

Ternyata probabilitas 5 jawaban benar dari 6 pertanyaan adalah sama untuk susuna manapun. Banyaknya kemungkinan susunan 5 benar dan 1 salah dicari dengan

menggunakan rumus kombinasi.

susunan )! 6

5 6

(

! 5

! 6

)!

(

!

! 6 5

5

6 

 

 

 C

x n

x C n

5 4 5

1 5

1

) S ( )

B ( )

B (

5 4 5

1

5 1 5

1 5

1

B) ( )

B ( )

B ) (

S B B B B B (

1 5

P P

P P

P P P



 



 



 



 





5 1 5

1 5

4

) B ( )

B ( )

S (

5 4 5

1

5 1 5

1 5

1

B) ( )

B ( )

B ) (

B B S B B B (

1 5

P P

P P

P P P



 



 



 



 





Untuk menentukan probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar (P(5)) adalah dengan menjumlahkan probabilitas dari kombinasi banyaknya susunan jawaban benar ₆C₅ = 6 susunan. Karena probabilitas setiap susunan adalah sama maka probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar (P(5)) dapat dihitung dengan mengalikan ₆C₅ dengan probabilitas salah satu susunannya.

00154 ,

0 )

5

(

^{5 1}

5 . 4 5

. 1 5 6









 



 



 



C



P

Jumlah Jawaban Benar

P(x) 0

1 2 3 4 5 6

0,2621 0,3932 0,2458 0,0819 0,0154 0,0015 0,0001

Jumlah 1,0000

Tabel Ditribusi Binomial menjawab dengan Benar

dimana :

x = 0,1,2,3,...,n

n = banyaknya percobaan

x = banyaknya peristiwa sukses p = probabilitas peristiwa sukses

q = probabilitas peristiwa gagal , dimana q = 1 - p dalam setiap percobaan

dimana :

x = 0,1,2,3,...,n

n = banyaknya percobaan

x = banyaknya peristiwa sukses p = probabilitas peristiwa sukses

q = probabilitas peristiwa gagal , dimana q = 1 - p dalam setiap percobaan

1. Distribusi Binomial Peristiwa

b(x;n,p) =

n

c

_x

p

^x

q

^n-x

Catatan :

Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat

menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda

dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES.

Catatan :

Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat

menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda

dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES.

Contoh Soal

1. Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1“ muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali sebuah dadu

setimbang!

 Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1"

 x = 3, n = 5 pelemparan diulang 5 kali

 p = , q = 1 - =

= = 10  0.003215...= 0.03215...

1 6

6 1

6 1

6 5

n-x x

n

x p q C

b(x;n,p) 

2 6 3 5 61 5

6 3

1 ( ) ( )

5

3; , ) C

b( 

5 2

6 5

! 2

! 3

! 5

2. Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6:10, jika terdapat 5 mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak membolos?

Kejadian yang ditanyakan  Kejadian SUKSES = TIDAK MEMBOLOS

 Yang diketahui peluang MEMBOLOS q  6 : 10 = 0.60

p = 1 - q = 1 - 0.60 = 0.40 x = 2, n = 5

 b(x = 2; n = 5, p = 0.40) = ...

 

Contoh Perhitungan :

Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20%

dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan

sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu

dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas :

1. Paling banyak 2 diantaranya menyatakan sangat puas 2. Paling sedikit 1 di antara menyatakan kurang puas

3. Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja 4. Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas

 Jawab :

X ≤ 2

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20)

=

0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768 b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960 b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480

--- + Maka hasil x = 2 adalah = 0.94208

 Jawab :

X ≤ 2

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20)

=

0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768 b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960 b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480

--- + Maka hasil x = 2 adalah = 0.94208

1.1.

LIHAT TABEL

X = 2

b(2; 5, 0.25) = 0.2637 b(2; 5, 0.25) = 0.2637^{X = 2}

14

X ≥ 1

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4;

5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =

0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562

X ≥ 1

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4;

5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =

0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562

2.2.

3.3.

LIHAT TABEL

15

X = 2 X = 4

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 +

0.0768 = 0.6528

4.

LIHAT TABEL

 Analisis masing-masing point :

1. Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.

2. Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang

menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%).

3. Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa

saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%).

4. Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar.

 Analisis masing-masing point :

1. Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.

2. Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang

menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%).

3. Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa

saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%).

4. Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar.

17

 Analisis keseluruhan :

Presentase

Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (1) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.

 Analisis keseluruhan :

Presentase

Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (1) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.

18

Nilai X

Jika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (2). Jumlah X adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas. Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia.

Daftar Isi

2. Probabilitas Binomial Kumulatif



Adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.



Adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

) (

...

) 2 (

) 1 (

) 0 (

) (

PBK

0 0

n X

P X

P X

P X

P

x X

P

q p

C

n x

n x

x n x x

n







































Contoh Soal

Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probailitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas:

a. Paling banyak 2 orang lulus!

b. Yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang!

c. Paling sedikit 4 di antaranya lulus!

Penyelesaian:

d. n = 5; p = 0,7 q = 0,3 x = 0,1 dan 2 P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

= 1(0,7)⁰ (0,3)⁵ + 5(0,7)¹ (0,3)⁴ + 10(0,7)² (0,3)³

= 0,16

b. n = 5; p = 0,7 q = 0,3 x = 2 dan 3 P(2  X  3) = P(X = 2) + P(X = 3)

= 10(0,7)² (0,3)³ + 10(0,7)³ (0,3)²

= 0,44

c. n = 5; p = 0,7 q = 0,3 x = 4 dan 5 P(X  4) = P(X = 4) + P(X = 5)

= 5(0,7)⁴ (0,3)¹ + 1(0,7)⁵ (0,3)⁰

= 0,53

Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif





 ^r

x

p n x b p

n r B

0

) ,

; ( )

,

;

( B(r=1;n=2,p=0.30) = 0.9100

Contoh Soal Tabel Binomial

 Warna mesin cuci yang diproduksi oleh PT.

Makmur Jaya adalah putih dan merah. Suatu rumah tangga memesan 2 mesin cuci

tersebut dan pengirimannya dilakukan 2 kali.

Berapa probabilitas ?

1. Ke-2 mesin cuci berwarna merah

2. Ke-2 mesin cuci berwarna putih

3. Berwarna merah minimal 1

Kerjakan dengan Tabel Distribusi Binomial dan Tabel Distribusi Binomial Kumulatif !!!!

 Warna mesin cuci yang diproduksi oleh PT.

Makmur Jaya adalah putih dan merah. Suatu rumah tangga memesan 2 mesin cuci

tersebut dan pengirimannya dilakukan 2 kali.

Berapa probabilitas ?

1. Ke-2 mesin cuci berwarna merah

2. Ke-2 mesin cuci berwarna putih

3. Berwarna merah minimal 1

Kerjakan dengan Tabel Distribusi Binomial dan Tabel Distribusi Binomial Kumulatif !!!!

 Tabel disrtribusi binomial p = ½, q = ½, dan n=2

X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.

Dari tabel distribusi binomial : Nilai x 0 1 2

Probabilitas 0,25000,50000,2500

1. Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah dapat ditentukan x=2, P=0,2500

2. Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih dapat ditentukan x=0, P=0,2500

3. Probabilitas berarna merah minimal 1 dapat ditentukan dengan nilai x=1 ditambah nilai x

= 2. sehingga 0,5000 + 0,2500 = 0, 7500

 Tabel Distribusi Binomial Kumulatif p = ½, q = ½, dan n=2

X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.

Dari tabel distribusi binomial : Nilai x 0 1 2

Probabilitas 0,25000,75001,0000

1. Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah

P(x=2) – P(x=1) = 1,0000- 0,7500= 0,2500

2. Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih

P(x=2) – P(x=1) = 1,0000- 0,7500= 0,2500

3. Probabilitas berwarna merah minimal 1:

{P(x=1) – P(x=0)+ P(x=2) – P(x=1)} =

{0,7500- 0,2500}+{1,0000- 0,7500}= 0,7500

Daftar Isi

Ragam Distribusi

Binomial

26

Contoh Ragam Distribusi Binomial :

Suatu distribusi binomial memiliki

Tentukan nilai rata-rata, varians, dan simpangan bakunya.

Penyelesaian:

4 3

4 , 1

,

6  

 p q

n

5 , 1

4 6 1

) μ ( rata Rata











 n p

125 , 1

4 3 4

6 1 )

σ (

Varians ²













 n p q

06 , 1

125 , 1 )

σ ( baku Simpangan









 n p q

Daftar Isi

3. Distribusi Binomial Negatif

 Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:

› Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas

› Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal

› Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam setiap percobaan (trial)

› Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu

› k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

 Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak.

Distribusi Binomial Negatif

 Variabel random X = banyaknya usaha untuk memperoleh k sukses

 Variabel random binomial negatif X dapat juga didefinisikan sebagai banyaknya

gagal sebelum memperoleh k sukses

Ragam Distribusi Binomial Negatif



Variabel random X = banyaknya usaha untuk memperoleh k sukses



Variabel random binomial negatif X dapat juga didefinisikan sebagai

banyaknya gagal sebelum

memperoleh k sukses

Contoh Distribusi Binomial Negatif

1. Probabilitas produk cacat adalah 0,1.

Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannya produk yang cacat yang ketiga pada

pengambilan kelima?

2. Probabilitas produk cacat adalah 0,1.

Jika produk diambil satu per satu,

probabilitas terambilnya produk baik (tidak cacat) sebanyak dua sebelum menghasilkan produk cacat ketiga?

Jawaban :

1. Jadi :

2. Jadi :

HAMSAMIDA

>.<

Daftar Isi

Tabel Distribusi Binomial

SOAL