PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI
POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA
SKRIPSI
RAINI MANURUNG
110823011
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI
POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
RAINI MANURUNG
110823011
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
PERSETUJUAN
Judul :Perbandingan Distribusi Binomial Dan distribusi
Poisson Dengan Parameter Yang Berbeda
Kategori : Skripsi
Nama : Raini Manurung
Nomor Induk Mahasiswa : 110823011
Program Studi : Sarjana (S1) Statistika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Diluluskan di Medan, Juli 2013
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Drs. Pasukat Sembiring, M.Si Drs. Suwarno Ariswoyo, M. Si
NIP. 195311131985031002 NIP. 195003121980031001
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2013
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Perbandingan Distribusi Binomial Dan Distribusi Poisson Dengan Parameter Yang Berbeda.
PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA
ABSTRAK
Kajian ini bertujuan untuk membandingkan Distribusi Binomial Dan Distribusi Poisson. Distribusi Binomial adalah Distribusi probabilitas diskrit dari percobaan yang dilakukan sebanyak n kali dengan masing-masing percobaan mempunyai probabilitas p dan masing-masing percobaan tidak saling mempengaruhi (indepent). Distribusi Poisson adalah Distribusi probabilitas diskrit yang menyajikan frekuensi dari kejadian acak tertentu dapat digunakan sebagai pendekatan Distribusi Binomial. Distribusi Binomial mempunyai parameter n dan p serta Distribusi Poisson mempunyai parameter λ= n p. Distribusi Binomial dan Distribusi Poisson dapat disajikan dalam bentuk histogram dengan mengunakan Software“R”. Hasil perhitungan diperoleh dengan menggunakan
Microsoft Excel dan tabel. Hasil kajian menunjukkan nilai probabilitas dari kedua distribusi dengan parameter yang berbeda. Dari nilai yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa distribusi Poisson lebih baik digunakan untuk sampel n yang besar (>50) dan probabilitas p yang sangat kecil (<0,1). Hasil kajian juga menunjukkan adanya pendekatan nilai probabilitas distribusi Binomial dengan Poisson untuk n >45 dan0,02 ≤ p ≤1.
BINOMIALCOMPARATIVEANDDISTRIBUTIONPOISSONDISTRIBUTI ONWITHDIFFERENTPARAMETERS
ABSTRACT
This study aimed to compare the Binomial Distribution and Poisson Distribution by way of generating random data. Binomial distribution is a discrete probability distribution of the the experiments performed n times with each trial have a probability p and each experiment did not influence each other (indepent). Poisson distribution is a discrete The probability distribution that presents a particular frequency of random events can be used as an approach Binomial Distribution. Binomial distribution has parameters n and p, and has the Poisson distribution parameter λ = np Binomial and Poisson distribution of can be presented in the form of a histogram using the software "R". Calculation results obtained using Microsoft Excel and tables. Results of the study showed the value of the probability of the two distributions with different parameters. From the values obtained it can be concluded that the Poisson distribution is better used for a large sample of n (> 50) and a very small probability p (<0,1). Results of the study also indicate a value approach to the Poisson Binomial probability distribution for n> 45 and 0,02 ≤p≤ 1.
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ii
Pernyataan iii
Penghargaan iv
Abstrak v
Absract vi
Daftar Isi vii
Daftar Tabel ix
Daftar Gambar x
Bab 1 Pendahuluan 1
1.1Latar Belakang 1
1.2Perumusan Masalah 2
1.3Pembatasan Masalah 2
1.4Tujuan 3
1.5Tinjauan Pustaka 3
1.6Kontribusi Penelitian 5
1.7Metodologi Penelitian 6
Bab 2 Landasan Teori 7
2.1 Teori Probabilitas ( peluang ) 7
2.1.1 Definisi Teori Probabilitas 7 2.1.2 Jenis Kejadian 8
2.1.3 Manfaat Probabilitas Dalam Penelitian 10
2.2 Variabel Acak Dan Distribusi Distribusi Peluang 10
2.2.1 Variabel Diskrit 11
2.2.2 Variabel Kontinu 11 2.3 Distribusi Peluang Acak Diskrit 12
2.4 Distribusi Peluang Acak Kontinu 13
2.5 Rata-rata Hitung 14
2.6 Varians dan Standard Deviasi 15
2.7 Distribusi Binomial 15
2.8 Distribusi Poisson 16
2.9 Distribusi Sampling 18
2.9.1 Populasi Dan Sampel 18
2.10 Metode Sampling 19
2.10.1 Sampling Random (Sampling Acak) 20
2.10.1.1 Sampling Random Sederhana 20
2.10.1.2 Sampling Berlapis (Sampling Stratified) 21
2.10.1.4 Sampling Kelompok 23
2.10.2 Sampling Tidak Acak (Nonrandom) 23
2.10.2.1 Convenience Sampling 24
2.10.2.2 Quota Sampling 25
2.10.2.3 Snowball Sampling – Sampel Bola Salju 25
Bab 3 Pembahasan 26
3.1 Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial26 3.1.1 Menggunakan Tabel Distribusi Binomial 30
3.1.2 Mengunakan MS Excel untuk Distribusi Binomial 30
3.1.3 Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif 31
3.1.4 Mengunakan MS Excel untuk Binomial Kumulatif 31 3.2 Membangkitkan data acak pada percobaan Poisson32 3.2.1 Menggunakan Tabel Distribusi Poisson 32 3.2.2 Menggunakan MS Excel untuk menghitung Distribusi Poisson 32 3.3 Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Binomial dan Poisson 37
3.4 Pengenalan Software R 3.4.1 Mengambarkan Histogram Distribusi Binomial dan Poisson 42
DAFTAR TABEL
Tabel 1 Lambang Parameter dan Statistik 19
Tabel 3.1 Percobaan Binomial dengan n = 10 27
Tabel 3.2 Percobaan Binomial dengan n= 800 27
Tabel 3.3 Percobaan Binomial dengan n = 30 28
Tabel 3.4 Percobaan Binomial dengan n = 20 28
Tabel 3.5 Percobaan Binomial dengan n = 50 29
Tabel 3.6 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 10 34
Tabel 3.7 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 800 34
Tabel 3.8 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 30 35
Tabel 3.9 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 20 35
Tabel 3.10 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 50 36
Tabel 3.11 Membangkitkan Data Acak pada percobaan Binomial dan Poisson 37
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Tampilan MS Excel untuk ditribusi binomial 31 Gambar 3.2 Tampilan MS Excel untuk ditribusi poisson 31 Gambar 3.3 Pembangkitkan Data Distribusi Binomial dengan 100 data
acakn = 80 p = 0,02 42 Gambar 3.4 Pembangkitkan Data Distribusi Poisson dengan λ = 2
dan 100 data acak 43 Gambar 3.5 Perintah untuk menggambar grafik Distribusi Binomial
n = 80 p = 0,02 44
Gambar 3.6 Perintah untuk menggambar grafik Distribusi Poissonλ = 2 45 Gambar 3.7 Grafik distribusi Binomial dengan n = 80 p = 0,02 46 Gambar 3.8 Grafik distribusi Poisson dengan λ = 2 46 Gambar 3.9 Grafik distribusi Binomial dengan n = 100 p = 0,02 47
Gambar 3.10 Grafik distribusi Binom dengan λ = 4 47
Gambar 3.11 Grafik Distribusi Binomial dngan n = 45 p = 0,05 48
Gambar 3.12 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 2,25 48
Gambar 3.13 Grafik Distribusi Binomial dengan n = 500 p = 0,00449
Gambar 3.14 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 3,2 49 Gambar 3.15 Grafik Distribusi Binomial dengan n = 800 p = 0,008 50 Gambar3.16 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 6,4 50 Gambar 3.17 Grafik distribusi Binomial dengan n = 200 p = 0,009 51
PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA
ABSTRAK
Kajian ini bertujuan untuk membandingkan Distribusi Binomial Dan Distribusi Poisson. Distribusi Binomial adalah Distribusi probabilitas diskrit dari percobaan yang dilakukan sebanyak n kali dengan masing-masing percobaan mempunyai probabilitas p dan masing-masing percobaan tidak saling mempengaruhi (indepent). Distribusi Poisson adalah Distribusi probabilitas diskrit yang menyajikan frekuensi dari kejadian acak tertentu dapat digunakan sebagai pendekatan Distribusi Binomial. Distribusi Binomial mempunyai parameter n dan p serta Distribusi Poisson mempunyai parameter λ= n p. Distribusi Binomial dan Distribusi Poisson dapat disajikan dalam bentuk histogram dengan mengunakan Software“R”. Hasil perhitungan diperoleh dengan menggunakan
Microsoft Excel dan tabel. Hasil kajian menunjukkan nilai probabilitas dari kedua distribusi dengan parameter yang berbeda. Dari nilai yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa distribusi Poisson lebih baik digunakan untuk sampel n yang besar (>50) dan probabilitas p yang sangat kecil (<0,1). Hasil kajian juga menunjukkan adanya pendekatan nilai probabilitas distribusi Binomial dengan Poisson untuk n >45 dan0,02 ≤ p ≤1.
BINOMIALCOMPARATIVEANDDISTRIBUTIONPOISSONDISTRIBUTI ONWITHDIFFERENTPARAMETERS
ABSTRACT
This study aimed to compare the Binomial Distribution and Poisson Distribution by way of generating random data. Binomial distribution is a discrete probability distribution of the the experiments performed n times with each trial have a probability p and each experiment did not influence each other (indepent). Poisson distribution is a discrete The probability distribution that presents a particular frequency of random events can be used as an approach Binomial Distribution. Binomial distribution has parameters n and p, and has the Poisson distribution parameter λ = np Binomial and Poisson distribution of can be presented in the form of a histogram using the software "R". Calculation results obtained using Microsoft Excel and tables. Results of the study showed the value of the probability of the two distributions with different parameters. From the values obtained it can be concluded that the Poisson distribution is better used for a large sample of n (> 50) and a very small probability p (<0,1). Results of the study also indicate a value approach to the Poisson Binomial probability distribution for n> 45 and 0,02 ≤p≤ 1.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Binomial adalah distribusi
probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan
ya/tidak(berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan
memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal disebut percobaan Binomial.
Dalam menghitung probabilitas nilai-nilai variabel acak yang berdistribusi
Binomial dari hasil-hasil percobaan Binomial. Bila bilangan n kecil dan p besar,
maka perhitungan probabilitas nilai variabel acak x tidak mengalami masalah,
karena nilai probabilitas p dapat dihitung secara langsung atau diperoleh dengan
memakai tabel untuk bilangan n, nilai p, dan nilai x tertentu. Akan tetapi, bilamana n besar dan p kecil sekali, maka perhitungan probabilitas nilai x tidak bisa atau sulit dilakukan baik secara langsung maupun dengan memakai tabel
distribusi Binomial, sebab tabel hanya menyediakan nilai probabilitas untuk
maksimum n = 30 dan nilai minimum p = 0,01.
Dalam perhitungan probabilitas distribusi Binomial dilakukan dengan
memakai pendekatan distribusi Poisson. Jika n besar dan p kecil sekali distribusi
binomial dapat didekati dengan memakai distribusi poisson. Distibusi Poisson
merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai
nilai 0, 1, 2, 3...n. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu
variabel random x (x diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi
probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis. Poisson
memperhatikan bahwa distribusi Binomial sangat bermanfaat dan dapat
menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b (x│n p)
besar (>50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil < 0,1 maka nilai
binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus
pendekatan probabilitas Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan
untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.Berdasarkan latar
belakang masalah akan dibahas bagaimana perbandingan distribusi Binomial mempunyai parameter n dan p dengan distribusi Poisson mempunyai parameter λ.
Sehingga kajian ini diberi judul Perbandingan Distribusi Binomial dan
Distribusi Poisson Dengan Parameter yang Berbeda-beda.
1.2Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dibahas adalah perbandingan distribusi Binomial parameter n dan p dengan distribusi Poisson parameter λ = n p.
1.3Pembatasan Masalah
Yang ingin diketahui adalah harga rata-rata yang merupakan ukuran dari
sekelompok data. Tujuannya adalah untuk mengetahui, sekitar mana data yang
diamati tersebut bertebar. Ukuran ini juga disebut sebagai statistik, dan apabila
ukuran ini dipergunakan untuk menyatakan populasi, maka ukuran tersebut dapat
dikatakan sebagai parameter. Jadi dapat dikatakan jika ukuran tersebut
dipergunakan untuk menerangkan sampel, maka ukuran tersebut dikatakan
sebagai statistik. Sedangkan jika ukuran tersebut menerangkan populasi, maka
ukuran tersebut dikatakan sebagai parameter. Harga rata-rata itu merupakan nilai
tengah yang dapat mewakili sekelompok data yang diamati.
1.4Tujuan
Kajian ini bertujuan untuk menunjukkan perbandingan distribusi Binomial dan
1.5Tinjauan Pustaka
Beberapa buku, jurnal dan makalah sebelumnya yang menjadi rujukan yang
digunakan untuk mewujudkan kajian ini, yang membantu penulis menguraikan
tentang metode analisis yang penulis gunakan.
James Bernoulli ( 1654 – 1705 ) : Seorang ahli Matematika selama 20
tahun mempelajari probabilitas mengatakan bahwa jika p adalah probabilitas
bahwa suatu peristiwa akan terjadi dalam sembarang percobaan tunggal dari suatu
percobaan Binomial yang di ulang sebanyak n kali, dengan p (sukses) dan q
(gagal)adalah tetap pada setiap percobaan dan x menyatakan banyaknya sukses dalam percobaan Binomial, maka variabel acak x mempunyai ditribusi Binomial yang dirumuskan sebagai berikut:
f ( x ) = P(X = x) = b(x, n, p) =����pxqn-x= n! x! (n −�)! p
x
qn-x
Dengan: p = probabilitas sukses
q = 1- p
n = jumlah total percobaan
x = jumlah sukses dari n kali percobaan
Distribusi Binomial merupakan distribusi diskrit, karena probabilitas
nilai-nilai x dihitung pada setiap titik. Distribusi ini berhubungan dengan suku-suku
berurut dari rumus Binomial, atau ekspansi Binomial sabagai berikut:
(q + p)n = qn + �n1�qn-1 p + �2 n�qn-2 p2 +...+ pn
Di mana 1, ��1�, ��2�, ...disebut koefisien - koefisien Binomial. Distribusi ini
disebut juga Distribusi Bernoulli, beberapa sifat distribusi Binomial sebagai
berikut:
Mean μ = n p
Varians σ2 = n pq
Ronald E. Walpole (2003) Menyatakan Distribusi Binomial adalah suatu
distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling
dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan
sekeping uang logam sebanyak 6 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi
gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat
memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal”
bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas
dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar ½.
Untuk mengetahui probabilitas mendapatkan 6 keberhasilan dari 10 kali
percobaan, untuk melakukan perhitungan perlu menggunakan suatu distribusi
acak, distribusi Binomial. Distribusi Binomial dapat diterapkan pada situasi
dimana beberapa percobaan bebas (independent) dilakukan dan masing-masing mempunyai satu dari dua kemungkinan hasil disebut dengan keberhasilan dan
kegagalan. Meskipun untuk beberapa kasus mungkin ada penunjukkan yang
berubah-ubah. Misalnya seorang ilmuwan melakukan percobaan sebanyak n kali,
x mewakili jumlah keberhasilan, jika probabilitas untuk mendapatkan
keberhasilandari setiap percobaan adalah p, maka probabilitas mendapatkan i
keberhasilan suatu formula yang menunjukkan fungsi kepekaan dari variabel acak
Binomial, x dikatakan sebagai variabel acak :
P( x = i ) = � n i�piqn-i
Siemon-Dennis Poisson (1837) : Menyatakan bahwa distribusiBinomial
sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap
probabilitas Binomial. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk
variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk
dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang
Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam
situasi tertentu. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas
menurut satuan waktu. Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial
percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas
sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah
bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p
adalah 0,05 atau kurang dari 0,05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah
untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.
Poisson mengembangkan distribusi yang dikenal dengan Hukum peristiwa
langka dengan probabilitas sukses sangat kecil walaupun jumlah n sangat besar.
f (x)=�(�= �) =����−�
! x= 0, 1, 2, ...
Dengan: e = 2,71828...
Beberapa sifat dari distribusi Poisson sebagai berikut
Mean �= λ
Varians �2 = λ
Deviasi standar �=√�
1.6Kontribusi Penelitian
Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan kajian, diharapkan:
1. Memudahkan penggunakan Distribusi Binomial mempunyai parameter n
dan p dengan Distribusi Poisson yang mempunyai parameter λ = n p.
2. Sebagai bahan kajian untuk menganalisis Distribusi Binomial Poisson lebih
lagi.
3. Memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubungan
1.7Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial parameter n dan p
2. Membangkitkan data acak pada percobaan Poisson parameter λ = n p
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Probabilitas (Peluang)
Kehidupan sehari-hari sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus
ditentukan memilih yang mana. Biasanya dihadapkan dengan
kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi. Statistik yang membantu
permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.
Probabilitas didefinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian,
suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa
(event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentang probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0,
maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa
probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut terjadi. Serta
jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu
kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah 1, jika kejadian tersebut hanya
memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.
2.1.1 Definisi Teori Probabilitas
a. Pendekatan klasik
Probabilitas merupakan banyaknya kemungkinan-kemungkinan pada suatu
kejadian berdasarkan frekuensinya. Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi
masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing,
maka probabilitas bahwa akan terjadi a adalah:
P(A) = �
�+�; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: P(A) =
� �+� b. Pendekatan subjektif
Nilai probabilitas adalah tepat apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian
terjadi dalam suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang
bersifat individual (berdasarkan pengalaman).
c. Pendekatan frekuensi relatif
Nilai probabilitas ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat
terjadi dalam suatu percobaan (pengumpulan data).
Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas
akan terjadi A untuk N data adalah: P(A) = �
�
Probabilitas disajikan dengan simbol P, sehingga P(A) menyatakan probabilitas
bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal, dengan
0 ≤ P(A) ≤ 1. Dalam suatu percobaan kemungkinan kejadian ada 2, yaitu “terjadi”
P(A) atau “tidak terjadi” P(A)’, maka jumlah probabilitas totalnya adalah P(A)
+ P(A)’ = 1
2.1.2 Jenis Kejadian
a. Berdasarkan peluang terjadinya
1.Kejadian Saling Meniadakan (Mutually exclusive), yaitu kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.
2. Kejadian Tidak Saling Meniadakan (Non-mutually exclusive), yaitu kejadian yang dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.
b. Berdasarkan pengaruh
1.Kejadian Independen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian tidak
berpengaruh pada probabilitas kejadian yang lain.
2. Kejadian Dependen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian
Ruang sampel atau semesta merupakan himpunan dari semua hasil yang
mungkin dari suatu percobaan. Jadi ruang sampel adalah seluruh kemungkinan
peristiwa yang akan terjadi akibat adanya suatu percobaan atau kegiatan. Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan - kemungkinan yang muncul. Kejadian adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil
yang akan terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Kejadian menunjukkan
hasil yang terjadi dari sutau.
2.1.3 Manfaat Probabilitas Dalam Penelitian
Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu dalam
mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi.
Jika ditinjau pada saat melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa
fungsi antara lain :
1. Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.
Pengambilan keputusan yang lebih tepat dimaksudkan tidak ada keputusan
yang sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada yang pasti
diketahui dari sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna.
2. Dengan teori probabilitasdapat ditarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis
yang terkait tentang karakteristik populasi.Menarik kesimpulan secara tepat
atas hipotesis (perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya) yang
terkait tentang karakteristik populasi.
3. Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari
suatu populasi
2.2 Variabel Acak dan Distribusi Peluang
Variabel acak (random variabel) biasa ditandai dengan sebuah seperti x
adalah variabel yang memiliki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran
nilai tertentu dari x dalam sebuah eksperimen adalah suatu kemungkinan keluaran yang acak. Variabel acak dapat dibedakanmenjadi variabel acak diskret dan
variabel acak kontinu. Variabel acak diskret adalah variabel yang dapat memiliki
sejmlah nilai yang bisa dihitung. Sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel
acak yang dapat memiliki nilai tak terhingga.berkaitan dengan titik-titik dalam
suatu interval.
Peluang terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti
suatu pola tertentu yang disebut dengan distribusi. Distribusi peluang untuk suatu
variabel acak menggambarkan bagaimana peluang terdistribusi untuk setiap nilai
variabel acak. Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu fungsi peluang,
dinotasikan dengan p(x) atau f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap nilai variabel acak. Terdapat dua jenis distribusi peluang yaitu distribusi peluang diskrit
dan distribusi peluang kontinu.Ada beberapa istilah yang digunakan dalam sebuah
distribusi probabilitas seperti variabel acak/random, diskrit dan kontinu.
2.2.1 Variabel Diskrit
Pada variabel diskrit setiap harga variabel terdapat nilai peluangnya, serta
peluang diskrit terbentuk bilamana jumlah semua peluang sama dengan satu. Ini
dikatakan wajar karena setiap peristiwa pasti memiliki nilai penjumlahan peluang
sama dengan satu dari setiap kejadian yang mungkin terjadi.
Variabel diskrit merupakan variabel yang nilainya dapat diperoleh dengan
cara membilang ataupun menghitung. Variabel dari sampel yang diambil dari
populasi ini bertujuan untuk mempermudah pemahaman teori sampel dan
pembahasan hipotesis pada pengujian selanjutnya
Variabel diskrit x menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai x = x1,x2,x3,…..,xn terdapat peluang P(xi) = P(X=xi). Fungsi f(x,y) adalah fungsi
1. f(x,y)≥0 untuk seluruh (x,y)
2. ∑ ∑ �� � (�,�)= 1
3. P[x,y] ∈ � = ∑ ∑ �(�, y) untuk sebarang nilai A dalam bidang xy
Jika x dan y dua peubah acak diskrit, distribusi peluang terjadinya secara serentak dapat dinyatakan dengan fungsi untuk setiap pasangan nilai dalam rentang peubah
acak x dan y dinamakan distribusi peluang gabungan x dan y dalam kasus peubah acak diskrit yaitu nilai menyatakan peluang kejadian x dan y terjadi bersama-sama.
Variabel acak didefinisikan sebagai sebuah ukuran atau besaran yang merupakan
suatu percobaan atau kejadian yang terjadi secara.
2.2.2 Variable Kontinu
Variabel kontinu merupakan kebalikan dari variable acak diskrit, jika pada
variable acak diskrit nilainya didapat dari atau diperoleh dengan cara menghitung
atau membilang, pada Variabel acak kontinu nilainya diperoleh dari atau
diperoleh dengan cara mengukur.
Variabel kontinu biasanya digunakan untuk menyatakan ukuran sebuah
waktu dan hasil pengukuran. Jika x merupakan nilai dari variable acak maka Variabel acak dikatakan sebagi variable acak kontinu jika memiliki batas - ~ <x < ~ dan memiliki batas-batas lain yang ditentukan. Serta x merupakan nilai dari variable kontinu, maka kita akan mempunyai fungsi identitas f(x) yang dapat menghasilkan nilai-nilai peluang dari harga-harga x.
Jadi variabel acak merupakan ukuran hasil suatu percobaan yang bersifat
acak. Beberapa contoh percobaan acak dan variabel acak.
1. Percobaan melempar uang akan menghasilkan gambar (G) atau angka (A).
Apabila dilempar uang dua kali, sisi gambar bisa muncul 2 kali, 1 kali atau
0 (tidak muncul). Percobaan melempar adalah percobaan acak dan nilai
2. PT Moena Jaya Farm menimbang berat semangka yang akan dikirim ke
supermarket.Penimbangan berat adalah merupakan percobaan acak dan
nilai berat setiap buah adalah variabel acak.
Variabel acak adalah hasil ukuran dari percobaan yang bersifat acak.
2.3 Distribusi Peluang Acak Diskrit
Peubah Acak (Random Variable) merupakkan sebuah keluaran numerik yang
merupakan hasil dari percobaan (eksperimen). Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata. Untuk setiap anggotadari ruang sampel
percobaan, peubah acak bias mengambil tepat satu nilai. Peubah Acak x adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan riil R, X:S. Peubah Acak dituliskan
sebagai huruf kapital (X, Y, Z). Nilai-nilai tertentu yang merupakan keluaran percobaan dituliskan dengan huruf kecil (x, y, z).
Peubah acak diskrit adalah peubah acak yang dapat mengambil nilai-nilai
yang terbatas atau nilai yang tidak terbatas tapi dapat dicacah.Seringkali untuk
memudahkan suatu perhitungan semua peluang peubah acak dinyatakan dalm
suatu fungsi nilai-nilai x seperti f(x) yaitu f (x) = p (X = x). Pada peubah acak diskrit, setiap nilainya dikaitkan dengan peluang. Himpunan pasangan berurutan
(x, f(X)) disebut distribusi peluang peubah acak x. Sebuah distribusi yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah diskrit berikut peluangnya
disebut peluang diskrit. Suatu peubah acak diskrit dapat dinyatakan sebagai:
f (x) = ∑p(�) (2.1)
Himpunan pasangan terurut (x, f (x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi masa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit x bila, untuk setiap kemungkinan hasil x:
1. f (x)≥0 2. ∑f (�)= 1
Tanpa memperhatikan apakah suatu distribusi probabilitas diskrit disajikan
secara grafis dengan sebuah histogram, dalam bentuk tabel atau dengan rumus ,
tingkah laku suatu peubah acak telah digambarkan. Sering pengamatan yang
dihasilkan oleh percobaan statistik yang berbeda mempunyai tingkah laku umum
yang sama. Yang paling sederhana dari semua distribusi probabilitas diskrit
adalah distribusi yang peubah acaknya mengambil masing-masing nilai dengan
suatu probabilitas yang sama. Distribusi probabilitas semacam ini disebut
distribusi seragam diskrit. Bila peubah acak xmengambil nilai x1, x2,
x3...xk,dengan probabilitas yang sama, maka distribusi seragam diskrit diberikan
oleh f(x;k) =1
� denganx=x1,x2, x3...xk. Digunakan notasi f(x;k) bukan f(x) untuk
menunjukkan bahwa distribusi tersebut bergantung pada parameter k.
2.4 Distribusi Peubah Acak Kontinu
Distribusi peluang bagi peubah acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk
tabel, akan tetapi distribusinya dapat dinyatakan dalam persamaan yang
merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu dan digambarkan dalam bentuk
kurva.
Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu x, yang didefinisikan atas himpunan semua bilangan riil R, bila
1. f(x)≥0 untuk semua x∈ � 2. ∫ �−∞∞ (�)�� = 1
3. �(�<� <�) =∫ �−∞∞ �(�)��
Variabel random kontinu adalah variabel yang nilai-nilainya
menghubungkan titik-titik dalam sebuah garis. Sebuah variabel random yang
dapat memuat setiap nilai di dalam sebuah interval angka-angka. Probabilitas
Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah variabel random kontinu:
f(x)=P(X ≤ x) = luas area di bawah kurva f(x) antara nilai yang kecil dariX(-∞) sampai dengan titik X.
2.5 Rata-rata Hitung
Dengan mempelajari ukuran pemusatan berupa nilai rat-rata hitung yang
dilambangkan dengan μ=∑ �� , nilai rata-rata tersebut mewakili sejumlah data dari
X1 sampai Xn. Ukuran penyebaran, untuk melihat seberapa besar data menyebar
dari nilai tengahnya. Varians dan standar deviasi dirumuskan �2=∑( �−� )
2
� dan
standar deviasi dirumuskan akar dari variansnya yaitu σ = √�2. Nilai rata-rata hitung pada distribusi probabilitas sebagaimana pada nilai rata-rata hitung
digunakan sebagai nilai untuk mewakili nilai-nilai probabilitas yang ada pada
distribusi probabilitas. Nilai rata-rata hitung juga merupakan nilai harapan
(expected value) yang dilambangkan E(x). Nilai rata-rata hitung dalam probabilitas juga merupakan nilai rata-rata hitung tertimbang karena seluruh
kemungkinan diberikan bobot berupa probabilitas pada setiap kejadi
masing-masing.
Rumus nilai rata-rata hitung disajikan sebagai berikut:
μ =E(x) = ∑(�)P(X) (2.2)
Dengan: μ : Nilai rata-rata hitung distribusi probabilitas
E(x) : Nilai harapan (expected value)
x : Kejadian
2.6 Varians dan Deviasi Standar
Varians dan standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yaitu mengukur
seberapa besar data menyebar dari nilai tengahnya. Semakin kecil sebaran data.
Maka semakin baik, karena menunjukkan data mengelompokkan pada nilai
rata-rata hitung. Ini juga menunjukkan adanya kehomogenan yang lebih tinggi dan
perbedaaan antara data tidak terlalu tinggi. Varians dan standar deviasi
dirumuskan sebagai berikut:
Varians = �2 = ∑[(� − �)2�(�)]
Standar Deviasi = σ = √�2 (2.3)
Dengan: �2 = Varians
σ = Standar deviasi
x= Nilai suatu kejadian
� = Nilai rata-rata hitung distribusi probabilitas
P(x)= Probabilitas suatu kejadian x
2.7 Distribusi Binomial
Ada tiga macam distribusi variabel random diskrit yang paling dikenal, yaitu
distribusi binomial, distribusi poisson, dan distribusi geometriks. Untuk
menjelaskan distribusi binomial digunakan eksperimen-eksperimen dengan
melakukan pelemparan mata uang logam. Eksperimen ini telah dilakukan oleh
James Bernoulli dan keluarganya sehingga disebut eksperimen Bernoulli.
1. Setiap eksperimen memiliki 2 (dua) kemungkinan hasil (outcomes), yakni Sukses dan Gagal yang saling meniadakan (mutually axclusive)
2. Kemungkinan sukses ditunjukkan dengan simbol p, dan pini tetap
(konstan) dari eksperimen ke eksperimen. Kemungkinan gagal
ditunjukkan oleh simbol q.
3. Eksperimen-eksperimen sebanyak n kali adalah bersifat bebas
(independent), artinya hasil setiap eksperimen tidak mempengaruhi hasil dari eksperimen yang lain.
Istilah sukses dan gagal merupakan istilah statistik dan tidak perlu disama-artikan
dengan istilah sehari-hari yang sering didengar mengingat dalam pengertian ini
kondisi cacat (defective items) hasil dari suatu proses produksi bisa dikatakan sebagai kondisi sukses.
Besarnya nilai probabilitas setiap x peristiwa sukses dari n kali eksperimen ditunjukkan oleh probabilitas sukses p dan probabilitas kegagalan 1-p
f(x) = P(X = x) = b(x,n,p) =����pxqn-x= �!
�!(�−�)! p
x
z n-x (2.4)
Dengan: p = probabilitas sukses
q = 1-p
n = jumlah total percobaan
x = jumlah sukses dari n kali percobaan
2.8 Distribusi Poisson
Distribusi probabilitas lainnya adalah distribusi Poisson. Distribusi Poisson
menunjukkan perilaku sebuah variabel random Binomial dengan jumlah
eksperimen yang begitu besar dan dengan keberhasilan (sukses) yang begitu kecil.
Percobaan-percobaan yang menghasilkan nilai-nilai numerik suatu peubah
diketahui atau di dalam suatu daerah yang ditentukan, disebut percobaan Poisson.
Selang waktu yang diketahui. Sehingga sebuah percobaan Poisson dapat
memunculkan pengamatan untuk peubah acak x. Sebuah percobaan Poisson
dijabarkan dari proses dan memiliki sifat-sifat sebagai berikut
Sifat-sifat Distribusi Poisson :
1. Jumlah hasil percobaan yang terjadi di dalam satu selang waktu atau
daerah yang ditentukan tidak tergantung dari jumlah yang terjadi di dalam
setiap selang waktu atau daerah ruang yang tidak berhubungan lainnya.
Dalam cara ini dikatakan bahwa proses Poisson tidak mempunyai memori.
2. Probabilitas bahwa sebuah hasil percobaan tunggal akan terjadi selama
suatu selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah kecil sebanding
dengan lama selang waktu atau ukuran daerah itu dan tidak bergantung
pada jumlah hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah
ini.
3. Probabilitas bahwa lebih dari suatu hasil percobaan akan terjadi di dalam
satu selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil seperti
itu dapat diabaikan.
a. Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:
f(x)= �(�=�) =���−�
�! (2.5) Dengan : e =
2,71828...
x= 0, 1, 2, ...
Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses Poisson
dirumuskan:
�(�= �) =( �� )���−��
! (2.6)
Dengan : t = banyaknya satuan waktu
x = banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu
Probabilitas poisson kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa Poisson lebih
dari satu. Probabilitas Poisson kumulatif dapat dihitung dengan rumus:
PPK = ∑ ���−�
�!
�
�=0 (2.7)
=∑��=0�(�=�)
= P(X = 0) + P(X=1) + P(X=2) + ...+ P(X=n)
c. Distribusi Poisson sebagai pendekatan Distribusi Binomial
ditribusi Poisson sebagai pendekatan Distribusi Binomial dirumuskan:
P(X = x) = (��)��−��
�! (2.8)
Dengan : n p = rata-rata distribusi Binomial.
2.9 Distribusi Sampling
Distribusi probabilitas teoritis dari rata-rata sampel hasil dari penarikan semua
kemungkinan sampel berukuran sama dari sebuah populsi. Sebuah distribusi
sampel bisa berupa distribusi rata-rata atau distribusi deviasi standar atau
distribusi proporsi.
2.9.1 Populasi dan Sampel
Populasi (universe) adalah totalitas dari semua objek atau individu yang memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang akan diteliti (bahan penelitian).
Objek atau nilai disebut unit analisis atau elemen populasi. Unit analisis dapat
berupa orang, perusahaan, hasil produksi, rumah tangga dan tanah pertaniaan.
Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil melalui cara-cara
tertentu yang juga memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang
dianggap bisa mewakili populasi. Objek atau nilai yang akan diteliti dalam sampel
Untuk menerangkan karakteristik dari populasi dan sampel, digunakan
istilah parameter dan statistik. Parameter dan statistik adalah besaran yang berupa
data ringkasan atau angka ringkasan yang menunjukkan suatu ciri dari populasi
dan sampel. Parameter dan statistik merupakan hasil hitungan nilai dari semua
unit di dalam populasi dan sampel bersangkutan.
[image:32.595.127.496.279.447.2]Berikut ini tabel lambang yang digunakan untuk parameter dan statistik.
Tabel 2.1 Lambang Parameter dan Statistik
Besaran Lambang Parameter (Populasi) Lambang Statistik (Sampel) Rata-rata Varians Simpangan Baku Jumlah Observasi Proporsi μ σ2 σ N P X � S2 S n p
2.10 Metode Sampling
Metode sampling adalah cara pengumpulan data yang hanya mengambil sebagian
elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi. Cara pengumpulan
data yang lain adalah sensus. Sensus adalah cara pengumpulan data yang
mengambil setiap elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi.
Untuk sesuatu hal maka sensus dilaksanakan, tetapi karena sesuatu hal
pula mungkin sensus tidak dapat dilaksanakan dan kemudian dipilih sampling.
Alasan-alasan dipilihnya sampling antara lain sebagai berikut:
1. Objek penelitian yang homogen
3. Penghemat biaya dan waktu
4. Masalah ketelitian
5. Ukuran populasi
Metode sampling pada dasarnya dapat dibedakan atas dua macam,yaitusampling random dan sampling nonrandom
2.10.1Sampling Random (Sampling Acak)
Sampling random atau sampling probabilitas adalah cara pengambilan sampel
dengan semua objek atau elemen populasi memiliki kesempatan yang sama untuk
dipilih sebagai sampel. Hasil dari sampling random memiliki sifat yang objektif.
Yang termasuk sampling random, antara lain sampling random sederhana,
sampling berlapis, sampling sistematis, dan sampling kelompok.
2.10.1.1 Sampling Random Sederhana
Sampling random sederhana adalah bentuk sampling random yang sifatnya
sederhana, tiap sampel yang berukuran sama memiliki probabilitas sama untuk
terpilih dari populasi sampling:
a. elemen-elemen populasi yang bersangkutan homogen
b. hanya diketahui identitas-identitas dari satuan-satuan individu (elemen)
dalam populasi, sedangkan keterangan lain mengenai populasi, seperti
derajat keseragaman, pembagian dalam golongan-golongan tidak
diketahui, dan sebagianya.
Sampling random sederhana dapat dilakukan dengan menggunakan dua metode,
yaitu metode undian dan metode tabel random.
1. Metode undian adalah yang prosesnya dilakukan dengan menggunakan pola
pengundian.
a. Memberi kode nomor urut pada semua elemen populasi pada lembar
kertas-kertas kecil.
b. Menggulung lembar kertas-kertas kecil kemudian memasukkannya ke
dalam kotak, mengocoknya dengan rata, dan mengambilnya satu persatu.
c. Hasil undian itu merupakan sampel yang terpilih. Metode undian hanya
cocok untuk jumlah populasi yang kecil.
2. Metode tabel random
Metode tabel random adalah metode yang prosesnya dilakukan dengan
menggunakan tabel bilangan random. Tabel bilangan random adalah tabel yang
dibentuk dari bilangan biasa yang diperoleh secara berturut-turut dengan sebuah
proses random serta disusun ke dalam suatu tabel.
a. Memberi nomor urut (mulai dari 1) pada semua elemen populasi, sebanyak
elemen tersebut.
b. Secara acak, memilih salah satu halaman tabel bilangan random, demikian
pula dengan pemilikan kolom dan barisnya.
c. Nomor-nomor yang terpilih dari tabel tersebut merupakan nomor-nomor
dari sampel. Apabila nomor sampel sudah terpilih atau muncul, kemudian
muncul lagi, maka nomor itu dilewati.
2.10.1.2 Sampling Berlapis (Sampling Stratified)
Sering menghadapi sebuah populasi yang memiliki karakteristik bagian-bagian
yang berbeda di dalam populasi itu. Bagian-bagian itu disebut dengan
strata-strata. Proses sampling diawali dengan membuat stratifikasi, yaitu membagi
populasi ke dalam strata-strata yang saling mutually exclusive dan tiap-tiap strata memiliki karakteristik yang sama. Langkah selanjutnya adalah mengambil dengan
Sampling berlapis adalah bentuk sampling random yang populasi atau
elemen populasinya dibagi dalam kelompok-kelompok yang disebut srata.
Sampling stratified dilakukan apabila:
a. elemen-elemen populasi heterogen
b. ada kriteria yang akan dipergunakan sebagai dasar untuk menstratifikasi
populasi ke dalam stratum-stratum, misalnya variabel yang akan diteliti
c. ada data pendahuluan dari populasi mengenai kriteria yang akan
digunakan untuk stratifikasi
d. dapat diketahui dengan tepat jumlah satuan-satuan individu dari setiap
stratum dalam populasi.
2.10.1.3 Sampling Sistematis
Sampling sistematis adalah bentuk sampling random yang mengambil
elemen-elemen yang akan diselidiki berdasarkan urutan tertentu dari populasi yang telah
disusun secara teratur. Sampling sistematis dilakukan apabila:
a. identifikasi atau nama dari elemen-elemen dalam populasi itu terdapat
dalam suatu daftar, sehingga elemen-elemen tersebut dapat diberi nomor
urut
b. populasi memiliki pola beraturan, seperti blok-blok dalam kota atau
rumah-rumah pada suatu ruas jalan.
Proses pengerjaannya ialah sebagai berikut:
1. Jumlah elemen dalam populasi dibagi dengan jumlah unsur yang
diinginkan dalam sampel, sehingga terdapat subpopulasi-subpopulasi
yang memiliki jumlah elemen yang sama (memiliki interval yang
sama).
2. Dari subpopulasi pertama dipilih sebuah anggota dari sampel yang
3. Anggota dari subsampel pertama yang terpilih digunakan sebagai titik
acuan (awal) untuk memilih sampel berikutnya, pada setiap jarak
interval tertentu.
2.10.1.4 Sampling Kelompok (Sampling Cluster)
Sampling kelompok adalah bentuk sampling random yang populasinya dibagi
menjadi beberapa kelompok (cluster) dengan menggunakan aturan-aturan
tertentu, seperti batas-batas alam dan wilayah administrasi pemerintahan.
Proses pengerjaanya ialah sebagai berikut.
1. Membagi populasi ke dalam beberapa subkelompok
2. Memilih satu atau sejumlah kelompok dari kelompok-kelompok tersebut.
Pemilihan kelompok-kelompok itu dilakukan secara random.
3. Menentukan sampel dari satu atau sejumlah kelompok yang terpilih secara
random
Antara sampling cluster dan sampling stratified terdapat perbedaan dari cara pengambilan sampelnya. Pada sampling cluster sampelnya diambil dari cluster
yang terpilih, sedangkan pada sampling stratified samplenya diambil dari seluruh
stratum.
2.10.2 Sampling Tidak Acak (Nonrandom)
Jenis sampel tidak dipilih secara acak. Tidak semua unsur atau elemen populasi
mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi sampel. Unsur populasi
yang terpilih menjadi sampel bisa disebabkan karena kebetulan atau karena faktor
2.10.2.1 Convenience Sampling
Dalam memilih sampel, peneliti tidak mempunyai pertimbangan lain kecuali
berdasarkan kemudahan saja. Seseorang diambil sebagai sampel karena kebetulan
orang tadi ada di situ atau kebetulan dia mengenal orang tersebut. Oleh karena itu
ada beberapa penulis menggunakan istilah accidental sampling (tidak disengaja) atau juga captive sample (man-on-the-street). Jenis sampel ini sangat baik jika dimanfaatkan untuk penelitian penjajagan, yang kemudian diikuti oleh penelitian
lanjutan yang sampelnya diambil secara acak (random). Beberapa kasus penelitian yang menggunakan jenis sampel ini, hasilnya ternyata kurang obyektif.
1. Purposive Sampling
Sesuai dengan namanya, sampel diambil dengan maksud atau tujuan tertentu.
Seseorang atau sesuatu diambil sebagai sampel karena peneliti menganggap
bahwa seseorang atau sesuatu tersebut memiliki informasi yang diperlukan bagi
penelitiannya. Dua jenis sampel ini dikenal dengan nama judgement dan quota sampling.
2. Judgment Sampling
Sampel dipilih berdasarkan penilaian peneliti bahwa dia adalah pihak yang paling
baik untuk dijadikan sampel penelitiannya.. Misalnya untuk memperoleh data
tentang bagaimana satu proses produksi direncanakan oleh suatu perusahaan,
maka manajer produksi merupakan orang yang terbaik untuk bisa memberikan
informasi. Jadi, judment sampling umumnya memilih sesuatu atau seseorang menjadi sampel karena mereka mempunyai information rich.
Dalam program pengembangan produk (product development), biasanya
yang dijadikan sampel adalah karyawannya sendiri, dengan pertimbangan bahwa
kalau karyawan sendiri tidak puas terhadap produk baru yang akan dipasarkan,
maka jangan terlalu berharap pasar akan menerima produk itu dengan baik.
(Cooper dan Emory, 1992).
Teknik sampel ini adalah bentuk dari sampel distratifikasikan secara proposional,
namun tidak dipilih secara acak melainkan secara kebetulan saja.Misalnya, di
sebuah kantor terdapat pegawai laki-laki 60% dan perempuan 40% . Jika seorang
peneliti ingin mewawancari 30 orang pegawai dari kedua jenis kelamin tadi maka
dia harus mengambil sampel pegawai laki-laki sebanyak 18 orang sedangkan
pegawai perempuan 12 orang. Sekali lagi, teknik pengambilan ketiga puluh
sampel tadi tidak dilakukan secara acak, melainkan secara kebetulan saja.
2.10.2.3 Snowball Sampling – Sampel Bola Salju
Cara ini banyak dipakai ketika peneliti tidak banyak tahu tentang populasi
penelitiannya. Dia hanya tahu satu atau dua orang yang berdasarkan penilaiannya
bisa dijadikan sampel. Karena peneliti menginginkan lebih banyak lagi, lalu
peneliti minta kepada sampel pertama untuk menunjukkan orang lain yang
kira-kira bisa dijadikan sampel. Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui
pandangan kaum lesbian terhadap lembaga perkawinan. Peneliti cukup mencari
satu orang wanita lesbian dan kemudian melakukan wawancara. Hal ini bisa juga
dilakukan pada pencandu narkotik, para gay, atau kelompok-kelompok sosial lain
yang eksklusif (tertutup)
BAB 3
3.1 Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial
Distribusi probabilitas menunjukkan hasil yang diharapkan terjadi dari suatu
percobaan atau kejadian dengan nilai probabilitas masing-masing hasil tersebut.
Percobaan statistik dapat dilakukan secara berulang. Hasil-hasil yang muncul
dalam percobaan statistik tersebut dapat dibedakan manjadi dua jenis yaitu
kejadian sukses dan gagal, di mana probabilitas kejadian sukses dan gagal adalah
tetap. Selain itu, juga dapat diamati bahwa kejadian sukses dan kejadian gagal dari
suatu percobaan ke percobaan berikutnya adalah saling bebas.
Adapun implementasi sistem yang digunakan untuk penyelesaian
permasalahan pada distribusi Binomia dan Poisson adalah dengan menggunakan
“software” R dan Microsoft Excel. Diharapkan dengan menggunakan software ini dapat meningkatkan pengetahuan dan kemampuan dalam membuat grafik dan
histogram dengan kualitas publikasi yang dapat memuat simbol matematika.
Selain itu sintaxnya mudah dipelajari dan banyak mengandung fungsi statistik.
Fungsi probabilitas Binomial adalah fungsi dengan parameter n dan p,
berikut ditunjukkan perhitungan fungsi probabilitas Binomial dan visual teorema
Tabel 3.1 Percobaan Binomial dengan n = 10
x N p q
�!
�! (� − �)! px
n – x (q)n-x
�! �! (� − �)!�
�(�)�−�
5 10 0,10 0,90 252 0,00001 5 0,590 0,001
5 10 0,50 0,50 252 0,0312 5 0,031 0,246
5 10 0,02 0,98 252 3,200 5 0,903 7,289
5 10 0,005 0,995 252 3,125 5 0,975 7,680
5 10 0,009 0,991 252 5,904 5 0,955 1,422
Tabel 3.2 Percobaan Binomial dengan n = 800
x N p q �!
�! (� − �)! p
x
n – x (q)n-x � ! �! (� − �)!�
�(�)�−�
5 800 0,10 0,90 2,69668 0,00001 795 4,195 1,131
5 800 0,50 0,50 2,69668 0,031 795 4,799 4,044
5 800 0,02 0,98 2,69668 3,200 795 1,058 0,0009
5 800 0,005 0,995 2,69668 3,125 795 0,018 0,156
Tabel 3.3 Percobaan Binomial dengan n = 30
x n p q � !
�! (� − �)! p
x
n -x (q)n-x � !
�! (� − �)!��( � )�−�
5 30 0,10 0,90 142506 0,00001 25 0,071 0,102
5 30 0,50 0,50 142506 0,031 25 2,980 0,0001
5 30 0,02 0,98 142506 3,200 25 0,603 0,0002
5 30 0,005 0,995 142506 3,125 25 0,882 3,928
5 30 0,009 0,991 142506 5,904 25 0,797 6,712
Tabel 3.4 Percobaan Binomial dengan n = 20
x
n
p
q
�
!
�
! (
� − �
)!
p
x
n - x
( q )
n - x�
!
�
! (
�
−
�
) !
�
�
(
�
)
�−�5
20
0,10
0,90
15504
0,00001
15
0,205
0,031
5
20
0,50
0,50
15504
0,031
15
3,051
0,014
5
20
0,02
0,98
15504
3,200
15
0,738
3,664
5
20
0,005
0,995
15504
3,125
15
0,927
4,494
Tabel 3.5 Percobaan Binomial dengan n = 50
x p q � !
�! (� − �)! p
x
n -x (q)n-x � !
�! (� − �)!��(�)�−�
5 50 0,10 0,90 2118760 0,00001 45 0,008 0,184
5 50 0,50 0,50 2118760 0,0312 45 2,842 1,881
5 50 0,02 0,98 2118760 3,200 45 0,402 0,002
5 50 0,005 0,995 2118760 3,125 45 0,798 5,284
3.1.1 Menggunakan Tabel Distribusi Binomial
Untuk mengetahui probabilitas Binomial, dapat dihitung dengan cara manual. Namun
demikian, suatu distribusi seperti distribusi Binomial merupakan suatu distribusi teoritis,
sehingga distribusinya dapat disusun secara matematis. Tabel distribusi binomial telah
disusun untuk membantu mengetahui suatu probabilitas secara tepat. Tabel distribusi
Binomial secara keseluruhan dilampirkan. Dalam tabel ditribusi terdapat jumlah percobaan
(n), probabilitas sukses (p), dan kejadian (x).
Langkah-langkah dalam mencari nilai probabilitas dalam tabel :
1. Mencari tabel dengan jumlah percobaan (n) yang sesuai.
2. Mencari nilai x pada kolom x.
3. Mencari nilai probabilitas sukses yang dilambangkan p. Perpotongan antara kolom
p dengan baris x, merupakan nilai probabilitasnya.
3.1.2 Mengunakan MS Excel untuk Distribusi Binomial
MS Excel sangat membantu untuk mengetahui nilai probabilitas dalam distribusi
probabilitas binomial. Ada beberapa langkah yang perlu dilakukan yaitu:
1. Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function. 2. Pilih menu statistical pada function category
3. Pilih menu Binomdist pada function name, tekan ok
4. Setelah tekan ok pada langkah ke-3, maka akan keluar dialog seperti berikut; BINOMDIST
Number_s :...( masukkan nilai x ) Trials : ...( masukkan nilai n )
Probability_s :...( masukkan nilai p )
Cumulative :...( ketik kata False )
Gambar 3.1 Tampilan MS Excel untuk Ditribusi Binomial
3.1.3 Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif
Probabilitas jumlah sukses dalam dalam jumlah tertentu. Namun, sering kali dihadapkan
pada persoalan yang tidak tunggal jumlahnya, tetapi kumulatif. Untuk itu diperlukan
adanya tabel distribusi probabilitas Binomial Kumulatif.
3.1.4 Mengunakan MS Excel untuk Binomial Kumulatif
MS Excel akan lebih membantu untuk mengetahui distribusi binomial kumulatif.
Langkah-langkahnya tidak ada perbedaan dengan distribusi binomial biasa. Namun ada perbedaan
pada kotak dialog, apabila pada binomial ditulis False, maka untuk kumulatif ditulis True
BINOMDIST
Number_s :...( masukkan nilai x) Trials : ...( masukkan nilai n )
Probability_s :...( masukkan nilai p )
3.2 Membangkitkan data acak pada percobaan Poisson
Dalam memperlihatkan secara visual dalil pusat dari suatu peubah acak yang mempunyai distribusi Poisson dengan parameter λ = n p maka untuk memperlihatkan pendekatannya terhadap distribusi Binomial akan diperlihatkan juga secara visual distribusi Binomial
dengan parameter n dan p, dimana perlakuan n dan peluang p dibuat sama terhadap n dan p
pada Distribusi Poisson.
3.2.1 Menggunakan Tabel Distribusi Poisson
Untuk membantu dengan cepat nilai probabilitas distribusi Poisson, tabel hasil distribusi
Poisson akan sangat membantu. Cara menggunakan tabel distribusi Poisson, penggunaan
tabel ini menghendaki pengetahuan nilai tengah rata-rata hitung (λ = n p) dan jumlah
sukses x.
3.2.2 Menggunakan MS Excel untuk menghitung Distribusi Poisson
MS Excel diprogram untuk membantu mengetahui nilai probabilitas distribusi Poisson,
selain distribusi Binomial. Ada beberapa langkah yang perlu dilakukan:
1. Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function.
2. Pilih menu statistical pada function category.
3. pilih menu poisson pada function name. Tekan OK
4. seelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dalog seperti berikut:
POISSON.DIST
x :...( masukkan nilai ) Mean : ...( masukkan λ = n p )
Cumulative :...( ketik kata True )
Tabel 3.6 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 10
X n p Q λ= n .p ���−� ���−�
� !
5 10 0,10 0,90 1 0,3678 0,003
5 10 0,50 0,50 5 21,056 0,175
5 10 0,02 0,98 0,2 0,0002 2,183
5 10 0,005 0,995 0,05 2,972 2,477
5 10 0,009 0,991 0,09 5,396 4,497
Tabel 3.7 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 800
x n p q λ = n .p ���−�
���−�
� !
5 800 0,10 0,90 80 5,910 4,930
5 800 0,50 0,50 400 1,960 1,630
5 800 0,02 0,98 16 0,118 0,0009
5 800 0,005 0,995 4 18,755 0,156
[image:47.842.187.688.331.507.2]Tabel 3.8 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 30
x n p q λ= n .p ���−�
���−�
� !
5 30 0,10 0,90 3 12,098 0,100
5 30 0,50 0,50 15 0,232 0,001
5 30 0,02 0,98 0,6 0,042 0,0003
5 30 0,005 0,995 0,15 6,540 5,450
[image:48.842.221.660.183.491.2]5 30 0,009 0,991 0,27 0,001 9,130
Tabel 3.9 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 20
X n p Q λ= n .p ���−�
���−�
� !
5 20 0,10 0,90 2 4,330 0,036
5 20 0,50 0,50 10 4,540 0,037
5 20 0,02 0,98 0,4 0,006 5,720
5 20 0,005 0,995 0,1 9,050 7,540
Tabel 3.10 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 50
x n p q λ = n .p ���−�
���−�
�!
5 50 0,10 0,90 5 21,056 0,175
5 50 0,50 0,50 25 0,0001 1,130
5 50 0,02 0,98 1 0,367 0,003
5 50 0,005 0,995 0,25 0,0007 6,340
3.3 Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Binomial dan Poisson
[image:50.842.127.758.178.485.2]Untuk membandingkan distribusi Binomial dan distribusi Poisson adalah dengan n dan q = 1 – p yang berbeda
Tabel 3.11: Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial parameter n, p dan Poisson Parameter λ
Probabilitas
Sukses (p) 0,1 0,4 0,5 0,9 0,02 0,04
Probabilitas
Gagal (q) 0,9 0,6 0,5 0,1 0,98 0,96
Sampel (n) I II III IV V VI
Λ σ λ σ λ σ λ σ λ Σ λ σ
5 0,5 0,67 2 1,09 2,5 1,11 4,5 0,67 0,1 0,31 0,2 0,43
10 1 0,94 4 1,54 5 1,58 9 0,94 0,2 0,44 0,4 0,61
15 1,5 1,16 6 1,89 7,5 1,93 14 1,16 0,3 0,54 0,6 0,75
20 2 1,34 8 2,19 10 2,23 18 1,34 0,4 0,62 0,8 0,87
30 3 1,64 12 2,68 15 2,73 27 1,64 0,6 0,76 1,2 1,07
40 4 1,89 16 3,09 20 3,16 36 1,89 0,8 0,88 1,6 1,23
45 4,5 2,01 18 3,28 22,5 3,35 41 2,01 0,9 0,93 1,8 1,31
80 8 2,68 32 4,38 40 4,47 72 2,68 1,6 1,25 3,2 1,75
100 10 3 40 4,89 50 5 90 3 2 1,4 4 1,95
200 20 4,24 80 6,92 100 7,07 180 4,24 4 1,97 8 2,77
500 50 6,7 200 10,95 250 11,2 450 6,7 10 3,13 20 4,38
Probabilitas
Sukses (p) 0,05 0,002 0,004 0,005 0,008 0,009
Probabilitas Gagal
(q) 0,95 0,998 0,996 0,995 0,992 0,991
Sampel (n) VII VIII IX X XI XII
Λ σ λ σ λ σ λ σ λ Σ λ σ
5 0 0,5 0 0,09 0 0,1 0 0,2 0 0,19 0 0,21
10 1 0,7 0 0,14 0 0,2 0 0,2 0,1 0,28 0,1 0,29
15 1 0,8 0 0,17 0,1 0,2 0 0,3 0,1 0,34 0,1 0,36
20 1 1 0 0,19 0,1 0,3 0 0,3 0,2 0,39 0,2 0,42
30 2 1,2 0,1 0,24 0,1 0,3 0 0,4 0,2 0,48 0,3 0,51
40 2 1,4 0,1 0,28 0,2 0,4 0 0,4 0,3 0,56 0,4 0,59
45 2 1,5 0,1 0,29 0,2 0,4 0 0,5 0,4 0,59 0,4 0,63
80 4 1,9 0,2 0,39 0,3 0,6 0 0,6 0,6 0,79 0,7 0,84
100 5 2,2 0,2 0,44 0,4 0,6 1 0,7 0,8 0,89 0,9 0,94
200 10 3,1 0,4 0,63 0,8 0,9 1 1 1,6 1,25 1,8 1,33
500 25 4,9 1 0,99 2 1,4 3 1,6 4 1,99 4,5 2,11
Tabel 3.12: Perbandingan nilai probabilitas dari Distribusi Binomial dan Poisson dengan MS Excel
Probabilitas
Sukses (p) 0,1 0,4 0,5 0,9 0,02 0,04
Probabilitas
Gagal (q) 0,9 0,6 0,5 0,1 0,98 0,96
Sampel (n) I II III IV V VI
B P B P B P B P B P B P
5 0,00001 0,0001 0,01 0,036 0,0312 0,66 0,59 0,17 3,2 7,5 1,024 2,183
10 0,0014 0,003 0,2 0,156 0,246 0,06 0,001 0,06 7,28 2,183 2,104 5,72
15 0,01 0,014 0,185 0,16 0,091 0,109 1,773 0,01 7,851 1,5 0,0002 0,0003
20 0,031 0,036 0,074 0,091 0,014 0,37 9,154 9 3,66 5,72 0,0008 0,001
30 0,102 0,1 0,004 0,012 0,0001 0,001 8,41 2,25 0,0002 0,0003 0,005 0,066
40 0,164 0,56 0,0001 0,0009 5,984 5,496 3,885 1,17 0,001 0,012 0,016 0,017
45 0,18 0,17 1,672 0,0002 3,472 8,13 7,214 2,34 0,001 0,002 0,024 0,026
80 0,088 0,091 5,65 3,541 1,988 3,625 1,419 8,68 0,016 0,017 0,115 0,113
100 0,033 0,037 6,477 3,625 5,939 5,022 4,445 4,03 0,035 0,036 0,159 0,156
200 3,029 5,496 1,425 4,928 1,577 3,1 1,497 1,06 0,157 0,156 0,09 0,91
500 5,714 5,022 4,0006 3,69 7,797 2,172 0 5,68 0,037 0,037 4,38 5,49
Probabilitas
Sukses (p) 0,05 0,002 0,004 0,005 0,008 0,009
Probabilitas
Gagal (q) 0,95 0,998 0,996 0,995 0,992 0,991
Sampel (n) VII VIII IX X XI XII
B P B P B P B P B P B P
5 3,125 6,337 3,2 8,25 1,024 2,613 0 7,94 3,276 8,198 5,9 1,47
10 6,09 0,0001 7,983 2,613 2,529 8,197 7,68 2,48 7,93 2,52 1,4 4,497
15 0,0005 0,0009 9,41 1,965 2,954 6,102 8,925 1,83 9,08 1,839 1,619 3,264
20 0,002 0,003 4,814 5,72 1,49 2,25 4,49 8,25 4,5 7,446 7,94 1,315
30 0,123 0,014 4,337 6,102 1,32 1,839 3,928 5,45 3,82 5,219 6,712 9,128
40 0,034 0,036 1,963 2,52 5,856 7,446 1,725 2,18 1,627 2,03 2,831 3,515
45 0,049 0,05 3,608 4,497 1,065 1,315 3,124 3,84 2,903 3,515 5,025 6,056
80 0,16 0,156 6,62 7,446 1,822 2,03 5,158 5,72 0,0007 0,0004 0,0007 0,0007
100 0,18 0,175 1,991 2,183 5,268 5,72 0,0001 0 0,001 0,001 0,0018 0,002
200 0,035 0,037 5,491 5,72 0,001 0,061 0,002 0,03 0,017 0,017 0,025 0,026
500 7,498 1,13 0,003 0,0003 0,035 0,036 0,066 0,07 0,156 0,156 6,171 0,17
3.4 Pengenalan Software R
R adalah sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi
statistika. Projek R sudah mulai dikembangkan oleh Robert Gentlemen dan Ross Ihaka dari
departemen Statistika di Universitas Aukland 1995. Saat ini R ditangani oleh tim inti
pengembangan R, yaitu suatu tim internasional yang bekerja keras dengan sukarela untuk
mengembangkan “software” ini. Projek R memiliki web dengan alamat
dan sumber lainnya yang terdapat pada dokumen. R merupakan suatu “software” yang
terinegrasi memiliki fasilitas untuk perhitungan dan penampilan grafik. Bahasa R kini
menjadi standard de factodiantara statistikawan untuk pengembangan perangkat lunak statistika dan analisis data.
Beberapa kelebihan R :
1. Sebagai “sofware” yang open source, R dapat di download dan dijalankan pada UNIX, Windows dan Macintosh
2. Bahasanya mudah dikembangkan oleh pengguna dengan fungsi tertulis
3. R memiliki kemampuan yang baik dalam membuat grafik yang menghasilkan
grafik dengan kualitas publikasi yang dapat memuat simbol matematika
4. Bahasa R memiliki ketegasan. Sintaxnya mudah dipelajari dan banyak mengandung
fungsi statistik
3.4.1 Mengambarkan Histogram Distribusi Binomial dan Poisson
Gambar 3.7 Grafik distribusi Binomial dengan n = 80 p = 0,02
Gambar 3.9 Grafik distribusi Binomial dengan n = 100 p = 0,02
Gambar 3.11 Grafik Distribusi Binomial dngan n = 45 p = 0,05
[image:61.842.116.767.143.475.2]Gambar 3.13 Grafik Distribusi Binomial dengan n = 500 p = 0,004
Gambar 3.15 Grafik Distribusi Binomial dengan n = 800 p = 0,008
Gambar 3.17 Grafik distribusi Binomial dengan n = 200 p = 0,009
3.5 Contoh Kasus
Bila jumlah percobaan Binomial besar dan mean dari distribusi Poisson besar, maka
penghitungan probabilitas untuk variabel-variabel random tersebut sangat sulit, namun
dengan adanya Central Limit Theorem dapat dilakukan perkiraan normal terhadap
distribusi Binomial dan Poisson. Jika a
