Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Poisson Dan Fungsi Geometri Dengan Parameter Yang Berbeda-beda

(1)

VISUALISAI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI

POISSON DAN FUNGSI GEOMETRI DENGAN PARAMETER

YANG BERBEDA-BEDA

TUGAS AKHIR

FIRDAUS SINURAYA

062407157

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

PERSETUJUAN

Judul : VISUALISAI PERBANDINGAN PERUBAHAN

GRAFIK FUNGSI POISSON DAN FUNGSI GEOMETRI DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA-BEDA

Kategori : TUGAS AKHIR

Nama : FIRDAUS SINURAYA

Nomor Induk Mahasiswa : 062407157

Program Studi : SARJANA (D3) STATISTIKA

Departemen : MATEMATKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan,....Juni 2009

Diketahui / Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua, Dosen Pembimbing

Dr. Saib Suwilo, M.Sc Drs. Open Darnius S, M.Sc

(3)

PERNYATAAN

VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI POISSON DAN FUNGSI GEOMETRI DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA-BEDA

TUGAS AKHIR

Saya mengakui bahwa tugas akhir ini hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2009

(4)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang sudah ada sebelum segala seseuatunya ada, dengan limpah dan karunianNya kertas kajian ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Drs. Open Darnius S, M.Sc., selaku pembimbing pada penyelesaian tugas akhir ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas dan padat serta profesional telah diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditunjukan kepada Ketua dan sekertaris Departemen Matematika, Dr. Saib Suwilo, M.Sc. dan Drs. Henri Rani Sitepu, M.Si., Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, sahabat-sahabat seperjuangan dalam sengsara dan duka yang dikususkan kepada Soni “the parbadaman”, Dinda “si pangatua adat sweet”, Erlinda “the sweetty silentgirl”, Eva “the sweetty fatgirl ”, dan Juli “the sweety pimplegirl ”, penulis tidak akan forget dengan persahabatan kita yang penuh dengan keanehan, dan temen-teman yang lain yang tidak bisa disebutkan namanya satu persatu. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasi kepada Ayah dan Ibuku tercinta yang selalu memberi dukungan dalam pengerjaan kertas kajian ini, dan juga kak Meri, kak Yanti, dan bang Bram, yang sudah berdoa selama ini sehingga kertas kajian ini terselesaikan. Semoga limpah berkat pengenalan akan Tuhan Yesus Kristus dianugrahkan kepada kita semua.

(5)

(6)

DAFTAR GAMBAR

(7)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Kata statistik dikaitkan dengan kata staat (bahasa Jerman artinya negara) atau statista (bahasa Italia artinya negarawan). Dari dua kata tersebut, statistika dapat bermakna suatu yang penting bagi negara, antaralain untuk perpajakan, mobilitas pemuda untuk menjadi tentara dan lain-lain.

Munculnya statistik sebagai ilmu (statistika) didahului oleh percobaan-percobaan matematika berdasarkan interpertasi hitung peluang (probability). Statistika dapat diartikan sebagai suatu pengetahuan yang berhubungan dengan data, dan data adalah merupakan keterangan dari suatu objek penelitian yang diamati atau diukur dengan menggunakan alat tertentu. Setelah data dikumpulkan dan disajikan kemudian diinterpretasikan untuk menguji teori dan membuat kesimpulan tentang seluruh keterangan yang mana kesimpulan tersebut dapat berguna bagi diri sendiri maupun bagi orang lain nantinya.

(8)

bila sebuah dadu digulirkan, maka mata dadu yang muncul sebagai data hasil dalam proses pengguliran tersebut tidak dapat ditentukan sebelum dadu tersebut berhenti bergulir. Proses membangkitkan data acak seperti ini dan data acak yang mengikuti distribusi tertentu seperti distribusi Seragam (uniform), distribusi Normal, distribusi Binomial, dan distribusi Exponensial dapat dilakukan dengan menggunakan salah satu software untuk satatistika yaitu R.

R adalah suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika setelah S dan S-Plus. Kenyataannya, software R dapat menghasilkan banyak bilangan acak dengan jenis yang berbeda dari kumpulan (keluarga) distribusi tertentu (khusus). Salah satu cara untuk membangkitkan data acak tersebut adalah dengan cara mensimulasi data acak tersebut dengan jenis yang berbeda.

Kemampuan untuk mensimulasi data acak dengan jenis yang berbeda memampukan pengguna untuk melakukan percobaan, dan menjawab pertanyaan-pertanyaan dengan cara yang tepat. Simulasi adalah suatu pengetahuan yang harus dimiliki, namun agak sulit untuk mempelajarinya. Dalam hal ini penulis mencoba untuk mensimulasi data acak dari fungsi Poisson dan Geometri dengan parameter yang berbeda. Melalui simulasi tersebut akan dibandingkan bagaimana perubahan grafik antara kedua fungsi tersebut.

(9)

suatu simulasi komputer dengan menggunakan bahasa R, sehinnga penelitian ini diberi judul “ Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Poisson dan

Fungsi Geometri dengan Parameter yang Berbeda-beda “.

1.2Identifikasi Masalah

Sebagaimana yang kita ketahui bahwa R adalah merupakan suatu program yang mempunyai banyak fungsi untuk membangkitkan bilangan acak. Untuk bilangan-bilangan acak ini, dapat dilihat distribusinya dengan menggunakan histogram atau dengan alat lainnya, serta bagaimana cara membangkitkan peubah acak jenis baru dan menyelidiki distribusinya dengan mengunakan grafik. Untuk itu permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana memvisualisasi dan membandingkan distribusi Poisson dan distribusi Geometri dengan suatu simulasi.

1.3Maksud dan Tujuan

(10)

1.4Metodologi Penelitian

Dalam penelitian ini metode yang dipakai adalah metode simulasi komputer, dan berikut adalah tahapan atau langkah-langkah yang dilakukan :

1. Merancang program simulasi.

2. Membangkitkan data peubah acak Poisson, secara bervariasi terhadap parameter λ (lamda) dengan membuat suatu fungsi pada R.

3. Menunjukkan secara visual perubahan grafik dari fungsi Poisson dengan parameter yang berbeda-beda.

4. Membangkitkan data peubah acak Geometri, secara bervariasi terhadap parameter p dengan membuat suatu fungsi pada R.

5. Menunjukkan secara visual perubahan grafik dari fungsi Geometri dengan parameter yang berbeda-beda.

6. Membandingkan perubahan grafik fungsi Poisson dan fungsi Geometri dengan parameter yang berbeda-beda.

7. Menyimpulkan hasil simulasi.

1.5 Keuntungan Simulasi

(11)

1.5.1 Compress Time (Menghemat Waktu)

Kemampuan dalam menghemat waktu ini dapat dilihat dari pekerjaan yang bila dikerjakan akan memakan waktu tahunan tetapi kemudian dapat disimulasi hanya dalam beberapa menit, bahkan dalam beberapa kasus hanya dalam hitungan detik.

1.5.2 Expand Time (Dapat Melebar-luaskan Waktu)

Hal ini terlihat terutama dalam dunia statistik dimana hasilnya diinginkan dapat tersaji dengan cepat. Simulasi dapat digunakan untuk menunjukkan perubahan struktur dari suatu Sistem Nyata (Real System) yang sebenarnya tidak dapat diteliti pada waktu yang seharusnya (Real Time). Dengan demikian simulasi dapat membantu mengubah Real System hanya dengan memasukkan sedikit data.

1.5.3 Control Sources of Variation (Dapat Mengawasi Sumber-sumber yang

Bervariasi)

(12)

1.5.4 Error in Meansurment Correction (Mengkoreksi Kesalahan-kesalahan

Perhitungan)

Dalam prakteknya, pada suatu kegiatan ataupun percobaan dapat saja muncul ketidak-benaran dalam mencatat hasil-hasilnya. Sebaliknya, dalam simulasi komputer jarang ditemukan kesalahan perhitungan terutama bila angka-angka diambil dari komputer secara teratur dan bebas.

1.5.5 Stop Simulation and Restart (Dapat Dihentikan dan Dijalankan Kembali)

Simulasi komputer dapat dihentikan untuk kepentingan peninjauan ataupun pencatatan semua keadaan yang relevan tanpa berakibat buruk terhadap program simulasi tersebut. Dalam dunia nyata, percobaan tidak dapat dihentikan begitu saja. Dalam simulasi komputer, setelah dilakukan penghentian maka kemudian dapat dengan cepat dijalankan kembali (restart).

1.5.6 Easy to Replicate (Mudah Diperbanyak)

(13)

1.6 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan adalah sebagai berikut :

BAB 1 : PENDAHULUAN

Bab ini mengutarakan tentang Latar belakang, Identifikasi Masalah, Maksud dan tujuan, metodologi Penulisan, dan Sistematika Penulisan.

BAB 2 : TINJAUAN TEORITIS

Bab ini menguraikan tentang segala sesuatu yang menyangkut pada penyelesaian masalah yang dihadapi, sesuai dengan judul yang diuraikan.

BAB 3 : IMPLEMENTASI SISTEM

Bab ini menjelaskan tentang program ataupun Software yang dipakai sebagai analisa terhadap data yang diperoleh.

BAB 4 : KESIMPULAN DAN SARAN

(14)

BAB 2

TINJAUAN TEORITIS

2.1 Pendahuluan

Menurut Open Darnius (2006, hal: 53) simulasi dapat diartikan sebagai suatu “rekayasa” dari suatu model secara logika ilmiah merupakan suatu metode alternatif untuk melihat kebenaran/ kenyataan model tersebut. Kemampuan untuk mensimulasi data acak dengan jenis yang berbeda misalnya, akan memampukan peneliti/ilmuan untuk membuat percobaan (experiment), dan menjawab pertanyaan-pertanyaan dengan cara yang singkat. Simulasi merupakan suatu pengetahuan yang sangat perlu dimiliki, namun diakuki agak sulit untuk mempelajarinya.

(15)

2.3 Distribusi Poisson

Poisson adalah sebuah diskrit yang digunakan untuk menduga peluang bahwa peluang keluaran tertentu akan muncul tepat x kali dalam satuan yang dibakukan dengan laju rata-rata munculnya kejadian per satuan adalah konstan(λ).

P(x;m) = e-λλx X!

x = 0,1,2,3,…; m>0

Sebaran poisson tidak berbeda banyak dari sebaran binomial kecuali bahwa peluang poisson adalah sangat kecil dan ukuran contoh belum tentu diketahui. Asumsi sebaran poisson adalah:

1. terdapat n tindakan bebas dimana n sangat besar; 2. hanya satu keluaran yang dipelajari pada tiap tindakan;

3. terdapat peluang yang konstan dari munculnya kejadian setiap tindakan;

4. peluang lebih dari satu keluaran pada setiap tindakan sangat kecil atau dapat diabaikan;

(16)

distribusi Poisson dengan λ = Np. Hal ini dapat dilihat dari membandingkan kedua tabel diwah ini.

Tabel 2.3.1 Beberapa sifat distribusi Poisson

Nilai tengah

_µ

₌

λ

Tabel 2.3.2 Beberapa sifat distribusi Binomial

(17)

2.4 Distribusi Geometri

Distribusi geometri merupakan penyusutan dari distribusi binom negatif, distribusi binom negatif didefinisikan sebagai usaha yang dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1 - p, sehingga

distribusi peluang peubah acak X, merupakan banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k, agar lebih mudah dapat dijelaskan sebagai berikut:

Sebuah percobaan melantunkan tiga buah koin logam sekaligus akan mendapat semuanya muka atau semuanya belakang untuk sukses ke k pada lantunan ke x.

b(x; k, p) = x = k, k + 1, k + 2, …

Untuk mendapatkan rumus umum untuk b(x; k, p), pandanglah peluang mendapat sukses pada usaha ke x yang didahului oleh k – 1 sukses dan x – k gagal dalam suatu urutan tertentu.

Pandang hal khusus distribusi binomi negatif, yaitu bila k = 1; dalam hal ini diperoleh distribusi peluang banyaknya usaha yang diperlukan untuk mendapat satu sukses, untuk lebih mudah akan dijelaskan dalam kasus sebagai berikut:

Sebuah percobaan melantunkan sebuah koin yang tidak seimbang dengan peluang muncul kepala adalah p, jika x menyatakan jumlah lantunan yang diperlukan untuk mendapatkan kepala pertama sekali (k = 1), maka x berdistribusi geometri.

(18)

b(x; k, p) =pkqx-k

b(x; 1, p) =p1qx-1, x = 1,2,3,… Disebut distribusi geometri karena urutan semua sukunya membentuk deret geometri.

Distribusi geometri adalah usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p, gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak x, yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama, secara umum dapat dituliskan formula fungsi kepekatan peluang geometri sebagai berikut :

g(x; 1, p) = p1qx-1 disederhanakan menjadi g(x;p) = pqx-1

(19)

BAB 3

IMPLEMENTASI SISTEM

3.1 Pengertian Implementasi Sistem

Implementasi Sistem adalah tahapan penerepan hasil desain tertulis ke dalam programming dengan menggunakan perangkat lunak (software) sebagai implementasi

ataupun prosedur untuk menyelesaikan desain sistem.

Adapun implementasi sistem yang digunakan untuk mengetahui keberadaan Dalil Limit Pusat (Central Limit Theorm, CLT) pada distibusi Poisson dan Geometri adalah software R. Diharapkan dengan penggunaan software R ini dapat meningkatkan pengetahuan dan kemampuan dalam hal :

1. Pemahaman bentuk elemen dari lembar kerja software R. 2. Menganalisa data dan lembar kerja.

3. Kreasi dan modifikasi grafik.

(20)

3.2 Pengenalan Software R

R adalah suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika setelah S dan S-Plus. Bahasa S telah dikembangkan sejak tahun 1980an di laboratorium AT&T. Projek R sudah mulai dikembangkan oleh Robert Gentlemean dan Ross Ihaka dari Departemen Statistika di Universitas Aukland pada tahun 1995. Software R dengan cepat tersebar luas pada penggunannya. Saat ini R ditangani oleh tim inti pengembang R, yaitu suatu tim Internasional yang bekerja keras dari pengembang-pengembang secara sukarelawan. Projek R memiliki web dengan alamat http:// www.r-project.org yang merupakan situs utama untuk memperoleh informasi R. Pada situs ini langsung berisikan software, yang menyertakan halaman-halaman dan sumber lainnya yang terdapat dalam dokumen.

Tulisan ini menjelaskan bagaimana menggunakan software R ketika mempelajari statistika dasar. Tujuannya adalah menjadikan software yang baik ini berguna pada “level rendah” dalam mempelajari statistika dasar, sebagai alternatif alat bantu komputasi yang sering digunakan sebelumnya seperti MINITAB, SPSS, Excel, dan sebagainya.

Ada beberapa keuntungan dari R sebagai suatu pengantar komputasi antara lain adalah :

(21)

d. Bahasa R memiliki ketegasan. Syntaxnya mudah dipelajari dan banyak mengandung fungsi statistis yang built in (fungsi jadi).

e. Bahasanya mudah dikembangkan oleh pengguna dengan fungsi tertulis. f. R adalah bahasa pemograman komputer. Untuk para pemogram ini

akan terasa lebih terbiasa (familiar) dari yang lainnya, dan untuk pemula langkah selanjutnya untuk pembuatan program tidak akan begitu sulit.

Selain keuntungan menggunakan R, R juga mempunyai kekurangan dibandingkan dengan software komputasi yang lainnya, diantaranya adalah :

a. R memiliki tampilan grafik yang terbatas (sedangkan S-Plus lebih bagus). Ini berarti akan lebih sulit untuk dipelajari pada outset.

b. Tidak ada dana pendukung (meskipun seseorang dapat mengatakan mailinglist International bahkan lebih baik).

(22)

3.3 Memulai R

R paling mudah digunakan dengan cara interaktif. Pertanyaan diajukan dan dijawab dalam lembar kerja R (yaitu pada bagian perintah). Untuk memulai baris perintah R (R’s command line) maka dapat dilakukan hal berikut :

1. Klik menu Start, pilih Programs (tergantung dimana R terletak) 2. Pilih items R-2.5.1, maka akan muncul tampilan sebagai berikut :

Gambar 3.1 Tampilan Pembukaan Software R-2.5.1

(23)

3.4 Membangkitkan Data Percobaan Poisson

Dalam memperlihatkan secara visual dalil limit pusat dari suatu peubah acak yang mempunyai distribusi Poisson dengan parameter λ atau Np, maka untuk

memperlihatkan pendekatannya terhadap distribusi Binomial akan diperlihatkan juga secara visual distribusi Binomial dengan parameter N dan p, dimana perlakuan n dan peluang p dibuat sama terhadap n dan p pada distribusi Poisson :

1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi Poisson dengan λ = 0,5 (Np = 250 x 0,002) dan X yang mempunyai distribusi Binomial dengan N= 250 dan p = 0,002

Gambar 3.2 Pembangkitan Data Poisson dengan λ = 0,5

Gambar 3.3 Pembangkitan Data Binomial dengan N = 250, p = 0,002

2. Standarisasi data yang dibangkitkan.

(24)

Gambar 3.4 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 0,5

Gambar 3.5 Grafik Distribusi Binomial dengan N = 250 p = 0,002

4. Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 0,75 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,003

(25)

5. Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 1 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,004

Gambar 3.8 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 1

(26)

7. Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 1,5 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,006

(27)

Gambar 3.13 Grafik Distribusi Binomial dengan n = 250 p = 0,006

8. Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 1,75 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,007

(28)

9. Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 2 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,008

10.Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 2,25 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,009

(29)

11.Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 2,5 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,01

(30)

12.Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 5 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,02

13.Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 7,5 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,03

(31)

(32)

3.5 Membangkitkan Data Percobaan Geometri

Dalam memperlihatkan secara visual dalil limit pusat dari suatu peubah acak yang mempunyai distribusi Geometri dengan parameter p, metode simulasi yang digunakan adalah sebagai berikut :

1. Bangkitkan data X yang mempunyai distribusi Geometri dengan p = 0.1, dimisalkan X sebanyak 200 data.

Gambar 3. Pendefenisian Data Geometri dengan p = 0,1

2. Standarisasi data Geometri yang yang dibangkitkan. 3. Gambarkan histogram dari data yang dibangkitkan.

(33)

4. Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0.2

Gambar 3.16 Grafik Distribusi Geometri dengan p = 0,2

(34)

7. Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0,5

(35)

10.Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0,8

11.Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0.9

(36)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Dalam visualisasi ini penulis dapat menarik kesimpulan sebagai berikut :

1. Dalam grafik data membangkitkan percobaan Poisson dapat dilihat bahwa apabila nilai λ diperbesar maka grafik akan terlihat berbentuk cukup normal. 2. Dalam pendekatannya ke Binomial, percobaan Poisson memiliki grafik yang

hampir identik dengan grafik Binomila pada saat Bin(250,0.003) dan Pois(0.75).

3. Dalam grafik data membangkitkan percobaan Geometri dapat dilihat bahwa apabila nilai p diperbesar maka grafik akan semakin melenceng ke kanan atau dengan kata lain membentuk grafik exponensial.

Saran

(37)

Daftar Pustaka

Darnius, Open. 2006. Pengantar Komputasi Statistika dengan R. Medan : Departemen Matematika FMIPA-USU

Kakiay, Thomas J. 2004. Pengantar Sistem Simulasi. Yogyakarta : ANDI.

Nugroho, Sigit. 2008. Dasar-dasar Metode Statistika. Jakarta : PT. Grasindo.

Spiegel, Murray R. 1996. Statistika. Edisi ke-2. Jakarta : Penerbit Erlangga

(38)

(39)

Gambar 3.24 Perintah Membangkitkan Grafik Poisson (λ = 0,5)

Gambar 3.25 Perintah Membangkitkan Grafik Binomial (n = 250, p = 0,002)

(40)