Bab ini menyajikan kesimpulan-kesimpulan dari apa yang telah disajikan dalam pembahasan sebelumnya, dan memberikan saran berupa masukan bagi para pembaca.
BAB 2
TINJAUAN TEORITIS
2.1 Pendahuluan
Menurut Open Darnius (2006, hal: 53) simulasi dapat diartikan sebagai suatu “rekayasa” dari suatu model secara logika ilmiah merupakan suatu metode alternatif untuk melihat kebenaran/ kenyataan model tersebut. Kemampuan untuk mensimulasi data acak dengan jenis yang berbeda misalnya, akan memampukan peneliti/ilmuan untuk membuat percobaan (experiment), dan menjawab pertanyaan-pertanyaan dengan cara yang singkat. Simulasi merupakan suatu pengetahuan yang sangat perlu dimiliki, namun diakuki agak sulit untuk mempelajarinya.
Sebagaimana yang telah diketahui, bahwa R mempunyai banyak fungsi untuk membangkitkan bilangan acak. Untuk bilangan-bilangan acak ini, dapat dilihat distribusinya dengan menggunakan histogram atau dengan menggunakan alat yang lainnya. Dalam bab ini akan dibahas suatu cara membangkitkan peubah acak jenis baru dan menyelidiki distribusinya dengan menggunakan grafik.
2.3 Distribusi Poisson
Poisson adalah sebuah diskrit yang digunakan untuk menduga peluang bahwa peluang keluaran tertentu akan muncul tepat x kali dalam satuan yang dibakukan dengan laju rata-rata munculnya kejadian per satuan adalah konstan(λ).
P(x;m) = e-λλx X!
x = 0,1,2,3,…; m>0
Sebaran poisson tidak berbeda banyak dari sebaran binomial kecuali bahwa peluang poisson adalah sangat kecil dan ukuran contoh belum tentu diketahui. Asumsi sebaran poisson adalah:
1. terdapat n tindakan bebas dimana n sangat besar; 2. hanya satu keluaran yang dipelajari pada tiap tindakan;
3. terdapat peluang yang konstan dari munculnya kejadian setiap tindakan;
4. peluang lebih dari satu keluaran pada setiap tindakan sangat kecil atau dapat diabaikan;
Pada distribusi binomial, jika n besar sedangkan probabilitas p dari terjadinya suatu kejadian adalah dekat nol sehingga q = 1 – p mendekati 1, maka kejadian itu disebut suatu kejadian langka (rare event). Dalam prakteknya kita akan menganggap suatu kejadian langka jika banyaknya percobaan paling sedikit 50 (N > 50) sedangkan Np kurang dari 5. Dalam hal demikian distribusi binomial sangat dekat dihampiri oleh
distribusi Poisson dengan λ = Np. Hal ini dapat dilihat dari membandingkan kedua tabel diwah ini.
Tabel 2.3.1 Beberapa sifat distribusi Poisson
Nilai tengah
µ
=λ
Varians
α
2 =λ
Simpangan bakuσ
= √λ
Koefisien momen kemencenganσ
3 = 1/√λ
Koefisien momen kurtosisσ
4 = 3 + 1/λ
Tabel 2.3.2 Beberapa sifat distribusi Binomial
Nilai tengah
µ
= Np Variansα
2= Npq Simpangan baku
σ
= √Npq Koefisien momen kemencenganσ
3= q – p √NpqKoefisien momen kurtosis
σ
4 = 3 + 1 – 6 pq Npq2.4 Distribusi Geometri
Distribusi geometri merupakan penyusutan dari distribusi binom negatif, distribusi binom negatif didefinisikan sebagai usaha yang dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1 - p, sehingga
distribusi peluang peubah acak X, merupakan banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k, agar lebih mudah dapat dijelaskan sebagai berikut:
Sebuah percobaan melantunkan tiga buah koin logam sekaligus akan mendapat semuanya muka atau semuanya belakang untuk sukses ke k pada lantunan ke x.
b(x; k, p) = x = k, k + 1, k + 2, …
Untuk mendapatkan rumus umum untuk b(x; k, p), pandanglah peluang mendapat sukses pada usaha ke x yang didahului oleh k – 1 sukses dan x – k gagal dalam suatu urutan tertentu.
Pandang hal khusus distribusi binomi negatif, yaitu bila k = 1; dalam hal ini diperoleh distribusi peluang banyaknya usaha yang diperlukan untuk mendapat satu sukses, untuk lebih mudah akan dijelaskan dalam kasus sebagai berikut:
Sebuah percobaan melantunkan sebuah koin yang tidak seimbang dengan peluang muncul kepala adalah p, jika x menyatakan jumlah lantunan yang diperlukan untuk mendapatkan kepala pertama sekali (k = 1), maka x berdistribusi geometri.
, 1 1 k x k q p k x − − −
b(x; k, p) =pkqx-k
b(x; 1, p) =p1qx-1, x = 1,2,3,… Disebut distribusi geometri karena urutan semua sukunya membentuk deret geometri.
Distribusi geometri adalah usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p, gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak x, yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama, secara umum dapat dituliskan formula fungsi kepekatan peluang geometri sebagai berikut :
g(x; 1, p) = p1qx-1 disederhanakan menjadi g(x;p) = pqx-1
BAB 3
IMPLEMENTASI SISTEM
3.1 Pengertian Implementasi Sistem
Implementasi Sistem adalah tahapan penerepan hasil desain tertulis ke dalam programming dengan menggunakan perangkat lunak (software) sebagai implementasi ataupun prosedur untuk menyelesaikan desain sistem.
Adapun implementasi sistem yang digunakan untuk mengetahui keberadaan Dalil Limit Pusat (Central Limit Theorm, CLT) pada distibusi Poisson dan Geometri adalah software R. Diharapkan dengan penggunaan software R ini dapat meningkatkan pengetahuan dan kemampuan dalam hal :
1. Pemahaman bentuk elemen dari lembar kerja software R. 2. Menganalisa data dan lembar kerja.
3. Kreasi dan modifikasi grafik.
3.2 Pengenalan Software R
R adalah suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika setelah S dan S-Plus. Bahasa S telah dikembangkan sejak tahun 1980an di laboratorium AT&T. Projek R sudah mulai dikembangkan oleh Robert Gentlemean dan Ross Ihaka dari Departemen Statistika di Universitas Aukland pada tahun 1995. Software R dengan cepat tersebar luas pada penggunannya. Saat ini R ditangani oleh tim inti pengembang R, yaitu suatu tim Internasional yang bekerja keras dari pengembang-pengembang secara sukarelawan. Projek R memiliki web dengan alamat http:// www.r-project.org yang merupakan situs utama untuk memperoleh informasi R. Pada situs ini langsung berisikan software, yang menyertakan halaman-halaman dan sumber lainnya yang terdapat dalam dokumen.
Tulisan ini menjelaskan bagaimana menggunakan software R ketika mempelajari statistika dasar. Tujuannya adalah menjadikan software yang baik ini berguna pada “level rendah” dalam mempelajari statistika dasar, sebagai alternatif alat bantu komputasi yang sering digunakan sebelumnya seperti MINITAB, SPSS, Excel, dan sebagainya.
Ada beberapa keuntungan dari R sebagai suatu pengantar komputasi antara lain adalah :
a. R gratis. R adalah sumber informasi terbuka yang dapat di download secara gratis dan dapat dijankan pada UNIX, Windows, dan Macintosh. b. R memiliki kemampuan yang baik untuk membangun sistem help.
d. Bahasa R memiliki ketegasan. Syntaxnya mudah dipelajari dan banyak mengandung fungsi statistis yang built in (fungsi jadi).
e. Bahasanya mudah dikembangkan oleh pengguna dengan fungsi tertulis. f. R adalah bahasa pemograman komputer. Untuk para pemogram ini
akan terasa lebih terbiasa (familiar) dari yang lainnya, dan untuk pemula langkah selanjutnya untuk pembuatan program tidak akan begitu sulit.
Selain keuntungan menggunakan R, R juga mempunyai kekurangan dibandingkan dengan software komputasi yang lainnya, diantaranya adalah :
a. R memiliki tampilan grafik yang terbatas (sedangkan S-Plus lebih bagus). Ini berarti akan lebih sulit untuk dipelajari pada outset.
b. Tidak ada dana pendukung (meskipun seseorang dapat mengatakan mailinglist International bahkan lebih baik).
c. Bahasa intruksinya adalah sebuah bahasa pemrograman sehingga mahasiswa harus mempelajari masalah apresiasi Syntax.
3.3 Memulai R
R paling mudah digunakan dengan cara interaktif. Pertanyaan diajukan dan dijawab dalam lembar kerja R (yaitu pada bagian perintah). Untuk memulai baris perintah R (R’s command line) maka dapat dilakukan hal berikut :
1. Klik menu Start, pilih Programs (tergantung dimana R terletak) 2. Pilih items R-2.5.1, maka akan muncul tampilan sebagai berikut :
Gambar 3.1 Tampilan Pembukaan Software R-2.5.1
Pada tampilan R Console diatas ditampilkan keterangan tentang tahun pembuatan, versi R yang sedang digunakan, dan sekilas penjelasan tentang keberadaan software R. Pada akhir keterangan, muncul suatu prompt garis perintah (command line prompt) yaitu, >. Prompt ini mengisyaratkan perintah, ataupun pernyataan dapat dituliskan.
3.4 Membangkitkan Data Percobaan Poisson
Dalam memperlihatkan secara visual dalil limit pusat dari suatu peubah acak yang mempunyai distribusi Poisson dengan parameter λ atau Np, maka untuk
memperlihatkan pendekatannya terhadap distribusi Binomial akan diperlihatkan juga secara visual distribusi Binomial dengan parameter N dan p, dimana perlakuan n dan peluang p dibuat sama terhadap n dan p pada distribusi Poisson :
1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi Poisson dengan λ = 0,5 (Np = 250 x 0,002) dan X yang mempunyai distribusi Binomial dengan N= 250 dan p = 0,002
Gambar 3.2 Pembangkitan Data Poisson dengan λ = 0,5
Gambar 3.3 Pembangkitan Data Binomial dengan N = 250, p = 0,002
2. Standarisasi data yang dibangkitkan.
Gambar 3.4 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 0,5
Gambar 3.5 Grafik Distribusi Binomial dengan N = 250 p = 0,002
4. Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 0,75 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,003
Gambar 3.7 Grafik Distribusi Binomial dengan N = 250 p = 0,003
5. Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 1 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,004
Gambar 3.8 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 1
Gambar 3.9 Grafik Distribusi Binomial dengan N = 250 p = 0,004
6. Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 1,25 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,005
Gambar 3.10 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 1,25
Gambar 3.11 Grafik Distribusi Binomial dengan N = 250 p = 0,005
7. Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 1,5 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,006
Gambar 3.13 Grafik Distribusi Binomial dengan n = 250 p = 0,006
8. Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 1,75 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,007
Gambar 3.14 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 1,75
9. Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 2 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,008
Gambar 3.16 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 2
Gambar 3.17 Grafik Distribusi Binomial dengan N = 250 p = 0,008
10.Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 2,25 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,009
Gambar 3.19 Grafik Distribusi Binomial dengan N = 250 p = 0,009
11.Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 2,5 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,01
Gambar 3.20 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 2,5
12.Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 5 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,02
Gambar 3.22 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 5
Gambar 3.23 Grafik Distribusi Binomial dengan N = 250 p = 0,02
13.Visualisasi distribusi Poisson dengan λ = 7,5 dan distrbusi Binomial dengan N=250, dan p = 0,03
3.5 Membangkitkan Data Percobaan Geometri
Dalam memperlihatkan secara visual dalil limit pusat dari suatu peubah acak yang mempunyai distribusi Geometri dengan parameter p, metode simulasi yang digunakan adalah sebagai berikut :
1. Bangkitkan data X yang mempunyai distribusi Geometri dengan p = 0.1, dimisalkan X sebanyak 200 data.
Gambar 3. Pendefenisian Data Geometri dengan p = 0,1
2. Standarisasi data Geometri yang yang dibangkitkan. 3. Gambarkan histogram dari data yang dibangkitkan.
4. Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0.2
Gambar 3.16 Grafik Distribusi Geometri dengan p = 0,2
5. Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0.3
Gambar 3.17 Grafik Distribusi Geometri dengan p = 0,3
6. Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0.4
7. Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0,5
Gambar 3.19 Grafik Distribusi Geometri dengan p = 0,5
8. Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0.6
Gambar 3.20 Grafik Distribusi Geometri dengan p = 0,6
9. Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0.7
10.Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0,8
Gambar 3.22 Grafik Distribusi Geometri dengan p = 0,8
11.Visualisasi distribusi Geometri dengan p = 0.9
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Dalam visualisasi ini penulis dapat menarik kesimpulan sebagai berikut :
1. Dalam grafik data membangkitkan percobaan Poisson dapat dilihat bahwa apabila nilai λ diperbesar maka grafik akan terlihat berbentuk cukup normal. 2. Dalam pendekatannya ke Binomial, percobaan Poisson memiliki grafik yang
hampir identik dengan grafik Binomila pada saat Bin(250,0.003) dan Pois(0.75).
3. Dalam grafik data membangkitkan percobaan Geometri dapat dilihat bahwa apabila nilai p diperbesar maka grafik akan semakin melenceng ke kanan atau dengan kata lain membentuk grafik exponensial.
Saran
Adapun saran yang dapat diberikan penulis adalah bahwa dalam mensimulasi suatu data dengan software R tidak hanya terbatas pada distribusi Poisson dan Geometri
Daftar Pustaka
Darnius, Open. 2006. Pengantar Komputasi Statistika dengan R. Medan : Departemen Matematika FMIPA-USU
Kakiay, Thomas J. 2004. Pengantar Sistem Simulasi. Yogyakarta : ANDI.
Nugroho, Sigit. 2008. Dasar-dasar Metode Statistika. Jakarta : PT. Grasindo.
Spiegel, Murray R. 1996. Statistika. Edisi ke-2. Jakarta : Penerbit Erlangga
Walpoe, Ronald.E & Raymond H. Mayes. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuan. Edisi ke-4. Bandung : ITB Bandung
Gambar 3.24 Perintah Membangkitkan Grafik Poisson (λ = 0,5)
Gambar 3.25 Perintah Membangkitkan Grafik Binomial (n = 250, p = 0,002)
Gambar 3.26 Perintah Membangkitkan Grafik Poisson (λ = 0,75)
Gambar 3.28 Perintah Membangkitkan Grafik Poisson (λ = 1)
Gambar 3.29 Perintah Membangkitkan Grafik Binomial (n = 250, p = 0,004)
Gambar 3.32 Perintah Membangkitkan Grafik Poisson (λ = 1,5)
Gambar 3.33 Perintah Membangkitkan Grafik Binomial (n = 250, p = 0,006)
Gambar 3.34 Perintah Membangkitkan Grafik Poisson (λ = 1,75)
Gambar 3.36 Perintah Membangkitkan Grafik Poisson (λ = 2)
Gambar 3.37 Perintah Membangkitkan Grafik Binomial (n = 250, p = 0,008)
Gambar 3.40 Perintah Membangkitkan Grafik Poisson (λ = 2,5)
Gambar 3.41 Perintah Membangkitkan Grafik Binomial (n = 250, p = 0,01)
Gambar 3.42 Perintah Membangkitkan Grafik Poisson (λ = 5)
Gambar 3.44 Perintah Membangkitkan Grafik Poisson (λ = 7,5)
Gambar 3.45 Perintah Membangkitkan Grafik Binomial (n = 250, p = 0,03)
Gambar 3.48 Perintah Membangkitkan Grafik Geometri ( p = 0,3)
Gambar 3.49 Perintah Membangkitkan Grafik Geometri ( p = 0,4)
Gambar 3.50 Perintah Membangkitkan Grafik Geometri ( p = 0,5)
Gambar 3.52 Perintah Membangkitkan Grafik Geometri ( p = 0,7)
Gambar 3.53 Perintah Membangkitkan Grafik Geometri ( p = 0,8)
OUT PUT 0 1 2 3 4 5 0 30 60 rpois (200,1.25) 0 1 2 3 4 5 6 0 30 60 rbinom (200,250,0.005) 0 1 2 3 4 5 6 0 30 60 rpois (200,1.5) 0 1 2 3 4 5 0 30 60 rbinom (200,250,0.006) 0 1 2 3 4 5 6 0 30 60 rpois (200,1.75) 0 1 2 3 4 5 6 0 30 rbinom (200,250,0.007) 0 1 2 3 4 5 0 30 60 rpois (200,1.25) 0 1 2 3 4 5 6 0 30 60 rbinom (200,250,0.005) 0 1 2 3 4 5 6 0 30 60 rpois (200,1.5) 0 1 2 3 4 5 0 30 60 rbinom (200,250,0.006) 0 1 2 3 4 5 6 0 30 60 rpois (200,1.75) 0 1 2 3 4 5 6 0 30 rbinom (200,250,0.007)
0 1 2 3 4 5 7 0 20 50 rpois (200,2) 0 1 2 3 4 5 6 0 30 60 rbinom (200,250,0.008) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 20 40 rpois (200,2.25) 0 1 2 3 4 5 6 7 9 0 20 50 rbinom (200,250,0.009) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 20 50 rpois (200,2.5) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 rbinom (200,250,0.01) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 0 20 40 rpois (200,5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 14 0 20 rbinom (200,250,0.02) 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 0 10 25 rpois (200,7.5) 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 0 10 25 rbinom (200,250,0.03)
0 3 6 9 12 16 20 24 30 41 0 5 15 rgeom (200,0.1) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 20 40 rgeom (200,0.2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 20 50 rgeom (200,0.3) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 40 80 rgeom (200,0.4) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 40 80 rgeom (200,0.5) 0 1 2 3 4 5 6 0 40 80 rgeom (200,0.6) 0 1 2 4 5 0 60 rgeom (200,0.7) 0 1 2 0 100 rgeom (200,0.8) 0 1 2 0 100 rgeom (200,0.9)