VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI
BINOMIAL DAN FUNGSI POISSON DENGAN
PARAMETER YANG BERBEDA
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Ahli Madya
ADITYA NUGRAHA
092407061
PROGRAM STUDI D-III STATISTIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERNYATAAN
VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DAN FUNGSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG
BERBEDA
TUGAS AKHIR
Saya mengakui bahwa tugas akhir ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing–masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2012
PENGHARGAAN
Bissmillahirrahmanirrahim,
Puji syukur maha besar Allah SWT yang telah memberikan anugerah kehidupan, nikmat, rahmat, hidayahNya dan semangat serta memberikan kesempatan kepada penulis untuk bisa berproses dalam dunia akademik sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan Tugas Akhir ini dengan sebaik–baiknya.
Adapun tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan Program D-III Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Dalam penyelesaian tugas akhir ini penulis tidak terlepas dari perhatian, bimbingan, fasilitas, dan dorongan dari berbagai pihak yang telah membatu. Ucapan terima kasih dari hati yang terdalam, penulis ucapkan kepada:
1. Bapak Drs. Open Darnius, M.Sc selaku dosen pembimbing, bapak yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis. Terima kasih untuk semua ilmu dan perhatian yang bapak berikan.
2. Bapak Drs. Faigiziduhu Bu’ulölö, M.Si dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Program Studi D-III Statistika FMIPA USU.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Sc dan Ibu Dra. Mardiningsih M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.
4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU.
5. Seluruh Staff Pengajar dan Pegawai di FMIPA USU khususnya Departemen Matematika.
6. Ayahanda tersayang Jafar dan Ibunda tercinta Maysarah Hasibuan atas dukungan moril dan materil, nasehat dan doa, serta kasih sayang yang tak pernah berhenti mengalir untuk penulis.
7. Seluruh keluarga besar, Nenek tersayang Khazanah, Ibu Sri Murniati, Abangda Rizky Yolanda serta Adik-adikku M. Tri Maja Pandia, Alya Salsabilla, dan Aura Nataya Putri yang sudah membantu sekaligus menghibur disaat penulis sedang kesusahan dalam penyusunan tulisan ini, Thanks For Everything.
Sandra, Dinda, Andina Agyta, dan teristimewa Zulfa Munir, Kak Rina Widyasari, Bang Hadi, Bang Mifdal, Bang Ugi, serta rekan sekelas dan seperjuangan Stat-B’09 tak bisa diungkapkan dengan kata-kata apa yang sudah kalian berikan kepada penulis. I Love You Full.
Atas segala bantuan dan budi baik semua pihak penulis ucapkan terima kasih, semoga Allah SWT memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada kita semua. Amin ya rabbal’alamin.
Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih terdapat banyak kekurangan. Oleh sebab itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun. Akhir kata penulis ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang terlibat semoga Tugas Akhir ini bermanfaat kepada siapa saja yang menggunakannya.
Medan, Juli 2012
DAFTAR ISI
BAB 2 TINJAUAN TEORITIS
2.1 Pendahuluan 6
2.2 Mengenal Simulasi 6
2.2.1 Keuntungan Simulasi 7
2.2.1.1 Compress Time (Memghemat Waktu) 7 2.2.1.2 Expand Time (Dapat Melebar-luaskan Waktu) 8 2.2.1.3 Control Sources of Variation (Dapat Mengawasi Sumber-
sumber yang Bervariasi) 8
2.2.1.4 Error in Meansurment Correction (Mengoreksi Kesalahan-
kesalahan Perhitungan) 9
2.2.1.5 Stop Simulation and Restart (Dapat Dihentikan dan
Dijalankan Kembali) 9
2.2.1.6 Easy to Replicate (Mudah Diperbanyak) 9
2.3 Distribusi Binomial 10
2.4 Disrtibusi Poisson 11
2.5 Hubungan Antara Distribusi Binomial dan Distribusi Poisson 12 BAB 3 IMPLEMENTASI SISTEM
3.1 Pengertian Implementasi Sistem 14
3.2 Pengenalan Software R 15
3.3 Memulai R 17
3.4 Membangkitkan Data Percobaan Binomial dan Percobaan Poisson 19 BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan 24
4.2 Saran 25
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Sifat Distribusi Binomial 11
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 3.1 Langkah Mengaktifkan R 17
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari tanpa disadari kita telah banyak menggunakan statistika. Melalui media informasi seperti, surat kabar, televisi, dunia pendidikan, dan masih banyak lagi. Pernah kita mendengar pernyataan seperti: tiap bulan habis Rp1.000.000,- untuk keperluan rumah tangga, tingkat kelulusan siswa SMA naik 15% dari jumlah tahun sebelumnya, diperkirakan Indonesia akan mengalami peningkatan Sumber Daya Manusia ditahun 2020. Hal-hal tersebut merupakan hasil pengolahan dari statistika yang dapat kita gunakan dalam pengambilan keputusan kedepannya.
dikumpulkan dan disajikan kemudian diinterpretasikan untuk menguji teori dan membuat kesimpulan tentang seluruh keterangan yang mana kesimpulan tersebut dapat berguna bagi diri sendiri maupun bagi orang lain nantinya.
Salah satu bentuk data yang sering digunakan adalah data acak. Data acak merupakan suatu fenomena yang diambil dengan proses sedemikian rupa sehingga hasilnya tidak dapat ditentukan dengan pasti sebelumya. Sebagai contoh misalnya, bila sebuah dadu digulirkan, maka mata dadu yang muncul sebagai data hasil dalam proses pengguliran tersebut tidak dapat ditentukan sebelum dadu tersebut berhenti bergulir. Proses membangkitkan data acak yang mengikuti distribusi tertentu seperti distribusi Peluang, yaitu: distribusi Normal, distribusi Binomial, distribusi Poisson, dan masih banyak lagi distribusi lainnya yang dapat dilakukan dengan menggunakan salah satu software untuk statistika yaitu R.
Open Darnius menguraikan R adalah suatu software terintegrasi yang memiliki fasilitas untuk pemanipulasian data, perhitungan, dan penampilan grafik. Sebagai suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika, R dapat didownload secara gratis dari situs projek R dengan alamat
Dalam hal ini penulis mencoba untuk mensimulasi data acak dari fungsi distribusi Binomial dan Poisson dengan parameter yang berbeda. Karena disini penulis ingin melihat seberapa dekat hubungan antara kedua fungsi tersebut. Melalui simulasi tersebut akan dibandingkan bagaimana perubahan grafik antara kedua fungsi tersebut. Oleh karena itu dalam penelitian ini penulis mencoba untuk memperlihatkan secara visual perbandingan perubahan grafik dari fungsi Binomial dan fungsi Poisson dengan parameter yang berbeda. Kajian dalam penelitian ini didasarkan atas suatu simulasi komputer dengan menggunakan software R, sehingga penelitian ini diberi judul “Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dan Fungsi Poisson Dengan Parameter Yang Berbeda”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan pendekatan rumus yang terjadi antara distribusi Binomial dan Poisson, untuk itu permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana memvisualisasi dan membandingkan distribusi Binomial dan distribusi Poisson dengan suatu simulasi.
1.3 Batasan Masalah
Sebagai pembatasan masalah ini adalah hanya terbatas pada visualisasi perbandingan perubahan grafik fungsi Binomial dan fungsi Poisson dengan parameter yang berbeda.
1.4 Maksud dan Tujuan
Adapun maksud dan tujuan dari penelitian ini adalah untuk menunjukkan secara visual perbandingan perubahan grafik fungsi Binomial dan fungsi Poisson dengan parameter yang berbeda dan dapat dikaji pada suatu simulasi komputer dengan menggunakan software R.
1.5 Metodologi Penelitian
Dalam penelitian ini metode yang dipakai adalah metode simulasi komputer, dan berikut adalah tahapan atau langkah-langkah yang dilakukan :
1. Merancang program simulasi.
2. Membangkitkan data peubah acak Binomial, secara bervariasi terhadap parameter N dan p dengan membuat suatu fungsi pada R. Dengan rumus
sebagai berikut :
µ
= Np3. Membangkitkan data peubah acak Poisson, secara bervariasi terhadap
parameter (lamda) dengan membuat suatu fungsi pada R. Dengan rumus
4. Menunjukkan secara visual perubahan grafik dari fungsi Binomial dengan parameter yang berbeda.
5. Menunjukkan secara visual perubahan grafik dari fungsi Poisson dengan parameter yang berbeda.
6. Membandingkan perubahan grafik fungsi Binomial dan fungsi Poisson dengan parameter yang berbeda.
7. Menyimpulkan hasil simulasi.
1.6 Sistematika Penulisan
Adapun sistematika dalam penulisan adalah sebagai berikut : BAB 1 : PENDAHULUAN
Bab ini menjelaskan latar belakang pengambilan judul, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan, metodologi penelitian, tinjauan pustaka dan sistematika penulisan.
BAB 2 : LANDASAN TEORI
Bab ini menjelaskan tentang segala sesuatu yang menyangkut pada penyelesaian masalah yang dihadapi, sesuai dengan judul yang diuraikan. BAB 3 : IMPLEMENTASI SISTEM
Bab ini menjelaskan tentang program ataupun software yang dipakai sebagai analisa tehadap data yang diperoleh.
BAB 4 : KESIMPULAN DAN SARAN
BAB 2
TINJAUAN TEORITIS
2.1 Pendahuluan
Menurut Open Darnius (2009, hal : 53) simulasi dapat diartikan sebagai suatu “rekayasa” dari suatu model secara logika ilmiah merupakan suatu metode alternatif untuk melihat kebenaran/kenyataan model tersebut. Kemampuan untuk mensimulasi data acak dengan jenis yang berbeda misalnya, akan memudahkan peneliti/ilmuwan untuk membuat percobaan (eksperimen), dan menjawab pertanyaan-pertanyaan dengan cara yang singkat. Simulasi merupakan suatu pengetahuan yang sangat perlu dimiliki, namun diakui agak sulit untuk mempelajarinya.
2.2 Mengenal Simulasi
Simulasi dapat diartikan sebagai suatu sistem yang digunakan untuk memecahkan atau meguraikan persoalan-persoalan dalam kehidupan nyata yang penuh dengan ketidakpastian dengan tidak atau menggunakan model atau metode tertentu dan lebih ditekankan pada pemakaian komputer untuk mendapatkan solusinya.
2.2.1 Keuntungan Simulasi
Ada berbagai keuntungan yang bisa diperoleh dengan memanfaatkan simulasi, yaitu sebagai berikut:
2.2.1.1 Compress Time (Menghemat Waktu)
2.2.1.2 Expand Time (Dapat Melebar-luaskan Waktu)
Hal ini terlihat terutama dalam dunia statistik dimana hasilnya diinginkan dapat tersaji dengan cepat. Simulasi dapat digunakan untuk menunjukkan perubahan struktur dari suatu Sistem Nyata (Real System) yang sebenarnya tidak dapat diteliti pada waktu yang seharusnya (Real Time). Dengan demikian simulasi dapat membantu mengubah Real System hanya dengan memasukkan sedikit data.
2.2.1.3 Control Sources of Variation (Dapat Mengawasi Sumber-sumber yang Bervariasi)
Kemampuan pengawasan dalam simulasi ini tampak terutama apabila analisis statistic digunakan untuk meninjau hubungan antara variable bebas (independent) dengan variable terkait (dependent) yang merupakan faktor-faktor yang akan dibentuk dalam percobaan. Hal ini dalam kehidupan sehari-hari merupakan suatu kegiatan yang harus dipelajari dan ditangani dan tidak dapat diperoleh dengan cepat.
2.2.1.4 Error In Meansurment Correction (Mengoreksi Kesalahan-kesalahan Perhitungan)
Dalam prakteknya, pada suatu kegiatan ataupun percobaan dapat saja muncul ketidak-benaran dalam mencatat hasil-hasilnya. Sebaliknya, simulasi komputer jarang ditemukan kesalahan perhitungan terutama bila angka-angka diambil dari komputer secara teratur dan bebas. Komputer mempunyai kemampuan untuk melakukan perhitungan dengan akurat.
2.2.1.5 Stop Simulation and Restart (Dapat Dihentikan dan Dijalankan Kembali)
Simulasi Komputer dapat dihentikan untuk kepentingan peninjauan ataupun pencatatan semua keadaan yang relevan tanpa berakibat buruk terhadap program simulasi tersebut. Dalam dunia nyata, percobaan tidak dapat dihentikan begitu saja. Dalam simulasi komputer, setelah dilakukan penghentian maka kemudian dapat dengan cepat dijalankan kembali (restart).
2.2.1.6 Easy to Replicate (Mudah Diperbanyak)
2.3 Distribusi Binomial
Jika p adalah probabilitas bahwa sebuah peristiwa akan terjadi dalam sebaran percobaan tunggal (disebut sebagai probabilitas dari suatu keberhasilan) dan q = 1 – p adalah probabilitas bahwa peristiwa tersebut tidak terjadi dalam sebaran percobaan tunggal (disebut sebagai probabilitas dari suatu kegagalan), maka probabilitas bahwa peristiwa yang dimaksud akan terjadi tepat sebanyak X kali dalam N kali percobaan (artinya, akan terjadi sebanyak X keberhasilan dan N – X kegagalan) dirumuskan sebagai berikut :
Dimana X = 0, 1, 2, . . . , N; N! = N(N – 1)(N– 2) . . . 1; dan sesuai definisi maka 0! = 1
Distribusi probabilitas diskrit di atas seringkali disebut dengan distribusi binomial karena untuk X = 0, 1, 2, . . . , N distribusi probabilitas ini akan berkorespondensi dengan deretan suku-suku rumus binomial atau ekspansi binomial
dimana 1, , , . . . disebut sebagai koefisien-koefisien binomial.
Tabel 2.1 Sifat Distribusi Binomial
Poisson adalah sebuah diskrit yang dipergunakan untuk menduga peluang bahwa peluang keluaran tertentu akan muncul tepat x kali dalam satuan yang dibakukan dengan laju rata-rata munculnya kejadian per satuan adalah konstan (λ).
P(x;m) =
x =0,1,2,3,…; m>0
Dimana e = 2,71828… dan λ adalah sebuah konstanta yang diberikan, disebut sebagai distribusi poisson, yang diambil dari nama Simeon-Denis Poisson, seorang ilmuwan yang menemukan rumus ini pada awal abad ke-19.
Tabel 2.2 Sifat Distribusi Poisson
Sebaran Poisson tidak berbeda banyak dari sebaran Binomial kecuali bahwa peluang Poisson adalah sangat kecil dan ukuran contoh belum tentu diketahui. Asumsi sebaran Poisson adalah:
1. Terdapat n tindakan bebas dimana n sangat besar 2. Hanya satu keluaran yang dipelajari pada tiap tindakan
3. Terdapat peluang yang konstan dari munculnya kejadian setiap tindakan
4. Peluang lebih dari satu keluaran pada setiap tindakan sangat kecil atau dapat diabaikan.
2.5 Hubungan Antara Distribusi Binomial Dan Distribusi Poisson
BAB 3
IMPLEMENTASI SISTEM
3.1 Pengertian Implementasi Sistem
Implementasi Sistem adalah tahapan penerapan hasil desain tertulis kedalam programming dengan menggunakan perangkat lunak (software) sebagai implementasi ataupun prosedur untuk menyelesaikan desain sistem.
Adapun implementasi sistem yang digunakan untuk mengetahui keberadaan Dalil Limit Pusat (Central Limit Theorm, CLT) pada distribusi Binomial dan Poisson adalah software R. Diharapkan dengan penggunaan software R ini dapat meningkatkan pengetahuan dan kemampuan dalam hal :
1. Pemahaman bentuk elemen dari lembar kerja software R. 2. Menganalisa data dan lembar kerja.
3. Kreasi dan modifikasi grafik.
3.2 Pengenalan Software R
R adalah suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika setelah S dan S-Plus. Bahasa S telah dikembangkan sejak tahun 1980an di laboratorium AT&T. Projek R sudah mulai dikembangkan oleh Robert Gentleman dan Ross Ihaka dari Departemen Statistika di Universitas Aukland pada tahun 1995. Software R dengan cepat tersebarluas pada penggunanya. Saat ini R ditangani oleh tim inti pengembang R, yaitu suatu tim Internasional yang bekerja keras dari pengembang-pengembang secara sukarelawan. Projek R memiliki web
dengan alamat yang merupakan situs utama untuk
memperoleh informasi R. Pada situs ini langsung berisikan software, yang menyertakan halaman-halaman dan sumber lainnya yang terdapat dalam dokumen.
Tulisan ini menjelaskan bagaimana menggunakan software R ketika mempelajari statistika dasar. Tujuannya adalah menjadikan software yang baik ini berguna pada “level rendah” dalam mempelajari statistika dasar, sebagai alternative alat bantu komputasi yang sering digunakan sebelumnya seperti : MINITAB, SPSS, Excel, dan sebagainya.
Ada beberapa keuntungan dari R sebagai suatu pengantar komputasi antara lain adalah :
a. R gratis. R adalah sumber informasi terbuka yang dapat didownload secara gratis dan dapat dijalankan pada UNIX, Windows, dan Macintosh.
d. Bahasa R memiliki ketegasan. Syntaxnya mudah dipelajari dan banyak mengandung fungsi statistik yang built in (fungsi jadi).
e. Bahasanya mudah dikembangkan oleh pengguna dengan fungsi tertulis.
f. R adalah bahasa pemrograman komputer. Untuk para pemrogram ini akan terasa lebih terbiasa (familiar) dari yang lainnya, dan untuk pemula langkah selanjutnya untuk pembuatan program tidak akan begitu sulit.
Selain keuntungan menggunakan R, R juga mempunyai kekurangan dibandingkan dengan software komputasi yang lainnya, diantaranya adalah :
a. R memiliki tampilan grafik yang terbatas (sedangkan S-Plus lebih bagus). Ini berarti akan lebih sulit untuk dipelajari pada outset.
b. Tidak ada dana pendukung (meskipun seseorang dapat mengatakan mailinglist International bahkan lebih baik).
3.3 Memulai R
R paling mudah digunakan dengan cara interaktif. Pertanyaan diajukan dan dijawab dalam lembar kerja R (yaitu pada bagian perintah). Untuk memulai baris perintah R (R’s command line) maka dapat dilakukan hal berikut :
1. Klik menu Start, pilih Programs, R
Gambar 3.1 Langkah Mengaktifkan R 2. Pilih R 2.14.1
3.4 Membangkitkan Data Percobaan Binomial Dan Percobaan Poisson
Dalam memperlihatkan secara visual dalil limit pusat dari suatu peubah acak yang mempunyai distribusi Binomial dengan parameter N dan p, maka untuk memperlihatkan pendekatannya terhadap distribusi Poisson akan diperlihatkan juga secara visual distribusi Poisson dengan parameter , dimana perlakuan N dan peluang p pada distribusi Binomial dibuat sama terhadap = (Np) pada distribusi Poisson.
Metode simulasi yang digunakan adalah sebagai berikut :
1. Membangkitkan fungsi dari salah satu sifat distribusi Binomial . Dengan n (banyaknya percobaan) = 250, N = 200, dan p = (0,001; 0,0025; 0,005; 0,0075; 0,01; 0,0125; 0,015; 0,175; 0,02; 0,025).
2. Menampilkan grafik distribusi Binomial dengan parameter p yang berbeda.
3. Visualisasi perubahan grafik fungsi distribusi Binomial.
4. Membangkitkan fungsi dari salah satu sifat distribusi Poisson . Dengan n (banyaknya percobaan) = 250 dan = (0,2; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 5).
Gambar 3.6 Pembangkitan Fungsi Mean ( Poisson
5. Menampilkan grafik distribusi Poisson dengan parameter yang berbeda.
6. Visualisasi perubahan grafik fungsi distribusi Poisson.
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Dalam visualisasi ini penulis dapat menarik kesimpulan sebagai berikut :
1. Dalam grafik data membangkitkan percobaan Binomial dapat dilihat bahwa, apabila nilai dari parameter p diperbesar, maka grafik akan terlihat semakin berbentuk ke arah normal.
2. Dalam grafik data membangkitkan percobaan Poisson dapat dilihat bahwa, apabila nilai dari parameter diperbesar, maka grafik akan terlihat semakin berbentuk ke arah normal.
3. Dalam pendekatannya ke Poisson, percobaan Binomial memiliki grafik yang hampir identik dengan grafik Poisson pada saat Binom(200,0.0025) dan Pois(0,5).
4. Dalam grafik data pembangkitan kedua percobaan distribusi tidak terdapat perbedaan yang signifikan, artinya sebaran Poisson dapat disebut sebagai bentuk batas sebaran Binomial.
4.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Darnius, Open. 2009. Pengantar Komputasi Statistika dengan R. Medan : Departemen Matematika FMIPA – USU.
Kakiay, Thomas J. 2004. Pengantar Sistem Simulasi. Yogyakarta : Andi. Sudjana. 2002. Metoda Statistika. Bandung : PT. Tarsito Bandung.
Nugroho, Sigit. 2008. Dasar-dasar Metode Statistika. Jakarta : PT. Grasindo. Spiegel, Murray R. 1996. Statistika. Edisi ke-2. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Gambar 3.6 Pembangkitan Fungsi Mean ( Poisson
KEMENTRIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Jl. Bioteknologi No. 1 Kampus USU, Telp. (061) 8211050, Fax (061) 8214290 Medan-20155, Email : Dekanat@FMIPA.USU.AC.ID
SURAT KETERANGAN Hasil Uji Program Tugas Akhir
Yang bertanda tangan di bawah ini menerangkan bahwa Mahasiswa Tugas Akhir Program Diploma III Statistika:
Nama : Aditya Nugraha
NIM : 092407061
Program Studi : Statistika
Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dan Fungsi Poisson Dengan Parameter Yang Berbeda.
Telah melaksanakan test program tugas akhir mahasiswa tersebut di atas pada tanggal ………
Dengan Hasil: Sukses / Gagal
Demikian diterangkan untuk digunakan melengkapi syarat pendaftaran Ujian Meja Hijau Tugas Akhir Mahasiswa bersangkutan di Program Studi D III Statistika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumaatera Utara Medan.
Medan, Juli 2012 Dosen Pembimbing
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILM PENGETAHUA ALAM PROGRAM DIPLOMA 3 KOMPUTER DAN STATISTIKA
Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU Padang Bulan Medan 20155 Telp. (061) 8211050 - 8214290, Fax. ( 061 ) 8214290
SURAT KETERANGAN Hasil Uji Program Tugas Akhir
Yang bertanda tangan di bawah ini menerangkan bahwa Mahasiswa Tugas Akhir Program Diploma III Statistka :
Nama : ADITYA NUGRAHA
NIM : 092407061
Program Studi : Statistika
Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial dan Fungsi Poisson dengan Parameter yang Berbeda
Telah melaksanakan test program tugas akhir mahasiswa tersebut di atas pada tanggal ...
Dengan Hasil : Sukses / Gagal
Demikian diterangkan untuk digunakan melengkapi syarat pendaftaran Ujian Meja Hijau Tugas Akhir Mahasiswa bersangkutan di Jurusan Matematika FMIPA USU Medan.
Medan, Juli 2012
Dosen Pembimbing
Drs.Open Darnius, M.Sc
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM DIPLOMA 3 KOMPUTER DAN STATISTIKA
Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU Padang Bulan Medan 20155 Telp. (061) 8211050 - 8214290, Fax. ( 061 ) 8214290
KARTU BIMBINGAN TUGAS AKHIR MAHASISWA
Nama : Aditya Nugraha
NIM : 092407061
Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial dan Fungsi Poisson dengan Parameter yang Berbeda
Dosen Pembimbing : Drs. Open Darnius, M.Sc Tanggal Mulai Bimbingan : ……….. Tanggal Selesai Bimbingan : ………..
No.
Kartu ini harap dikembalikan ke Departemen Matematika bila bimbingan mahasiswa telah selesai
Diketahui Disetujui
Departemen Matematika FMIPA USU Pembimbing Utama
Prof. Dr. Tulus, M. Si Drs. Open Darnius, M.Sc
