HIPERGEOMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN
SUATU SIMULASI
TUGAS AKHIR
M. NANDA SADZALI
092407054
PROGRAM STUDI D-III STATISTIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI
BINOMIAL DAN NORMAL; FUNGSI BINOMIAL DAN
HIPERGEOMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN
SUATU SIMULASI
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai
gelar Ahli Madya
M. NANDA SADZALI
092407054
PROGRAM STUDI D-III STATISTIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DAN NORMAL; FUNGSI BINOMIAL DAN HIPERGEOMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI
Kategori : TUGAS AKHIR Nama : M. NANDA SADZALI NIM : 092407054
Program Studi : D3 STATISTIKA Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERNYATAAN
VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DAN NORMAL; FUNGSI BINOMIAL DAN
HIPERGEOMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI
TUGAS AKHIR
Saya mengakui bahwa tugas akhir ini adalah kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dari beberapa ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2012
PENGHARGAAN
Bismillahirrahmanirrahim,
Puji dan syukur atas kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan
karunia-Nya kepada seluruh alam beserta seluruh isinya dan berkat kekuatan iman
dari-Nya, maka Tugas Akhir dengan judul “VISUALISASI PERBANDINGAAN
PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DAN NORMAL; FUNGSI
BINOMIAL DAN HIPERGEOMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN SUATU
SIMULASI” dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Kemudian seiring shalawat dan
salam penulis ucapkan kepada junjungan Nabi besar Muhammad SAW yang
membawa umatnya ke jalan yang benar dan kesejahteraan hidup.
Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih banyak kekurangan dan
kelemahan dengan demikian penulis harapkan saran dan kritik yang sifatnya
membangun demi peningkatan mutu penulisan Tugas Akhir di masa yang akan
datang.
Pada kesempatan ini penulis menghaturkan terima kasih atas petunjuk dan
bimbingan yang telah diberikan kepada penulis sehingga akhirnya penulis dapat
menyelesaikan Tugas Akhir ini. Maka dengan ini penulis mengucapkan terima kasih
sebesar-besarnya kepada :
1. Ayahanda Herman dan Ibunda tersayang Aten , yang membesarkan dan
mendidik penulis dengan penuh kasih sayang dan cinta dari kecil hinggga saat
ini telah memberikan motivasi dan restu serta materi yang tak ternilai dengan
apapun.
2. Bapak DR. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
3. Bapak Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Sc selaku Ketua Pelaksana Program Studi
4. Bapak Drs.Open Darnius S, M.Sc selaku Pembimbing yang memberikan
bimbingan, arahan dan pengalaman kepada penulis.
5. Bapak Drs. Faigiziduhu Buulolo selaku Koordinator Program Studi DIII
Satistika FMIPA USU.
6. Untuk saudara-saudari kandung penulis Hedwin Syuhada yang telah
memberikan semangat dan do’a kepada penulis.
7. Untuk kak Mimmy dan kak Puspa yang special yang telah memberikan
semangat, dan juga buat teman stat-b 09 (adit, nanda, bobby, meutia dan
Sandra ) dan buat (ridho,Ellen, anes ,wita,thyek,anes dan meirina terima kasih
member motivasi dan do’a yang tulus kepada penulis.
8. Untuk sahabat-sahabatku dari kelas Statistika B 2009 dan semua rekan-rekan
dari DIII Statistika FMIPA USU yang telah membantu, memberi semangat,
arahan dan motivasi selama perkuliahan.
Atas segala bantuan dan budi baik semua pihak penulis ucapkan terima kasih,
semoga Allah SWT memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada kita semua. Amin
ya rabbal’alamin.
Akhirnya penulis berharap semoga Tugas Akhir ini dapat memberikan manfaat
kepada semua pihak yang memerlukan.
Medan, Juni 2012
Penulis
M. Nanda Sadzali
DAFTAR ISI
BAB II TINJAUAN TEORITIS
2.1 Pendahuluan 8
2.2 Distribusi Binomial 9 2.2.1 Defenisi Distribusi Binomial 9
2.3 Disrtibusi Normal 11
2.3.1 Defenisi Distribusi Normal 11 2.3.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Normal 13 2.4 Disrtibusi Hipergeometrik 14 2.4.1 Defenisi Distribusi Hipergeometrik 14 2.4.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Hipergeometrik 15
BAB III IMPLEMENTASI SISTEM
3.1 Pengertian Implementasi Sistem 17 3.2 Pengenalan Software R 18
3.3 Memulai R 20
3.4 Membangkitkan Data Acak Percobaan Binomial dan Normal 21 3.5 Membangkitkan Data Acak pada Percobaan Hipergeometrik 29
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan 33
4.2 Saran 34
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Tampilan Jendela Windows 20
Gambar 3.1 Tampilan Jendela Pembuka R 20
Gambar 3.2 Pembangkitan Data Distribusi Binomial Dengan n = 5; p = 0.2 22
Gambar 3.3 Pembangkitan Data Distribusi Normal Dengan �= 1, �= 0.8 22
Gambar 3.4 Perintah data binomial yang dibangkitkan 23
Gambar 3.5 Histogram data binomial yang dibangkitkan 23
Gambar 3.6 Perintah data normal yang dibangkitkan 24
Gambar 3.7 Histogram data normal yang dibangkitkan 24
Gambar 3.8 Perintah data binomial yang dibangkitkan 25
Gambar 3.9 Histogram data binomial yang dibangkitkan 25
Gambar 3.10 Perintah data normal yang dibangkitkan 26
Gambar 3.11 Histogram data normal yang dibangkitkan 26
Gambar 3.12 Perintah data binomial yang dibangkitkan 27
Gambar 3.13 Histogram data binomial yang dibangkitkan 27
Gambar 3.14 Perintah data normal yang dibangkitkan 28
Gambar 3.15 Histogram data normal yang dibangkitkan 28
Gambar 3.16 Pembangkitan data hipergeometrik n = 5, k = 100 29
Gambar 3.17 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 30
Gambar 3.18 Histogram data hipergeometrik yang dibangkitkan 30
Gambar 3.19 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 31
Gambar 3.20 Histogram data hipergeometrik yang dibangkitkan 31
Gambar 3.21 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 32
BAB I
PENDAHULUAN
1.1Latar belakang
Secara langsung atau tidaklangsung kata statitik sering kita dengar dan kita rasakan
dalam kehidupan sehari-hari, sebagai contoh pada saat kita menonton pertandingan
sepakbola hampir selalu kita mendengar komentator menyebutkan kata statistik juga
saat kita membeli suatu barang atau jasa di awal dan di pertengahan bulan kemudian
pada akhir bulan kita menghitung pemasukan dan pengeluaran dalam satu bulan ini
juga salah satu dari realisasi statistik , statistika juga dapat bermakna suatu yang
penting bagi Negara, antara lain untuk perpajakan, mobilitas pemuda untuk menjadi
tentara dan lain-lain.
Statistika dapat diartikan sebagai suatu pengetahuan yang berhubungan dengan
data, dan data adalah merupakan keterangan dari suatu objek penelitian yang diamati
atau diukur dengan menggunakan alat tertentu. Setelah data dikumpulkan dan
tentang seluruh keterangan yang mana kesimpulan tersebut dapat berguna bagi diri
sendiri maupun bagi orang lain nantinya.
Salah satu bentuk data yang sering digunakan adalah data acak. Data acak
merupakan suatu fenomena yang diambil dengan proses sedemikian rupa sehingga
hasilnya tidak dapat ditentukan dengan pasti sebelumya. Sebagai contoh misalnya,
bila sebuah dadu digulirkan, maka mata dadu yang muncul sebagai data hasil dalam
proses pengguliran tersebut tidak dapat ditentukan sebelum dadu tersebut berhenti
bergulir. Proses membangkitkan data acak seperti ini dan data acak yang mengikuti
distribusi tertentu dimana proses tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan salah
satu software untuk statistika yaitu R. Software R adalah suatu sumber informasi
terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika setelah S dan
S-Plus. Software R dapat menghasilkan banyak bilangan acak dengan jenis yang
berbeda dari distribusi tertentu (khusus). Salah satu cara untuk membangkitkan data
acak tersebut adalah dengan cara mensimulasi data acak tersebut dengan jenis yang
berbeda. Simulasi dapat diaratikan juga sebagai “Rekayasa”. R juga memiliki
kemampuan dalam membuat grafik. Dalam hal ini penulis mencoba mensimulasikan
data acak dari fungsi binomial dan normal juga fungsi binomial dan hipergeometrik .
Oleh karena itu dalam penelitian ini penulis mencoba untuk memperlihatkan
secara visual perbandingan perubahan grafik dari fungsi Binomial dan fungsi
hipergeometrik dengan menggunakan suatu simulasi. Kajian dalam penelitian ini
didasarkan atas suatu simulasi komputer dengan menggunakan bahasa R, sehingga
penelitian ini diberi judul “Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi
Binomial Dan Normal; Fungsi Binomial dan Hipergeometrik Dengan Menggunakan
1.2Rumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana
memvisualisasi dan membandingkan grafik fungsi binomial dan normal juga fungsi
binomial dan hipergeometrik dengan menggunakan suatu simulasi.
1.3Batasan Masalah
Untuk mengarahkan pembahasan dalam tugas akhir ini agar tidak menyimpang dari
sasaran yang dituju, maka perlu membuat batasan ruang lingkup permasalahan.
Sebagai pembatasan masalah ini adalah hanya terbatas pada visualisasi perbandingan
perubahan grafik fungsi binomial dan normal juga fungsi binomial dan hipergeometrik
dengan menggunakan suatu simulasi.
1.4Maksud dan Tujuan
Adapun maksud dan tujuan dari penelitian ini adalah untuk menunjukkan secara
visual perbandingan perubahan grafik fungsi binomial dan hipergeometrik juga fungsi
binomial dan normal dengan menggunakan suatu simulasi dan dapat dikaji pada suatu
1.5Metodologi Penelitian
Dalam penelitian ini metode yang dipakai adalah metode simulasi komputer, dan
berikut adalah tahapan atau langkah-langkah yang dilakukan :
1. Merancang program simulasi.
2. Membangkitkan data peubah acak binomial, secara bervariasi terhadap
parameter � (lamda) dengan membuat suatu fungsi pada R.
3. Membangkitkan data peubah acak normal, secara bervariasi terhadap
parameter � (lamda) dengan membuat suatu fungsi pada R.
4. Menunjukkan secara visual perubahan grafik fungsi binomial dan normal
dengan parameter yang berbeda.
5. Membangkitkan data peubah acak hipergeometrik, dengan membuat suatu
fungsi pada R.
6. Menunjukkan secara visual perubahan grafik fungsi binomial dan normal
dengan parameter yang berbeda.
7. Menyimpulkan hasil simulasi.
1.6Keuntungan Simulasi
Menurut Thomas J. Kakiay (2004, hal: 3) ada beberapa keuntungan yang bisa
diperoleh dengan memanfaatkan simulasi, yaitu sebagai berikut :
Kemampuan dalam menghemat waktu ini dapat dilihat dari pekerjaan yang
bila dikerjakan akan memakan waktu tahunan tetapi kemudian dapat
disimulasi hanya dalam beberapa menit, bahkan dalam beberapa kasus
hanya dalam hitungan detik.
1.6.2 Expand Time (Dapat Melebar-luaskan Waktu)
Hal ini telihat terutama dalam dunia statistik dimana hasilnya diinginkan
dapat tersaji dengan cepat. Simulasi dapat digunakan untuk menunjukkan
perubahan struktur dari suatu Sistem Nyata (Real System) yang sebenarnya
tidak dapat diteliti pada waktu yang seharusnya (Real Time). Dengan
demikian simulasi dapat membantu mengubah Real System hanya dengan
memasukkan sedikit data.
1.6.3 Control Sources of Variation (Dapat Mengawasi Sumber yang Bevariasi)
Kemampuan pengawasan dalam simulasi ini tampak terutama apabila
analisis statistik dapat digunakan untuk meninjau hubungan antara variabel
bebas (independent) dengan variable terikat (dependent) yang merupakan
faktor-faktor yang akan dibentuk dalam percobaan. Hal ini dalam
kehidupan sehari-hari merupakan suatu kegiatan yang harus dipelajari dan
ditangani dan tidak dapat diperoleh dengan cepat.
1.6.4 Error in Meansurment Correction (Mengkoreksi Kesalahan-kesalahan
Perhitungan)
Dalam prakteknya, pada suatu kegiatan ataupun percobaan dapat saja
muncul ketidak-benaran dalam mencatat hasil-hasilnya. Sebaliknya, dalam
simulasi komputer jarang ditemukan kesalahan perhitungan terutama bila
1.6.5 Stop Simulation and Restart (Dapat Dihentikan dan Dijalankan Kembali)
Simulasi komputer dapat dihentikan untuk kepentingan peninjauan ataupun
pencatatan semua keadaan yang relevan tanpa berakibat buruk terhadap
program simulasi tersebut. Dalam dunia nyata, percobaan tidak dapat
dihentikan begitu saja. Dalam simulasi komputer, setelah dilakukan
penghentian maka kemudian dapat dengan cepat dijalankan kembali
(restart).
1.6.5 Easy to Replicate (Mudah Diperbanyak)
Dengan simulasi komputer percobaan dapat dilakukan setiap saat dan
dapat diulang-ulang. Dengan demikian simulasi komputer tidak memakan
1.7Sistematika Penulisan
Adapun sistematika dalam penulisan adalah sebagai berikut :
BAB 1 : PENDAHULUAN
Bab ini menjelaskan latar belakang pengambilan judul, perumusan masalah,
batasan masalah, maksud dan tujuan, metodologi penelitian, dan sistematika
penulisan.
BAB 2 : LANDASAN TEORI
Bab ini menjelaskan tentang segala sesuatu yang menyangkut pada
penyelesaian masalah yang dihadapi, sesuai dengan judul yang diuraikan.
BAB 3 : IMPLEMENTASI SISTEM
Bab ini menjelaskan tentang program ataupun software yang dipakai sebagai
analisa tehadap data yang diperoleh.
BAB 4 : KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini memberikan beberapa kesimpulan dan saran sesuai dengan apa yang
BAB II
TINJAUAN TEORITIS
2.1 Pendahuluan
Menurut Darnius, O (2006, Hal:53) simulasi berarti rekayasa suatu model ilmiah
untuk melihat kebenaran atau kenyataan model tersebut. Kemampuan untuk
mensimulasikan data acak dengan jenis yang berbeda misalnya, akan memampukan
peniliti untuk membuat pertanyaan dan menjawab pertanyaan-pertanyaan dengan cara
yang singkat. Simulasi merupakan suatu yang sangat perlu dimiliki.
Menurut Nailor (1966) dalam rubinstein dan Melamed (1998). Simulasi
merupakan teknik numerik untuk melakukan eksperimen pada komputer, melibatkan
ilmu matematik dan model tertentu yang mnenjelaskan prilaku bisnis atau ekonomi
pada suatu periode waktu tertentu.
Menurut Borowski dan Borwein (1989) simulasi diartikan sebagai teknik
menduga seca karakteristik atau menyelesaikan masalah berkaitan dengan
menggunakan model yang diajukan.
Menurut Banks (1998). Simulasi merupakan tiruan dari proses dunia nyata
atau system. Simulasi menyangkut pembakitan proses serta pengamatan dari proses
untuk menarik kesimpulan dari system yang diwakili.
Sebagaimana yang telah diketahui, bahwa R merupakan bahasa pemrograman
komputer yang dapat membangkitkan bilangan acak dengan banyak fungsi dan
memiliki kemampuan dalam membuat grafik. Untuk setiap bilangan acak tersebut kita
dapat melihat distribusinya dengan adanya histogram dan grafik yang dapat dibuat
melalui program ini. Dalam hal ini akan dibahas mengenai peubah acak yang akan
kita distribusikan dan kita teliti.
2.2 Distibusi Binomial
2.2.1 Defenisi Distribusi Binomial
Dalam teori probabilitas dan
probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal)
yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen
berhasil/gagal juga disebutn = 1, distribusi binomial
adalah Distribusi binomial merupakan dasar dari
Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada
jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni
pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah
merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.
Adapun percobaan Bernoulli adalah suatu percobaan dengan ciri-ciri sebagai
berikut :
1. Eksperimen berlangsung sebanyak n kali. Tiap eksperimen berlangsung dalam cara
dan kondisi yang sama(dengan pengembalian)
2. Untuk setiap eksperimen hanya ada dua kejadian yang mungkin terjadi. Dua
kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian SUKSES dan GAGAL. Probabilitas
sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan
dengan q, dimana p+q=1.
3. Probabilitas sukses dari satu eksperimen yang lain adalah konstan.
Dari proses tersebut, yang merupakan variable adalah munculnya kejadian
sukses yang biasa dilambangkan dengan x. Jadi, bila suatu usaha binomial dapat
menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1- p, maka
distribusi peluang peubah acak binomial x, yaitu banyaknya sukses dalam n percobaan
bebas adalah :
�(�;�,�) =��
Dimana :
x = Munculnya sukses yang ingin dihitung
n = Jumlah eksperimen
p = Probabilitas sukses dalam setiap eksperimen
q = Probabilitas gagal dalam setiap eksperimen = 1- p
n-x = Jumlah gagal dalam n eksperimen
2.3Distribusi Normal
2.3.1 Pengertian Distribusi Normal
Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah
paling banyak digunakan dalam berbagai analisis
baku adalah distribusi normal yang memiliki
Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik
Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada
jumlah
Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidan
misalnya
digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan
Distribusi normal adalah fungsi padat peubah acak X dengan rata-rata (µ) dan standar
deviasi (�). Distribusi normal dapat ditulis dengan distribusi normal dapat ditulis
dengan rumus :
�(�;�;�) = 1
√2��2�−12
[(�−�)/�]2
Dimana :
x = Nilai dari distribusi variable
� = Mean dari nilai-nilai distribusi variable
� = Standard deviasi dari nilai-nilai distribusi variable
� = 3,14159
e = 2,71828
Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva normal adalah :
1. Kurva berbentuk lonceng dan memiliki satu puncak ditengah.
2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata
hitungnya �. Apabila kurva dilipat menjadi dua bagian dengan nilai tengah
rata-rata sebagai pusat lipatan , maka kurva akan menjadi dua bagian yang sama.
3. Distribusi probabilitas dan kurva normal akan bersifat asimptotis. Kurva yang
menurun di kedua arah yaitu ke kanan untuk nilai positif tak terhingga (∞) dan
kekiri untik negatik tak hingga (∞). Dengan demikian ekor kedua kurva tidak
4. Modusnya (Md) pada sumbu mendatar fungsi mencapai puncaknya atau
maksimum pada X =�
5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1.
2.3.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Normal
Bila n percobaan semakin besar dan memiliki sifat yang independent dari suatu
percobaan ke percobaan lainnya, maka dengan pendekatan distribusi normal-binomial
dapat pula kita gunakan untuk menghitung nilai-nilai probabilitas terhadap berbagai
macam peristiwa yang mungkin dapat terjadi.
Dengan demikian besarnya jumlah percobaan pada distribusi binomial maka
perhitungan peluang dengan menggunakan distribusi binomial semakin kurang
efektif, karena jumlah kombinasi peristiwa yang diharapkan sangatlah kurang banyak.
Untuk menghindari kekurang efektifan dari distribusi binomial ini, maka distribusi
tersebut dapat di dekati dengan distribusi normal. Secara umum dapat disimpulkan
bahwa pendekatan distribusi binomial dapat dilakukan dengan distribusinormal karena
secara teoritis bahwa distribusi binomial akan mendekati normal untuk n besar p
2.4 Distribusi Hipergeometrik
2.4.1 Defenisi Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Hipergeometrik adalah merupakan distribusi dimana pengembalian atau
penarikan sampelnya tanpa adanya pengembalian. Penggunaan distribusi
hipergeometrik ini terdapat pada berbagai bidang dan paling banyak pada penerimaan
sampel atau suatu hasil produksi, pengujian barang-barang elektronik dan
pengendalian mutu.
Bila pengujian dilakukan terhadap barang, maka secara umum barang cacat
atau rusak. Oleh karena itu, barang tidak dapat dikembalikan pada populasinya. Inilah
alasaan mengapa pengambilan sampelnya dilakukakan tanpa pengembalian.
Kegiatan-kegiatan seperti ini disebut percobaan hipergeometrik. Agar lebih mudah lagi dapat
dijelaskan sebagai berikut: Misalnya ada N benda yang terdiri dari k benda yang
diberi nama sukses dari N-k yang akan diberi nama gagal. Ingin diketahui probabilitas
memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia dan n-x gagal dari sebanyak N-K yang
tersedia, bila variable acak ukuran n diambil dari N benda. Dari uraian ini dapat kita
ketahui bahwa percobaan hipergeometrik memiliki dua sifat yaitu :
1. Sampel acak berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda
2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya n-k diberi nama
Jumlah sukses x dalam percobaan hipergeometrik disebut variable acak
hipergeometrik x ialah jumlah sukses dalam sampel acak berukuran n yang diambil
dari N benda yang memuat k bernama sukses dan N-k bernama gagal. Maka distribusi
hipergeometrik tersebut dapat dijabarkan sebagai berikut:
ℎ(�;�,�) =�
k = Sifat tertentu dari populasi
n = Ukuran sampel
x = Jumlah sifat k dalam n
2.4.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Hipergeometrik
Dalam kasus distribusi hipergeometrik kita dapa menggunakan pendekatan binomial
pada permasalahannya apabila keadaan tersebut adalah sebagai berikut :
1. Bila besar sampelnya (n) ≥ 1
2. Sampelnya (n) relative kecil bila dibandingkan dengan jumlah populasinya (N),
yaitu n < 0,05N. Bila n lebih kecil disbandingkan dengan N maka peluang tiap
dengan distribusi binomial dengan p = �
� sehingga rata-rata dan varian dapat di
dekati seperti pada penjelasan berikut :
a. Binomial
Bila kedua ruas dibandingkan maka terlihat bahwa rataannya sama antara binomial
dan hipergeometrik sedangkan variannya berbeda sebesar factor koreksi �−�
�−1
Dalam kenyataannya, konsep pendekatan ini sangat berguna karena tiga hal.
Pertama, kasus yang sering terjadi dalam dunia nyata adalah kasus Hipergeometrik,
yaitu sampel tidak lagi dikembalikan. Kedua, Distribusi Hipergeometrik tidak
mempunyai table, sehingga kita akan mengalami kesulitan karena terpaksa harus
selalu menghitung dengan rumus hipergeometrik. Ketiga, kebanyakan sampel tidak
BAB III
IMPLEMENTASI SISTEM
3.1 Pengertian Implementasi Sistem
Implementasi system adalah tahapan penerapan hasil desain tertulis ke dalam
“programming” dengan menggunakan perangkat lunak “software” sebagai
implementasi ataupun prosedur untuk menyelesaikan desain system.
Adapun implementasi system yang digunakan untuk pemyelesaian
permasalahan pada distribusi Binomial, Hipergeometrik dan Normal adalah dengan
menggunakan “software” R. Diharapkan dengan menggunakan software ini kita dapat
meningkatkan pengtahuan dan kemampuan kita dalam hal :
a. Pemahaman bentuk elemen dan lembar kerja software R.
b. Mnganalisis data dengan menggunakan R.
c. Pembentukan grafik dengan menggunakan R.
3.2 Pengenalan Software R
R adalah suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model
komputasi statistika. Projek R sudah mulai dikembangkan oleh Robert Gentlemen dan
Ross Ihaka dari Departemen Statistika di Universitas Aukland pada tahun 1995. Saat
ini R ditangani oleh tim inti pengembanga R, yaitu suatu tim internasional yang
bekerja keras dengan sukarela untuk mengembangkan “software” ini. Projek R
memiliki web dengan alamasitus ini berisikan software
yang menyertakan halaman-halaman dan sumber lainnya yang terdapat pada
dokumen.
R merupakan suatu “software” yang terintegrasi yang memiliki fasilitas untuk
manipulasi data, perhitungan dan penampilan grafik. Bahasa R kini menjadi standard
de facto diantara statistikawan untuk pengembangan perangkat lunak statistika dan
analisis data.
Tulisan ini menjelaskan bagaimana menggunakan R ketika mempelajari
statistika dasar. Tujuannya adalah menjadikan “software” ini berguna dalam
mempelajari statistika dasar, sebagai alternatif alat bantu komputasi yang sering
digunakan sebelumnya seperti Microsoft Excel, MINITAB, SPSS dan lain sebagainya,
beberapa kelebihan dari R :
1. Sebagai “software” yang open source, R dapat di download secara gratis dan
dapat dijalankan pada UNIX, Windows dan Macintosh
3. R memiliki kemampuan yang baik dalam membuat grafik yang menghasilkan
grafik dengan kualitas publikasi yang dapat memuat symbol matematika
4. Bahasa R memiliki ketegasan. Syntaxnya mudah dipelajari dan banyak
mengandung fungsi statistic yang built in (fungsi jadi)
5. R memiliki kemampuan yang baik untuk membangun system help
Selain memiliki kelebihan, R juga mempunya beberapa kekurangan dibanding
software komputasi yang lain, diantaranya adalah :
1. Bahasa interuksinya adalah sebuah bahasa pemrograman sehingga pengguna
harus mempelajari masalah apresiasi Syntax
2. R mmiliki tampilan grafik yang terbatas
3. Tidak ada dana pendukung (walaupun seseorang dapat mengatakan mailinglist
3.3 Memulai R
R paling mudah digunakan dengan cara interaktif. Untuk memulai baris perintah R
maka dapat dilakukan hal sebagai berikut :
1. Klik menu Start, pilih Program R
Tampilan Jendela Windows
2. Klik item R, maka akan muncul tampilan seperti berikut :
Pada tampilan R console diatas ditampilkan keterangan tentang tahun pembuatan,
versi R yang digunakan dan sekilas penjelasan dengan keberadaan software R. Pada
akhir keterangan akan muncul tanda > dan tanda ini disebut dengan prompt. Tanda ini
muncul dengan sendirinya dan berguna sebagai petunjuk dimana perintah R sudah
dapat dituliskan.
3.4 Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Binomial dan Normal
Tabel 3.4 Data Peubah Acak Distribusi Binomial dan Normal
Probabilitas
Untuk memperlihatkan secara visual perubahan grafik pada distribusi binomial
yang mempunyai parameter n dan p sedangkan distribusi normal mempunyai
1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi binomial dengan n = 5, p = 0.2 dan
misalkan data yang dibangkitkan adalah 100 data
Gambar 3.2 Pembangkitan Data Distribusi Binomial Dengan n = 5; p = 0.2
2. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi normal dengan � = 1, � = 0.89 dan
misalkan data yang dibangkitkan adalah 100 data
Gambar 3.3 Pembangkitan Data Distribusi Normal Dengan � =�, �=�.��
4. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan
a. Distribusi binomial dengan n = 5 sampai 45 dengan p = 0.2
Gambar 3.4 Perintah data binomial yang dibangkitkan
b. Distribusi normal dengan nilai � berdasarkan kelompok 1 pada tabel
Gambar 3.6 Perintah data normal yang dibangkitkan
5. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan
a. Distribusi binomial dengan n = 5 sampai 45 dengan p = 0.4
Gambar 3.8 Perintah data binomial yang dibangkitkan
b. Distribusi normal dengan nilai ����� berdasarkan kelompok 2 pada tabel
Gambar 3.10 Perintah data normal yang dibangkitkan
6. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan
a. Distribusi binomial dengan n = 5 sampai 45 dengan p = 0.5
Gambar 3.12 Perintah data binomial yang dibangkitkan
b. Distribusi normal dengan nilai � berdasarkan kelompok 3 pada tabel
Gambar 3.14 Perintah data normal yang dibangkitkan
3.5 Membangkitkan Data acak Pada Percobaan Hipergeometrik
Dalam memperlihatkan secara visualisasi perubahan grafik fungsi hipergeometrik
yang mempunyai parameter-parameter n, N dan k dimana probabilitas (p) pada
binomial sama untuk �
� pada hipergeometrik dan berubah-ubah sesuai dengan
parameter yang digunakan pada fungsi binomial diatas. Sehingga kita dapat
membandingkan perubahan grafik binomial dengan hipergeometrik maka metode
simulasi yang digunakan sebagai berikut :
1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi hipergeometrik dengan nilai p = 100
500 yaitu
0.2 dan distribusi hipergeometrik dengan N = 500, n = 5, k=100
2. Standarisasi data yang dibangkitakan
3. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan
Distribusi hipergeometrik dengan n = 5 sampai 45, N = 500, k=100
Gambar 3.17 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan
4. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan
Distribusi hipergeometrik dengan n = 5 sampai 45, N = 500, k=200
Gambar 3.19 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan
5. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan
Distribusi hipergeometrik dengan n = 5 sampai 45, N = 500, k=250
Gambar 3.21 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
1. Dalam grafik fungsi Geometri dengan n tetap dan p diperbesar juga
menunjukkan perubahan grafik yang mengecil menuju kekanan.
2. Dalam grafik fungsi Geometri dengan n tetap dan p diperkecil menunjukkan
perubahan grafik menuju kekanan dan membentuk grafik eksponensial.
3. Dalam grafik fungsi Geometri dengan p tetap dan n diperbesar , menunjukan
4.2 Saran
Saran yang dapat diberikan penulis dengan menggunakan software R tidak hanya
dapat mensimulasikan data acak dengan menggunakan suatu distribusi fungsi
geometri saja namun dapat dilakukan dengan menggunakan distibusi-distribusi fungsi
lainnya. Dan penggunaan software R dapat kita lihat visualisasi yang jelas dan
DAFTAR PUSTAKA
Darnius, Open, 2009, Diktat Kuliah Pengantar Komputasi Statistika dengan R,
USU, Medan.
Ginting, Masten, 2006, Pengantar Metose Dasar Menghitung Peluang, USU,
Medan.
Kakiay, Thomas J, 2004, Pengantar Sistem Simulasi, Andi, Yogyakarta.
Sudjana. 2002. Metoda Statistika, Bandung : PT. Tarsito Bandung.
Saleh, Samsubar, 1996, Statistik Induktif, UPP-AMP YKPN, Yogyakarta.
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILM PENGETAHUA ALAM PROGRAM DIPLOMA 3 KOMPUTER DAN STATISTIKA
Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU Padang Bulan Medan 20155 Telp. (061) 8211050 - 8214290, Fax. ( 061 ) 8214290
SURAT KETERANGAN
Hasil Uji Program Tugas Akhir
Yang bertanda tangan di bawah ini menerangkan bahwa Mahasiswa Tugas Akhir Program Diploma III Statistka :
Nama : M NANDA SADZALI NIM : 092407054
Program Studi : Statistika
Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial dan Normal; Fungsi Binomial dan Hipergeometrik dengan
Menggunakan Suatu Simulasi
Telah melaksanakan test program tugas akhir mahasiswa tersebut di atas pada tanggal ...
Dengan Hasil : Sukses / Gagal
Demikian diterangkan untuk digunakan melengkapi syarat pendaftaran Ujian Meja Hijau Tugas Akhir Mahasiswa bersangkutan di Jurusan Matematika FMIPA USU Medan.
Medan, Juni 2012 Dosen Pembimbing
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM DIPLOMA 3 KOMPUTER DAN STATISTIKA
Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU Padang Bulan Medan 20155 Telp. (061) 8211050 - 8214290, Fax. ( 061 ) 8214290
KARTU BIMBINGAN TUGAS AKHIR MAHASISWA
Nama : Harry Pratama
NIM : 092407053
Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial dan Normal; Fungsi Binomial dan Hipergeometrik dengan Menggunakan Suatu Simulasi
Dosen Pembimbing : Drs. Open Darnius S, M.Sc
Tanggal Mulai Bimbingan : ………..
Tanggal Selesai Bimbingan : ………..
No. Tanggal
Kartu ini harap dikembalikan ke Departemen Matematika bila bimbingan mahasiswa telah selesai
Diketahui Disetujui
Departemen Matematika FMIPA USU Pembimbing Utama