Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dengan Normal Dan Fungsi Binomial Dengan Hipergeometrik; Menggunakan Suatu Simulasi

(1)

VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DENGAN NORMAL DAN FUNGSI BINOMIAL DENGAN

HIPERGEOMETRIK; MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI

TUGAS AKHIR

SADRAKH 082407111

PROGRAM STUDI DIPLOMA III STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DENGAN NORMAL DAN FUNGSI BINOMIAL DENGAN

HIPERGEOMETRIK; MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Ahli Madya

SADRAKH 082407111

PROGRAM STUDI DIPLOMA III STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERNYATAAN

VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL

DENGAN NORMAL DAN FUNGSI BINOMIAL DENGAN HIPERGEOMETRIK;

MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI

TUGAS AKHIR

Saya mengakui bahwa Tugas Akhir ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali

beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2011

SADRAKH

(4)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha

Penyayang, dengan limpah kurnia-Nya Tugas Akhir ini berhasil diselesaikan dalam

waktu yang telah ditetapkan.

Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan termakasih kepada semua

pihak yang telah turut serta memberikan petunjuk dan motivasi dalam menyelesaikan

Tugas Akhir ini khusunya kepada :

1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

2. Bapak Prof. Dr. Tulus , MSi. selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Pengetahuan Alam Universitas Sumatera

Utara.

3. Bapak Drs Open Darnius, M.Sc selaku Dosen Pembimbing pada penyelesaian

tugas akhir ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada

saya untuk menyempurnakan kajian ini.

4. Bapak Drs. Fagiziduhu Bu’ulölö, M.Si selaku Ketua Program Studi D-III

Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Sumatera Utara.

5. Semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU serta pegawai di

(5)

6. Orang tua dan keluarga tersayang yang selama ini telah memberikan bantuan

dan dorongan moril maupun materi, semoga Tuhan Yang Maha Esa akan

membalasnya.

7. Untuk Siska Ernida Wati br Sitompul yang telah memberikan dukungan moril

maupun materi serta motivasi yang begitu besar untuk menyelesaikan apa yang

telah saya mulai sehingga Tugas Akhir ini selesai tepat pada waktunya.

8. Rekan-rekan Kuliah yang telah bersedia meluangkan waktu dan memberikan

masukan untuk membantu penulis menyelesaikan Tugas Akhir ini terkhusus

buat Herri Purba, Panji Simamora, Daniel Manik, Samuel Silaen, Affandi

Siregar, Sri Hartati Ginting, Claudia Simanulang, Wida Karo-karo, Margaretha

Eflin Siahaan dan teman-teman yang lain yang tidak dapat saya sebutkan satu

(6)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Daftar isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 2

1.3 Maksud dan Tujuan 3

1.4 Metodologi Penelitian 3

1.5 Keuntungan Simulasi 4

1.5.1 Compress Time 4

1.5.2 Expand Time 4

1.5.3 Control Sources of Variation 5

1.5.4 Error in Meansurment Correction 5

1.5.5 Stop Simulation and Restart 5

1.5.6 Easy to Replicate 6

1.6 Sistematika Penulisan 6

BAB 2 TINJAUAN TEORITIS 7

2.1 Pendahuluan 7

(7)

2.3 Distribusi Normal 10

2.3.1 Pengertian Distribusi Normal 10

2.3.2 Pendekatan distribusi Normal-Binomial 11

2.4 Distribusi Hipergeometrik 12

2.4.1 Pengertian Distribusi Hipergeometrik 12

2.4.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Hipergeometrik 14

BAB 3 IMPLEMENTASI SISTEM 16

3.1 Pengertian Implementasi Sistem 16

3.2 Pengenalan Software R 17

3.3 Memulai R 19

3.4 Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Distribusi Binomial dan Normal 20

3.5 Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Distribusi Hipergeometrik 32

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 38

4.1 Kesimpulan 38

4.2 Saran 39

DAFTAR PUSTAKA 40

(8)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.4.2 Pendekatan distribusi Binomial Terhadap distribusi

Hipergeometrik 14

(9)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 3.1 Tampilan Jendela Pembuka R 19

Gambar 3.2 Pembangkitan Data Distribusi Binomial Dengan = 10; p = 0,1 21

Gambar 3.3 Pembangkitan Data Distribusi Normal Dengan = 1; = 0,95 21

Gambar 3.4 Perintah data binomial yang dibangkitkan 22

Gambar 3.5 Histogram data binomial yang dibangkitkan 22

Gambar 3.6 Perintah data normal yang dibangkitkan 23

Gambar 3.7 Histogram data normal yang dibangkitkan 23

Gambar 3.24 Pembangkitan Data hipergeometrik dengan n=10, k = 100 32

(10)

Gambar 3.26 Histogram data Hipergeometrik yang dibangkitkan 33

Gambar 3.27 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 34

(11)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kata Statistik dikaitkan dengan kata staat (bahasa Jerman artinya Negara) atau statista

(bahasa Italia artinya Negarawan). Jadi Statistika dapat bermakna suatu yang penting

bagi Negara. Statistika dapat diartikan sebagai sebuah pengetahuan yang berhubungan

dengan data dan data merupakan suatu fakta atau karakteristik yang diperoleh dengan

cara mengamati atau mengukur. Setelah data dikumpulkan lalu data itu dianalisis

sehingga memperoleh suatu kesimpulan (informasi) tentang seluruh keterangan yang

ada. Dan kesimpulan tersebut dapat berguna bagi diri sendiri maupun orang lain.

Salah satu data yang sering digunakan adalah data acak. Data acak merupakan

suatu fenomena yang diambil dengan suatu proses sedemikian rupa sehingga hasilnya

tidak dapat ditentukan dengan pasti sebelumnya. Proses yang sedemikian rupa ini

disebut juga proses membangkitkan data acak yang mengikuti pola distribusi dimana

proses tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan salah satu software untuk

statistika yaitu program R.

R adalah suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model

komputasi Statistika . Software R dapat menghasilkan banyak bilangan acak dengan

(12)

acak tersebut adalah dengan mensimulasikan data acak tersebut . Simulasi dapat

diartikan juga dengan “ Rekayasa”. R juga memiliki kemampuan yang baik dalam

membuat grafik akan tetapi R juga memiliki tampilan grafik yang terbatas. Dalam hal

ini penulis mencoba untuk mensimulasikan data acak dari fungsi Binomial ke Normal

dan dari fungsi Binomial ke Hipergeometrik dengan parameter yang berbeda. Melalui

Rekayasa tersebut akan dibandingkan bagaimana perubahan grafik antara fungsi

binomial dengan normal dan fungsi binomial dengan hipergeometrik.

Oleh karena itu, penulis mencoba untuk memperlihatkan secara Visual

perbandingan perubahan grafik dari fungsi binomial ke normal dan dari fungsi

binomial ke hipergeometrik dengan suatu simulasi. Kajian dalam penelitian ini

didasarkan atas suatu simulasi komputer dalam software R. Sehingga penelitian ini

diberi judul “ Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dengan

Normal dan Fungsi Binomial Dengan Hipergeometrik; Menggunakan Suatu

Simulasi”.

1.2Identifikasi Masalah

R merupakan suatu program komputasi statistika yang mempunyai banyak fungsi

untuk membangkitkan data acak yang mengikuti pola distribusi tertentu. Distribusi

tesebut dapat dilihat dengan menggunakan histogram dan juga grafik. Untuk itu

permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana

memvisualisasikan serta membandingkan grafik fungsi binomial dengan normal dan

(13)

1.3Maksud dan Tujuan

Adapun maksud dan tujuan penelitian ini adalah untuk menunjukkan secara visual

perbandingan perubahan grafik fungsi binomial dengan normal dan fungsi binomial

dengan Hipergeometrik dengan suatu simulasi menggunakan software R

1.4Metodologi Penelitian

Dalam penelitian ini metode yang diambil adalah metode simulasi komputer dan

berikut adalah tahapan atau langkah langkah yang dilakukan :

1. Merancang program simulasi

2. Membangun data peubah acak distribusi binomial dengan menggunakan

program R

3. Membangun data peubah acak distribusi normal dengan menggunakan

program R

4. Menunjukkan secara visual serta membandingkan perubahan grafik fungsi

distribusi binomial dengan normal menggunakan parameter yang

berbeda-beda

5. Membangkitkan data peubah acak hipergeometrik dengan menggunakan

program R

6. Menunjukkan secara visual serta membandingkan perubahan grafik fungsi

distribusi binomial dengan hipergeometrik menggunakan parameter yang

berbeda-beda

(14)

1.5Keuntungan Simulasi

Menurut Thomas J. Kakiay (2004, hal : 3 (TA Firdaus, 2006)) ada beberapa

keuntungan yang bisa diperoleh dengan memanfaatkan simulasi, yaitu sebagai

berikut:

1.5.1 Compress Time (Menghemat Waktu)

Kemampuan dalam menghemat waktu ini dapat dilihat dari pekerjaan yang

bila dikerjakan memakan waktu tahunan akan tetapi dengan menggunakan simulasi

pada program R ini kita hanya membutuhkan waktu beberapa menit, bahkan dalam

beberapa kasus dapat dihitung beberapa detik saja.

1.5.2 Expand Time (Dapat Menyebarluaskan Waktu)

Simulasi dapat digunakan untuk menunjukkan perubahan struktur dari suatu

Sistem Nyata (Real System) yang sebenarnya tidak dapat diteliti pada waktu yang

seharusnya (Real Time). Dengan demikian simulasi dapat membantu mengubah Real

(15)

1.5.3 Control Sources of Variation (Dapat Mengawasi Sumber-Sumber yang Bervariasi)

Kemampuan pengawasan dalam simulasi ini tampak terutama apabila analisis

statistic digunakan untuk meninjau hubungan antara variable bebas (independent

variabel) dengan variable terikat (dependent) yang merupakan faktor-faktor yang akan

dibentuk dalam percobaan.

1.5.4 Error in Meansurment Correction (Mengkoreksi Kesalahan-Kesalahan Penghitungan)

Dalam prakteknya, pada suatu kegiatan ataupun percobaan dapat saja muncul

ketidak benaran dalam mencatat hasil-hasilnya. Sebaliknya, dalam simulasi komputer

jarang ditemukan kesalahan perhitungan terutama bila angka-angka diambil dari

komputer secara teratur dan bebas.

1.5.5 Stop Simulation and Restart (Dapat Dihentikan dan Dijalankan Kembali)

Simulasi komputer dapat dihentikan untuk kepentingan peninjauan ataupun

pencatatan semua keadaan yang relevan tanpa berakibat buruk terhadap program

simulasi tersebut. Dalam dunia nyata, percobaan tidak dapat dihentikan begitu saja.

Dalam simulasi komputer, penghentian dapat dilakukan dan kemudian dapat dengan

(16)

1.5.6 Easy to Replicate (Mudah Diperbanyak)

Dengan simulasi komputer, percobaan dapat dilakukan setiap saat dan dapat

diulang-ulang. Dengan demikian simulasi komputer tidak memakan banyak biaya

dalam suatu penelitian.

1.6Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan yang digunakan penulis adalah antara lain:

BAB I : Pendahuluan

Bab ini mengutarakan tentang latar belakang, rumusan masalah,

maksud dan tujuan, metodologi penelitian dan sistematika penulisan.

BAB II : Tinjauan Teoritis

Bab ini menguraikan segala sesuatu menyangkut pada penyelesaian

masalah yang dihadapi sesuai dengan judul yang diuraikan

BAB III : Implementasi Sistem

Bab ini menjelaskan tentang program ataupun software yang di pakai

sebagai analisa terhadap data yang di peroleh.

BAB IV : Kesimpulan dan Saran

Bab ini menyatakan kesimpulan-kesimpulan dari apa yang telah

disajikan dalam pembahasan sebelumnya dan memberikan saran

(17)

BAB II

TINJAUAN TEORITIS

2.1 Pendahulauan

Menurut Darnius, O (2006, Hal : 53) simulasi dapat diartikan sebagai suatu

“rekayasa” suatu model logika ilmiah untuk melihat kebenaran/kenyataan model

tersebut. Kemampuan untuk mensimulasi data acak dengan jenis yang berbeda

misalnya, akan memampukan peneliti untuk membuat percobaan dan menjawab

pertanyaan – pertanyaan dengan cara yang singkat. Simulasi merupakan suatu

pengetahuan yang sangat perlu dimiliki.

Menurut Banks (1998). Simulasi adalah tiruan dari proses dunia nyata atau

system. Simulasi menyangkut pembangkitan proses serta pengamatan dari proses

untuk menarik kesimpulan dari sistim yang diwakili.

Menurut Nailor (1966) dalam Rubinstein & Melamed (1998). Simulasi adalah

teknik numerik untuk melakukan eksperimen pada komputer, yang melibatkan jenis

matematik dan model tertentu yang menjelaskan prilaku bisnis atau ekonomi pada

(18)

Menurut Borowski & Borwein (1989) simulasi didefenisikan sebagai teknik

untuk membuat konstruksi model matematika untuk suatu proses atau situasi, dalam

rangka menduga secara karakteristik atau menyelesaikan masalah berkaitan dengan

menggunakan model yang diajukan.

Sebagaimana yang telah diketahui, bahwa R merupakan bahasa pemrograman

komputer yang dapat membangkitkan bilangan acak dengan banyak fungsi dan

memiliki kemampuan dalam membuat grafik. Untuk setiap bilangan acak tersebut kita

dapat melihat distribusinya dengan adanya histogram dan grafik yang dapat dibuat

melalui program ini. Dalam bab ini akan dibahas mengenai peubah acak yang akan

kita distribusikan dan kita teliti.

2.2 Distribusi Binomial

Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana adalah

distribusi binomial. Distribusi binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh

suatu percobaan yang dinamakan percobaan Bernoulli. Bernoulli yang nama

lengkapnya adalah Jacob Berrnoulli hidup pada tahun 1654-1705, selama 20 tahun

mempelajari probabilitas, dan hasil penemuanya diterbitkan dalam buku Ars

Conjectandi.

Adapun percobaan Bernoulli adalah suatu percobaan dengan ciri-ciri sebagai

berikut :

1. Eksperimen berlangsung sebanyak n kali. Tiap eksperimen berlangsung dalam

(19)

2. Untuk setiap eksperimen hanya ada dua kejadian yang mungkin terjadi. Dua

kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian sukses dan gagal. Probabilitas

sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan

dengan q, dimana p+q=1

3. Probabilitas sukses dari satu eksperimen ke eksperimen yang lain adalah konstan.

Dari proses tersebut, yang didefenisikan sebagai variabel adalah munculnya

kejadian sukses yang biasa dilambangkan dengan x. Jadi, bila suatu usaha binomial

dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1- p,

maka distribusi peluang peubah acak binomial x , yaitu banyaknya sukses dalam n

percobaan bebas ialah :

dimana :

x = Munculnya sukses yang ingin dihitung

n = Jumlah eksperimen

p = Probabilitas sukses dalam setiap eksperimen

q = Probabilitas gagal dalam setiap eksperimen = 1-p

(20)

2.3 Distribusi Normal

2.3.1 Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi variabel acak kontinu dan mempunyai nilai

yang jumlahnya tidak terbatas dalam skala atau jarak tertentu. Distribusi normal

mempunyai nilai sepanjang interval, biasanya berupa bilangan pecahan. Distribusi

normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dalam statistika.

Distribusi normal adalah fungsi padat peubah acak X dengan rata-rata (µ) dan standar

deviasi ( ). Distribusi normal dapat ditulis dengan rumus :

dimana :

x = Nilai dari distribusi variabel

= Mean dari nilai-nilai distribusi variabel

= Standar deviasi dari nilai-nilai distribusi variabel

= 3,14159

= 2,71828

Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva normal adalah :

1. Kurva berbentuk lonceng dan memiliki satu puncak ditengah

(21)

2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata

hitungnya . Apabila kurva dilipat menjadi dua bagian dengan nilai tengah

rata-rata sebagai pusat lipatan, maka kurva akan menjadi 2 bagian yang sama

3. Distribusi probabilitas dan kurva normal bersifat asimptotis. Kurva yang menurun

di kedua arah yaitu ke kanan untuk nilai positif tak terhingga ( ) dan ke kiri untuk

negatif tak hingga ( ). Dengan demikian, ekor kedua kurva tidak pernah

menyentuh nol, hanya mendekati nilai nol

4. Modusnya (Md) pada sumbu mendatar membuat fungsi mencapai puncaknya atau

maksimum pada X =

5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1

2.3.2 Pendekatan Distribusi Normal -Binomial

Bila n percobaan semakin besar dan memiliki sifat yang independent dari suatu

percoabaan ke percobaan lainnya, maka dengan pendekatan distribusi

normal-binomial dapat pula kita gunakan untuk menghitung nilai-nilai probabilitas terhadap

berbagai macam peristiwa yang mungkin dapat terjadi.

Dengan semakin besarnya jumlah percobaan pada distribusi binomial maka

perhitungan peluang dengan menggunakan distribusi binomial semakin kurang efektif,

karena jumlah kombinasi dari peristiwa yang diharapkan sangatlah kurang banyak.

Untuk menghindari ke kurang efektifan dari distribusi binomial ini, maka distribusi

tesebut dapat didekati dengan distribusi Normal. Secara umum dapat disimpulkan

(22)

normal karena secara teoritis bahwa distribusi binomial akan mendekati distribusi

normal untuk n besar dan p moderate (tidak besar dan tidak kecil)

2.4 Distribusi Hipergeometrik

2.4.1 Pengertian Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik merupakan suatu distribusi dimana pengambilan atau

penarikan sampelnya tanpa adanya pengembalian. Penggunaan distribusi

hipergeometrik ini terdapat pada berbagai bidang dan paling banyak pada penerimaan

sampel suatu hasil produksi, pengujian barang-barang elektronik dan pengendalian

mutu.

Bila pengujian dilakukan terhadap barang, maka secara umum barang akan

cacat atau rusak. Oleh karena itu barang tidak dapat dikembalikan pada populasinya.

Inilah alasan mengapa pengambilan sampel tanpa pengembalian digunakan.

Kegiatan-kegiatan seperti ini sering disebut dengan percobaan hipergeometrik. Agar lebih

mudah lagi dapat dijelaskan sebagai berikut: Misalnya ada N benda yang terdiri dari k

benda yang diberi nama sukses dan N – k yang akan diberi nama gagal. Ingin

diketahui probabilitas memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia dan n – x gagal

dari sebanyak N – k yang tersedia, bila variable acak ukuran n diambil dari N benda.

Dari uraian ini dapat kita ketahui bahwa percobaan hipergeometrik memiliki dua sifat

(23)

1. Sampel acak berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda

2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya N – k diberi nama

gagal.

Jumlah sukses x dalam percobaan hipergeometrik disebut variable acak

hipergeometrik. Distribusi peluang acak hipergeometrik x ialah jumlah sukses dalam

sampel acak berukuran n yang diambil dari N benda yang memuat k bernama sukses

dan N – k bernama gagal. Maka distribusinya dinyatakan dengan h (x;N,n,k). Karena

nilainya tergantung pada jumlah yang sukses k dalam n benda yang terpilih secara

acak dari N benda, maka distribusi hipergeometrik tersebut dapat dinotasikan sebagai

berikut:

dimana :

N = Ukuran Populasi

k = Sifat tertentu dari populasi

n = Ukuran sampel

x = Jumlah sifat k dalam n

(24)

2.4.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Hipergeometrik

Dalam kasus distribusi hipergeometrik kita dapat menggunakan pendekatan binomial

pada permasalahannya apabila keadaan tersebut adalah sebagai berikut :

a. Bila besar sampelnya (n) 1

b. Sampelnya (n) relatif kecil bila dibandingkan dengan jumlah populasinya

(N), yaitu n < 0,05N. Bila n lebih kecil dibandingkan dengan N maka

peluang tiap penarikan hanya berubah sedikit. Jadi distribusi

hipergeometrik dapat di dekati dengan distribusi binomial dengan

sehingga rata – rata dan varian dapat di dekati seperti pada tabel berikut :

Tabel 2.4.2 Pendekatan distribusi Binomial Terhadap distribusi Hipergeometrik

Binomial Hipergeometrik

Rata-rata ( ) _{Rata- rata ( )}

Varian ( ) _{Varian (} ₎

Simpangan baku (

Bila kedua ruas dibandingkan maka terlihat bahwa rataannya sama antara binomial

dan hipergeometrik sedangkan variannya berbeda sebesar faktor koreksi .

Dalam dunia nyata, konsep pendekatan ini sangat berguna karena tiga hal.

(25)

yaitu penyampelan tanpa pengembalian. Kedua, Distribusi Hipergeometrik tidak

mempunyai tabel, sehingga kita akan mengalami kesulitan karena terpaksa harus

selalu menghitung dengan rumus Hipergeometrik. Ketiga, kebanyakan sampel tidak

(26)

BAB III

IMPLEMENTASI SISTEM

3.1 Pengertian Implementasi Sistem

Implementasi sistem adalah tahapan penerapan hasil desain tertulis ke dalam

programming dengan menggunakan perangkat lunak (software) sebagai implementasi

ataupun prosedur untuk menyelesaikan desain sistem.

Adapun implementasi sistem yang digunakan untuk penyelesaikan

permasalahan pada distribusi Binomial, Normal dan distribusi Hipergeometrik adalah

dengan menggunakan software R. Diharapkan dengan menggunakan software ini kita

dapat meningkatkan pengetahuan dan kemampuan kita dalam hal :

1. Pemahaman bentuk elemen dan lembar kerja software R

2. Menganalisis data dengan menggunakan R

3. Pembentukan Grafik dengan menggunakan R

(27)

3.2 Pengenalan Software R

R adalah suatu sumber informasi tebuka dalam lingkup pengembangan model

komputasi statistika . Projek R sudah mulai dikembangkan oleh Robert Gentlemen

dan Ross Ihaka dari Departemen Statistika di Universitas Aukland pada tahun 1995.

Saat ini R ditangani oleh tim inti pengembangan R, yaitu suatu tim internasional yang

bekerja keras dengan sukarela untuk mengembangkan software ini. Projek R memiliki

web dengan alamat http://www.r-project.org. Situs ini merupakan situs utama untuk

memperoleh informasi R. Situs ini langsung berisikan software yang menyertakan

halaman-halaman dan sumber lainnya yang terdapat pada dokumen.

Software R merupakan suatu software yang terintegrasi yang memiliki fasilitas

untuk pemanipulasian data, perhitungan dan penampilan grafik. Bahasa R kini

menjadi standar de facto di antara statistikawan untuk pengembangan perangkat lunak

statistika, serta digunakan secara luas untuk pengembangan perangkat lunak statistika

dan analisis data.

Tulisan ini menjelaskan bagaimana menggunakan R ketika mempelajari

statistika dasar. Tujuannya adalah menjadikan software yang baik ini berguna pada

“level rendah” dalam mempelajari statistika dasar, sebagai alternatif alat bantu

komputasi yang sering digunakan sebelumnya seperti MINITAB, SPSS, Excel dan

sebagainya.

Ada beberapa keuntungan dari R sebagai suatu pengantar komputasi bagi

(28)

1. Sebagai software yang open source, R dapat di download secara gratis dan

dapat dijalankan pada UNIX, Windows dan Macintosh

2. R memiliki kemampuan yang baik untuk membangun sistem Help

3. R memiliki kemampuan yang baik dalam membuat grafik yang menghasilkan

grafik dengan kualitas publikasi yang dapat memuat simbol matematika.

4. Bahasa R memiliki ketegasan. Syntaxnya mudah dipelajari dan banyak

mengandung fungsi statistik yang built in ( fungsi jadi )

5. Bahasanya mudah di kembangkan oleh pengguna dengan fungsi tertulis

6. R adalah bahasa pemograman komputer. Untuk para pemrogram ini akan

terasa lebih terbiasa dari yang lainnya dan untuk pemula langkah selanjutnya

untuk pembuatan program tidak akan begitu sulit.

Selain memiliki keuntungan, R juga mempunyai kekurangan dibandingkan dengan

software komputasi yang lain, diantaranya adalah :

1. R memiliki tampilan grafik yang terbatas sedangkan software lain seperti

S-Plus lebih bagus

2. Tidak ada dana pendukung (meskipun seseorang dapat mengatakan mailinglist

internasional bahkan lebih baik)

3. Bahasa interuksinya adalah sebuah bahasa pemrograman sehingga mahasiswa

(29)

3.3Memulai R

R paling mudah digunakan dengan cara interaktif. Pertanyaan diajukan dan dijawab

dalam lembar kerja R (yaitu pada bagian perintah). Untuk memulai baris perintah R

maka dapat dilakukan hal sebagai berikut :

1. Klik menu Start, pilih Program R(tergantung dimana R diletakkan)

Gambar 3.1 Tampilan awal membuka Software R 2.12.2

Tampilan Jendela Windows

2. Pilih items R , maka akan muncul tampilan sebagai berikut :

(30)

Pada tampilan R Console diatas ditampilkan keterangan tentang tahun pembuatan,

Versi R yang sedang digunakan dan sekilas penjelasan dengan keberadaan

software R. Pada akhir keterangan muncul tanda > dan tanda ini disebut dengan

prompt. Tanda ini muncul dengan sendirinya dan berguna sebagai petunjuk

dimana perintah R sudah dapat di tuliskan.

[image:30.595.72.565.324.574.2]

3.4Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Distribusi Binomial dan Normal

Tabel 3.4 Data Peubah Acak Distribusi Binomial Dan Normal

Untuk memperlihatkan secara visual perubahan grafik pada distribusi binomial yang

mempunyai parameter n dan p sedangkan distribusi normal mempunyai parameter

dan maka metode simulasi yang digunakan adalah sebagai berikut : Probabilitas

sukses (p) 0.1 0.4 0.5 0.6 0.9

Probabilitas

gagal (q) 0.9 0.6 0.5 0.4 0.1

Sampel (n) Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 Kelompok 4 Kelompok 5

µ Σ µ Σ µ σ µ Σ µ σ

10 1 0.95 4 1.55 5 1.58 6 1.55 9 1.90

20 2 1.34 8 2.19 10 2.24 12 2.19 18 2.68

30 3 1.64 12 2.68 15 2.74 18 2.68 27 3.29

40 4 1.90 16 3.10 20 3.16 24 3.10 36 3.79

50 5 2.12 20 3.46 25 3.54 30 3.46 45 4.24

60 6 2.32 24 3.79 30 3.87 36 3.79 54 4.65

70 7 2.51 28 4.10 35 4.18 42 4.10 63 5.02

80 8 2.68 32 4.38 40 4.47 48 4.38 72 5.37

(31)

1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi binomial dengan n = 10, p = 0.1 dan

[image:31.595.124.523.137.351.2]

dimisalkan data yang dibangkitkan itu sebanyak 100 data

Gambar 3.2 Pembangkitan Data Distribusi Binomial Dengan = 10; p = 0,1

2. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi normal dengan = 1, = 0,95 dan

dimisalkan data yang dibangkitkan itu sebanyak 100 data

[image:31.595.125.524.456.683.2]

(32)

3. Standarisasi data yang dibangkitkan

4. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

[image:32.595.121.526.135.401.2]

a. Distribusi binomial dengan n = 10 sampai 90 dan p = 0,1

Gambar 3.4 Perintah data binomial yang dibangkitkan

[image:32.595.126.525.443.731.2]

(33)

[image:33.595.142.529.117.380.2]

b. Distribusi normal dengan nilai dan berdasarkan kelompok 1 pada tabel

Gambar 3.6 Perintah data normal yang dibangkitkan

[image:33.595.142.526.437.713.2]

(34)

[image:34.595.125.525.129.395.2]

[image:34.595.130.524.436.727.2]

(35)

[image:35.595.124.523.115.351.2]

Gambar 3.10 Perintah data normal yang dibangkitkan

[image:35.595.125.525.398.717.2]

(36)

[image:36.595.127.526.406.726.2]

Gambar 3.12 Perintah data binomial yang dibangkitkan

(37)

[image:37.595.128.524.390.732.2]

(38)

[image:38.595.121.525.125.388.2]

[image:38.595.129.520.447.687.2]

(39)

[image:39.595.125.525.115.351.2]

Gambar 3.18 Perintah data normal yang dibangkitkan

[image:39.595.128.524.402.744.2]

(40)

[image:40.595.124.524.128.383.2]

[image:40.595.127.525.445.723.2]

(41)

[image:41.595.126.527.118.405.2]

[image:41.595.127.528.458.733.2]

(42)

3.5Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Hipergeometrik

Dalam memperlihatkan secara visualisasi perubahan grafik fungsi hipergeometrik

yang mempunyai parameter-parameter n, N dan k dimana probabilitas (p) pada

binomial sama untuk pada hipergeometrik dan berubah-ubah sesuai dengan

parameter yang digunakan pada fungsi binomial diatas. Sehingga kita dapat

membandingkan perubahan grafik binomial dengan hipergeometrik maka metode

simulasi yang digunakan sebagi berikut :

1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi hipergeometrik dengan nilai p =

yaitu 0,1 dan distribusi hipergeometrik dengan N =1000, n = 10, k = 100

Gambar 3.24 Pembangkitan Data hipergeometrik n = 10, k = 100

(43)

[image:43.595.125.518.135.379.2]

Distribusi hipergeometrik dengan n = 10 sampai 90, N =1000, k= 100

Gambar 3.25 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan

[image:43.595.127.525.444.718.2]

(44)

[image:44.595.121.519.120.368.2]

Distribusi hipergeometrik dengan n = 10 sampai 90, N =1000, k= 400

[image:44.595.128.526.438.715.2]

(45)

[image:45.595.118.520.104.371.2]

Distribusi hipergeometrik dengan n = 10 sampai 90, N= 1000, k =500

[image:45.595.126.526.442.732.2]

Gambar 3.29 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan

(46)

[image:46.595.119.520.103.385.2]

Distribusi hipergeometrik dengan n = 10 sampai 90, N= 1000, k =600

[image:46.595.126.525.457.721.2]

(47)

Distribusi hipergeometrik dengan n = 10 sampai 90, N= 1000, k = 900

[image:47.595.127.524.455.741.2]

(48)

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dalam visualisasi ini penulis dapat menarik kesimpulan sebagai berikut :

1. Dalam grafik data membangkitkan percobaan binomial dapat dilihat bahwa

apabila nilai n diperbesar maka grafik akan semakin melenceng kekanan

dengan mengarah ke bentuk kurva yang terlihat cukup normal.

2. Dalam pendekatan distribusi binomial dengan distribusi normal, percobaan

binomial akan mendekati normal yaitu pada rbinom(100,90,0.1) dan

rnorm(100,9,2.85)

3. Dalam grafik data membangkitkan percobaan hipergeometrik dapat dilihat

bahwa apabila n dan k diperbesar maka grafiknya akan bergerak ke arah kanan

dan membentuk grafik yang cukup normal yaitu pada saat rhyper

(100,20,1000,600)

4. Dalam pendekatan percobaan hipergeometrik dengan binomial, percobaan

hipergeometrik dapat didekati dan memiliki bentuk grafik yang hampir identik

sama, yang terlihat pada saat n < 0,05N yaitu pada hyper(100,30,1000,400)

(49)

4.2 Saran

Adapun saran yang dapat diberikan penulis adalah bahwa dalam mensimulasikan

suatu data dengan software R tidak hanya terbatas pada distribusi Binomial dan

Hipergeometrik saja, tetapi distribusi diskret lainnya seperti halya distribusi

Geometrik, distibusi Binomial dan distribusi Poison, serta distribusi peluang yang

(50)

DAFTAR PUSTAKA

Darnius, Open, 2006, Diktat Kuliah Pengantar Komputasi Statistika dengan R,

USU, Medan.

Boediono, dan Wayan Koster, 2001, Statistika dan Probabilitas, PT Remaja

Rosdakarya, Bandung.

Ginting, Masten, 2006, Pengantar Metode Dasar Menghitung Peluang, USU,

Medan.

Hakim, Abdul, 2002, Statistika Induktif untuk Ekonomi & Bisnis, Ekonisia,

Yogyakarta.

Purwanto, Suharyadi, 2003, Statistika untuk Ekonomi & Keuangan Modern,

Salemba Empat, Jakarta.

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA

Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU, Telp. (061) 8211050, Fax (061) 8214290 Medan 20155

KARTU BIMBINGAN TUGAS AKHIR MAHASISWA

Nama Mahasiswa : Sadrakh Nomor Induk Mahasiswa : 082407111

Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi

Binomial Dengan Normal Dan Fungsi Binomial

Dengan Hipergeometrik; Menggunakan Suatu Simulasi

Dosen Pembimbing : Drs. Open Darnius, M.Sc Tanggal Mulai Bimbingan :

Tanggal Selesai Bimbingan :

No. Tanggal Asistensi Bimbingan

Pembahasan Asistensi Pada Bab

Paraf Dosen

Pembimbing Keterangan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

*Kartu ini harap dikembalikan ke Jurusan Matematika bila bimbingan mahasiswa telah selesai

Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua, Disetujui Dosen Pembimbing

Prof. Dr. Tulus, M.Si Drs.Open Darnius, M.Sc

(58)

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA

Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU, Telp. (061) 8211050, Fax (061) 8214290 Medan 20155

SURAT KETERANGAN

Hasil Uji Program Tugas Akhir

Yang bertanda tangan dibawah ini menerangkan bahwa Mahasiswa Tugas

Akhir Program Diploma III Statistika :

Nama Mahasiswa : Sadrakh

Nomor Induk Mahasiswa : 082407111

Judul Tugas Akhir :Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi

Binomial Dengan Normal Dan Fungsi Binomial

Dengan Hipergeometrik; Menggunakan Suatu Simulasi

Telah melaksanakan test program Tugas Akhir Mahasiswa tersebut di atas

pada tanggal

Dengan Hasil : Sukses / Gagal

Demikian diterangkan untuk digunakan melengkapi syarat pendaftaran Ujian

Meja Hijau Tugas Akhir Mahasiswa bersangkutan di Departemen Matematika FMIPA

USU Medan.

Medan,

Dosen Pembimbing,

Drs. Open Darnius, M.Sc