Catatan Kuliah
MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas
“Forecasting Risk: Precise and Prospective
”Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA
Institut Teknologi Bandung
Tentang MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas
Jadwal kuliah: Rabu, 9- (R. 9531); Kamis, 9- (R. StudyHall) Penilaian:
• Ujian (4x, @ 25%) • Kuis (20%)
Buku teks:
• Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation
• Stuart Klugman, Harry Panjer, Gordon Willmot, 2012, Loss Models: From Data to Decisions 4th ed.
Materi Perkuliahan:
M1 (15/1): Pengantar; kuis selamat datang; model risiko diskrit/kontinu; penaksiran parameter
M2 (22/1): Kredibilitas model risiko; bias dan mse; Cre-VaR M3 (29/1): Ujian 1 (Rabu, 31/1/18)
M3 (29/1): Konstruksi model empirik; penaksir yang baik M4 (5/2): Kuis Ujian 1 (Rabu, 7/2/18)
M4 (5/2): Himpunan risiko; data lengkap dan tak lengkap
M5 (12/2): Tugas 1; sampel acak mean; penaksir momen dan persentil M6 (19/2):
Pengantar: Risiko Stokastik dan Kredibilitas Model Risiko
Risiko stokastik adalah kuantifikasi risiko (atau kerugian) melalui peubah acak. Risiko akan bermakna jika diukur atau diprediksi dan ditentukan keakuratannya.
Data risiko (stokastik) dapat dirangkum melalui model atau distribusi. Kajian utama dalam proses ini akan mengkonstruksi atau membangun model.
Perhatikan peubah acak yang menyatakan risiko. Peubah acak tersebut dapat berupa L (yang menyatakan kerugian), R (imbal hasil atau return) dan/atau X (yang menyatakan “keun-tungan” atau berpotensi kerugian). Peubah acak yang pertama dapat dimodelkan dengan distribusi diskrit atau kontinu. Peubah acak imbal hasil dapat direpresentasikan melalui model heteroskedastik (ARCH/GARCH). Sementara itu, peubah acak X seringkali dipandang sebagai proses Gerak Brown.
Misalkan L menyatakan banyak kerugian atau besar/nilai kerugian. Peubah acak tersebut dapat dimodelkan melalui distribusi diskrit seperti Poisson, binomial, geometrik dan binomial negatif. Sebagai model kontinu, peubah acak tersebut dapat dimodelkan melalui distribusi eksponensial, lognormal, Weibull dan Pareto.
Pandang harga aset pada waktu t, St. Definisikan imbal hasil atau return
Rt = log St St−1
.
Imbal hasil ini memiliki sifat empirik antara lain tidak berautokorelasi (ada, namun kecil) dan berdistribusi ekor tebal (lihat Cont (2001) dan Engle dan Patton (2001) untuk melihat sifat-sifat empirik yang lain). Model-model yang dikenal untuk imbal hasil adalah ARCH dan GARCH serta variannya.
Misalkan harga aset St dimodelkan melalui
St= S0eXt
yang dikenal sebagai Gerak Brown geometrik; proses {Xt} adalah proses Gerak Brown (cek kembali sifat kenaikan bebas dan kenaikan stasioner). Kita dapat menuliskan Xt dengan
mem-perhatikan sifat logaritma dan mengaitkannya dengan peubah acak imbal hasil Rt, Xt= ln St S0 = ln St St−1 St−1 St−2 · · ·S1 S0 = ln St St−1 + lnSt−1 St−2 +· · · + lnS1 S0 = Rt+ Rt−1+· · · + R1 Diskusi:
Dapatkah kita menghubungan proses Gerak Brown dengan agregat model ARCH atau GARCH? Apakah peran sifat kenaikan bebas dan kenaikan stasioner?
Latihan:
(a) Misalkan imbal hasil majemuk Rt mengikuti proses GB standar. Pandang kuadrat imbal
hasil. Hitung kovariansi kedua peubah acak imbal hasil tersebut
(b) Misalkan imbal hasil majemuk Rt bernilai -1,0,1. Pandang kuadrat imbal hasil.
Model Frekuensi Klaim
Misalkan N kerugian acak yang menyatakan frekuensi kerugian klaim (yang masuk atau dia-jukan) pada suatu periode waktu. Distribusi untuk N adalah Poisson dengan parameter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ, atau E(N ) = V ar(N ) = λ. Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi kerugian klaim adalah dis-tribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggam-barkan distribusi ini? Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik?
Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif:
f (n) = ( a + b n ) f (n− 1), n = 1, 2, . . . ,
dengan a, b konstanta dan f (0) diberikan.
Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi.
Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena dimana peluang ter-jadinya “0” telah ditentukan, misalnya P (N = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada,
P (N = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang diatas. Distribusi yang
di-hasilkan dikatakan sebagai distribusi modifikasi nol (zero-modified distribution) dan distribusi bernilai nol (zero-truncated distribution).
Latihan:
1. Diketahui N berdistribusi geometrik dengan mean 2. Tentukan mean dari distribusi modifikasi nol-nya dengan fmod(0) = 1/6.
2. Perusahaan asuransi mengkategorikan pengendara menjadi dua: pengendara baik dan buruk. Banyak klaim yang diajukan oleh pengendara baik adalah peubah acak Pois-son dengan mean 0.2; pengendara buruk mengajukan klaim mengikuti distribusi PoisPois-son dengan parameter Λ. Diketahui Λ ∼ U(1, 2). Portofolio perusahaan terdiri atas 75% pengendara baik dan sisanya pengendara buruk. Seorang pengendara dipilih secara acak dan diketahui mengajukan nol klaim tahun lalu. Tentukan peluang bahwa pengendara ini juga mengajukan nol klaim tahun ini.
Solusi-1:
Fungsi peluang: f (n) = P (N = n) = (1− p)np, n = 0, 1, 2, . . . dengan E(N ) = (1− p)/p = 2.
Diperoleh p = 1/3.
Diketahui fmod(0) = 1/6. Diperoleh, c = 11−1/3−1/6 = 5/4. Jadi, E(Nmod) = c E(N ) = (5/4)(2) = 5/2
Solusi-2:
Diketahui NG ∼ P OI(0.2); NB ∼ P (Λ); Λ ∼ U(1, 2).
Diketahui juga P (G) = 3/4, P (B) = 1/4. Kita akan menenentukan P (N2 = 0|N1 = 0).
Diperoleh P (N1 = 0) = P (N1 = 0|G)P (G) + P (N1 = 0|B)P (B) = e−2(3/4) + ∫ 2 1 e−λ1 dλ (1/4)
Dengan cara yang sama diperoleh
P (N2 = 0, N1 = 0) = P (N2 = 0, N1 = 0|G)P (G) + P (N2 = 0, N1 = 0|B)P (B) = P (N2 = 0|G)P (N1 = 0|G)P (G) + P (N2 = 0|B)P (N1 = 0|B)P (B) = e−2e−2(3/4) + ∫ 2 1 e−2λ1 dλ (1/4)
Model Severitas Klaim
Nilai atau severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim asuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu nonnegatif. Secara khusus, akan dibahas distribusi eksponensial dan Pareto serta sifat-sifat yang menyertainya seperti kuantil dan sifat ekor (CTE dan indeks ekor).
Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat-sifat khusus peubah acak seperti kuantil dan sifat ekor (CTE dan indeks ekor) adalah manfaat atau aplikasi dalam bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan pada pembayaran
klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage).
Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak jarang pengen-dara bersikap ceroboh terhadap kenpengen-daraannya karena keyakinan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral
hazard), perusahaan asuransi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductibles, policy limits dan coinsurance.
Suatu polis asuransi dengan per-loss deductible d tidak akan menbayar pada pemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengan d; akan membayar pemegang polis sebesar X−d jika kerugian X lebih dari d. Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian kerugian, XL, adalah
XL= X− d, untuk X > d,
dan XL= 0 untuk X ≤ d. Distribusi peluang untuk XL adalah...
Latihan:
1. Misalkan kerugian agregat L hanya bernilai integer positif.
Diketahui E((L− 2)+) = 1/5, E((L− 3)+) = 0 dan fL(1) = 1/2. Hitung E(L).
2. Suatu kerugian L diasuransikan parsial. Polis asuransi memberlakukan deductible 100. Asuransi membayar setengah dari kerugian, yang lebih dari (in excess of) 100, atas keru-gian bernilai hingga 1000. Untuk kerukeru-gian bernilai lebih dari 1000, asuransi membayar
X− 550.
Diketahui: E(X) = 2000, E(X∧ 100) = 98, E(X ∧ 450) = 400, E(X ∧ 550) = 480, E(X ∧ 900) = 725, E(X∧ 1000) = 790. Hitung nilai uang (yang diharapkan) yang dibayar oleh asuransi ketika kerugian terjadi.
3. Pandang distribusi klaim Poisson majemuk S dengan parameter λ = 2; distribusi severitas
X adalah
Aturan deductible 1 diaplikasikan setiap klaim individu X. Pembayaran agregatnya (sete-lah deductible) ada(sete-lah S∗. Tentukan deductible d sehingga pembayaran yang diharapkan sama dengan E(S∗).
4. Suatu polis atas kerugian L memiliki aturan deductible 40. Polis juga mengatur hal-hal berikut. Jika 40 < L ≤ 60, polis membayar nilai kerugian yang lebih dari 40. Jika 60 < L ≤ 80, asuransi membayar 20 ditambah 75% kerugian yang lebih dari 60. Jika
L > 80, asuransi membayar 35.
(a) Jika L berdistribusi Uniform pada selang (0, 100), tentukan nilai kerugian yang di-harapkan (expected cost per loss)
(b) Formulasikan nilai kerugian sebagai kombinasi L dan L∧ a
Solusi-1: E(L− 2)+ = ∞ ∑ l=2 (l− 2) fL(l) = ∞ ∑ l=2 l· fL(l)− 2 ∞ ∑ l=2 fL(l) = 1/5, (∗) E(L− 3)+ = ∞ ∑ l=3 (l− 3) fL(l) = ∞ ∑ l=3 l· fL(l)− 3 ∞ ∑ l=3 fL(l) = 0. (∗∗)
Dari (*) dan (**) diperoleh:
1/5 = 2 fL(2) + ∞ ∑ 3 lf (l)− 2 ∞ ∑ l=2 fL(l) = 2 fL(2) + 3 ∞ ∑ 3 f (l)− 2 ∞ ∑ l=2 fL(l) = 2 fL(2) + 3 ( fL(2) + ∞ ∑ 3 f (l)− fL(2) ) − 2 ∞ ∑ l=2 fL(l) = ∞ ∑ l=2 fL(l)− fL(2) = ∞ ∑ l=3 fL(l). Jadi, ∑∞ l=3 l· fL(l) = 3/5. Kita ketahui fL(1) + ∞ ∑ l=2 fL(l) = 1/2 + ∞ ∑ l=2 fL(l) = 1. Jadi, ∑∞ l=2 fL(l) = 1/2; fL(2) = 3/10.
Ekspektasi dari kerugian L adalah E(L) = fL(1) + 2 fL(2) + ∞ ∑ l=3 l· fL(l) = 1/2 + 6/10 + 3/5 = 17/10. Solusi-2:
Pembayaran untuk polis dengan deductible a dan cakupan maksimum b adalah (X∧b)−(X ∧a). Untuk a = 100, b = 1000, asuransi membayar 12((X∧1000)−(X ∧100))untuk kerugian hingga 1000.
Untuk kerugian 1000, asuransi membayar 12(1000− 100) = 450. Untuk kerugian lebih dari 1000, asuransi membayar
1 2 ( (X∧ 1000) − (X ∧ 100))+ (X − 550 − 450)+ = X− 1 2(X∧ 100) − 1 2 ( (X ∧ 1000). Jadi, ekspektasinya 1556. Solusi-4:
Misalkan Y peubah acak yang menyatakan nilai kerugian,
Y = 0, L≤ 40; Y = L − 40, 40 < L ≤ 60; Y = 20 + 0.75(L− 60), 60 < L ≤ 80; Y = 35, L > 80. Jadi, E(Y ) = ∫ 60 40 (l− 40)(0.01) dl + ∫ 80 60 (20 + 0.75(l− 60))(0.01) dl + ∫ 100 80 (35)(0.01) dl = 14.5
Nilai yang kerugian yang diharapkan adalah
(L− 40)+− 0.25(L − 60)+− 0.75(L − 80)+
= L− (L ∧ 40) − 0.25 (L − (L ∧ 60)) − 0.75 (L − (L ∧ 80)) = 0.75 (L∧ 80) + 0.25 (L ∧ 60) − (L ∧ 40)
Pengantar: Risiko Stokastik, Model dan Ukuran Risiko
Risiko stokastik adalah kuantifikasi risiko (atau kerugian) melalui peubah acak. Risiko akan bermakna jika diukur atau diprediksi dan ditentukan keakuratannya.
Data risiko (stokastik) dapat dirangkum melalui model atau distribusi. Kajian utama dalam proses ini akan mengkonstruksi atau membangun model.
Kajian atau masalah yang akan dibahas dalam perkuliahan terbagi menjadi dua: Teori Risiko dan Kredibilitas. Kajian pertama antara lain
• Estimasi (Parameter) Model-1
Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusi dengan mean µ dan variansi σ2. Tunjukkan bahwa ¯X dan S2, berturut-turut, adalah penaksir tak bias untuk µ dan σ2.
• Estimasi (Parameter) Model-2
Misalkan ˆθ1 adalah penaksir untuk parameter θ; ˆθ1 ∈ (a, b). Definisikan penaksir (lain) untuk
θ yaitu ˆθ2. Diketahui: ˆθ2 = ˆθ1, ˆθ1 ∈ (a, b); ˆθ2 = a, ˆθ1 ≤ a; ˆθ2 = b, ˆθ1 ≥ b.
Tunjukkan bahwa MSE(ˆθ2) = MSE(ˆθ1).
Jika ˆθ1 penaksir tak bias, tunjukkan Var(ˆθ2)≤ Var(ˆθ1).
Sementara itu, kajian kredibilitas akan meliputi:
• Kredibilitas-1
Asumsikan severitas/nilai klaim memiliki mean 256 dan deviasi standar 532. Observasi di-lakukan pada 456 klaim. Tentukan peluang bahwa mean sampel berada dalam (within) 10% nilai mean yang sebenarnya. Hitung CV dari (i) distribusi severitas klaim (ii) mean sampel severitas klaim.
• Kredibilitas-2
Misalkan kerugian agregat mengikuti model distribusi majemuk (compound); frekuensi klaim berdistribusi Poisson dengan mean 569, distribusi severitas klaim memiliki mean 120 dan var-iansi 782. Hitung mean dan variansi agregat kerugian. Hitung peluang bahwa suatu kerugian
agregat yang terobservasi berada dalam 5% mean kerugian agregat.
• Kredibilitas B¨uhlmann-1
Diketahui N menyatakan frekuensi klaim dengan N ∼ B(10, θ). Severitas klaim, X, merupakan peubah acak eksponensial dengan mean cθ. Diberikan θ, frekuensi dan severitas klaim saling bebas. Tentukan k, rasio antara “expected value of the process variansi” dan “ variance of the hypotethical mean”. Apakah k bergantung pada c?
• Kredibilitas B¨uhlmann-2
Diketahui N menyatakan frekuensi klaim dengan N ∼ B(10, θ). Severitas klaim, X, merupakan peubah acak eksponensial dengan mean cθ. Diberikan θ, frekuensi dan severitas klaim saling bebas. Hitung Cov(X, N ), kovariansi tak bersyarat N dengan X.
• Kredibilitas B¨uhlmann-3
Diketahui N menyatakan frekuensi klaim dengan N ∼ B(10, θ). Severitas klaim, X, merupakan peubah acak eksponensial dengan mean cθ. Diberikan θ, frekuensi dan severitas klaim saling bebas. Tentukan parameter (model) kredibilitas B¨uhlmann untuk N dan X.
Bab 1: Konstruksi Model Empirik
Model (risiko) akan memberikan manfaat jika diaplikasikan pada data dengan terlebih dahulu menaksir parameter yang membangun model tersebut. Penaksir yang dihasilkan harus memiliki sifat-sifat penaksir yang baik.
Konstruksi Model: Penaksiran Parameter
Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak kerugian X yang memiliki distribusi dengan fungsi
pelu-ang f (x). Lpelu-angkah pertama dalam mengkonstruksi model adalah penaksiran parameter. Mis-alkan θ parameter yang membangun distribusi peluang atau model. Parameter tersebut dapat ditaksir dengan metode likelihood maksimum.
Misalkan ˆθ penaksir untuk parameter θ. Fungsi peluang f (x; θ) memiliki penaksir parametik
fungsi peluang f (x; ˆθ). Jika f (x; θ) ditaksir langsung dari semua nilai x tanpa asumsi distribusi
maka penaksiran tersebut dikatakan nonparametrik.
Misalkan θ memiliki penaksir ˆθML. Misalkan ˆθU = f (X1, X2, . . . , Xn) dan ˆθL = g(X1, X2, . . . , Xn).
Selang (ˆθL, ˆθU) dikatakan 100(1− α)% selang kepercayaan 100(1 − α)% untuk θ jika
P(θˆL≤ θ ≤ ˆθU
)
= 1− α.
Contoh:
Misalkan ˆθ berdistribusi normal dengan mean θ dan variansi σ2 ˆ
θ, maka selang kepercayaan untuk θ adalah...
Sifat Penaksir Parameter
Suatu penaksir ˆθ dikatakan tak bias (asimtotik) jika dan hanya jika E(ˆθ) = θ (untuk ukuran
sampel n yang besar).
Misalkan ˆθ dan ˜θ penaksir-penaksir tak bias untuk θ. Penaksir ˆθ dikatakan efisien jika memiliki
variansi yang lebih kecil daripada variansi penaksir ˜θ atau V ar(ˆθ) ≤ V ar(˜θ).
Bagaimana kita dapat menguji penaksir yang bersifat konsisten? Perlukah kita menghitung MSE penaksir?
Soal 1:
Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusi dengan mean µ dan variansi σ2. Tunjukkan bahwa ¯X dan S2, berturut-turut, adalah penaksir tak bias untuk µ dan σ2.
Soal 2:
Misalkan X1, X2, . . . , Xnsampel acak berdistribusi U (0, θ). Misalkan Y = maks(X1, X2, . . . , Xn)
penaksir untuk θ. Hitung mean, variansi, bias dan MSE penaksir tersebut. Soal 3:
Suatu kerugian acak X berdistribusi U (0, θ). Sampel diambil dari n pembayaran dari polis dengan batas 100. Delapan nilai sampel bernilai 100. Penaksir likelihood maksimum untuk parameter θ adalah ˆθ. Sampel lain dari n pembayaran diambil dari polis dengan batas 150.
Tiga nilai sampel bernilai 150. Penaksir untuk θ adalah 43θ. Tentukan n.ˆ
Soal 4:
Sampel acak berukuran 12 dari suatu distribusi populasi adalah
7, 15, 15, 19, 26, 27, 29, 29, 30, 33, 38, 53.
Misalkan variansi distribusi adalah 100.
Tentukan bias dari variansi sampel (sebagai penaksir variansi distribusi). Soal 5:
Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari X yang berdistribusi Uniform pada selang (2 θ, 3 θ),
dengan θ > 0. Tentukan bias dari penaksir likelihood maksimum untuk θ. Soal 6:
Tentukan penaksir untuk θ pada distribusi Poisson bernilai nol (zero-truncated Poisson distri-bution). Fungsi peluang:
P (N = 1) = λ
eλ− 1; P (N = k) =
λk k!(eλ − 1)
Mean dan variansinya adalah
E(N ) = λ 1− e−λ = λeλ eλ− 1. V ar(N ) = λ + λ 2 1− e−λ − λ2 (1− e−λ)2.
Konstruksi Model: Data Lengkap
Dalam praktik pemodelan risiko, seringkali diperoleh data yang menyatakan (i) durasi waktu (length-of-time) dan/atau (ii) kerugian. Contoh data durasi adalah lama seseorang menggan-gur, dirawat di RS ataupun bertahan hidup. Sementara itu, nilai atau besar kerugian klaim dan kompensasi adalah contoh data kerugian.
Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak yang menyatakan waktu kegagalan. Representasi atau
datanya adalah x1, . . . , xn. Kita dapat menentukan m≤ n data yang memiliki nilai observasi
berbeda, sebut y1, . . . , ym. Banyaknya observasi yj adalah wj dengan
∑m
j=1 wj = n.
Perhatikan bahwa kita dapat menentukan “risk set” yaitu himpunan banyak observasi dalam sampel yang memiliki risiko atas kejadian pada saat yj; rj =
∑m i=j wi.
Ilustrasi-1.
Data yang menyatakan waktu kegagalan (setelah diurutkan) adalah:
2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 8, 12, 14, 18, 18, 24, 24.
Perhatikan:
y1 = 2, w1 = 1, r1 = 16,
y2 = 3, w2 = 1, r2 = 15.
Konstruksi data dalam representasi lain adalah
j yj wj rj 1 2 1 16 2 3 1 15 3 5 3 14 4 6 2 11 5 8 3 9 6 12 1 6 7 14 1 5 8 18 2 4 9 24 2 2
Ilustrasi-2.
Misalkan data klaim medis adalah:
15, 16, 16, 16, 20, 21, 24, 24, 24, 28, 28, 34, 35, 36, 36, 36, 40, 40, 48, 50
Konstruksi data dalam representasi lain adalah
j yj wj rj 1 15 1 20 2 16 3 19 3 20 1 16 4 21 1 15 5 24 3 14 6 28 2 11 7 34 1 9 8 35 1 8 9 36 3 7 10 40 2 4 11 48 1 2 12 50 1 1
Konstruksi Model: Data Tidak Lengkap
Dalam praktiknya, seringkali kita tidak memiliki informasi lengkap tentang individu atau re-sponden yang menjadi obyek penelitian. Misalnya, studi terhadap lama waktu pasien bertahan hidup setelah mengalami operasi. Kita dapat memperoleh data banyak pasien yang mengalam operasi (i) sebelum atau (ii) setelah studi dilakukan. Dalam kasus pertama, pasien mungkin masih bertahan saat studi dilakukan; namun mungkin juga pasien telah meninggal (left trun-cated). Jika pasien masih bertahan hidup namun studi telah berakhir, data pasien hingga meninggal tidak dapat diperoleh (right censored).
Definisikan di yang menyatakan status left-truncation (l-f) untuk pasien (i); di = 0 tidak ada
Definisikan xi menyatakan waktu kesintasan (waktu hingga meninggal setelah operasi); jika
pasien bertahan hingga akhir studi maka xi tidak terobservasi dan waktu kesintasannya adalah ui.
Ilustrasi-1.
Misalkan sampel berukuran 10 menyatakan waktu kesintasan pasien setelah operasi; t1 waktu
saat pasien pertama kali diobservasi (t1 = 0 pasien sudah dioperasi), t2 lama waktu sejak
op-erasi, ta waktu saat studi terhadap pasien dihentikan (karena meninggal M ; studi berakhir A).
i t1 t2 ta status 1 0 2 7 M 2 0 4 4 M 3 2 0 9 M 4 4 0 10 M 5 5 0 12 A 6 7 0 12 A 7 0 2 12 A 8 0 6 12 A 9 8 0 12 A 10 9 0 11 M
Perhatikan: d1 = 2, x1 = 9, u1 =−; d3 = 0, x3 = 7, u3 =−. Nilai-nilai di, xi, ui adalah...
i di xi ui 1 2 9 -2 4 8 -3 0 7 -4 0 6 -5 0 - 7 6 0 - 5 7 2 - 14 8 6 - 18 9 0 - 4 10 0 2
-Seperti pada data lengkap, kita definisikan yj, wj, rj, dengan
rj = rj−1− wj−1+ banyak observasi yj−1 ≤ di < yj− banyak observasi yj−1 ≤ ui < yj(10.8)
atau
rj = banyak observasi di < yj− banyak observasi xi < yj− banyak observasi ui < yj, (10.9)
Perhatikan: y1 = 2, w1 = 1, r1 = 6 = 6− 0 − 0; y2 = 6, w2 = 1, r2 = 6 = 6− 1 + 3 − 2 = 9 − 1 − 2. Kita peroleh... j yj wj rj (10.8) (10.9) 1 2 1 6 - 6-0-0 2 6 1 6 6-1+3-2 9-1-2 3 7 1 6 6-1+1-0 10-2-2 4 8 1 4 6-1+0-1 10-3-3 5 9 1 3 4-1+0-0 10-4-3 Ilustrasi-2.
Untuk data klaim medis, diperoleh data berikut..
i di xi u∗i ui i di xi u∗i ui 1 0 12 15 - 11 3 14 15 -2 0 10 15 - 12 3 - 15 15 3 0 8 12 - 13 3 12 18 -4 0 - 12 12 14 4 15 18 -5 0 - 15 15 15 4 - 18 18 6 2 13 15 - 16 4 8 18 -7 2 10 12 - 17 4 - 15 15 8 2 9 15 - 18 5 - 20 20 9 2 - 18 18 19 5 18 20 -10 3 6 12 - 20 5 8 20
-Selanjutnya, dengan menggunakan formula (10.8) dan (10.9), diperoleh risk set berikut... j yj wj rj 10.8 10.9 1 6 1 20 - 20-0-0 2 8 3 19 20-1+0-0 20-1-0 3 9 1 16 19-3+0-0 20-4-0 4 10 2 15 16-1+0-0 20-5-0 5 12 2 13 15-2+0-0 20-7-0 6 13 1 10 13-2+0-1 20-9-1 7 14 1 9 10-1+0-0 20-10-1 8 15 1 8 9-1+0-0 20-11-1 9 18 1 4 8-1+0-3 20-12-4 Latihan Soal-1
Para pelamar pekerjaan diberi tugas untuk menunjukkan kualifikasinya. Catatan waktu saat mulai dan berakhirnya tugas adalah sebagai berikut:
i Bi Ei i Bi Ei 1 2 7 10 9 21 2 4 6 11 10 21 3 4 9 12 11 23 4 5 12 13 11 20 5 6 14 14 12 19 6 7 17 15 15 18 7 8 14 16 18 24 8 8 13 17 18 25 9 8 20 18 20 24 Latihan Soal-2
Nilai kerugian klaim adalah: 5, 7, 8, 10, 10, 16, 17, 17, 17, 19, 20, 20+, 20+, 20+, 20+. Diketahui: deductible 4 dan cakupan maksimum 20.
Bab 2: Penaksiran Parameter Model (Parametrik)
Model (risiko) akan memberikan manfaat jika diaplikasikan pada data dengan terlebih dahulu menaksir parameter yang membangun model tersebut. Penaksiran parameter dapat dilakukan dengan metode parametrik atau non parametrik.
Metode (Kecocokan) Momen dan Persentil
Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari X yang memiliki distribusi dengan fungsi peluang f (·; θ). Parameter θ = (θ1, . . . , θk) dapat ditaksir dengan metode momen melalui momen sampel
ke-k, bµ′ r = Xr 1 +· · · + Xnr n , untuk r = 1, . . . , k. Contoh 1:
Diketahui sampel acak dari distribusi dengan fungsi peluang
P (N = n) = θ(1− θ)n, n = 0, 1, 2, . . .
Penaksir bθ adalah solusi θ dari persamaan
E(N ) = 1− θ θ = N1+· · · + Nn n = ¯N . Diperoleh: bθ = 1+ ¯1N. Contoh 2a:
Tentukan penaksir bθ untuk sampel acak yang diambil dari distribusi U (0, θ).
Contoh 2a (lanjutan):
Sampel acak berukuran 15 dari kerugian X (dengan aturan policy limit 15) adalah sebagai berikut:
2, 3, 4, 5, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 15, 15, 15.
Solusi:
Momen pertama untuk kerugian X dengan policy limit u adalah
E(X ∧ u) = ∫ u 0 SX(x) dx = u− u2 2θ.
Untuk u = 15 dan mean sampel ¯X = 28/3, diperoleh bθ = · · ·
Contoh 2b:
Untuk sampel acak X1, . . . , Xn dari distribusi U (α, β), penaksiran parameter (α, β) dengan
metode momen dilakukan melalui
E(X) = α + β 2 dan E(X2) = (β− α) 2 12 + (E(X)) 2. Diperoleh: bα = · · · ; bβ =· · · .
Perhatikan min(X1, . . . , Xn) dan maks(X1, . . . , Xn).
Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari X yang memiliki distribusi dengan fungsi distribusi F (·; θ). Parameter θ = (θ1, . . . , θk) dapat ditaksir dengan metode persentil atau kuantil sebagai
berikut.
Perhatikan 0 < δ1,· · · , δk < 1. Misalkan δi = F (xδi; θ) atau xδi = F
−1(δ
i; θ). Nilai xδi(θ)
dikatakan sebagai persentil ke-δ1(100) atau kuantil-δi dari distribusi X dengan parameter θ.
Jadi, penaksir metode persentil adalah
xδi(bθ) = bXδi,
untuk i = 1, . . . , k, dengan bXδi menyatakan persentil-δi sampel.
Contoh-1:
Misalkan sampel acak X1, . . . , Xn dari X yang memiliki fungsi distribusi
F (x; α, λ) = 1− e−(xλ) α
Kuantil δ1, δ2, yang bersesuaian dengan parameter θ = (θ1, θ2), adalah −(xδi λ )α = log(1− δi), i = 1, 2. Diperoleh: bα = · · · ; bλ = · · · Contoh-2:
Pada sampel acak Pareto dengan parameter (α, γ), kita punyai
δi = 1− ( γ xδi+ γ )α , i = 1, 2. Diperoleh: α log ( γ xδi+γ ) = log(1− δi). Dapatkah kita menentukanbγ?
Latihan-1
Sampel acak berukuran 10 diambil dari distribusi dengan fungsi peluang
f (x) = 1 2 ( 1 θ e −x/θ+ 1 σe −x/σ ) , x > 0, θ > σ. Diketahui: ∑ xi = 150, ∑ x2i = 5000.
Tentukan penaksir untuk θ dengan metode momen. Solusi:
Momen pertama dan kedua populasi adalah
E(X) = θ + σ
2 ; E(X
2
) = θ2+ σ2.
Dengan menyelaikan persamaan θ + σ = 30 dan θ2+ σ2 = 500
diperoleh bθ = 20.
Latihan-2
Sampel acak yang menyatakan waktu klaim hangus adalah
3, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 9, 11, 12.
Tentukan penaksir untuk θ menggunakan metode (i) momen, (ii) persentil (berdasarkan persen-til ke-50).
Solusi:
Metode momen tidak dapat digunakan karena mean waktu klaim hangus adalah tak hingga. Metode persentil ke-50 atau median memberikan nilai bθ = 2/15.
Catatan:
Median diperoleh melalui S(md) = θm1
d+1 = 1/2 atau md= 1/θ
Latihan-3
Kerugian acak X memiliki fungsi distribusi:
F (x) = (x/θ) γ
1 + (x/θ)γ.
Sampel acak yang diperoleh adalah
10, 35, 80, 86, 90, 120, 158, 180, 200, 210, 1500.
Taksir θ dengan persentil ke-40 dan ke-80. Solusi:
Persentil ke-40 dan ke-80 sampel adalah (86-90)() dan (200-210)(206). Diperoleh: bθ =· · ·
Latihan-4
Misalkan peubah acak X memiliki fungsi distribusi:
F (x) = 0, x < 0; F (x) = 1− p, x = 0; F (x) = 1 − pe−θx, x > 0.
Parameter θ ditaksir dengan menggunakan metode momen dan persentil. Sampel yang diambil memberikan informasi berikut:
- mean sampel 2.8; momen kedua sampel 29
- persentil ke-60 sampel 2.3; persentil ke-80 sampel 5.2 Diketahui: p≥ 0.5.
Solusi:
Momen pertama dan kedua adalah E(X) = p/θ dan E(X2) = 2p/θ2. Diperoleh: bθ = (2)(2.8)20 = 1.93() (dan bp = 0.54(0.69))
Latihan-5
Diberikan sampel acak berikut:
7, 12, 15, 19, 26, 27, 29, 29, 30, 33, 38, 53.
Taksir P (X > 30) menggunakan metode persentil ke-25 dan ke-75 jika sampel acak tersebut diambil dari distribusi dengan F (x) = 1−1+(x/θ)1 α.
Solusi:
Persentil ke-25 dan ke-75 adalah 16 dan 32.25. Diperoleh bα = 3.135 dan bθ = 22.715.
Jadi, penaksir P (X > 30) adalah 1− F (30) = 1
1+(x/bθ)αb = 0.295.
Latihan-6
Diketahui persentil ke-25 dan ke-75 dari sampel acak kerugian, berturut-turut, adalah 6 dan 15. Tentukan VaR0.99 (asumsikan distribusi kerugian adalah Weibull dan Lognormal).
Solusi:
(a) 30.1924, (b) 46.0658 Latihan-7
Diketahui X ∼ N(Λ, 1) dan Λ ∼ N(1, 1). Tentukan persentil ke-95 dari X.
Solusi:
Diketahui: E(X|Λ) = Λ, V ar(X|Λ) = 1 dan E(Λ) = V ar(Λ) = 1. Diperoleh:
E(X) = E(E(X|Λ)) = E(Λ) = 1 dan
V ar(X) = V ar(E(X|Λ)) + E(V ar(X|Λ)) = V ar(Λ) + E(1) = 1 + 1 = 2 .
Persentil ke-95 dari X adalah x0.95 sehingga
P (X ≤ x0.95) = P ( X− 1 √ 2 ≤ x0.95√− 1 2 ) = Φ ( x0.95√− 1 2 ) = 0.95. Diperoleh: x0.95= 4/3.
