Catatan Kuliah
AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria “Insure and Invest!”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung
Tentang AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Jadwal kuliah: Selasa, 13-; Kamis; 11-Ujian: 2.10.14; 30.10.14; 4.12.14 (@ 30%)
Bab 1 - Kejadian, Peubah Acak, Peluang
Kegiatan asuransi berkaitan dengan keinginan untuk mengatur dan memindahkan risiko kepada pihak lain. Dalam praktiknya, perhitungan yang cermat tentang besar premi dan total jumlah biaya serta klaim yang kembali sangat diperlukan.
Saat ini praktik asuransi mulai digabungkan dengan investasi. Hal ini dimaksud-kan untuk menumbuhdimaksud-kan iklim asuransi dengan keuntungan dari investasi. Ku-liah Matematika Keuangan Aktuaria mengajak kita untuk memahami konsep dan menghitung nilai uang, opsi dan, secara umum, “bermain” peluang (memahami ke-jadian dan peubah acak serta menghitung peluang atas keduanya menjadi sangat krusial).
Ruang sampel dan kejadian
Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Ruang sampelS adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dariS disebut kejadian elementer. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer.
Peluang kejadianA sesungguhnya adalah
P(A) = lim n→∞
n(A)
n
MisalkanS adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadianA adalah
P(A) = n(A)
n(S)
Secara formal, peluang atau ukuran peluangP pada lap-σAadalah suatu pemetaan dariA terhadap selang [0,1] yang memenuhi tiga aksioma berikut:
(i) 0≤P(A)≤1, untuk setiap A∈ A
(ii)P(S) = 1
(iii) Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asingA1, A2, . . .,
P (∪∞ i=1 Ai ) = ∞ ∑ i=1 P(Ai) Teorema: 1. P(Ac) = 1−P(A) 2. JikaA⊂B makaP(A)≤P(B) 3. P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)
Latihan:
1. Seorang agen asuransi menawarkan asuransi kesehatan kepada calon nasabah. Nasabah dapat memilih tepat 2 jenis asuransi dari pilihan A, B, C atau tidak memilih sama sekali. Proporsi nasabah memilih jenis asuransi A, B dan C, berturut-turut, adalah 1/4, 1/3 dan 5/12. Hitung peluang seorang nasabah memilih untuk tidak memilih jenis asuransi.
2. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70% pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20% mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15% mengasuransikansports car. Hitung peluang bahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car.
Peubah acak
Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”. Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggotaS ke bilangan realR.
Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {ai, i= 1,2, . . .} sedemikian hingga P( ∪ i {X=ai})=∑ i P(X=ai) = 1.
Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.
FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dariX jika terdapat barisan terhitung{ai, i= 1,2, . . .} dari bilangan real dan barisan {fi, i= 1,2, . . .} dari bilangan positif yang bersesuaian sehingga ∑ i fi= 1 dan FX(x) = ∑ ai≤x fi.
Jika diberikan himpunan terhitung {ai, i = 1,2, . . .} dan bilangan positif {fi, i = 1,2, . . .} sehingga ∑i fi = 1, fungsi peluang fX(x) adalah
fX(x) =fi=P(X=ai), dengan x=ai.
Sementara itu, fungsi distribusi (kumulatif) nyaF(x) =P(X≤x). Sifat-sifat fungsi distribusi sebagai berikut:
(a)F fungsi tidak turun (b) limx→∞ F(x) = 1 (c) limx→−∞ F(x) = 0 (d)F fungsi kontinu kanan
Jika X adalah peubah acak sehingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) makaX dikatakan sebagai peubah acak kontinu.
Perhatikan: 1 =FX(∞) = ∫ ∞ −∞ fX(t)dt P(a≤X ≤b) =FX(b)−FX(a) = ∫ b a fX(t)dt P(X=a) = ∫ a a fX(t)dt= 0 Latihan:
1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:
F(x) = 0, x <−3.1 3/5, −3.1≤x <0 7/10, 0≤x <1 1, 1≤x
2. Diketahui, untuk peubah acak X, fungsi distribusi berikut:
F(x) = 0, x <0 x 4, 0≤x <1 1 2+ x−1 4 , 1≤x <2 11 12, 2≤x <3 1, x≥3
Hitung (i)P(1≤X <5/2), (ii) E(X) Ekspektasi
Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit dan kontinuX, berturut-turut, adalah
E(X) =∑ x
x fX(x) dan E(X) = ∫ ∞
−∞x fX(x)dx,
denganfX adalah fungsi peluang dariX. Catatan:
1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dariX
2. Ekspektasi = mean = momen pertama
dari percobaan bebas yang berulang
3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Sifat-sifat ekspektasi:
1. E(g(X)) =∫−∞∞ g(x)fX(x)dx 2. E(a X+b Y) =a E(X) +b E(Y)
3. E(XY) =E(X)E(Y), jikaX danY saling bebas. 4. E(X) =∫0∞ P(X > x)dx, untukX >0 (*) 5. E(Xr) =∫−∞∞ xrfX(x)dx (momen ke-r) 6. E((X−µX)r) =
∫∞
−∞(x−µX)rfX(x)dx(momen pusat ke-r) 7. E((X−µX)2) =V ar(X) =E(X2)−(E(X))2
Deviasi standar dariX adalah akar kuadrat Variansi dari X. 8. E(etX) =∫−∞∞ etxfX(x)dx=MX(t) (fungsi pembangkit momen) 9. MX′ (0) =E(X), MX′′(0) =E(X2)
Fungsi peluang bersama
Misalkan kita punyai dua peubah acak,XdanY. Kita dapat mengkaji peluang dan ekspektasi bersyarat suatu peubah acak, diberikan peubah acak yang lain. Fungsi peluang (distribusi) atas dua peubah acak dikatakan sebagai fungsi peluang (dis-tribusi) bivariat. Secara umum, sering disebut sebagai fungsi peluang (dis(dis-tribusi) bersama.
MisalkanX dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dariX dan Y adalah
fX,Y(x, y) =P(X=x, Y =y).
Kondisi bahwaXdanY terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti dua peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama. Kejadian X bernilai x dan Y bernilai y, {X = x, Y = y}, adalah irisan kejadian{X =x} dan {Y =y}.
Fungsi peluang bersamafX,Y memenuhi sifat-sifat berikut: (i)fX,Y(x, y)≥0,∀(x, y), (ii) (x, y)∈R2:f
X,Y(x, y)̸= 0 terhitung, (iii) ∑ ∑
x,y fX,Y(x, y) = 1.
Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit yang didefinisikan pada ru-ang sampel yru-ang sama. Maka, fX(x) =
∑
y fX,Y(x, y), x ∈ R dan fY(y) = ∑
x fX,Y(x, y), y ∈ Radalah, berturut-turut, fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dariY.
Untuk dua peubah acak kontinu, fungsi peluang dan fungsi distribusi bersama didefinisikan sebagai. . .; fungsi peluang marginalnya adalah. . .
Latihan:
1. MisalkanX dan Y memiliki fungsi peluang bersama
f(x, y) =c(y2−x2)e−y, −y≤x≤y,0< y <∞
a. Tentukanc
b. Tentukan fungsi peluang marginalX danY
c. HitungP(Y >2X)
d. Apakah X dan Y saling bebas?
2. Ketika kebakaran terjadi dan dilaporkan ke perusahaan asuransi, perusahaan asuransi tersebut segera membuat perkiraan awal X yaitu besar nilai klaim yang akan diberikan. Setelah klaim dihitung secara lengkap, perusahaan harus melunasi pembayaran klaim sebesarY. Perusahaan menentukan bahwaXdan
Y memiliki fungsi peluang bersama
fX,Y(x, y) = 2
x2(x−1)y−
(2x−1)/(x−1), x >1, y >1 a. TentukanfX(x)
b. Jika besar klaim awal yang diberikan adalah 2, tentukan peluang bahwa klaim yang diterima berikutnya adalah antara 1 dan 3.
Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak, dengan fX(x) > 0. Fungsi peluang bersyarat dariY diberikan X=x adalah
fY|X(y|x) =
fX,Y(x, y)
fX(x)
, ∀y∈R
JikafX(x) = 0, kita definiskanfY|X(y|x) = 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsi peluang bersyarat. Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang!
Dua peubah acak dikatakan saling bebas jika. . .
Ekspektasi bersyarat
MisalkanX danY adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y(x, y). Jika fX(x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan
X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan
X=x, E(Y|X=x) = ∫ ∞ −∞ y fX,Y(x, y) fX(x) dy= ∫ ∞ −∞ y fY|X(y|x)dy
MisalkanX danY adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersamafX,Y(x, y). Misalkan ekspektasi dariY hingga. Maka
E(Y) = ∫ ∞
atau
E(Y) =E(E(Y|X=x)) Latihan:
MisalkanX dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama
f(x, y) =e−x(y+1), 0≤x,0≤y≤e−1 a. TentukanfY(y)
b. Hitung P(X >1|Y = 12) c. HitungE(X|Y = 12)
Kovariansi
Kita ketahui bahwa jika X dan Y saling bebas maka fX,Y(x, y) = fX(x)gY(y). Akibatnya,E(XY) =E(X)E(Y). Konsekuensi ini juga berlaku untuk setiap fungsi
g danh,E(g(X)h(Y))=E(g(X))E(h(Y)).
Kovariansi antara peubah acak X dan Y, dinotasikan Cov(X, Y), adalah
Cov(X, Y) =E((X−E(X)) (Y −E(Y)))
Catatan: JikaX dan Y saling bebas makaCov(X, Y) = 0 (implikasi). Sifat-sifat kovariansi 1. Cov(X, Y) =Cov(Y, X) 2. Cov(X, X) =V ar(X) 3. Cov(a X, Y) =a Cov(X, Y) 4. Cov(∑ni=1 Xi, ∑m j=1 Yj ) =∑ni=1 ∑mj=1 Cov(Xi, Yj) Perhatikan bahwa: V ar ( n ∑ i=1 Xi ) =Cov ∑n i=1 Xi, n ∑ j=1 Xj = n ∑ i=1 n ∑ j=1 Cov(Xi, Xj) = n ∑ i=1 V ar(Xi) +∑ ∑ i̸=j Cov(Xi, Xj).
Korelasi antara peubah acakX danY, dinotasikanρ(X, Y), didefinisikan sebagai
ρ(X, Y) = √ Cov(X, Y
V ar(X)V ar(Y),
asalkan V ar(X) dan V ar(Y) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa −1≤ρ(X, Y)≤1.
Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y. Nilai
ρ(X, Y) yang dekat dengan +1 atau−1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X
membesar. Jikaρ(X, Y) = 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi. Latihan:
1. Tunjukkan: Cov(X, E(Y|X)) =Cov(X, Y)
2. MisalkanX peubah acak normal standar dan I (bebas dari X) peubah acak dengan sifat P(I = 1) = P(I = 0) = 1/2. Didefinisikan Y = X, jikaI = 1;Y =−X, jikaI = 0. Tunjukkan: Cov(X, Y) = 0
Bab 2 - Peubah acak normal
Peubah acak normal merupakan salah satu kajian menarik dalam berbagai bidang, termasuk keuangan, karena pola yang dikenal dan dianggap dapat dipahami dengan mudah. Suatu peubah acakX dikatakan normal apabila memiliki fungsi peluang
f(x) =· · ·
Apa yang dapat kita lakukan terhadapX atauf(x) tersebut? (i) membuat plotf untuk berbagai nilaiµdan σ2
(ii) menentukan sifat-sifat statistik peubah acak normal
(iii) menghitung peluang; termasuk dengan akurasi yang lebih tinggi (hal 25-26) (iv) mengkaji hubungan dengan peubah acak lognormal: Y = exp(X)
Contoh 2.3d
MisalkanX1, X2, . . . , Xn sampel acak normal dengan parameter (µ, σ2). Misalkan
Sn= n ∑ i=1
Xi.
Apakah yang kita dapat dapatkan untuknbesar?
Sn akan mendekati peubah acak normal dengan meannµdan variansinσ2 ? (Jelaskan!)
Bab 3 - Gerak Brown and GB Geometrik
Sebelum kita membahas Gerak Brown (GB) lebih jauh, perhatikan kembali definisi koleksi peubah acak{Xt} atau lebih dikenal dengan “proses stokastik”.
Proses atau model stokastik melibatkan beberapa peubah acak dengan indeks waktu. Kalau kita mempunyai satu peubah acak, maka nilai yang mungkin dari peubah acak tersebut akan mengikuti distribusi peluang yang bersesuaian. Kini, kita akan melihat peubah acak setiap waktu. Akibatnya, tingkat kesulitan akan menjadi lebih tinggi (rumit namun menarikkok).
Misalkan kita punyai proses stokastik{Xt, t≥0}. Proses stokastik atau deret waktu (sederhana) yang bergantung pada observasi sebelumnya adalah:
Xt=α Xt−1+εt,
dengan asumsi-asumsi yang ditentukan.
Catatan: Proses ini dikenal dengan nama Autoregressive (AR)
Pada Bab ini, proses stokastik diatas kita sederhanakan sebagai berikut: • Xt∼ i.i.d.N(0,1)
Jelaskan!
Kita dapat menuliskan proses ini sebagaiXt=εt, dengan{εt}barisan peubah acak saling bebas dan berdistribusi identik (normal/Gauss) dengan mean nol dan variansi satu; atau dikenal dengan proses Gaussian WN (white noise) • Xt∼N(0, σt2).
Apa perbedaan dengan model sebelumnya?
JikaX1, X2, . . .dari proses ini saling (tidak) bebas, dapatkah kita menentukan fungsi peluang bersamanya?
MungkinkahXt dan Xt+s−Xs yang bersifat saling bebas? Pandang koleksi peubah acak{Xt, t≥0}dengan sifat-sifat:
(i) X0 = 0 (atau konstanta tidak nol )
(ii) ∀t >0,Xt berdistribusi normal dengan meanµt dan variansiσ2t (iii) Xtn−Xtn−1, Xtn−1−Xtn−2, . . . , Xt2−Xt1, Xt1 saling bebas
(memiliki kenaikan bebas atauindependent increments) (iv) Xt+s−Xt tidak bergantung padat
(memiliki kenaikan stasioner ataustationary increments).
Proses stokastik tersebut dikatakan sebagai Gerak Brown atau GB dengan parame-ter driftµdan parameter variansi σ2.
Misalkan dipunyai proses stokastik GB dengan µ = 0, σ2 = 1 atau dikenal dengan GB standar. Perhatikan kasus t= 1,2. Fungsi peluangXt adalah
fXt(xt) = 1 √ 2πt exp ( −1 2tx 2 t ) , −∞< xt<∞. Fungsi peluang bersama dariX1 dan X2 adalah....
Fungsi peluang bersama dariX1−X0 dan X2−X1 adalah
fX1−0,X2−X1(x1−0, x2−x1) =f(x1)f(x2−x1), (1) karena sifat kenaikan saling bebas. Persamaan (1) tersebut sama dengan
1 (2π)2/2((1−0)(2−1))1/2 exp ( −1 2 ( x21 1−0 + (x2−x1)2 2−1 )) ,
dengant1 = 1, t2 = 2 dan sifat kenaikan stasioner X2−X1 ∼N(0,2−1).
Kita dapat menentukan fungsi peluang bersyarat dengan memanfaatkan fungsi pelu-ang bersama diatas. Untuk t1 = 1 < t2 = 2 diatas, fungsi peluang bersyarat Xt1, diberikan Xt2 =xt2 adalah... fX1|X2(x1|x2) = fX1,X2−X1(x1, x2−x1) fX2(x2) = fX1(x1)·fX2−X1(x2−x1) fX2(x2) =· · ·
Dengan kata lain, distribusi dari X1|X2 = x2 adalah normal dengan mean dan variansi
E(X1|X2=x2) =· · · ;V ar(X1|X2 =x2) =· · ·
Latihan:
1. Dapatkah kita menentukan distribusi dariX2|X1 =x1? Jelaskan! 2. TentukanE(Xt|Xu,0≤u≤s)
3. Pandang {Xt,0≤t≤1} sebagai proses stokastik yang mengikuti GB dengan parameter variansi σ2. Misalkan X
t menyatakan lama (detik) kompetitor 1 memimpin saat 100tpersen dari suatu kompetisi telah diselesaikan. Jika kom-petitor 1 memimpinσ detik di tengah kompetisi, berapa peluang dia adalah pemenang? Jika kompetitor 1 memenangkan kompetisi dengan marginσdetik, berapa peluang dia memimpin di tengah kompetisi?
Proses stokastik GB dapat bernilai negatif yang dianggap tidak tepat untuk mem-odelkan harga saham. Untuk itu, diusulkan model stokastik
St=S0eXt,
dengan nilai awal S0; St berdistribusi lognormal. Tentu saja lnSt −lnS0 = Xt berdistribusi normal dengan meanµt dan variansiσ2t.
Model ini dikenal sebagai GB geometrik.
Sifat mean dan variansi dari St dapat diturunkan dengan memanfaatkan sifat dis-tribusi lognormal. Kita dapatkan
E(St) =· · ·
V ar(St) =· · · Latihan:
1. Pandang GB denganµ= 3, σ2 = 9. DiketahuiX0 = 10. HitungE(X2), V ar(X2), P(X2 >20), P(X0.5>10)
2. Pandang GB geometrik{St, t≥0} denganµ= 0.1, σ2 = 0.4. HitungP(S1> S0), P(S3< S1> S0) 3. Pandang GB geometrik{St, t≥0};µ= 0.1, σ2 = 0.16, S0 = 2. TentukanE(S3) dan V ar(S3) Solusi: MisalkanSt=eXt. Diketahuiµ= 0.1, σ= 0.4. HitungP(S1 > S0), P(S3< S1> S0). P(S1> S0) =P ( S1 S0 >1 ) =P(lnS1−lnS0 >0) =P(X1−X0 >0) =P ( Z > 0−(0.1)(1) (0.4)(1) ) =P(Z >−0.25) = Φ(0.25) denganX1−X0 ∼N(0.1·1,0.42·1). Catatan:
P(S1 > S0) dapat dinarasikan sebagai “peluang harga aset pada akhir waktu per-tama lebih besar daripada harga awal” (asumsikan bahwa St menyatakan harga aset).
Selanjutnya, untuk menentukan P(S3 < S1 > S0), kita dapat lebih dahulu men-jabarkan
P(S3< S1> S0) =P(S3 < S1, S1 > S0) =P(S3 < S1)P(S1 > S0).
Kemudian, kita gunakan cara yang sama dengan sebelumnya untuk menentukan kedua peluang tersebut.
Solusi:
Misalkan proses GB geometrik{St, t≥0},µ= 0.1, σ2= 0.16, S0 = 2. TentukanE(S3) dan V ar(S3). E(S3) = 2e(0.1)(3)+0.5·(0.16)(3), denganE(St) =S0eµt+0.5σ 2t . Sementara itu, V ar(S3) = 22e(2)(0.1)(3)+0.5·(0.16)(3)(e(0.16)(3)−1).
Bab 4 - PVA
Bab 5 - Lebih Jauh Tentang Gerak Brown
Kajian tentang GB, termasuk GB standar dan GB geometrik, menarik untuk diba-has, baik sebagai peubak acak maupun model harga aset. Secara khusus, masalah-masalah yang muncul (dalam Ujian misalnya) antara lain:
- menentukan peluang bersyarat
Contoh-1: Pandang GB dengan parameter drift µ = 2 dan parameter variansi
σ2= 16. Diketahui X0 = 8. HitungP(X3>10). Solusi: P(X3 >10|X0= 8) =P(X3−X0 >10−8) =P ( Z >(10−8)−(2)(3) (4)(√3) ) =P ( Z >−1 3 √ 3 ) = Φ ( 1 3 √ 3 ) , denganX3−X0 ∼N(2·3,16·3).
Contoh-2: Harga suatu komoditas bergerak mengikuti GB,Xt=µt+σBt; dengan
µ=−5, σ2 = 4 dan Bt adalah GB standar. Diberikan harga bernilai 4 saatt= 8, hitung peluang harga komoditas bernilai kurang dari 1 saatt= 9.
Solusi: E(Xt) =µt+σ·0;V ar(Xt) =σ2·t Jadi, P(X9 <1|X8= 4) =P(X9−X8 <−3) =P ( Z < −3−µ σ ) =P(Z <1), karenaX9−X8 ∼N(9µ−8µ, σ2·(9−8)).
Contoh-3: Misalkan Stmenyatakan harga saham pada waktu t:
St=S0exp(µt+σBt),
denganBt adalah GB standar; µdan σ diberikan.
Hitung peluangS10 lebih besar dari 15, diberikanS5 = 10. Solusi: PandangXt=µt+σBt;Xt∼N(µt, σ2t); {Xt}suatu GB;St=S0eXt,{St} GB geometrik. Jadi, P(S10>15|S5 = 10) =P ( S10 S5 >1.5 ) =P ( lnS10 S5 >ln 1.5 )
atau P(X10−X5 >ln 1.5) =P ( Z > ln 1.5−5µ σ√5 ) karenaX10−X5∼N(5µ,5σ2).
- menentukan ekspektasi bersyarat dan ekspektasi hasil kali
Contoh-1: Pandang pergerakan harga suatu aset yang mengikuti proses stokastik GB standar, Bt. Jika harga berada di posisi 1.7 saat t = 2, tentukan nilai yang diharapkan (ekspektasi) saatt= 4.
Solusi: E(B4|B2 = 1.7) =E(B4−B2+B2|B2 = 1.7) =E(B4−B2|B2= 1.7) +E(B2|B2 = 1.7) =E(B4−B2) + 1.7 = 0 + 1.7 = 1.7 karenaB4−B2 ∼N(0·(4−2),1·(4−2)).
Contoh-2: TentukanE(X1X2), untuk {Xt} suatu proses GB. Solusi: E(X1X2) =E ( X1(X2−X1) +X12 ) =E ( X1(X2−X1) ) +E(X12) =E(X1)E(X2−X1) +E(X12)
Contoh-3: TentukanE(X1X2X4) pada GB dengan parameter driftµdan parameter variansiσ2. Solusi: E(X1X2X4) =E ( X1(X2−X1)(X4−X2) +X1X2(X2−X1) +X12X3 ) =E ( X1(X2−X1)(X4−X2) ) +E ( X1X2(X2−X1) ) +E(X12X3), dengan E ( X1X2(X2−X1) ) =E ( X1(X2−X1)2+X12(X2−X1) ) E(X12X3) =E(X12)E(X3−X1) +E(X3)
GB Sebagai Proses Gaussian, Markov dan Martingale
Pandang proses stokastik GB,{Xt}. Misalkann= 2. Vektor peubah acak (X1, X2) berdistribusi normal bivariat dalam versi yang lain karena kejadian
{X1 =x1, X2=x2}
dapat dinyatakan dalam kejadian-kejadian kenaikan saling bebas {X1 =x1, X2−X1 =x2−x1},
sehingga kita peroleh fungsi distribusi bersama
f(x1, x2) =f1(x1)f2−1(x2−x1).
Untuk proses berukuran n, kita dapat memperoleh distribusi multivariat. Dengan demikian, GB adalah proses Gaussian, proses yang memiliki realisasi kontinu dengan distribusi hingganya adalah normal multivariat.
Distribusi normal multivariat ditentukan pula melalui mean dan kovariansinya. Jadi, suatu proses Gaussian juga ditentukan melalui mean dan kovariansinya.
Sebagai contoh, untuk proses GB standar, Bt, meannya adalah E(Bt) = 0 dan kovariansinya, untuks < t,
Cov(Bs, Bt) =Cov(Bs, Bs+Bt−Bs)
=Cov(Bs, Bs) +Cov(Bs, Bt−Bs) =V ar(Bs) + 0
=s= min{s, t}
Apakah GB atau GB geometrik merupakan proses Markov?
MisalkanSt+h, yang saling bebas dengan proses {Su,0≤u < t}, diberikanSt,
St+h =S0eXt+h =S0eXt+Xt+h−Xt =S0eXteXt+h−Xt =SteXt+h−Xt
Jadi,St+h, diberikan St, hanya bergantung pada kenaikanXt+h−Xt. Kita ketahui bahwa GB memiliki kenaikan saling bebas, jadi saling bebas dengan data lampau. Proses{Xt+h−Xt, h≥0}merupakan GB dengan parameter drift dan variansi yang sama. Jadi, proses{SteXt+h−Xt, h≥0}mendefinisikan proses GB geometrik dengan nilai awalSt yang baru.
GB Sebagai Model Harga Saham
Pandang model stokastik GB geometrik: St=S0eXt. Definisikan:
Li=
Sti
Sti−1
, 1≤i≤n,0 =t0 < t1 <· · ·< tn=t,
barisan peubah acak lognormal yang saling bebas. Sebagai contoh,
L1= St1 St0 =eXt1, L 2 = St1 St0 =eXt2−Xt1,
saling bebas karena sifat “kenaikan saling bebas” dariXt1 danXt2−Xt1. Kita dapat menuliskan
St=Ln×Ln−1× · · · ×L2×L1×S0
sebagai perkalian (product) saling bebas darin peubah acak lognormal. Kita ingat kembalimodel binomial :
Sn=Yn×Yn−1× · · · ×Y2×Y1×S0,
denganYi peubah acak bersifat saling bebas dan berdistribusi identik (i.i.d):
P(Y =u) =p dan P(Y =d) = 1−p,
dengan 0< d <1 +r < u, 0< p <1.
•Bagaimana kita dapat mengaitkan lnLi denganYi ?
•Dapatkah kita menentukan u, d, psehingga E(Y) =E(L) dan E(Y2) =E(L2) ? Perhatikan bahwa:
E(Y) =up+d(1−p);E(Y2) =u2p+d2(1−p),
dan
E(L) =· · ·(∗);E(L2) =· · ·(∗∗) Kita ingin menyelesaikan kedua persamaan
up+d(1−p) =∗;u2p+d2(1−p) =∗∗
yang solusinya tidak tunggal. Misalkanud= 1, maka kita peroleh
p=· · ·
u=· · ·
Catatan: Untuknbesar, ln(Yn× · · · ×Y2×Y1) = n ∑ i=1 ln(Yi)≈Xt∼N(µt, σ2t), karena Teorema Limit Pusat (TLP). Jadi,
Model Binomial untuk Harga Saham Pandang bentuk rekursif untuk harga saham
Sn+1 =SnYn+1, n≥0
denganYi saling bebas dan memiliki distribusi peluang
P(Y =u) =p, P(Y =d) = 1−p.
Asumsikan 0< d <1 +r < u konstan,r suku bunga bebas risiko (risk-free interest rate).
Catatan: (1 +r)x adalah payoff yang kita terima satu waktu mendatang jika kita memiliki aset sehargax pada waktu sekarang.
Untuk nilai Snyang diberikan,
Sn+1= {
uSn, dengan peluangp;
dSn, dengan peluang 1−p.
untuk n ≥0, bebas dengan sebelumnya. Jadi, harga saham akan naik (“u”) atau turun (“d”) setiap waktu. Sifat “acak” disebabkan nilai peluang naik atau turun tersebut.
Bentuk rekursif diatas dapat ditulis
Sn=Yn× · · · ×Y1×S0, n≥1
denganS0 harga awal,Sn harga saatn. Untuknyang diberikan,
Sn=uidn−iS0
untuk suatu i ∈ {0, . . . , n}; artinya “harga saham naik sebanyak i kali dan turun
n−ikali selama perioden”. Peluang yang bersesuaian adalah
P(Sn=uidn−iS0) =Cinpi(1−p)n−i, 0≤i≤n. Perhatikan diagram berikut:
-Pandang portofolio aset berisiko (saham) dan tidak berisiko, yaitu suatu pasangan (α, β), dengan α menyatakan koefisien banyaknya saham, dan β untuk aset tidak berisiko. Nilai α dan β tidak harus integer dan dapat bernilai negatif. Contoh: (2.3,−7.4), artinya membeli 2.3 unit (shares) saham dan 7.4 (shorted) unit aset tidak berisiko (pinjam 7.4 dengan bungar).
Perhatikan bahwa suatu portofolio selalu memiliki harga yang terdefinisi dengan baik: harga portofolio pada saat t = 0 adalah αS0 +β, pada saat t = n, n ≥ 0 adalahαSn+β(1 +r)n.
Pandang opsi call (untuk membeli) Eropa dengan harga eksekusi K waktu habis berlakut= 1. Payoff untuk pemilik opsi ini, pada saatt= 1, adalah peubah acak
C1 = (S1−K)+,
dimana pembeli berharap harga akan lebih besar dariK. Payoff acak ini memiliki dua kemungkinan
C1 =Cu = (uS0−K)+ atau C1=Cd= (dS0−K)+, jika harga saham, berturut-turut, naik atau turun.
Kita ingin menentukan harga yang pantas (fair) untuk opsi ini, notasikanC0, dengan
C0 ≤S0 karenaC1 = (S1−K)+≤S1.
Catatan: Orang membeli opsi karena harganya lebih murah dari saham, namun memiliki potensi untuk untung atau mendapatkan payoff lebih tinggi.
Analog dengan portofolio diatas, kita konstruksikan portofolio dengan payoff C1, pada saat t = 1, adalah Cu (jika harga saham naik) atau Cd (jika harga turun). Payoff portofolio adalah αS1+β(1 +r). Kita ingin menentukanα dan β sehingga
αS1+β(1 +r) =C1 atau, dengan kata lain, menentukan α danβ sehingga
αuSo+β(1 +r) =Cu dan αdSo+β(1 +r) =Cd. Kita peroleh:
α=· · ·
β=· · ·
Penghargaan Opsi (Option Pricing) untuk GB geometrik: Black-Scholes Misalkan pada opsi call Eropa,t=T ada waktu habis berlaku (expiration date),K
harga eksekusi (strike price),CT = (ST −K)+ payoff. Kita ingin menentukan harga opsi jika harga saham mengikuti model GB geometrik.
Perhatikan harga opsi dengan model binomial, dengan waktu habis berlakut =n, yang diberikan sebagai nilai harapan
C0 = 1
(1 +r)nE∗(Sn−K) +,
denganE∗ adalah nilai harapan dibawah peluang tidak berisiko (risk-neutral prob-ability)p∗ untuk gerakan harga saham naik dan turun. Dibawah p∗, rate of return yang diharapkan dari saham sama dengan suku bunga tidak berisikor, untukn= 1:
E(S1) = (1 +r)S0
atauup+d(1−p) = (1 +r). Kita peroleh
p=p∗ = 1 +r−d
u−d .
Faktanya, dibawah p∗, harga saham discounted {(1 +r)−nSn, n ≥0} adalah “fair” (membentuk martingale). Jika harga saham mengikuti GB geometrik maka kita mengharapkan
C0 =erT E∗(Sn−K)+
Misalkan St = S0eXt dengan Xt adalah GB dengan parameter drift dan variansi. Kita tentukan nilai µ dan σ yang baru, sebut µ∗ dan σ∗, yang mana harga “fair” yaitu discounted price{ertSt:t≥0} membentuk martingale atau
E(St) =ertS0, t≥0 Jadi, kita ingin
µ+σ2/2 =r
Ketika menghargai opsi, kita harus menggantikanSt denganSt∗ =S0eX
∗
t, dengan
Xt∗ =µ∗t+σBt= (r−σ2/2)t+σBt Jadi,
C0 =erT E∗(ST −K)+ =erT E(ST∗ −K)+=· · ·
Catatan: Perhatikan bahwa C0 tidak bergantung pada µ, namun bergantung pada volatilitasσ2.
Formula Black-Scholes
Misalkan harga saham mengikuti GB geometrik: St = S0eµt+σBt, t ≥ 0, maka harga opsi call Eropa dengan waktu habis berlaku (expiration date) t = T dan harga eksekusi (strike price)K adalah
C0 =S0Φ(c+σ √ T)−e−rTKΦ(c), dengan c= ln(S0/K) + (r−σ 2/2)T σ√T
