Catatan Kuliah
MA4183 Model Risiko
“Risk: Quantify and Control
”Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA
Institut Teknologi Bandung
Tentang MA4183 Model Risiko
Jadwal kuliah: Selasa, 7- (R. 9522); Rabu, 13- (R. 9312) Penilaian:
• Ujian: 31/08/17; 28/09/17; 25/10/17; 29/11/17 (@ 20%) • Kuis (20%)
Minggu Tanggal Pertemuan Kuliah
M1 21.08.17 1,2 Kuliah M2 28.08.17 1,2 Kuliah 31.08.17 3 Ujian 1 M5 18.09.17 1,2 Kuliah M6 25.09.17 1,2 Kuliah M7 03.10.17 1 Ujian 2 M8 09.10.17 1,2 Kuliah M9 16.10.17 1,2 Kuliah M10 23.10.17 1 Kuliah 25.10.17 2 Ujian 3 M13 13.11.17 1,2 Kuliah M14 20.11.17 1,2 Kuliah M15 27.11.17 1 Kuliah 29.11.17 2 Ujian 4 Buku teks:
• Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation
Pengantar: Risiko Stokastik
Risiko berkonotasi negatif dan sering diterjemahkan sebagai kerugian.
Risiko adalah “sistem” kuantitatif yang dapat diukur dan dikendalikan. Risiko bersifat tidak pasti (uncertain). Pengukuran risiko dapat dilakukan secara stokastik.
Model risiko merupakan salah satu cara untuk menerjemahkan fenomena kerugian melalui distribusi statistik. Pemodelan risiko dapat digunakan untuk memprediksi risiko di masa yang akan datang (forecasting future risk). Artinya, pemahaman konsep proses stokastik (khususnya deret waktu) sangat esensial.
Salah satu bidang yang berkaitan erat dengan risiko adalah asuransi. Ini terjadi karena dengan produk asuransi-lah terjadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi kerugian klaim (claim frequency) dan besar atau nilai atau
severitas kerugian klaim (claim severity).
Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi
Misalkan X peubah acak yang menyatakan kerugian (selanjutnya disebut sebagai kerugian acak atau random loss). Sebagai peubah acak, X memiliki karakteristik utama yaitu memiliki distribusi. Akibatnya, sifat-sifat statistik akan melekat pada peubah acak.
Kerugian acak dan distribusinya dapat dikaji lebih jauh melalui sifat momen (khususnya hingga momen ke-4) dan perilaku ekor distribusi. Kedua sifat ini dapat digunakan sebagai indikator adanya observasi ekstrem yang penting dalam menghitung risiko.
Misalkan X kerugian acak dengan fungsi peluang fX(x). Fungsi pembangkit momen untuk X
adalah MX(t) = E(etX) = ∞ ∫ −∞ etxf (x) dx. Perhatikan bahwa: etX = 1 + tX + t2X2 2! +· · · + tnXn n! +· · · . Jadi, MX(t) =· · · . (*)
Misalkan MX(t) adalah fungsi pembangkit momen (fpm) untuk kerugian acak X. Turunan
pertama fpm terhadap t adalah:
MX′ (t) = dMX(t) dt = d dtE(e tX) = E ( d dt e tX ) = E(XetX).
Jika fungsi tersebut dievaluasi di t = 0, kita peroleh MX′ (0) = E(X) atau momen pertama dari X. Kita dapat pula menentukan momen ke-k secara simultan menggunakan (*).
Latihan:
1. Tentukan momen ke-k dari kerugian acak X
2. Tentukan kondisi agar seluruh momen ke-k dari peubah acak X ada
3. Misalkan X1 dan X2 kerugian acak-kerugian acak yang saling bebas. Tentukan fungsi
pembangkit momen dari X1+ X2
4. Misalkan X kerugian acak dengan MX(t) sebagai fungsi pembangkit momen.
Didefin-isikan f (t) = ln MX(t). Tunjukkan bahwa f′′(0) = V ar(X)
5. Jelaskan momen ke-k dalam kaitannya dengan sifat ekor tebal suatu distribusi 6. Misalkan N kerugian acak dengan fungsi peluang:
P (N = n) = e−5.65.6
n
n! , n = 0, 1, 2, . . . . Hitung E(3N)
Petunjuk: Fungsi pembangkit peluang (fpp) GX(s) = E(sX)
Bab 1 - Distribusi Frekuensi Kerugian (Klaim)
Silabus: Distribusi Poisson, binomial, geometrik; kelas distribusi (a, b, 0); mixed and mixture distributions; zero-modified and zero-truncated distributions;
Kegiatan berasuransi pada dasarnya berkaitan dengan kerugian (klaim), baik frekuensi maupun nilai atau severitas. Frekuensi klaim dapat dikaji melalui kerugian acak diskrit, khususnya distribusi Poisson, binomial dan geometrik.
1.1 Distribusi Poisson
Misalkan N kerugian acak yang menyatakan frekuensi kerugian klaim (yang masuk atau
diajukan) pada suatu periode waktu. Distribusi untuk N adalah Poisson dengan
param-eter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ,
E(N ) = V ar(N ) = λ.
Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan underdispersion).
Jika kita memiliki kerugian acak Poisson (atau kerugian acak diskrit lainnya) maka kita dapat menentukan (i) peluang frekuensi kerugian melalui fungsi peluang atau fungsi pembangkit peluang atau fungsi pembangkit momen (ii) ekspektasi (bersyarat) frekuensi kerugian.
Latihan:
1. Diketahui N kerugian acak berdistribusi Poisson dengan parameter mean 0.1. Tentukan P (N = 1|N ≤ 1).
2. Diketahui N ∼ P OI(0.2). Hitung E(1/(N + 1)). 3. Diketahui N ∼ P OI(2). Hitung E(N|N > 1).
4. Tentukan E(3N), jika N kerugian acak Poisson dengan mean λ.
Teorema:
Jika N1, . . . , Nk kerugian acak-kerugian acak yang saling bebas dengan Xi ∼ P OI(λi) maka
Perhatikan kasus n = 2. Distribusi N1+ N2 dapat ditentukan melalui teknik (i) fungsi peluang
(ii) fungsi pembangkit momen.
Misalkan N1 dan N2 kerugian acak Poisson dengan parameter, berturut-turut, λ1 dan λ2. Apa
yang dapat kita katakan tentang kerugian acak N1|N1 + N2 = m? Bagaimana kita dapat
menentukan distribusi kerugian acak tersebut?
1.2 Distribusi Binomial
Misalkan kerugian acak N menyatakan frekuensi kerugian klaim yang diproses dari semua klaim yang masuk. Distribusi yang tepat untuk N adalah distribusi binomial dengan parameter m (frekuensi klaim yang masuk) dan θ (peluang klaim diproses). Notasi: N ∼ B(m, θ). Fungsi peluang untuk N adalah
P (N = k) = Ckmθk(1− θ)m−k, k = 0, 1, 2, . . . , m
Sifat momen, atau momen ke-r, dapat ditentukan dengan memanfaatkan fungsi peluang yaitu
E(Nr) =
m
∑
k=0
nrP (N = k).
Untuk m = 1, misalnya, didapat E(N ) = m θ. Momen kedua dan seterusnya (jika ada) dapat ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm):
MN(t) = (1− θ + θet)m
Catatan: Fpm suatu kerugian acak berkorespondensi satu-satu dengan distribusi kerugian acak tersebut.
Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang dapat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif?
Misalkan N1, N2, . . . , Nk sampel acak dari N yang berdistribusi binomial dengan parameter
(m, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metode likelihood maksimum sbb: • Fungsi likelihood dan log-likelihood: ...
• Penaksir bθ: ...
• Turunan kedua terhadap parameter: ... Latihan:
1. AXAh menjamin 60 risiko secara bebas. Setiap risiko memiliki peluang 0.04 untuk terjadi rugi setiap tahunnya. Seberapa sering lima atau lebih risiko akan diharapkan merugi pada tahun yang sama?
2.
-1.3 Distribusi Geometrik
Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi kerugian klaim adalah dis-tribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggam-barkan distribusi ini?
Misalkan N ∼ Geo(α) dengan fungsi peluang
p(n) = (1− α)n−1α, n = 1, 2, . . .
Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya,
E(N ) = 1
α, V ar(N ) = 1 α2,
serta fpm dan fpp. Selain itu, misalkan N ∼ Geo(α), kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari N + 1.
Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan! (Sifat tanpa memori)
Latihan:
1. Diketahui N ∼ Geo(0.2). Hitung P (N = 1|N ≤ 1). 2.
-1.4 Mixed and Mixture Distributions
Kita dapat memiliki suatu kerugian acak yang bersifat diskrit dan kontinu secara bersamaan. Distribusi tersebut dikatakan distribusi campuran atau mixed distribution.
Misalkan X kerugian acak yang menyatakan nilai atau severitas klaim; nilai klaim berada pada [0, 100]. Definisikan: Y = 0, X ≤ 20, X− 20, X > 20.
Tentukan fungsi peluang, fungsi kesintasan, mean dan momen pusat kedua dari nilai kerugian acak Y .
Misalkan N kerugian acak dengan fungsi peluang fN. Kita dapat membangun kerugian acak
baru (dan juga distribusi baru) dengan memanfaatkan proporsi beberapa “klasifikasi” dari kerugian acak N . Distribusi yang dihasilkan disebut distribusi atas proporsi kerugian acak atau mixture distribution.
Contoh: Frekuensi kegagalan bisnis suatu perusahaan adalah kerugian acak N berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Kegagalan bisnis yang dimaksud dapat 60% dapat berupa kega-galan atau risiko kredit, sisanya berupa risiko operasional. Kerugian acak yang menyatakan frekuensi kegagalan bisnis adalah N ∼ P OI(λ) dengan fungsi peluang
fN(n) = a1fN1(n) + a2fN2(n),
dengan Nifrekuensi kegagalan bisnis karena, berturut-turut, risiko kredit dan risiko operasional.
Jadi, Ni adalah kerugian acak baru berdistribusi Poisson dengan parameter λi = aiλ.
1.5 Kelas Distribusi (a, b, 0)
Perhatikan fungsi peluang dari kerugian acak Poisson(λ):
f (n) = e
−λλn
n! , n = 0, 1, 2, . . .
yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untuk N = n− 1,
f (n− 1) = e
−λλx−1
Diperoleh f (n) f (n− 1) = e−λλn n! /e−λλn−1 (n− 1)! = λ n atau f (n) = ( λ n ) f (n− 1), n = 1, 2, . . .
Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif:
f (n) = ( a + b n ) f (n− 1), n = 1, 2, . . . ,
dengan a, b konstanta dan f (0) diberikan.
Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi.
1.6 Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions
Misalkan kerugian acak N ∼ B(3, 0.4). Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena dimana peluang terjadinya “0” telah ditentukan, misalnya P (N = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P (N = 0) = 0.
Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang dibawah. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai distribusi modifikasi nol modified distribution) dan distribusi bernilai nol (zero-truncated distribution). N P (N = k) 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064
Misalkan kerugian acak N dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi peluang f (n). Misalkan fmod(n) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari f (n); fmod(n) adalah fungsi peluang
dari distribusi (a, b, 1). Untuk fmod(0) yang ditentukan, hubungan antara fmod(n) dan f (n)
adalah
fmod(n) = c f (n), n = 1, 2, . . .
dengan c konstanta.
Fungsi peluang fmod(n) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya, c dapat diperoleh,
c = 1− f
mod(0)
1− f(0) .
Untuk distribusi binomial dengan parameter (3, 0.4) diatas, kita dapat menghitung fmod(k), k =
1, 2, 3 sebagai berikut: fmod(1) = 1− f mod(0) 1− f(0) f (1) = 1− 0.3 1− 0.2160.432 = 0.386.
Dengan cara sama, kita peroleh fmod(2) = 0.258 dan fmod(3) = 0.056.
Untuk distribusi bernilai nol (zero-truncated distribution), nilai P (N = 0) = 0. Diperoleh nilai seperti tabel berikut:
N P (N = k) Zero-Modified Zero-Truncated 0 0.216 0.3 0 1 0.432 0.386 2 0.288 0.258 3 0.064 0.056 Latihan:
1. Tentukan zero-modified distribution untuk N yang berdistribusi Poisson dengan parameter 2.5.
2. Misalkan N∗ adalah zero-truncated distribution dari N . Diketahui, fungsi peluang dan fungsi pembangkit peluang N , berturut-turut, adalah fN(n) dan GN(s). Tentukan fungsi
Bab 2 - Model Nilai Kerugian dan Sifat Distribusi
Silabus: Aplikasi: deductible, policy limit dan coinsurance; distribusi exponensial dan Pareto; kuantil, sifat ekor: CTE dan indeks ekor;
Severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim asuransi. Umum-nya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu nonnegatif. Secara khusus, akan dibahas distribusi eksponensial dan Pareto serta sifat-sifat yang menyertainya seperti kuantil dan sifat ekor (CTE dan indeks ekor).
2.1 Aplikasi Dalam Asuransi
Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat-sifat khusus peubah acak seperti kuantil dan sifat ekor (CTE dan indeks ekor) adalah manfaat atau aplikasi dalam bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan pada pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage).
Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak jarang pengen-dara bersikap ceroboh terhadap kenpengen-daraannya karena keyakinan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asuransi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductible, policy lim-its dan coinsurance.
Misalkan X menyatakan besar uang yang dibayar (amount paid) dalam suatu kejadian keru-gian (loss event) dimana tidak ada modifikasi cakupan atau disebut ground-up loss. Misalkan XL menyatakan besar uang yang dibayar dimana ada modifikasi cakupan atau cost per loss;
XP menyatakan besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian pembayaran (payment event)
dimana ada modifikasi cakupan. Catatan: loss event terjadi jika terdapat kerugian, payment event terjadi hanya jika pihak asuransi membayar kerugian.
Risiko Sendiri (Deductible)
Suatu polis asuransi dengan per-loss deductible d tidak akan menbayar pada pemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengan d; akan membayar pemegang polis
sebesar X−d jika kerugian X lebih dari d. Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian kerugian, XL, adalah
XL= X− d, untuk X > d,
dan XL= 0 untuk X ≤ d. Distribusi peluang untuk XL adalah...
Peubah acak XP (excess-loss variable) didefinisikan jika terjadi pembayaran, yaitu saat X > d,
XP = X − d|X > d.
Fungsi kesintasan SXP adalah...
Catatan:
XL memiliki censored distribution, XP memiliki truncated distribution.
Latihan.
Misalkan X dan Y , dengan deductible d = 0.25. Hitung E(XL), E(XP), E(YL), E(YP), jika X
berdistribusi eksponensial dan Y berdistribusi lognormal. Batas Polis (Policy limit)
Modifikasi lain dari cakupan polis adalah menentukan suatu nilai u yang ditentukan dari awal dengan aturan
XU = u, untuk X ≥ u,
dan XU = X untuk X < u. Notasi: XU = X ∧ u.
2.2 Distribusi Eksponensial dan Pareto
Misalkan X peubah acak eksponensial dengan parameter λ. Fungsi distribusi dan fungsi haz-ardnya dapat ditentukan sbb.
Distribusi eksponensial sering digunakan untuk menentukan distribusi nilai kerugian dan waktu antar-kedatangan kerugian. Apa yang dapat kita kaji dari distribusi kerugian
Peubah acak X berdistribusi Pareto dengan parameter α > 0 dan γ > 0 jika fungsi dis-tribusinya F (x). Distribusi ini cocok untuk memodelkan pendapatan. Karakteristik menarik dari distribusi Pareto adalah tidak dimilikinya fpm dan dapat diturunkannya distribusi ini dari distribusi eksponensial.
Misalkan X ∼ exp(λ), dengan Λ berdistribusi Gamma(α, β). Kita ketahui
fX(x|λ) = λ e−λ x, x≥ 0, dan fΛ(λ|α, β) = (1β)α Γ(α)λ α−1e−β1λ , λ≥ 0. Jadi, ∫ ∞ 0 fX(x|λ) fΛ(λ|α, β) = α βα [ β βx + 1 ]α+1 = αγ α (x + γ)α+1,
dengan γ = 1/β, yang merupakan fungsi peluang dari distribusi Pareto(α, γ). Dengan kata lain, gamma-exponensial adalah Pareto.
2.3 Sifat Ekor Pada Severitas Kerugian
Severitas klaim dapat bernilai sangat besar walau dengan frekuensi yang kecil. Kerugian dengan nilai ekstrim, yang terjadi pada ekor kanan (upper tail) distribusi, perlu diperhatikan karena akan mempengaruhi kebijakan polis berikutnya. Distribusi dengan ekor tebal (fat/heavy/thick tail) dapat diidentifikasi melalui eksistensi momen. Sebagai contoh, distribusi Pareto memiliki hingga order α. Jadi, jika α < 2 maka distribusi Pareto tidak memiliki variansi. Artinya, terdapat indikasi adanya distribusi ekor tebal.
Untuk membandingkan perilaku ekor distribusi, kita dapat menghitung limit rasio kedua fungsi kesintasan. Semakin cepat suatu fungsi kesintasan menuju nol, maka semakin tipis ekor dis-tribusi tersebut. Cara lain untuk menentukan ketebalan ekor adalah dengan menentukan (i) fungsi hazard dan (ii) fungsi kuantil.
Misalkan X suatu kerugian acak atau random loss dengan fungsi distribusi FX. Kita dapat
menentukan suatu nilai dα sedemikian hingga
Dengan kata lain,
dα = FX−1(α),
atau dα adalah α-kuantil dari distribusi X. Keakuratan dα dapat dihitung dengan peluang
cakupan atau coverage probability. Catatan: dα sering dikatakan VaRα(X) yang menyatakan
kerugian maksimum yang dapat ditolerir padan tingkat α.
Ukuran lain yang dapat dihitung dengan memanfaatkan dα adalah CTE atau Conditioan Tail
Expectation, E (
X|X > dα
)
, yang, apabila kita menggunakan VaRα(X), ukuran tersebut
disebut Expected Shortfall (ES). Perhatikan kasus distribusi eksponensial dengan parameter λ. Kita peroleh E ( X− VaRα(X)|X > VaRα(X) ) = λ1 = E(X). Latihan:
1. Perusahaan asuransi menjual dua jenis polis asuransi kendaraan bermotor: “Basic” dan “Deluxe”. Misalkan waktu hingga klaim Basic selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean dua. Misalkan waktu hingga klaim Deluxe selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean tiga. Kedua waktu saling bebas. Hitung peluang bahwa klaim yang masuk selanjutnya adalah klaim Deluxe.
2. Perusahaan asuransi milik saya memiliki sebuah alat secara terus menerus mencatat ak-tivitas gempa. Misalkan T waktu yang menyatakan kerusakan alat, berdistribusi ekspo-nensial dengan mean 3 (tahun). Ternyata, alat tidak akan dicek pada dua tahun per-tama setelah dibeli. Dengan demikian, waktu untuk mengetahui kerusakan alat adalah X = maks(T, 2). Hitung E(X).
3. Misalkan (sisa) masa hidup pasangan suami isteri saling bebas dan berdistribusi Uniform pada selang [0, 40]. Perusahaan asuransi menawarkan dua produk: pertama, produk yang membayar nilai klaim saat suami meninggal; kedua, produk yanga membayar nilai klaim saat kedua suami isteri meninggal. Tentukan kovariansi kedua waktu pembayaran tersebut.
Bab 3 - Model Risiko Agregat
Silabus: Model risiko individu, model risiko kolektif
Informasi yang telah diperoleh tentang distribusi frekuensi dan severitas klaim bermanfaat dalam membangun model risiko individu dan kolektif.
Pada model risiko individu (individual risk model), misalkan kerugian (loss) untuk setiap po-lis, Xi untuk i = 1, . . . , n, terjadi pada suatu blok (yang berisi sejumlah polis). Asumsikan
kerugian-kerugian tersebut saling bebas dan berdistribusi identik; X1, . . . , Xnsampel acak dari
X. Kerugian atau risiko agregatnya adalah
S = X1+· · · + Xn.
Dalam praktiknya, seringkali kerugian suatu polis bernilai nol. Dengan demikian, perlu diper-hatikan bahwa X memiliki mixed distribution.
Pada model risiko kolektif, kerugian agregat diasumsikan mengikuti suatu distribusi majemuk atau compound distribution,
S = X1+· · · + XN,
dengan N peubah acak yang menyatakan frekuensi klaim dan X1, . . . , XN peubah acak-peubah
acak, yang bersifat iid, menyatakan severitas klaim.
3.1 Model Risiko Individu
Misalkan diketahui peluang adanya suatu klaim adalah 0.2 atau P (I = 1) = 0.2, dengan I peubah acak Bernoulli I dengan parameter p = 0.2 atau {I = 1} menyatakan kejadian “terjadinya klaim”. Jika suatu klaim terjadi, kerugiannya merupakan peubah acak eksponensial dengan parameter λ = 1/2.
Artinya, mean kerugian dalam suatu loss event (kejadian kerugian) adalah
E(Y ) = µY =
1 λ =
1 0.5 = 2.
Jadi, untuk suatu polis yang acak, mean kerugiannya adalah
E(X) = E(I)E(Y ) = (0.2)(2) = 0.4.
Sementara itu, apabila diketahui adalah n = 500 polis yang saling bebas, mean kerugian agregatnya adalah
E(Sn) = n E(X) = (500)(0.4) = 200.
Latihan:
Suatu portofolio memiliki 100 polis asuransi yang saling bebas. Setiap polis memiliki peluang 0.2 untuk mengajukan klaim. Ketika suatu klaim diajukan, kerugian sebesar 10, 50, dan 80 memiliki peluang berturut-turut 0.4, 0.4, dan 0.2. Tentukan mean klaim agregat dari portofolio tersebut.
3.2 Model Risiko Kolektif
Distribusi Majemuk (Compound Distribution)
Misalkan X1, . . . , Xn sampel acak dari X dengan fungsi distribusi FX. Apakah yang dapat kita
katakan tentang distribusi S = X1 +· · · + Xn ? Bagaimana dengan S = X1 +· · · + XN ?
(dengan N adalah peubah acak)
Jika N peubah acak bernilai integer yang saling bebas dengan X1, . . . , XN, maka peubah acak
SN = X1+· · · + XN
dikatakan memiliki distribusi majemuk atau compound distribution. Catatan:
- Distribusi N disebut sebagai distribution pertama (primary distribution), sedangan distribusi X dikatakan distribusi kedua (secondary distribution).
- Penamaan distribusi: primary-secondary distribution.
- Distribusi compound Poisson adalah distribusi dengan distribusi pertama adalah distribusi Poisson dan sebarang distribusi untuk distribusi kedua.
Untuk menentukan distribusi SN, perhatikan ilustrasi berikut. Diketahui N = 0, 1, 2. Misalkan
Xi ∼ B(1, θ) dan kita tahu Xi = 0, 1. Sehingga nilai yang mungkin untuk SN (misalnya untuk
N = 2) adalah {0, 1, 2}. P (S = 0) = P (X1 = 0, X2 = 0) = P (X1 = 0)P (X2 = 0) = f (0)f (0) P (S = 1) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 0) = f (0)f (1) + f (1)f (0) P (S = 2) = P (X1 = 1, X2 = 1) = f (1)f (1)
Jadi, fungsi peluang SN adalah
P (SN = s) =
∑
x
P (X1 = x, X2 = s− x).
Dalam menentukan distribusi SN dengan N peubah acak alias compound distribution, distribusi
N harus ditentukan lebih dahulu. Dengan demikian, kita peroleh
P (SN = s) =
∑
n
P (SN|N = n)fN(n),
dengan sifat momen pertama E(SN) = E(E(SN|N)) = · · ·
dan fungsi pembangkit momen MSN(t) =· · · .
Catatan:
- Metode rekursi(f) Panjer. - Metode aproksimasi normal. Latihan:
1. Misalkan S1 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson dengan
parameter 1 dan kedua Geometrik dengan parameter p1. Misalkan S2 memiliki compound
dengan parameter p2. Diketahui S1 dan S2 saling bebas. Misalkan S = S1+ S2. Hitung
P (S = s), s = 0, 1, 2, .
2. Tentukan fpm dan fpp dari dari geometric-binomial compound distribution
3. Misalkan kerugian agregat S pada model risiko kolektif memiliki distribusi primer Pois-son dengan parameter 100 dan distribusi sekunder eksponensial dengan parameter 0.5. Tentukan peluang kerugian agregat kurang dari 180.
4. Misalkan kerugian agregat S pada model risiko kolektif memiliki distribusi primer Poisson dengan parameter λ dan distribusi sekunder Pareto dengan parameter (α, γ). Tentukan mean dan variansi kerugian agregat jika polis memiliki deductible d.
Bab 4 - Ukuran Risiko
Silabus: Ukuran risiko (premium-based, capital-based), Aksioma risiko, Value-at-Risk dan CTE, transformasi ukuran risiko.
Setelah kita dapat memodelkan risiko atau kerugian acak (random loss) diskrit/kontinu, selan-jutnya ukuran risiko dapat dihitung. Dalam praktiknya, risiko yang kita ukur dapat berupa: (i) risiko pasar (kerugian akibatan perubahan pada harga dan kondisi pasar), (ii) risiko kredit (risiko dari nasabah), dan (iii) risiko operasional (risiko bisnis yang bukan risiko pasar atau risiko kredit).
Ukuran risiko dihitung menggunakan metodologi statistik seperti kuantil dan konsep prediksi peubah acak. Ukuran risiko memiliki kegunaan dalam menentukan modal, premi, manajemen risiko internal, dan melaporkan kebijakan eksternal.
4.1 Definisi dan Jenis Ukuran Risiko
Suatu ukuran risiko dari kerugian acak X, notasi ϱ(X), adalah fungsi bernilai riil ϱ : X → R, dimanaR adalah himpunan bilangan riil. Peubah acak X tak negatif.
Misalkan mean dan variansi kerugian acak X adalah µX dan σX2 . Ukuran risiko “expected-value
principle premium” didefinisikan sebagai
ϱ(X) = (1 + θ) µX = µX + θ µX,
dimana θ≥ 0 adalah “premium loading factor”. Ukuran risiko dikatakan “pure premium” saat θ = 0. Ukuran risiko “variance principle premium” didefinisikan sebagai:
ϱ(X) = µX + α σ2X,
dimana α≥ 0 adalah “loading factor”.
Beberapa aksioma dalam ukuran risiko, yang apabila dipenuhi maka ukuran risiko tersebut dikatakan “coherent” (koheren). Aksioma-aksioma tersebut adalah:
1. (T) Untuk setiap X dan konstanta tak negatif a, ϱ(X + a) = ϱ(X) + a. 2. (S) Untuk setiap X dan Y , ϱ(X + Y )≤ ϱ(X) + ϱ(Y ).
3. (PH) Untuk setiap X dan konstanta tak negatif a, ϱ(a X) = a ϱ(X). 4. (M) Untuk setiap X dan Y sdh X ≤ Y , ϱ(X) ≤ ϱ(Y ).
Latihan:
1. Tunjukkan, dengan aksioma PH, bahwa ϱ(0) = 0. Dengan hasil itu, buktikan bahwa jika aksioma PH dan M dipenuhi maka ϱ(X)≥ 0 untuk X ≥ 0.
2. Tunjukkan bahwa ukuran risiko “expected-value principle premium” memenuhi aksioma S, PH dan M namun tidak memenuhi aksioma T. Bagaiman dengan ukuran risiko “vari-ance/standard deviation principle premium”?
4.2 Value-at-Risk (VaR) dan CTE
Value at Risk (VaR) dari suatu peubah/variabel kerugian acak adalah nilai minimum suatu distribusi sehingga peluang untuk mendapatkan kerugian lebih besar dari nilai tersebut tidak akan melebihi peluang yang diberikan.
Misalkan X adalah peubah acak kerugian dengan fungsi distribusi FX(.) dan δ adalah peluang,
maka VaR pada tingkat peluang δ adalah δ-kuantil dari X:
V aRδ(X) = FX−1(δ) = xδ.
Jika FX(.) fungsi tangga (X tidak kontinu), V aRδ(X) = inf{x ∈ [0, ∞) : FX(x)≥ δ}.
Latihan:
1. Hitung V aRδ untuk distribusi kerugian acak eksponensial, normal dan Pareto.
2. Hitung V aRδ untuk δ = 0.94, 0.97 dari distribusi kerugian berikut:
X = 100, dengan peluang 0.03; 90, dengan peluang 0.01; 80, dengan peluang 0.04; 50, dengan peluang 0.12; 0, dengan peluang 0.8
3. Tunjukkan bahwa V aRδ memenuhi aksioma T, PH dan M, namun tidak memenuhi
CTE memperhatikan informasi pada distribusi ekor diluar VaR. CTE pada level peluang δ, notasi CT Eδ(X), didefinisikan sebagai
CT Eδ(X) = E(X|X > xδ) = E
[
X|X > V aRδ(X)
] .
Ekspektasi diatas yang berpusat pada nilai V aRδ(X):
E[X− V aRδ(X)|X > V aRδ(X)
] ,
disebut “conditional VaR” dan dinotasikan CV aRδ(X). Perhatikan bahwa
CV aRδ(X) = E [ X− V aRδ(X)|X > V aRδ(X) ] = CT Eδ(X)− V aRδ(X). Latihan:
1. Tentukan CT Eδ dan CV aRδ pada distribusi kerugian eksponensial, normal dan Pareto.
2. Hitung CT Eδ untuk δ = 0.95 (juga TVaR yang berkorespondensi dengan nilai δ) dari
distribusi kerugian berikut:
X = 100, dengan peluang 0.03; 90, dengan peluang 0.01; 80, dengan peluang 0.04; 50, dengan peluang 0.12; 0, dengan peluang 0.8
3. Tunjukkan bahwa CTE memenuhi aksioma T, S, PH dan M.
4.3 Transformasi Ukuran Risiko
Misalkan X adalah kerugian acak kontinu tak negatif. Kerugian yang diharapkan (expected loss) dituliskan sebagai
µX = ∫ ∞ 0 ( 1− FX(x) ) dx = ∫ ∞ 0 SX(x) dx.
Misalkan ˜X terdistribusi dengan SX˜(x) = ( SX(x) )1/ρ , ρ≥ 1, maka E( ˜X) = µX˜ = ∫ ∞ 0 SX˜(x) dx = ∫ ∞ 0 ( SX(x) )1/ρ dx,
dimana parameter ρ disebut “risk-aversion index”. Distribusi dari ˜X disebut “PH transform” (proportional hazard transform) atau transformasi PH dari distribusi X dengan parameter ρ. Misalkan hX(x) dan hX˜(x) sebagai fungsi kegagalan atau hazard function (hf) dari X dan ˜X,
maka hX˜(x) =− 1 SX˜(x) ( d SX˜(x) dx ) =−1 ρ ( SX(x) )(1/ρ)−1 SX′ (x) ( SX(x) )1/ρ =−1 ρ ( SX′ (x) SX(x) ) = 1 ρhX(x)
Dapat disimpulkan bahwa hf dari ˜X proporsional terhadap hf dari X. Jika ρ≥ 1, maka hf dari ˜
X lebih kecil dari hf dari X, sehingga ˜X memiliki ekor yang lebih tebal dari X. Latihan:
1. Misalkan X beridistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Maka sf dari transformasi PH dari X adalah SX˜ =
(
e−λx)1/ρ, yang berakibat ˜X ∼ E(λ/ρ). Jadi,
E( ˜X) = ρ/λ≥ λ = E(X).
2. Apakah ukuran risiko µX˜ memenuhi aksioma T, S, PH, dan M?
Metode lain untuk memindahkan bobot ke kerugian yang lebih besar adalah dengan mentrans-formasi fungsi peluang. Jika X memiliki fungsi peluang fX(x), definisikan distribusi kerugian
˜
X dengan fungsi peluang fX˜(x),
fX˜(x) = w(x) fX(x),
dengan syarat w′(x) > 0 agar lebih banyak bobot di ekor bagian kanan dari distribusi kerugian. Fungsi peluang fX˜(x) juga harus terdefinisi dengan baik.
Fungsi bobot yang dapat digunakan adalah
w(x) = e ρx MX(ρ) = e ρx ∫∞ 0 e ρxf X(x) dx , ρ > 0,
where MX(ρ) adalah fungsi pembangkit momen dari X. Dapat ditunjukkan bahwa
w′(x) > 0 dan ∫ ∞
0
fX˜(x) dx = 1
(fungsi peluang yang terdefinisi dengan baik). Distribusi dari ˜X
fX˜(x) =
eρxf X(x)
MX(ρ)
, ρ > 0
disebut “Esscher transform” atau transformasi Esscher dari X dengan parameter ρ. Fungsi pembangkit momen dari ˜X adalah
MX˜(t) =
MX(ρ + t)
MX(ρ)
Ukuran risiko dapat dikonstruksi sebagai nilai harapan dari transformasi Esscher dari X,
ϱ(X) = E( ˜X) = E(X e
ρX)
E(eρX) ,
dimana dϱ(X)/dρ≥ 0 sehingga ρ dapat diinterpretasikan sebagai “risk-aversion index”. Latihan:
1. X berdistribusi eksponensial dengan parameter λ. Hitung transformasi Esscher dari X dan “risk-adjusted premium”
Definisi:
Fungsi distorsi adalah fungsi tidak turun g(.) yang memenuhi g(1) = 1 dan g(0) = 0.
Misalkan X peubah acak kerugian dengan fungsi kesintasan atau survival function (sf) SX(x).
Fungsi distorsi g(.) tidak turun dan SX(.) tidak naik, sehingga g(SX(x)) adalah fungsi tidak
naik dari x atau dg(SX(x))
dx ≤ 0
Peubah acak ˜X dengan sf g(SX(x)) diinterpretasikan sebagai p.a. “risk-adjusted loss” dan
g(SX(x)) sebagai “risk-adjusted sf”. Diasumsikan g(.) terbuka ke bawah, sehingga pdf dari ˜X
adalah fX˜(x) =− dg(SX(x)) dx = g ′(S X(x)) fX(x) dimana dg′(SX(x)) dx ≥ 0
sehingga g′(SX(x)) fungsi tidak turun.
Misalkan X peubah acak kerugian tak negatif. Ukuran risko distorsi berdasarkan fungsi distorsi g(.) didefinisikan sebagai
ϱ(X) = ∫ ∞
0
g(SX(x)) dx,
yang merupakan mean dari “risk-adjusted loss” ˜X. Ukuran risiko distorsi antara lain
• “Pure premium”: g(u) = u.
• “PH risk-adjusted premium”: g(u) = u1/ρ.
• VaR: g(SX(x)) = 1, 1− δ ≤ SX(x)≤ 1 atau g(SX(x)) = 1, 0≤ x ≤ V aRδ.
Pandang fungsi distorsi g(u) = Φ ( Φ−1(u) + ρ ) ,
dimana Φ(.) adalah fungsi distribusi normal standar dan ρ parameter risiko, ρ > 0. Fungsi diatas dikenal dengan nama “Wang transform” atau transformasi Wang.
Misalkan X adalah peubah acak kerugian dan ˜X peubah acak hasil transformasi Wang dari X. Ukuran risiko hasil transformasi adalah
ϱ(X) = E( ˜X) = ∫ ∞ 0 Φ ( Φ−1(SX(x)) + ρ ) dx Latihan:
1. Tentukan nilai g(0) dan g(1).
2. Tunjukkan bahwa transformasi Wang adalah fungsi naik dan terbuka ke bawah. 3. Tunjukkan bahwa dE( ˜X)/dρ > 0.
4. Jika X berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ2, tentukan distribusi kerugian
