Catatan Kuliah
MA4183 MODEL RISIKO
“Control your Risk!”
disusun oleh
Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung
Tentang MA4183 Model Risiko
A. Jadwal kuliah: • Selasa; 07.00-• Rabu/Kamis; B. Penilaian: 1. Ujian:• Ujian 1, Minggu ke-6, 30 September 2014 (25%)
• Ujian 2, Minggu ke-10, 28 Oktober 2014 (25%)
• Ujian 3, Minggu ke-15, 2 Desember 2014 (25%) 2. Kuis dan Tugas/Presentasi (25%)
C. Buku teks:
1. Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation
Daftar Isi
1 Distribusi Frekuensi Klaim 1
1.1 Distribusi Binomial . . . 1
1.2 Distribusi Geometrik . . . 3
1.3 Distribusi Poisson . . . 3
1.4 Kelas Distribusi (a, b,0) . . . 4
1.5 Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions . . . 6
1.6 Compound distribution . . . 7
2 Distribusi Severitas Klaim 1 2.1 Aplikasi Dalam Asuransi . . . 1
2.2 Fungsi Kesintasan . . . 3
2.3 Distribusi Eksponensial dan Pareto . . . 4
2.4 Transformasi Peubah Acak . . . 5
2.5 Sifat Ekor Pada Severitas Klaim . . . 5
3 Model Kerugian Agregat 1 3.1 Model Risiko Individu . . . 2
3.2 Model Risiko Kolektif . . . 3
4 Ukuran Risiko 1 4.1 Ukuran Risiko . . . 1
4.2 Aksioma . . . 2
4.3 Value-at-Risk (VaR) . . . 3
4.5 Transformasi . . . 6
4.5.1 Transformasi PH . . . 6
4.5.2 Transformasi Esscher . . . 8
4.5.3 Metode Distortion-Function . . . 9
BAB 1
Distribusi Frekuensi Klaim
Silabus: Distribusi binomial, geometrik dan Poisson; kelas distribusi (a, b,0);
zero-modified and zero-truncated distributions; compound distribution
Asuransi berkaitan erat dengan risiko karena dengan produk asuransi-lah ter-jadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi klaim (claim frequency) dan besar atau severitas klaim (claim severity).
1.1
Distribusi Binomial
Distribusi yang tepat untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi diskrit, antara lain binomial, geometrik, negatif binomial dan Poisson. Mis-alkan peubah acak X menyatakan banyak klaim yang diproses dari semua klaim yang masuk. MisalkanX ∼B(n, θ), maka fungsi peluangnya
P(X =k) = Cknθk(1−θ)n−k, k = 0,1,2, . . . , n
fungsi peluang (fp), yaitu E(Xm) = n ∑ k=0 xmP(X =k).
Untuk m = 1, misalnya, didapat E(X) = · · ·, dst. Momen ke-m dapat pula ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm):
MX(t) = · · ·
Catatan: Fpm suatu peubah acak berkorespondensi satu-satu dengan dis-tribusi peubah acak tersebut.
Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang da-pat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif? Dapatkah ditentukan hubungan antara fpm dan fpp?
Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak dariX yang berdistribusi binomial den-gan parameter (n, θ). Parameterθdapat ditaksir dengan menggunakan metode likelihood maksimum sbb:
• Fungsi likelihood dan log-likelihood: ...
• Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi: ...
• Penaksir θb: ...
• Turunan kedua terhadap parameter: ...
Tugas:
Pandang data berdistribusi binomial dengan berbagai nilai parameter. Lakukan analisis statistika deskriptif dan inferensial terhadap data tersebut.
1.2
Distribusi Geometrik
Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini?
Misalkan X∼Geo(α) dengan fungsi peluang
p(x) = (1−α)x−1α, x= 1,2, . . .
Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya,
E(X) = 1
α, V ar(X) =
1
α2,
dan juga fpm dan fpp. Selain itu, misalkan X ∼ Geo(α), kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari X+ 1.
Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan!
1.3
Distribusi Poisson
Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya/frekuensi klaim pada suatu periode waktu. Distribusi untukX adalah Poisson dengan parameterλ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ,
E(X) =V ar(X) = λ.
Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsepoverdispersiondan
underdispersion)
Teorema
Jika X1, . . . , Xn peubah acak-peubah acak yang saling bebas dengan Xi ∼
P OI(λi) maka
X =X1+· · ·+Xn ∼P OI(λ1 +. . .+λn).
Misalkan X danY peubah acak Poisson dengan parameter, berturut-turut,λ1 dan λ2. Kita dapat menentukan distribusi X|X+Y =n sebagai berikut
P(X =k|X+Y =n) = P(X =k, X+Y =n) P(X+Y =n) = P(X =k, Y =n−k) P(X+Y =n) = P(X =k)P(Y =n−k) P(X+Y =n) = exp(−λ1)λ k 1(k!)−1 exp(−λ2)λn2−k((n−k)!)−1 exp(−(λ1+λ2)) (λ1+λ2)n(n!)−1 = n! k!(n−k)! ( λ1 λ1+λ2 )k( λ2 λ1+λ2 )n−k .
Dengan kata lain, X|X+Y =n ∼B(n, λ1/(λ1+λ2)).
1.4
Kelas Distribusi
(
a, b,
0)
Perhatikan fungsi peluang dari peubah acak Poisson(λ):
f(x) = e
−λλx
x! , x= 0,1,2, . . .
yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untuk
X =x−1,
f(x−1) = e
−λλx−1 (x−1)!.
Diperoleh f(x) f(x−1) = e−λλx x! /e−λλx−1 (x−1)! = λ x atau f(x) = ( λ x ) f(x−1), x= 1,2, . . .
Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, ge-ometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Ke-las Distribusi (a, b,0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif:
f(x) = ( a+ b x ) f(x−1), x= 1,2, . . . ,
dengan a, bkonstanta dan f(0) diberikan.
1.5
Zero-Modified and Zero-Truncated
Distri-butions
Misalkan X ∼ B(3,0.4). Kita dapat menentukan distribusi peluang sebagai berikut: X P(X =k) 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064
Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena di-mana peluang terjadinya “0” telah ditentukan, misalnya P(X = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P(X = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang diatas. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai
zero-modified and zero-truncated distributions.
Misalkan peubah acak X dari suatu distribusi (a, b,0) memiliki fungsi pelu-ang f(x). Misalkan fM(x) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari
f(x);fM(x) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b,1). Untuk fM(0) yang ditentukan, hubungan antara fM(x) dan f(x) adalah
fM(x) =c f(x), x= 1,2, . . .
dengan ckonstanta.
Catatan: Fungsi peluang fM(x) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya,
c dapat diperoleh,
c= 1−f M(0) 1−f(0) .
menghi-tung fM(k), k = 1,2,3 sebagai berikut: fM(1) = 1−f M(0) 1−f(0) f(1) = 1−0.3 1−0.2160.432 = 0.386.
Dengan cara sama, kita peroleh fM(2) = 0.258 dan fM(3) = 0.056.
Untuk zero-truncated distribution, nilaiP(X = 0) = 0. Diperoleh nilai seperti tabel berikut: X P(X =k) Zero-Modified Zero-Truncated 0 0.216 0.3 0 1 0.432 0.386 2 0.288 0.258 3 0.064 0.056 Latihan:
1. Tentukan zero-modified distribution untuk X yang berdistribusi Poisson dengan parameter 2.5
2. Misalkan X∗ adalah zero-truncated distribution dari X. Diketahui, fungsi peluang dan fungsi pembangkit peluang X, berturut-turut, adalahfX(x) dan
PX(t). Tentukan fungsi pembangkit peluang untuk X∗
1.6
Compound distribution
MisalkanX1, . . . , Xnsampel acak dariXdengan fungsi distribusiFX. Apakah yang dapat kita katakan tentang distribusi
Bagaimana dengan
S =X1+· · ·+XN, ? (dimana N adalah peubah acak)
Jika N peubah acak bernilai integer yang saling bebas dengan X1, . . . , XN, maka peubah acak
S =X1+· · ·+XN
dikatakan memiliki compound distribution. Catatan:
- Distribusi N disebut sebagai distribution pertama (primary distribution), sedangan distribusi X dikatakan distribusi kedua (secondary distribution) - Penamaan distribusi: primary-secondary distribution
- Distribusi compound Poisson adalah distribusi dengan distribusi pertama adalah distribusi Poisson dan sebarang distribusi untuk distribusi kedua Untuk menentukan distribusi S, perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan Xi ∼
B(1, θ) dan kita tahuXi = 0,1. Sehingga nilai yang mungkin untukS adalah
{0,1,2}. P(S = 0) =P(X1 = 0, X2 = 0) =P(X1 = 0)P(X2 = 0) =f(0)f(0) P(S = 1) =P(X1 = 0, X2 = 1) +P(X1 = 1, X2 = 0) =f(0)f(1) +f(1)f(0)
P(S = 2) =P(X1 = 1, X2 = 1) =f(1)f(1)
Jadi, fungsi peluang S adalah
P(S =s) =∑ x
P(X1 =x, X2 =s−x).
Dalam menentukan distribusi S dengan N peubah acak alias compound dis-tribution, distribusi N harus ditentukan lebih dahulu. Dengan demikian, kita peroleh
P(S =s) = ∑ n
P(S|N =n)fN(n), dengan sifat momen pertama
E(S) =E(E(S|N)) =· · ·
dan fungsi pembangkit momen MS(t) =· · ·. Latihan:
1. Misalkan S1 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson dengan parameter 1 dan kedua Geometrik dengan parameterp1. Mis-alkan S2 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson dengan parameter 2 dan kedua Geometrik dengan parameter p2. DiketahuiS1 dan S2 saling bebas. Misalkan S =S1+S2. Hitung
P(S =s), s= 0,1,2, .
BAB 2
Distribusi Severitas Klaim
Silabus: Fungsi kesintasan, distribusi exponensial, Weibull dan Pareto; mixed and mixture distributions; tail weight and CTE; Aplikasi: deductibles, policy limit dan coinsurance
Severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim asuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu nonnegatif. Secara khusus, akan dibahas distribusi eksponensial dan Pareto serta sifat-sifat yang menyertainya seperti sifat ekor dan kuantil.
2.1
Aplikasi Dalam Asuransi
Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat-sifat khusus peubah acak seperti sifat ekor, kuantil dll adalah manfaat atau aplikasi dalam bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan pada pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage).
Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak jarang pengendara bersikap ceroboh terhadap kendaraannya karena keyaki-nan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan
masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asur-ansi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductibles, policy limits dan
coinsurance.
Misalkan X menyatakan besar uang yang dibayar (amount paid) dalam suatu kejadian kerugian (loss event) dimana tidak ada modifikasi cakupan atau dise-but ground-up loss. MisalkanXLmenyatakan besar uang yang dibayar dimana ada modifikasi cakupan atau cost per loss; XP menyatakan besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian pembayaran (payment event) dimana ada mod-ifikasi cakupan. Catatan: loss event terjadi jika terdapat kerugian, payment event terjadi hanya jika pihak asuransi membayar kerugian.
Deductibles
Suatu polis asuransi dengan per-loss deductible d tidak akan menbayar pada pemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengan
d; akan membayar pemegang polis sebesar X−d jika kerugianX lebih darid. Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian kerugian, XL, adalah
XL=X−d, untuk X > d,
dan XL= 0 untuk X ≤d. Distribusi peluang untuk XL adalah...
Peubah acak XP (excess-loss variable) didefinisikan jika terjadi pembayaran, yaitu saat X > d,
XP =X−d|X > d. Fungsi kesintasan SXP adalah...
Catatan:
Latihan.
MisalkanXdanY, dengan deductibled= 0.25. HitungE(XL), E(XP), E(YL), E(YP), jika X berdistribusi eksponensial dan Y berdistribusi lognormal.
Policy limit
Modifikasi lain dari cakupan polis adalah menentukan suatu nilai u yang di-tentukan dari awal dengan aturan
XU =u, untuk X ≥u,
dan XU =X untuk X < u. Notasi: XU =X∧u. Coinsurance
Dapatkah anda menjelaskan tentang Coinsurance?
2.2
Fungsi Kesintasan
Fungsi kesintasan (survival function) merupakan komplemen dari fungsi dis-tribusi. Dapat pula dikatakan bahwa fungsi kesintasan S(x) adalah nilai ku-mulatif peluang yang lebih besar dari x atau
S(x) = 1−F(x) =P(X > x),
dengan sifat-sifat sbb:...
Fungsi hazard berkaitan dengan peluang mendapatkan kegagalan pada suatu waktu,
h(x) = f(x)
S(x)
Suatu peubah acak X dapat berdistribusi kontinu dan diskrit, F(x) =P(X ≤x) = ∫ x −∞ f(x)dx+∑ x P(X =x)
dengan sifat ekspektasi...
Contoh: Misalkan X ∼U(0,10). Misalkan Y =X−2 untuk X >2.
2.3
Distribusi Eksponensial dan Pareto
Misalkan X peubah acak eksponensial. Fungsi distribusi dan fungsi hazard-nya dapat ditentukan sbb. Distribusi eksponensial sering digunakan untuk menentukan distribusi waktu antar-kedatangan.
Peubah acak X berdistribusi Pareto dengan parameter α >0 dan γ > 0 jika fungsi distribusinyaF(x). Distribusi ini cocok untuk memodelkan pendapatan. Karakteristik menarik dari distribusi Pareto adalah tidak dimilikinya fpm dan dapat diturunkannya distribusi ini dari distribusi eksponensial.
Misalkan X∼exp(λ), dengan Λ berdistribusi Gamma(α, β). Kita ketahui
fX(x|λ) =λ e−λ x, x≥0, dan fΛ(λ|α, β) = (β1)α Γ(α)λ α−1e−1βλ , λ≥0. Jadi, ∫ ∞ 0 fX(x|λ)fΛ(λ|α, β) =· · · = α [ β ]α+1
atau ∫ ∞ 0 fX(x|λ)fΛ(λ|α, β) = αγα (x+γ)α+1,
dengan γ = 1/β, yang merupakan fungsi peluang dari distribusi Pareto(α, γ). Dengan kata lain, gamma-exponensial mixture berdistribusi Pareto.
2.4
Transformasi Peubah Acak
Beberapa cara dapat digunakan untuk memanipulasi suatu peubah acak men-jadi peubah acak baru. Peubah acak baru ini diperoleh dengan membentuk fungsi peubah acak. Sebagai contoh, diketahui peubah acak X dengan fungsi distribusi tertentu. Kita dapat membentuk fungsi peubah acak
Y = X
λ;Y =X
1
α,
dsb. Contoh lain, misalkan X1, . . . , Xn peubah acak dengan fungsi peluang
fX1, . . . , fXn. Peubah acak baru X dapat dibentuk dengan fungsi peluang
fX(x) =p1fX1(x) +· · ·+pnfXn(x),
dengan pi ≥0,
∑n
i=1 pi = 1.
2.5
Sifat Ekor Pada Severitas Klaim
Severitas klaim dapat bernilai sangat besar walau dengan frekuensi yang kecil. Kerugian dengan nilai ekstrim, yang terjadi pada ekor kanan (upper tail) dis-tribusi, perlu diperhatikan karena akan mempengaruhi kebijakan polis berikut-nya. Distribusi dengan ekor tebal (fat/heavy/thick tail) dapat diidentifikasi melalui eksistensi momen. Sebagai contoh, distribusi Pareto memiliki hingga order α. Jadi, jika α < 2 maka distribusi Pareto tidak memiliki variansi. Artinya, terdapat indikasi adanya distribusi ekor tebal.
Untuk membandingkan perilaku ekor distribusi, kita dapat menghitung limit rasio kedua fungsi kesintasan. Semakin cepat suatu fungsi kesintasan menuju nol, maka semakin tipis ekor distribusi tersebut. Cara lain untuk menentukan ketebalan ekor adalah dengan menentukan (i) fungsi hazard dan (ii) fungsi kuantil.
Misalkan X suatu kerugian acak atau random loss dengan fungsi distribusi
FX. Kita dapat menentukan suatu nilai dα sedemikian hingga
P(X ≤dα) =F(dα) =α. Dengan kata lain,
dα =FX−1(α),
ataudαadalahα-kuantil dari distribusiX. Keakuratandαdapat dihitung den-gan peluang cakupan atau coverage probability. Catatan: dα sering dikatakan VaRα(X) yang menyatakan kerugian maksimum yang dapat ditolerir padan tingkat α.
Ukuran lain yang dapat dihitung dengan memanfaatkan dα adalah CTE atau Conditioan Tail Expectation,
E
(
X|X > dα
)
,
yang, apabila kita menggunakan VaRα(X), ukuran tersebut disebut Expected Shortfall (ES). Perhatikan kasus distribusi eksponensial dengan parameter λ. Kita peroleh E ( X−VaRα(X)|X >VaRα(X) ) = 1 λ =E(X).
BAB 3
Model Kerugian Agregat
Silabus: Model risiko individu, model risiko kolektif
Informasi yang telah diperoleh tentang distribusi frekuensi dan severitas klaim bermanfaat dalam membangun model risiko individu dan kolektif.
Pada model risiko individu, misalkan kerugian (loss) untuk setiap polis, Xi untuk i= 1, . . . , n, terjadi pada suatu blok. Asumsi kerugian-kerugian terse-but saling bebas dan berdistribusi identik; X1, . . . , Xn sampel acak dari X. Kerugian atau risiko agregatnya adalah
S =X1+· · ·+Xn.
Dalam praktiknya, seringkali polis bernilai nol. Dengan demikian, perlu diper-hatikan bahwa X memilikimixed distribution.
Pada model risiko kolektif, kerugian agregat diasumsikan mengikuti suatu com-pound distribution, atau
S =X1+· · ·+XN,
dengan N peubah acak yang menyatakan frekuensi klaim dan X1, . . . , XN peubah acak-peubah acak, yang bersifat iid, menyatakan severitas klaim.
3.1
Model Risiko Individu
Ilustrasi - Misalkan diketahui peluang adanya suatu klaim adalah 0.2, atau
P(I = 1) = 0.2,
dengan I peubah acak Bernoulli dengan parameter p = 0.2 atau {I = 1} menyatakan kejadian “terjadinya klaim”. Jika suatu klaim terjadi, kerugiannya merupakan peubah acak eksponensial dengan parameter λ = 0.5. Artinya, mean kerugian dalam suatu loss event (kejadian kerugian) adalah
E(Y) = µY = 1
λ =
1 0.5 = 2.
Jadi, untuk suatu polis yang acak, mean kerugiannya adalah
E(X) =E(I)E(Y) = (0.2)(2) = 0.4.
Sementara itu, apabila diketahui adalah 500 polis yang saling bebas, mean kerugian agregatnya adalah
E(S) =n E(X) = (500)(0.4) = 200.
Latihan:
Suatu portofolio memiliki 100 polis asuransi yang saling bebas. Setiap polis memiliki peluang 0.2 untuk mengajukan klaim. Ketika suatu klaim diajukan, kerugian sebesar 10, 50, dan 80 memiliki peluang berturut-turut 0.4, 0.4, dan 0.2. Tentukan mean klaim agregate dari portofolio tersebut.
Jawab: Peubah acak yang menyatakan kerugian memiliki distribusi peluang:
Y =y 10 50 80
acak,
E(X) = (0.2)(40) = 8.
Jadi, suatu portofolio dengan 100 polis yang saling bebas memiliki mean agre-gat
E(S) = 100(8) = 800.
3.2
Model Risiko Kolektif
Pandang kerugian agregat S yang memilikicompound distributiondengan dis-tribusi pertama untukN dan distribusi kedua untukX. Asumsikan bahwa X
dan N saling bebas. Kita dapat menentukan beberapa sifat untuk S antara lain fungsi pembangkit momen,
MS(t) = E(etS) =E(et(X1+···+XN)) =E[E(et(X1+···+XN)|N)] =E[E(etX1)· · ·E(etXN)] =E[{E(etX)}N ] =E [ {MX(t)}N ] =E[{elogMX(t)}N ] =E[elogMX(t)N] =MN(logMX(t))
Sedangkan mean dan variansi untuk S adalah
BAB 4
Ukuran Risiko
Silabus: Ukuran risiko (premium-based, capital-based), Aksioma risiko, VaR dan ES, transformasi.
Jenis-jenis risiko:
1. Risiko pasar (kerugian akibatan perubahan pada harga dan kondisi pasar) 2. Risiko kredit (risiko dari nasabah)
3. Risiko operasional (risiko bisnis yang bukan risiko pasar atau risiko kredit)
Kegunaan ukuran risiko: 1. Menentukan modal 2. Menentukan premi
3. Manajemen risiko internal 4. Melaporkan kebijakan eksternal
4.1
Ukuran Risiko
riil ϱ:X→R, dimana Radalah himpunan bilangan riil. Peubah acak X tak negatif.
Misalkan mean dan variansi kerugian acakX adalahµX danσX2. Ukuran risiko “expected-value principle premium” didefinisikan sebagai
ϱ(X) = (1 +θ)µX =µX +θ µX,
dimana θ ≥ 0 adalah “premium loading factor”. Ukuran risiko dikatakan “pure premium” saat θ = 0.
Ukuran risiko “variance principle premium” didefinisikan sebagai:
ϱ(X) =µX +α σX2,
dimana α≥0 adalah “loading factor”.
4.2
Aksioma
Beberapa aksioma dalam ukuran risiko, yang apabila dipenuhi maka ukuran risiko tersebut dikatakan “coherent” (koheren). Aksioma-aksioma tersebut adalah:
1. (T) Untuk setiapX dan konstanta tak negatif a,
ϱ(X+a) =ϱ(X) +a
2. (S) Untuk setiapX dan Y,
ϱ(X+Y)≤ϱ(X) +ϱ(Y)
3. (PH) Untuk setiap X dan konstanta tak negatifa,
VaR
X
Figure 4.1: Value-at-Risk pada Distribusi Normal. 4. (M) Untuk setiap X dan Y sdh X ≤Y,
ϱ(X)≤ϱ(Y)
Latihan:
1. Tunjukkan, dengan aksioma PH, bahwa ϱ(0) = 0. Dengan hasil itu, buktikan bahwa jika aksioma PH dan M dipenuhi maka ϱ(X)≥0 untuk
X ≥0.
2. “no unjustified loading”? 3. “no ripoff”?
4. Tunjukkan bahwa ukuran risiko “expected-value principle premium” memenuhi aksioma S, PH dan M namun tidak memenuhi aksioma T. Bagaiman dengan ukuran risiko “variance/standard deviation principle premium”?
4.3
Value-at-Risk (VaR)
Value at Risk (VaR) dari suatu peubah/variabel kerugian adalah nilai mini-mum suatu distribusi sdh peluang untuk mendapatkan kerugian lebih besar dari nilai tersebut tidak akan melebihi peluang yang diberikan.
Definisi:
Misalkan X adalah peubah acak kerugian dengan fungsi distribusi FX(.) dan
δ adalah peluang, makab VaR pada tingkat peluang δ adalah δ-kuantil dari
X:
V aRδ(X) =FX−1(δ) =xδ
Jika FX(.) fungsi tangga (X tidak kontinu), didefiniskan
V aRδ(X) = inf{x∈[0,∞) :FX(x)≥δ}
Latihan:
1. HitungV aRδ untuk distribusi kerugian X: E(λ),N(µ, σ2),P(α, γ). 2. HitungV aRδ untukδ = 0.94,0.97 dari distribusi kerugian berikut:
X = 100, dgn peluang 0.03; 90, dgn peluang 0.01; 80, dgn peluang 0.04; 50, dgn peluang 0.12; 0, dgn peluang 0.8
3. Tunjukkan bahwaV aRδ memenuhi aksioma T, PH dan M, namun tidak memenuhi aksioma S.
4.4
Conditional Tail Expectation (CTE)
CTE memperhatikan informasi pada distribusi ekor diluar VaR. CTE pada level peluang δ, notasiCT Eδ(X), didefinisikan sebagai
atau CT Eδ(X) = E [ X|X > V aRδ(X) ] ,
untuk X kontinu. Ekspektasi diatas yang berpusat pada nilaiV aRδ(X):
E[X−V aRδ(X)|X > V aRδ(X)
]
,
disebut “conditional VaR” dan dinotasikan CV aRδ(X). Perhatikan bahwa
CV aRδ(X) = E
[
X−V aRδ(X)|X > V aRδ(X)
]
=CT Eδ(X)−V aRδ(X)
Jika V aRδ digunakan sebagai modal, maka “shortfall” dari modal adalah
(X−V aRδ)+.
Ketika X kontinu, V aRδ =xδ dan “mean shortfall” nya adalah
E[(X−xδ)+ ] =E[X−xδ|X > xδ ] P(X > xδ) = (1−δ)CV aRδ 1 (1−δ)E [ (X−xδ)+ ] =CV aRδ =CT Eδ(X)−xδ
Untuk mengevaluasi CT Eδ, perhatikan bahwa
CT Eδ =E(X|X > xδ) = 1 (1−δ) ∫ ∞ xδ x fX(x)dx = 1 (1−δ) ∫ ∞ xδ x dFX(x) = 1 (1−δ) ∫ 1 δ xξdξ,
rata-rata kuantil yang melampaui xδ. Analog, 1 (1−δ) ∫ 1 δ V aRξdξ
yang disebut dengan “tail VaR” atau T V aRδ(X).
Latihan:
1. TentukanCT EδdanCV ARδpada distribusi kerugianX: E(λ),N(µ, σ2),P(α, γ). 2. HitungCT Eδ untukδ= 0.95 (juga TVaR yang berkorespondensi dengan
nilai δ)dari distribusi kerugian berikut:
X = 100, dgn peluang 0.03; 90, dgn peluang 0.01; 80, dgn peluang 0.04; 50, dgn peluang 0.12; 0, dgn peluang 0.8
3. Tunjukkan bahwa CTE memenuhi aksioma T, S, PH dan M.
4.5
Transformasi
4.5.1
Transformasi PH
Misalkan X adalah kerugian acak kontinu tak negatif. Kerugian yang dihara-pkan (expected loss) dituliskan sebagai
µX = ∫ ∞ 0 ( 1−FX(x) ) dx= ∫ ∞ 0 SX(x)dx
Misalkan ˜X terdistribusi dengan
SX˜(x) =
(
SX(x)
)1/ρ
maka E( ˜X) =µX˜ = ∫ ∞ 0 SX˜(x)dx= ∫ ∞ 0 ( SX(x) )1/ρ dx,
dimana parameter ρ disebut “risk-aversion index”. Distribusi dari ˜X disebut “PH (proportional hazard) transform” atau transformasi PH dari distribusi X
dengan parameter ρ.
Misalkan hX(x) danhX˜(x) sebagai fungsi hazard (hf) dari X dan ˜X, maka
hX˜(x) = − 1 SX˜(x) ( d SX˜(x) dx ) =−1 ρ ( SX(x) )(1/ρ)−1 SX′ (x) ( SX(x) )1/ρ =−1 ρ ( SX′ (x) SX(x) ) = 1 ρhX(x)
Dapat disimpulkan bahwa hf dari ˜X proporsional terhadap hf dari X. Jika
ρ ≥ 1, maka hf dari ˜X lebih kecil dari hf dari X, sehingga ˜X memiliki ekor yang lebih tebal dari X.
Latihan:
1. Misalkan X beridistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Maka sf dari transformasi PH dari X adalah
SX˜ = ( e−λx)1/ρ, yang berakibat ˜ X ∼ E(λ/ρ)
Jadi,
E( ˜X) =ρ/λ≥λ =E(X)
2. Apakah ukuran risikoµX˜ memenuhi aksioma T, S, PH, dan M?
4.5.2
Transformasi Esscher
Metode lain untuk memindahkan bobot ke kerugian yang lebih besar adalah dengan mentransformasi pdf. JikaX memiliki pdffX(x), definisikan distribusi kerugian ˜X dengan pdf fX˜(x),
fX˜(x) =w(x)fX(x),
dengan syarat w′(x) > 0 agar lebih banyak bobot di ekor bagian kanan dari distribusi kerugian. Pdf fX˜(x) juga harus terdefinisi dengan baik.
Fungsi bobot yang dapat digunakan adalah
w(x) = e ρx MX(ρ) = e ρx ∫∞ 0 eρxfX(x)dx , ρ >0,
where MX(ρ) adalah fungsi pembangkit momen dari X. Dapat ditunjukkan bahwa w′(x)>0 dan ∫ ∞ 0 fX˜(x)dx= 1
(pdf yang terdefinisi dengan baik) Distribusi dari ˜X
fX˜(x) =
eρxfX(x)
MX(ρ)
disebut “Esscher transform” atau transformasi Esscher dari X dengan param-eter ρ. Fungsi pembangkit momen dari ˜X adalah
MX˜(t) =
MX(ρ+t)
MX(ρ)
Ukuran risiko dapat dikonstruksi sebagai nilai harapan dari transformasi Ess-cher dari X,
ϱ(X) =E( ˜X) = E(X e ρX)
E(eρX) ,
dimanadϱ(X)/dρ≥0 sehinggaρdapat diinterpretasikan sebagai “risk-aversion index”.
Latihan:
1. X berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Hitung transformasi Esscher dari X dan “risk-adjusted premium”
2. Lakukan transformasi Esscher pada distribusi kerugian yang lain.
4.5.3
Metode Distortion-Function
Definisi:
Fungsi distorsi adalah fungsi tidak turun g(.) yang memenuhi g(1) = 1 dan
g(0) = 0. Misalkan X peubah acak kerugian dengan sf SX(x). Fungsi distorsi
g(.) tidak turun dan SX(.) tidak naik, sehingga g(SX(x)) adalah fungsi tidak naik dari x atau
dg(SX(x))
dx ≤0
bawah, sehingga pdf dari ˜X adalah fX˜(x) =− dg(SX(x)) dx =g ′(S X(x))fX(x) dimana dg′(SX(x)) dx ≥0
sehingga g′(SX(x)) fungsi tidak turun.
MisalkanXpeubah acak kerugian tak negatif. Ukuran risko distorsi berdasarkan fungsi distorsi g(.) didefinisikan
ϱ(X) =
∫ ∞
0
g(SX(x))dx,
yang merupakan mean dari “risk-adjusted loss” ˜X. Ukuran risiko distorsi antara lain
• “Pure premium”: g(u) =u • “PH risk-adjusted premium”: g(u) =u1/ρ • VaR g(SX(x)) = 1, 1−δ ≤SX(x)≤1 atau g(SX(x)) = 1, 0≤x≤V aRδ
• CTE g(SX(x)) = SX(x) 1−δ , x > xδ = 1, 0≤x≤xδ TEOREMA:
Misalkan g(.) adalah fungsi distorsi terbuka ke bawah. Ukuran risiko dari kerugian X,
ϱ(X) =
∫ ∞
0
g(SX(x))dx,
memenuhi aksioma T, S, PH dan M. Dengan kata lain, ukuran risiko diatas adalah koheren.
4.5.4
Transformasi Wang
Pandang fungsi distorsi
g(u) = Φ
(
Φ−1(u) +ρ
)
,
dimana Φ(.) adalah fungsi distribusi normal standar dan ρ parameter risiko,
ρ > 0. Fungsi diatas dikenal dengan nama “Wang transform” atau transfor-masi Wang.
Misalkan X adalah peubah acak kerugian dan ˜X peubah acak hasil transfor-masi Wang dari X. Ukuran risiko hasil transformasi adalah
ϱ(X) =E( ˜X) = ∫ ∞ 0 Φ ( Φ−1(SX(x)) +ρ ) dx Latihan:
2. Tunjukkan bahwa transformasi Wang adalah fungsi naik dan terbuka ke bawah
3. Tunjukkan bahwa dE( ˜X)/dρ >0
4. Jika X berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ2, tentukan distribusi kerugian berdasarkan transformasi Wang dan tentukan pula “risk-adjusted premium”
