AK3283 AK3283 MODEL RISIKO I. Model Frekuensi Klaim. K. Syuhada, Ph.D. Pengantar. Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi. Distribusi Poisson

(1)

MODEL RISIKO I Model Frekuensi Klaim K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi Distribusi Poisson Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Mixed and Mixture Distributions

AK3283

MODEL RISIKO I

Model Frekuensi Klaim

(2)

MODEL RISIKO I Model Frekuensi Klaim K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi Distribusi Poisson Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Mixed and Mixture Distributions Kelas Distribusi (a, b, 0) Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions

Pengantar

Kegiatan berasuransi pada dasarnya berkaitan dengan kerugian (klaim), baik frekuensi maupun nilai atau severitas. Frekuensi klaim dapat dikaji melalui kerugian acak diskret, khususnya distribusi Poisson, binomial, dan geometrik.

(3)

Kerugian Acak dan

Sifat Momen Distribusi

Misalkan X peubah acak yang menyatakan kerugian (selanjutnya disebut sebagai kerugian acak atau random loss). Sebagai peubah acak, X memiliki karakteristik utama yaitu memiliki distribusi. Akibatnya, sifat-sifat statistika akan melekat pada peubah acak.

(4)

Kerugian acak dan distribusinya dapat dikaji lebih jauh melalui sifat momen (khususnya hingga momen ke-4) dan perilaku ekor distribusi. Kedua sifat ini dapat digunakan sebagai indikator adanya observasi ekstrem yang penting dalam menghitung risiko.

(5)

Misalkan X kerugian acak dengan fungsi peluang fX(x).

Fungsi pembangkit momen (fpm) untuk X adalah

MX(t) = E etX = Z ∞ −∞ etxfX(x) dx. Perhatikan bahwa etx= 1 + tx + t 2_x2 2! + · · · + trxr r! + · · · Jadi, MX(t) = · · · (*)

(6)

Misalkan MX(t) adalah fpm untuk kerugian acak X.

Turunan pertama fpm terhadap t adalah

M0_X(t) = dMX(t) dt = d dtE e tX_{= E} d dte tX = E XetX. Jika hasil turunan tersebut dievaluasi di t = 0, kita peroleh

M0_X(0) = E(X),

atau momen pertama dari X. Kita dapat pula menentukan momen ke-r secara simultan menggunakan (*).

(7)

Contoh 1

(8)

MODEL RISIKO I Model Frekuensi Klaim K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi Distribusi Poisson Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Mixed and Mixture Distributions Kelas Distribusi (a, b, 0) Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions Solusi: M_X(r)(t) = d r MX(t) dtr = dr dtrE e tX_{= E} d r dtr e tX = E XretX. Jika hasil tersebut dievaluasi di t = 0, kita peroleh

M_X(r)(0) = E(Xr).

(9)

Contoh 2

Misalkan X1dan X2kerugian acak-kerugian acak yang saling

(10)

MODEL RISIKO I Model Frekuensi Klaim K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi Distribusi Poisson Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Mixed and Mixture Distributions Kelas Distribusi (a, b, 0) Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions Solusi: MX1+X2(t) = Eet(X1+X2) = E etX1_etX2 = E etX1 E etX2 = MX1(t) MX2(t).

Jika X1, X2sampel acak dari X, maka

MX1+X2(t) =MX(t)

2 .

(11)

Latihan 1

Misalkan X kerugian acak dengan MX(t) sebagai fungsi

pembangkit momen. Didefinisikan g(t) = ln MX(t).

(12)

Latihan 2

Misalkan N kerugian acak dengan fungsi peluang

P(N = n) = e−55

n

n!, n= 0, 1, 2, . . . . Hitung E 3N.

(13)

Distribusi Poisson

Misalkan N kerugian acak yang menyatakan frekuensi kerugian klaim (yang masuk atau diajukan) pada suatu periode waktu. Distribusi untuk N adalah Poisson dengan parameter λ > 0. Notasi: N ∼ Poi(λ). Fungsi peluang untuk N adalah

P(N = n) = e−λ λ

n

n!, n= 0, 1, 2, . . . .

Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansinya sama, yaitu

(14)

Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean yang sama dengan variansi (equidispersion)? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan underdispersion)

(15)

Jika kita memiliki kerugian acak Poisson (atau kerugian acak diskret lainnya), maka kita dapat menentukan

(i) peluang frekuensi kerugian melalui fungsi peluang atau fungsi pembangkit peluang atau fungsi pembangkit momen,

(16)

Contoh

Diketahui N kerugian acak yang berdistribusi Poisson dengan mean 0.1. Hitung P(N = 1|N ≤ 1).

(17)

MODEL RISIKO I Model Frekuensi Klaim K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi Distribusi Poisson Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Mixed and Mixture Distributions Solusi: P(N = 1|N ≤ 1) = P(N = 1, N ≤ 1) P(N ≤ 1) = P(N = 1) P(N = 0) + P(N = 1) = e −0.1_(0.1) e−0.1_{+ e}−0.1_(0.1) = 1 11.

(18)

Latihan

(19)

MODEL RISIKO I Model Frekuensi Klaim K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi Distribusi Poisson Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Mixed and Mixture Distributions Teorema:

Jika N1, . . . , Nkkerugian acak-kerugian acak yang saling bebas

dengan Ni∼ Poi(λi), maka

(20)

Perhatikan kasus k = 2. Distribusi N1+ N2dapat ditentukan

melalui (i) teknik fungsi peluang atau (ii) teknik fungsi pembangkit momen.

(21)

Misalkan N1dan N2kerugian acak Poisson yang saling bebas

dengan parameter, berturut-turut, λ1dan λ2. Apa yang dapat kita

katakan tentang kerugian acak N1|N1+ N2= m? Bagaimana kita

(22)

MODEL RISIKO I Model Frekuensi Klaim K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi Distribusi Poisson Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Mixed and Mixture Distributions Kelas Distribusi (a, b, 0) Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions P(N1= n|N1+ N2= m) = P(N1 = n, N1+ N2= m) P(N1+ N2 = m) = P(N1 = n, N2= m − n) P(N1+ N2= m) = P(N1 = n) P(N2 = m − n) P(N1+ N2= m) = · · ·

(23)

(24)

Distribusi Binomial

Misalkan kerugian acak N menyatakan frekuensi kerugian klaim yang diproses dari semua klaim yang masuk. Distribusi yang tepat untuk N adalah distribusi binomial dengan parameter m (frekuensi klaim yang masuk) dan θ (peluang klaim diproses). Notasi: N ∼ Bin(m, θ). Fungsi peluang untuk N adalah

P(N = n) =m n

(25)

Sifat momen, atau momen ke-r, dapat ditentukan dengan memanfaatkan fungsi peluang (fp), yaitu

E(Nr) =

m

X

n=0

nrP(N = n).

(26)

Selain itu, dapat diperoleh

Var(N) = m θ(1 − θ) = (1 − θ) E(N).

Ini berarti kerugian acak binomial mempunyai nilai variansi yang lebih kecil daripada nilai meannya (underdispersion).

(27)

Momen-momen untuk N dapat juga ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm):

MN(t) = (1 − θ + θet)m.

Catatan: Fpm suatu kerugian acak berkorespondensi satu-satu dengan distribusi kerugian acak tersebut.

(28)

Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang dapat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif?

(29)

Misalkan N1, N2, . . . , Nk sampel acak dari N yang berdistribusi

binomial dengan parameter (m, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metode likelihood maksimum sbb:

• Fungsi likelihood dan log-likelihood: ...

• Turunan pertama terhadap θ dan normalisasi: ...

• Penaksir bθ: ...

(30)

Latihan

AXAh menjamin 60 risiko secara bebas. Setiap risiko memiliki peluang 0.04 untuk terjadi rugi setiap tahunnya. Seberapa sering lima atau lebih risiko akan diharapkan merugi pada tahun yang sama?

(31)

Distribusi Geometrik

Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi kerugian klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini?

(32)

Misalkan N ∼ Geo(θ) dengan fungsi peluang

P(N = n) = (1 − θ)n−1θ, n= 1, 2, . . . .

Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya,

E(N) = 1

θ, Var(N) = 1 − θ

θ2 ,

serta fpm dan fpp. Kemudian, kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari N∗= N − 1.

(33)

Dari mean dan variansi sebelumnya, perhatikan bahwa

Var(N) = 1 θ 1 θ − 1 = E(N)E(N) − 1.

Karena E(N) > 1, berarti nilai variansi dari distribusi geometrik lebih besar daripada nilai meannya (overdispersion).

(34)

Selain itu, yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan!

(35)

Sifat tanpa memori (memoryless property):

(36)

MODEL RISIKO I Model Frekuensi Klaim K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi Distribusi Poisson Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Mixed and Mixture Distributions Kelas Distribusi (a, b, 0) Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions P(N ≥ t + s|N ≥ t) = P(N ≥ t + s, N ≥ t) P(N ≥ t) = P(N ≥ t + s) P(N ≥ t) = · · ·

(37)

Untuk N ∼ Geo(θ), kita tahu bahwa P(N ≥ n) = (1 − θ)n−1. Jadi, P(N ≥ t + s) P(N ≥ t) = (1 − θ)t+s−1 (1 − θ)t−1 = (1 − θ)s−1 = P(N ≥ s).

(38)

Latihan

(39)

Mixed Distribution

Kita dapat memiliki suatu kerugian acak yang bersifat diskret dan kontinu secara bersamaan. Distribusi tersebut dikatakan distribusi campuran atau mixed distribution.

(40)

Contoh

Misalkan X kerugian acak yang menyatakan nilai atau severitas klaim; nilai klaim secara seragam berada pada [0, 100].

Didefinisikan

Y = (

0, X≤ 20, X− 20, X> 20.

Tentukan fungsi peluang, fungsi kesintasan, mean dan momen pusat kedua dari nilai kerugian acak Y.

(41)

Mixture Distribution

Perhatikan ilustrasi berikut. Suatu perusahaan asuransi kendaraan bermotor mencatat terdapat a1= 60% polis Basic dan a2= 40%

polis Deluxe. Setiap pemegang polis Basic maupun polis Deluxe dapat mengajukan klaim beberapa kali dalam setahun, dengan frekuensi, berturut-turut, N1dan N2.

(42)

Kita dapat membangun kerugian acak baru, N, yang menyatakan frekuensi klaim dari suatu polis yang dipilih secara acak. Jika fNi

fungsi peluang untuk Ni, i = 1, 2, maka fungsi peluang untuk N

adalah

fN(n) = a1fN1(n) + a2fN2(n).

Ini berarti kerugian acak N akan bernilai Nidengan peluang ai,

(43)

Fungsi peluang fNterdefinisi dengan baik, asalkan himpunan

semua nilai yang mungkin dari N1dan N2sama.

(44)

Latihan

Pada ilustrasi di atas, misalkan N1dan N2berdistribusi Poisson

dengan parameter, berturut-turut, λ1dan λ2. Tentukan mean dan

variansi dari N. Bandingkan dengan mean dan variansi dari kerugian acak N∗= a1N1+ a2N2.

(45)

Kelas Distribusi (a, b, 0)

Perhatikan fungsi peluang dari kerugian acak Poi(λ) berikut:

f(n) = e

−λ_λn

n! , n= 0, 1, 2, . . . ,

yang dapat dituliskan secara rekursif dengan memerhatikan fungsi peluang saat N = n − 1,

f(n − 1) = e

−λ_λn−1

(46)

MODEL RISIKO I Model Frekuensi Klaim K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi Distribusi Poisson Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Mixed and Mixture Distributions Kelas Distribusi (a, b, 0) Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions Diperoleh f(n) f(n − 1) = e−λλn n! e−λ_λn−1 (n − 1)! = λ n atau f(n) = λ n f(n − 1), n= 1, 2, . . . ,

(47)

Distribusi-distribusi diskret yang sudah dikenalkan sebelumnya (Poisson, binomial, geometrik, dan juga binomial negatif) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang yang memenuhi sifat rekursif

f(n) = a+b n f(n − 1), n= 1, 2, . . . ,

dengan a, b konstanta dan f (0) diberikan.

Catatan: Kelas Distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi.

(48)

Zero-Modified and Zero-Truncated

Distributions

Misalkan N ∼ Bin(3, 0.4). Kita dapat menentukan distribusi peluang sebagai berikut:

n f(n) 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064

(49)

Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena peluang terjadinya “0” telah ditentukan, misalnya P(N = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P(N = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang di atas. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai distribusi modifikasi-nol (zero-modified distribution) dan distribusi tak-bernilai-nol (zero-truncated distribution).

(50)

Misalkan kerugian acak N dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi peluang f (n). Misalkan fmod(n) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari f (n); fmod(n) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b, 1). Untuk fmod(0) yang ditentukan, hubungan antara fmod(n) dan f (n) adalah

fmod(n) = c f (n), n= 1, 2, . . . ,

(51)

Fungsi peluang fmod_{(n) haruslah terdefinisi dengan baik;}

akibatnya, c dapat diperoleh sbb:

c= 1 − f

mod₍₀₎

(52)

Untuk distribusi binomial dengan parameter (3, 0.4) di atas, kita dapat menghitung fmod(n), n = 1, 2, 3, sebagai berikut:

fmod(1) = 1 − f mod₍₀₎ 1 − f (0) f(1) = 1 − 0.3 1 − 0.216(0.432) = 0.386.

Dengan cara sama, kita peroleh fmod(2) = 0.258 dan fmod(3) = 0.056.

(53)

Untuk zero-truncated distribution, nilai P(N = 0) = 0 sehingga fungsi peluangnya adalah

ftr(n) = 1

1 − f (0)f(n), n= 1, 2, 3.

Diperoleh nilai-nilai peluang seperti tabel berikut:

n f(n) fmod(n) ftr(n) 0 0.216 0.3 0 1 0.432 0.386 0.551 2 0.288 0.258 0.367 3 0.064 0.056 0.082 Jumlah 1 1 1

(54)

MODEL RISIKO I Model Frekuensi Klaim K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi Distribusi Poisson Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Mixed and Mixture Distributions Kelas Distribusi (a, b, 0) Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions Bin(3, 0.4) Zero-Modified Zero-Truncated 0 1 2 3 n 0.2 0.4 0.6 f (n) 0 1 2 3 n 0.2 0.4 0.6 fmod_(n) 0 1 2 3 n 0.2 0.4 0.6 ftr_(n)

(55)

Latihan

Tentukan distribusi nilai peluang dari zero-modified distribution dan zero-truncated distribution untuk N yang berdistribusi Poisson dengan parameter 2.5.