MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
AK5161
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA
Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi,
model Binomial, formula Black-Scholes
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Suku bunga
Sejauh ini kita telah mempelajari suku bunga dan perhitungan untuk mendapatkan keuntungan; termasuk menghitung nilai uang saat ini jika kita membayangkan keuntungan pada masa yang akan datang.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Imbal hasil dan proses stokastik
Suku bunga memiliki “prinsip” yang sama dengan imbal hasil (return). Imbal hasil dapat dimodelkan melalui proses stokastik yang bermanfaat untuk prediksi (forecasting). Salah satu proses stokastik yang relevan adalah gerak Brown; proses
heteroskedastik yang relevan (untuk imbal hasil) adalah kelas model ARCH/GARCH.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Peubah acak imbal hasil dan
ekspektasi
MisalkanRtpeubah acak keuangan yang menyatakan imbal hasil; distribusi peluangnya ditentukan oleh vektor parameterθ.
Ekpektasi,E(Rt)dapat diformulasi dengan memanfaatkan fungsi peluang, fungsi distribusi, atau fungsi kesintasan (dengan syarat tertentu) sebagai berikut:
E(Rt) =· · · atau
E(Rt) =· · · untukrt >0.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Peubah acak imbal hasil dan
ekspektasi
MisalkanRtpeubah acak keuangan yang menyatakan imbal hasil; distribusi peluangnya ditentukan oleh vektor parameterθ.
Ekpektasi,E(Rt)dapat diformulasi dengan memanfaatkan fungsi peluang, fungsi distribusi, atau fungsi kesintasan (dengan syarat tertentu) sebagai berikut:
E(Rt) = Z rtfRt(rt;θ)drt atau E(Rt) =· · · untukrt >0.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Perhatikan bahwa dFRt(rt;θ) =−d(1−FRt(rt;θ)) =−dSRt(rt;θ) Sehingga untukrt >0 E(Rt) = Z rtdFRt(rt;θ) = Z rt(−dSRt(rt;θ)) =−rtSRt(rt;θ) ∞ 0 − Z SRt(rt;θ)d(−rt) =0+ Z SRt(rt;θ)drt = Z SRt(rt;θ)drt
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Pandang proses stokastik{Rt}untuk imbal hasil Rt =αRt−1+εt,
dengan 0< α <1,εtberdistribusi normal dengan mean nol dan variansiσ2. Ekpektasi padaRt dapat berupa ekspektasi bersyarat E(Rt|Rt−1)dan ekspektasi tak bersyaratE(Rt).
E(Rt|Rt−1=rt−1) =· · · E(Rt) =· · · Bagaimana cara menentukan batasα?
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Perhatikan beberapa asumsi tambahan untuk proses{Rt}berikut: 1 AsumsiRt stasioner
2 Peubah acakεt saling bebas dan berdistribusiN(0, σ2) 3 Peubah acakRt−1danεt saling bebas
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes E[Rt|Rt−1=rt−1] =E[αRt−1+εt|Rt−1 =rt−1] =E[αrt−1+εt|Rt−1=rt−1] =αrt−1+E[εt|Rt−1=rt−1] =αrt−1+E[εt] =αrt−1 dan E[Rt] =E[αRt−1+εt] =αE[Rt−1] +E[εt] =αE[Rt−1] (1−α)E[Rt] =0 E[Rt] =0
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Untuk menentukan batasα, digunakan bantuanVar(Rt)
Var(Rt) =Var(αRt−1+εt)
=Var(αRt−1) +Var(εt) +2Cov(αRt−1, εt)
=α21Var(Rt−1) +σ2+0 =α2Var(Rt−1) +σ2 (1−α2)Var(Rt) =σ2 Var(Rt) = σ2 (1−α2)
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Perhatikan bahwa variansi bernilai nonnegatif, atauVar(Rt)>0. Karena nilaσ2 >0, penyebut dariVar(Rt)haruslah memenuhi 1−α2>0. Sehingga−1< α <1 atau|α|<1.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Pandang proses stokastik{Rt}yang memenuhi sifat heteroskedastik Rt = q αR2t−1·εt, atau Rt= q αR2t−1+β σ2 t−1·εt,
dengan sifat kestasioneran (lemah) yang berlaku pada keduanya;
εt diasumsikan memiliki distribusi dengan mean nol dan variansi satu. Ekspektasi bersyarat untuk imbal hasil pada waktut, diberikan informasi hingga waktut−1 adalah...
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Perhatikan beberapa asumsi tambahan untuk proses{Rt}berikut: 1 Peubah acakεt saling bebas
2 Peubah acak q αR2t−1atau q αR2t−1+β σ2t−1saling bebas denganεt
3 Peubah acakRt−1danεt saling bebas
4 Peubah acakRttidak saling bebas denganRt−1, dan peubah
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Ekspektasi bersyaratRtdiberikanRt−1 =rt−1adalah E h Rt|Rt−1 =rt−1 i =E hq αR2t−1·εt|Rt−1=rt−1 i =· · ·
Variansi bersyaratRt diberikanRt−1=rt−1adalah Var Rt|Rt−1 =rt−1 =Var q αR2t−1·εt|Rt−1 =rt−1 =· · ·
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Ekspektasi bersyaratRtdiberikanRt−1 =rt−1adalah E h Rt|Rt−1=rt−1 i =E hq αR2 t−1·εt|Rt−1=rt−1 i =E hq αR2t−1|Rt−1=rt−1 i E h εt|Rt−1=rt−1 i =E hq αr2t−1 i E[εt] = q αrt2−1·0 =0
Hal yang serupa berlaku untukRt =
q
αR2t−1+β σ2 t−1·εt.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Variansi bersyaratRt diberikanRt−1=rt−1adalah VarRt|Rt−1=rt−1 =VarqαR2 t−1·εt|Rt−1=rt−1 =Var q αr2t−1·εt|Rt−1=rt−1 =qαr2 t−1 2 Varεt|Rt−1=rt−1 =αr2t−1 Var(εt) =αr2t−1 ·1 =αrt2−1
Hal yang serupa berlaku untukRt= q
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Bagaiaman jika proses stokastik GB dikenakan pada imbal hasil? Dapatkah kita menentukan ekspektasi bersyarat dan tidak
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Peubah acak berbatas dan
ekspektasi
Pandang peubah acak imbal hasilRt ∼N(µ, σ2). Kita dapat menentukan
E(Rt) =· · ·
Pandang peubah acak imbal hasil positifRt ∼exp(θ). Ekspekatasi dan ekspektasi bersyarat-nya adalah
E(Rt) =· · · dan
E(Rt|Rt >a) =· · · ,
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Peubah acak berbatas dan
ekspektasi
Pandang peubah acak imbal hasilRt ∼N(µ, σ2). Kita dapat menentukan E(Rt) = Z ∞ −∞ rtfRt(rt;µ, σ 2)dr t =µ
Pandang peubah acak imbal hasil positifRt ∼exp(θ). Ekspektasi dan ekspektasi bersyarat-nya adalah
E(Rt) = Z ∞ 0 rtfRt(rt;θ)drt = Z ∞ 0 rtθe−θrtdrt = 1 θ
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes dan E(Rt|Rt >a) = R∞ a rtfRt(rt;θ)drt P(Rt>a) =· · ·
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes dan E(Rt|Rt >a) = R∞ a rtθe −θrtdrt P(Rt>a) = R∞ a rtθe −θrtdr t 1−p = 1 θ +a =E[Rt] +a untuk suatuasehinggaFRt(a) =p.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Apakah yang anda ketahui tentang E(Rt−a)+?
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Perhatikan definisi berikut
(Rt−a)+= ( 0, Rt ≤a Rt−a, Rt >a Sehingga E(Rt−a)+=· · ·
MisalkanRt∼exp(θ), diperoleh
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes E(Rt−a)+=E[Rt−a|Rt >a]P(Rt >a) +E[Rt−a|Rt ≤a]P(Rt ≤a) =E[Rt−a|Rt >a]P(Rt >a) =E[Rt|Rt >a]P(Rt >a)−aP(Rt >a) MisalkanRt∼exp(θ), diperoleh
E(Rt−a)+=E[Rt|Rt >a]P(Rt >a)−aP(Rt >a) = 1 θ +a e−θa−ae−θa = e −θa θ
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Catatan:
Untuk peubah acak risikoXyang mengikuti suatu distribusi, nilai ayang merupakan realisasi dari risiko acak tersebut, dengan FX(a) =P(X≤a) =p, disebut dengan Value-at-Risk (VaR). SedangkanE(X|X >VaR)adalah Expected Shortfall (ES).
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Opsi
Opsi call adalah kontrak keuangan yang memberikan hak pada pemiliknya (call owner/holder) untuk membeli aset pada nilai, harga dan periode tertentu (yang ditentukan oleh seseorang; call writer). Pemilik opsi membeli aset jika memberikan keuntungan; harga eksekusi (call price, strike price) lebih rendah daripada harga pasar.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
MisalkanKharga eksekusi untuk suatu opsi call. DiketahuiST harga aset pada waktu maturitas. Pemilik opsi akan mendapatkan keuntungan (payoff) sebesar
0,jikaST <K,
atau
ST−K,jikaST ≥K,
atau dapat dinotasikan sebagai maks(0,ST−K). Catatan:
Keuntungan yang dimiliki call writer berkebalikan dengan keuntungan call holder atau−maks(0,ST−K).
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Contoh: Seorang investor membeli opsi call berisi 100 lembar saham KSy; harga eksekusi 76. Jika harga saham 70(80), apa yang dilakukan oleh investor tersebut? Berapa keuntungan yang diperoleh investor?
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Diketahui setiap lembar saham KSy memilikiK=76. Diketahui pulaST ={70,80}.
Keuntungan (payoff) investor per lembar saham, saatST=70 maks(0,ST−K) =maks(0,70−76) =0 Keuntungan (payoff) investor per lembar saham, saatST=80
maks(0,ST−K) =maks(0,80−76) =4
Sehingga total keuntungan (payoff) yang diperoleh investor dari 100 lembar saham saatST ={70,80}adalah 0 atau 400.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Keuntungan (payoff) pemilik opsi dapat pula ditulis sebagai
(ST−K)+=
(
0, ST <K ST−K, ST ≥K
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Hitung total keuntungan pada opsi call dengan berbagai harga eksekusi. Contoh: pembelian opsi call dengan harga eksekusi 45 dan waktu maturitas 6 bulan. Keuntungan minimum (maksimum) yang diperoleh, jika harga aset adalah 35, 40, 45, 55, 60, adalah...
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Diketahui harga eksekusi opsi callK=45. Diketahui pulaST ={35,40,45,55,60}.
Keuntungan (payoff) investor opsi call, untuk setiap nilaiST secara berturut-turut adalah
• maks(0,ST−K) =maks(0,35−45) =0 • maks(0,ST−K) =maks(0,40−45) =0 • maks(0,ST−K) =maks(0,45−45) =0 • maks(0,ST−K) =maks(0,55−45) =10 • maks(0,ST−K) =maks(0,60−45) =15
Sehingga keuntungan minimum adalah 0 dan keuntungan maksimum adalah 15 (atau tak hingga?)
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Notasi: Call(K,T) (>0)untuk premi per unit yang dibayarkan oleh pembeli opsi call; harga opsi call. Diketahui suku bunga efektif,r.
1 Keuntungan (profit) pemilik opsi:
maks(ST−K,0)−Call(K,T)(1+r)T
2 Keuntungan penjual opsi:
Call(K,T)(1+r)T−maks(0,ST−K) Catatan: Keuntungan akan positif jikaST bernilai...
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Catatan:
Call(K,T) (>0)menyatakan harga opsi call saat dilakukan transaksi jual beli.
SedangkanKmenyatakan harga eksekusi opsi call atau harga penentu apakah akan dilakukan transaksi jual beli.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Gambar:Ilustrasi keuntungan (profit) opsi call saatK=35, Call(K,T) =4,r=0.05 danT=1.5 tahun.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Contoh: Saya membeli opsi call seharga 4.337 sebanyak 2000 lembar. Diketahui harga eksekusiK =35, waktu maturitas T=18, dan suku bungar=0.055. Hitung keuntungan pembeli opsi.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Keuntungan (profit) pemilik opsi:
2000× maks(ST−35,0)−(4.337)(1+0.055)1.5 !
yang sama dengan(2000)·maks(ST−35,0)−9400. Dengan demikian untuk harga aset 25,30,35,40,45, diperoleh...
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Gambar:Ilustrasi keuntungan (profit) pemilik opsi dari 2000 lembar saham saat harga asetK={25,30,35,40,45}, dengan
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Tentukan keuntungan minimum dan maksimum.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Teorema:
Jika terdapat “no arbitrage” maka
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Catatan:
Dalam ekonomi dan keuangan, “arbitrage” adalah praktik pengambilan keuntungan dari selisih harga saat membeli produk dengan harga murah di suatu pasar untuk kemudian segera dijual dengan harga lebih mahal di pasar yang lain.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Model GB
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Model Binomial (MB)
Misalkan harga aset pada waktutadalahSt. Pada waktut+1, harga aset dapat bernilaiu Stataud St.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Hubungan peubah acak pada GB
dan MB
Definisikan: Li= Sti Sti−1 , 1≤i≤n,0=t0<t1<· · ·<tn=t, barisan peubah acak lognormal yang saling bebas. Sebagai contoh, L1= St1 St0 =e Xt1,L 2 = St2 St1 =e Xt2−Xt1,saling bebas karena sifat “kenaikan bebas” dariXt1 danXt2−Xt1. Kita dapat menuliskan
St =Ln×Ln−1× · · · ×L2×L1×S0 sebagai perkalian (product) saling bebas darinpeubah acak lognormal.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Perhatikan: Sn=Yn×Yn−1× · · · ×Y2×Y1×S0,
denganYipeubah acak bersifat saling bebas dan berdistribusi identik (i.i.d):
P(Y =u) =p dan P(Y=d) =1−p,
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
•Bagaimana kita dapat mengaitkan lnLi denganYi?
•Dapatkah kita menentukanu,d,psehinggaE(Y) =E(L)dan E(Y2) =E(L2)?
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Perhatikan bahwa: E(Y) =up+d(1−p);E(Y2) =u2p+d2(1−p), dan E(L) =exp(µt+ 1 2σ 2t);E(L2) =exp(2µt+2σ2t)
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Kita ingin menyelesaikan kedua persamaan up+d(1−p) =exp(µt+1
2σ 2t) dan
u2p+d2(1−p) =exp(2µt+2σ2t)
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Kita peroleh p= exp(µt+ 1 2σ2t)−d u−d
dari kesamaan kedua momen pertama. Kemudian, dengan memisalkanud=1 dan memperhatikan kesamaan kedua momen kedua, diperoleh u= 1 2b+ 1 2 p b2−4, denganb=exp(−µt−1 2σ2t) +exp(µt+ (3/2)σ2t).
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Catatan: Untuknbesar, ln(Yn× · · · ×Y2×Y1) = n X i=1 ln(Yi)≈Xt ∼N(µt, σ2t),
karena Teorema Limit Pusat (TLP). Jadi,
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Pandang bentuk rekursif untuk harga saham Sn+1 =SnYn+1, n≥0
denganYisaling bebas dan memiliki distribusi peluang P(Y =u) =p,P(Y =d) =1−p.
Asumsikan 0<d<1+r<ukonstan,rsuku bunga bebas risiko (risk-free interest rate).
Catatan:(1+r)xadalah payoff yang kita terima satu waktu mendatang jika kita memiliki aset sehargaxpada waktu sekarang.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Untuk nilaiSnyang diberikan, Sn+1=
uSn, dengan peluangp; dSn, dengan peluang 1−p.
untukn≥0, bebas dengan sebelumnya. Jadi, harga saham akan naik (“u”) atau turun (“d”) setiap waktu. Sifat “acak” disebabkan nilai peluang naik atau turun tersebut.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Bentuk rekursif diatas dapat ditulis
Sn=Yn× · · · ×Y1×S0, n≥1
denganS0harga awal,Snharga saatn. Untuknyang diberikan, Sn=uidn−iS0
untuk suatui∈ {0, . . . ,n}; artinya “harga saham naik sebanyaki kali dan turunn−ikali selama perioden”. Peluang yang bersesuaian adalah
P(Sn=uidn−iS0) =Cni p i(1−
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Opsi pada MB
Misalkan harga aset sekarangS0. Pada periode berikutnya, harga aset mungkin bernilaiSuatauSd. Nilai keuntungan (pay off) yang diperoleh adalah
Cu =maks(Su−K,0) ; Cd=maks(Sd−K,0), denganKharga eksekusi. Ekpektasi nilai keuntungan adalah
E(C1) =p·Cu+q·Cd, denganppeluang harga aset naik;q=1−p.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Perhatikan bahwa peluang harga aset naik merupakan fungsi dari
(u,d,r), denganurasio harga aset naik,drasio harga aset turun, danrsuku bunga (catatan:d<1+r<u). Nilai sekarang (Present Value - PV) dari nilai keuntungan adalah
C0 = E(C1)
1+r, yang dikenal dengan harga opsi (call).
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Harga saham saat ini adalah 160. Besok harga akan naik (175) atau turun (150). Diketahui suku bunga 6%; harga eksekusi 155. Tentukan harga opsi call.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Diketahui:S0=160,Su=175,Sd=150. Diperoleh:u=175/160=1.1,150/160=0.973. Peluang kenaikan harga aset adalahp= 1+u−r−dd =0.685. Keuntungan (payoff) yang didapat adalah
Cu=maks(Su−K),0) =maks(175−155,0) =20 Cd=maks(Sd−K),0) =maks(150−155,0) =0 Dengan demikian,
E(S1−K)+ =E(C1) =p Cu+ (1−p)Cd=0.685·20. Artinya, harga opsi call adalahC0 = E1(+C1r) =12.925.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Beberapa hal yang dapat diperhatikan adalah sebagai berikut. Pertama, kita dapat membentuk portofolio (kombinasi aset dan opsi) untuk melakukan strategi penjualan bebas risiko (risk-free hedge) yaitu
Su+m·Cu=Sd+m·Cd, denganm(bernilai negatif) banyak opsi yang dijual.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Harga saham saat ini adalah 160. Besok harga akan naik (175) atau turun (150). Diketahui suku bunga 6%; harga eksekusi 155. Tentukan portolio.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Kedua, perhitungan harga opsi dapat dilakukan untukt>1. Misalkan harga aset sekarang hingga dua periode kedepan adalah S0,SuatauSd,SuuatauSudatauSduatauSdd. Nilai keuntungan yang mungkin pada periode kedua adalahCuuatauCudatauCdu atauCdd. Ekspektasi nilai keuntungan pada periode kedua adalah
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Nilai keuntungan pada periode kesatu adalah nilai sekarang (PV) dari ekspektasi diatas, yaitu
Cu=PV(E(C2,u)) ; Cd =PV(E(C2,d)) Selanjutnya, ekspektasi nilai keuntungan pada periode kesatu adalah
E(C1) =p·Cu+q·Cd dan nilai opsi-nya adalahC0 =PV(E(C1)).
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Ketiga, model harga aset dapat bervariasi. Salah satu model untuk menentukan harga opsi yang dikenal adalah model gerak Brown. Keempat, waktu eksekusi bergantung pada jenis opsi: pada waktu T(opsi Eropa) atau sebelum waktuT (opsi Amerika).
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Cara lain bermain opsi adalah “opsi atas opsi”. Kita membeli opsi dengan hargaC0(yang memiliki waktu maturitas 6 bulan). Enam bulan dari sekarang, kita dapat membeli opsi atau tidak dengan harga eksekusiKdan biayaB.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Diketahui harga aset sekarang 9000. Harga akan naik besok (6 bulan kedepan) sebesar 25% atau turun 20%. Suku bunga tahunan 20% (kontinu); harga eksekusiK =9000. Perhatikan bahwa
u=1.25,d=0.8,r =0.2,t=1/2 Kita peroleh:
Su=11250,Sd=7200,p=0.678,Cu=2250,Cd=0 Dengan demikian, ekspektasi nilai keuntungannya adalah
E(C1) = (0.678)(2250) + (0.322)(0) =1525.5 dan harga opsinya adalahC0=0.905·1525.5=1380.3.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Jika kita memodelkan lagi 6 bulan kemudian maka kita peroleh nilai-nilai
Suu=14062.5,Sud =9000,Sdd =5760,Cuu=5062.5,Cu =3105.7 E(C1) = (0.678)(3105.7) + (0.322)(0) =2105.6
sehingga harga opsiC0=0.905·2105.6=1905.6. Dengan biayaB=1500, nilaiCusebenarnya adalah
3105.7−1500=1605.7. Sehingga nilai opsinyaC0=985.1. Jika biayaBdikenakan juga padaCdmaka nilai opsinya menjadi C0 =548.1.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Opsi pada GB
Misalkan pada opsi call Eropa,t=T adalah waktu habis berlaku (expiration date),Kharga eksekusi (strike price),CT = (ST−K)+
adalah keuntungan (payoff). Kita ingin menentukan harga opsi jika harga saham mengikuti model GB geometrik.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Perhatikan harga opsi dengan model binomial, dengan waktu habis berlakut=n, yang diberikan sebagai nilai harapan
C0= 1 (1+r)nE
∗(S
n−K)+,
denganE∗adalah nilai harapan dibawah peluang tidak berisiko (risk-neutral probability)p∗untuk gerakan harga saham naik dan turun.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Denganp∗, imbal hasil yang diharapkan dari saham sama dengan suku bunga tidak berisikor, untukn=1:
E(S1) = (1+r)S0 atauup+d(1−p) = (1+r). Kita peroleh
p=p∗= 1+r−d
u−d . Faktanya, dibawahp∗, harga saham “discounted”
{(1+r)−nSn,n≥0}adalah “fair” (membentuk martingale). Jika harga saham mengikuti GB geometrik maka kita mengharapkan
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
MisalkanSt =S0eXt denganXtadalah GB dengan parameter drift dan variansi. Kita tentukan nilaiµdanσyang baru, sebutµ∗dan
σ∗, dengan harga “fair” yaitu harga “discounted”{e−rtS
t :t≥0} membentuk martingale atau
E(St) =ertS0,t≥0 Jadi, kita ingin
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Ketika menghargai opsi, kita harus menggantikanSt dengan S∗t =S0eX ∗ t , dengan Xt∗ =µ∗t+σBt= (r−σ2/2)t+σBt Jadi, C0=e−rTE∗(ST−K)+=e−rTE(S∗T−K)+=· · · Catatan: Perhatikan bahwaC0tidak bergantung padaµ, namun bergantung pada volatilitasσ2.
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes
Formula Black-Scholes
Misalkan harga saham mengikuti GB geometrik:
St =S0eµt+σBt, t≥0, maka harga opsi call Eropa dengan waktu habis berlaku (expiration date)t=T dan harga eksekusi (strike price)Kadalah C0 =S0Φ(c+σ √ T)−e−rTKΦ(c), dengan c= ln(S0/K) + (r−σ 2/2)T σ√T
MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Catatan:
Formula Black-Scholes (B-S) dapat digunakan untuk menghitung Ct dengan mengubahT menjadiT−tdanS0menjadiSt.
