Bab 8
Model Black-Scholes-Merton
8.1 Formula Harga Opsi Model Black Scholes
8.1.1. Distribusi Probabilitas Harga Saham
Model yang digunakan untuk mengembangkan model BSM mengasumsikan harga saham berdistribusi lognormal. Dengan menggunakan sifat transformasi variabel random, diketahui bahwa ln dari variabel random berdistribusi lognormal akan berdistribusi normal, jadi diperoleh ln harga saham berdistribusi normal sebagai berikut
( ( ) ) (8.1)
Dimana
ST = harga saham pada waktu T
S0 = harga saham pada waktu 0
µ = harapan keuntungan saham per tahun σ = volatilitas saham pertahun
Contoh 8.1. Penghitungan mean and standard deviasi. Misalkan suatu saham
mempunyai harga awal S0 = $25, harapan tingkat pengembalian 12%, dan
volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan standard deviasi dari distribusi harga saham dalam 3 bulan ke depan.
Jawab. Diketahui bahwa T = 3/12 = 0.25 tahun. Distribusi harga saham 3 bulan
ke depan mengikuti
[( ( ) ) ] Ln ST~N(3.244; 0.1).
Karena Ln ST berdistribusi normal, 95% nilai-nilainya akan berada dalam interval
1.96 standard deviasi dari mean-nya. Jadi, Ln ST akan terletak antara 3.244 ±
1.96*0.1, atau
exp3.244-1.96*0.1 < ST < exp3.244+1.96*0.1
21.073 < ST < 31.187.
Contoh 8.2 Distribusi return. Misalkan suatu saham mempunyai harapan
pengembalian tahunan 12% dan volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan standard deviasi dari distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat pengembalian majemuk kontinu selama 4 tahun.
Jawab. Dari data yang disebutkan sebelumnya, kita dapat menghitung
mean = 1 2 2
= 0.12-0.22/2 = 0.10,
dan standard deviasi =
T
= 0.2/√4 = 0.10.
8.1.2 Expected Value.
Dengan menggunakan sifat dari distribusi lognormal (ingat kembali ekspektasi distribusi normal dan lognormal), ST akan berdistribusi lognormal dan
kita dapat menunjukkan bahwa nilai harapan dari ST ,
( ) ( )
Sedangkan variansinya adalah
Var(ST) = S02 e2μT (eσ^2*T - 1)
dimana µ = nilai harapan tingkat pengembalian.
Contoh 8.3. Nilai harapan harga saham. Misalkan suatu saham sekarang
berharga 25 dengan nilai harapan pengembalian tahunan 20% dan volatilitas 40%. Hitunglah nilai harapan harga saham 6 bulan ke depan.
Jawab. Nilai harapan harga saham dapat dihitung sebagai berikut
E(ST) = $25*e0.2*0.5
= $27.63.
Hasil ini cocok dengan definisi dari µ sebagai nilai harapan tingkat pengembalian. Nilai variansi dari ST , var(ST), dapat ditunjukkan
Var(ST) = S02 e2μT (eσ^2*T - 1)
= 625*e2*0.2*0.5*(e0.2*0.2*0.5 -1) = 63,58.
Contoh 8.4. Misalkan suatu saham dimana harganya adalah $20, dan nilai
harapan pengembaliannya adalah 20% pertahun serta volatilitas 40% per tahun. Dapat dihitung nilai-nilai harapan dan variansi
E(ST) = 20*e0.2*1 = 24.43
dan
Var(ST) = 400* e2*0.2*1 *(e0.4*0.4*1 -1)
= 103.54.
Standard deviasi harga saham dalam 1 tahun adalah $10,18.
8.1.3 Distribusi Return Saham
Sifat lognormal dari harga saham dapat digunakan untuk mencari informasi distribusi probabilitas return saham atau tingkat pengembalian majemuk kontinu dari suatu saham antara waktu 0 dan T. Jika kita mendefinisikan tingkat pengembalian majemuk kontinu antara waktu 0 dan T sebagai x, maka diperoleh
ST = S0exT
Sehingga
x =
Dari persamaan (8.1) diketahui jika ln ST berdistribusi normal dengan mean lnS0 +
(μ-σ2/2)T dan variansi 2T, maka dapat dibuktikakn juga bahwa x berdistribusi normal dengan mean
E(X) = ( ) ( ) = [ ( ) ]
=
Dan variansinya adalah
V(X) = ( ) ( ) =
Sehingga dapat dituliskan
X~N(μ-σ2/2, σ2/T)
Jadi, tingkat pengembalian majemuk kontinu pertahun berdistribusi normal dengan mean (μ-σ2/2) dan standard deviasi σ/√T.
Selanjutnya, dapat dihitung persamaan : E (ST) = S0eµT
Ln E (ST) = ln S0 + μT
Mungkin kita tergoda untuk membuat manipulasi aljabar Ln E (ST) = ELn (ST),
sehingga E [Ln (ST)- ln S0] = μT, atau E [Ln (ST/S0 )] = μT, yang akan menuntun
kita pada E(R) = μ. Kita tidak dapat melakukan hal tersebut karena ln bukan fungsi linear. Faktanya adalah Ln E (ST) > ELn E(ST), sehingga E[ln(ST/S0)] <
μT, yang menuntun pada E(x) < μ. (Seperti yang sudah ditunjukkan di atas, E(x) = μ-σ2
/2).
Contoh 8.5. Misalkan suatu saham dengan nilai harapan pengembalian 17% per
tahun dan volatilitas 20% per tahun. Distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat pengembalian selama 3 tahun adalah normal, dengan mean (0.17 -0.22/2) = 0.15 dan standard deviasi 0.2/√3 = 0.1155 per tahun. Selanjutnya kita dapat melihat interval konfidensi 95% bahwa rata-rata return pertahun dalam 3 tahun mendatang
0.15 – 1.96*0.1155 < μ< 0.15 + 1.96*0.1155 -7.6% < μ < 37.6%
8.1.4. Volatilitas
Volatilitas suatu saham adalah suatu ukuran ketidakpastian dari return atau tingkat pengembalian dari suatu saham. Suatu saham biasanya mempunyai volatilitas antara 15% and 60%. Dari persamaan (7.1) di bab 7, volatilitas dari suatu harga saham dapat didefinisikan sebagai standard deviasi dari return saham dalam 1 tahun ketika return diekspresikan menggunakan pemajemukan kontinu.
Ketika nilai T cukup kecil, persamaan (7.1) menunjukkan bahwa σ√T secara aproksimasi sama dengan standard deviasi dari persentase perubahan harga saham pada waktu T. Misalkan σ = 0.3, atau 30% per tahun, dan harga saham sekarang adalah $50. Standard deviasi dari persentase perubahan harga saham dalam 1 minggu adalah 30 × 1/√52 = 4.16%. Standard-deviasi harga saham dalam 1 minggu dapat dihitung 50 × 0.0416 = $2.08.
Persamaan (7.1) menunjukkan bahwa ketidakpastian terhadap harga saham ke depan, yang diukur dengan standard deviasi-nya meningkat sebanding dengan akar kuadrat panjang waktu ke depan-nya. Sebagai contoh, standard deviasi harga saham dalam 4 minggu sama dengan 2 kali standard deviasi dalam 1 minggu.
8.1.5. Hari Perdagangan versus Hari Kalender
Hal lain yang penting adalah masalah waktu jatuh tempo, apakah waktu jatuh tempo seharusnya diukur dalam hari kalender atau hari perdagangan ketika mengestimasi volatilitas. Riset menunjukkan bahwa volatilitas membesar ketika bursa dibuka untuk perdagangan dibandingkan ketika bursa ditutup. Sebagai hasilnya, praktisi cenderung mengabaikan hari-hari ketika bursa ditutup pada waktu mengestimasi volatilitas dari data historis dan ketika menghitung umur opsi. Volatilitas pertahun dihitung dari volatilitas perhari perdagangan dengan menggunakan formula
Volatilitas per tahun = standard deviasi return harian/252.
Banyaknya hari perdagangan dalam 1 tahun biasanya diasumsikan 252 untuk saham. Waktu hidup opsi juga biasanya diukur menggunakan hari
perdagangan dibandingkan dengan hari kalender. Banyaknya hari perdagangan dihitung sebagai T tahun, dimana
T = banyaknya hari perdagangan sampai waktu jatuh tempo/ 252. Cukup wajar mengasumsikan bahwa volatilitas dari suatu saham disebabkan oleh informasi baru yang sampai ke pasar. Informasi baru ini menyebabkan orang untuk merevisi pendapat atau pandangan tentang harga saham. Harga saham berubah dan secara otomatis akan memunculkan angka volatilitas.
8.2 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Call
Model penentuan harga opsi yang paling terkenal dan banyak digunakan orang adalah model Black Scholes. Hasil perhitungan harga opsi beli model Black Scholes untuk tipe Eropa sama dengan tipe Amerika. Untuk alasan di atas, di sini akan diturunkan formula matematis harga opsi beli tipe Eropa dengan fungsi keuntungan opsi fT = (ST-K)+ = maks(ST-K,0). Harga rasional premi opsi Black
Scholes CBS adalah : ( ) – ( ) (8.2) dengan
T r T K S d /2 / ln 0 2 1 (8.3)
T d T r T K S d 0 2 1 2 2 / / ln (8.4) dan
1 2/ 2 2 x y N x e dy
adalah nilai kumulatif distribusi normal standard. Pembuktian formula Black-Scholes secara matematik tidaklah mudah. Black-Scholes sendiri membuktikan formulanya dengan pendekatan PD parsial yang relatif panjang dan tidak mudah untuk dipahami. Pada materi kuliah ini, formula harga opsi model Black-Scholes di atas akan dibuktikan melaluipendekatan statistika, dengan menggunakan distribusi variabel random lognormal dan normal. Pendekatan ini relatif lebih sederhana dan mudah untuk dipahami.
Fungsi densitas dari ST yang berdistribusi lognormal dapat ditulis sebagai
berikut 0 , 0 0 , 2 1 ) ( 2 ln 2 1 T T S T T S S e S S g T
Secara umum harga kontrak opsi dapat dituliskan dalam bentuk harga harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo yang terdiskon oleh suku bunga bebas resiko r.
[ ( )]
dimana ST adalah harga saham pada waktu T dan E menunjukkan nilai harapan.
Di bawah proses stokastik diasumsikan oleh Black-Scholes bahwa ST berdistribusi
lognormal. Diasumsikan harga saham mengikuti proses random gerak brownian geometrik ST = S0 exp [ (r-0.5σ2)T +σWT ] , di mana WT adalah proses brownian
berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi T. Terlihat bahwa ST
merupakan fungsi eksponen dari WT, sehingga ST berdistribusi lognormal.
Selanjutnya diperoleh Ln ST = ln S0 + (r-0.5σ2)T +σWT merupakan fungsi linear
dari WT sehingga ln ST berdistribusi normal. Rata-rata dan variansi dari ln ST
masing-masing
E(ln ST) = m = ln S0 + (r-0.5σ2)T ; Var(ln ST) = σ2 T
Deviasi standar dari ln ST adalah σ√T. Dengan transformasi diperoleh
√ ( ) (8.5)
Dan diperoleh hubungan ln ST = Zσ√T+m atau ST = eZσ√T+m.
Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat dijabarkan dalam bentuk integral sebagai berikut
[max( , 0)] ( ) ( ) ( ) ( ) T K T T T T T T T T K K E S K S K g S dS S g S dS K g S dS
Dari nilai maks(ST-K,0), yang dihitung integralnya adalah nilai ST yang lebih
besar dari K. Sedangkan untuk nilai ST yang lebih kecil dari K, keuntungan
opsinya akan sama dengan nol. Integral dari fungsi nol sama dengan nol.
Harga harapan keuntungan opsi di atas mengandung dua integral, Integral I dan II. Integral I akan dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard (8.5) di atas. Batas bawah ST = K menjadi
√ . Integralnya menjadi
∫ ( ) ∫ √ ( )
√
Sekarang kita lihat
√ ( ) √ √ √ ( ( √ ) ) √ ( ( √ ) ) ( √ ) (8.6) Selanjutnya diperoleh ∫ ( ) ∫ ( √ ) √
Misalkan z-σ√T = y, dz = dy, batas bawah z dikurangi σ√T. Dengan menggunakan sifat sifat distribusi normal 1-N(-a) = N(a), integral di atas menjadi
[ ( √ √ )] [ ( √ )] [ √ ] ( ) (8.7)
Untuk integral yang kedua II ∫ ( ) ∫ ( ) √ ( √ ) ( √ ) ( ) (8.8) dengan d1 dan d2 seperti persamaan (8.3) dan (8.4) . Selanjutnya dengan
memasukkan faktor diskonto selama waktu jatuh tempo T tahun ke dalam formula harga opsi, diperoleh rumus harga opsi beli model Black Scholes sebagai nilai present value dari harapan keuntungan opsi call seperti pada persamaan (8.2) di atas.
[ ( )]
[ ( ) ( )]
( ) ( )
Contoh 8.6 Sebagai contoh dapat dilihat opsi saham Barnes Group Inc. yang
ditawarkan di situs www.yahoo.finance. Pada tgl 26 nov 2009, harga saham perusahaan tersebut S0 = 15,92$. Kita pilih opsi dengan harga kontrak K = 12.5$.
Opsi tersebut di pasaran dijual dengan harga 4.73$. Bagaimana harga opsi menurut Black Scholes?
Berikut diberikan informasi harga opsi
Menurut BlackScholes, dengan nilai volatilitas 30%, tingkat suku bunga r = 0,25%, harga opsinya adalah sebagai berikut:
1 ln 15,92 /12,5 0, 0025 0, 04 / 2 22 / 365 0, 2 22 / 365 4.044507695 d 2 4.044507695 0, 2 22 / 365 3.984205426 d Nilai yang bersesuaian untuk distribusi normal kumulatif dapat ditentukan N(d1) =
0.999973783, dan N(d2) = 0.999966147. Selanjutnya harga opsi beli dapat
dihitung dengan menggunakan rumus
C = 15,92 x 0.999973783 – 12.5xexp(-0.0025*22/365)x 0.999966147 = 3.421883474
Bagaimana dengan harga yang ditawarkan di pasar untuk opsi tersebut? Apakah harga opsi di pasar tidak terlalu berbeda dengan harga opsi model Black Sholes?
8.1.7 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Put
Dengan cara yang sama dapat diturunkan formula harga opsi jual model Black Scholes. Secara matematis harga opsi jual merupakan present value dari nilai harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo dengan suku bunga bebas resiko r dan waktu jatuh tempo T tahun, atau dapat dituliskan dalam bentuk p = e
-rT
E[maks(K-ST,0)]. Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat
dijabarkan dalam bentuk integral sebagai berikut
[ ( )] ∫ ( ) ( )
∫ ( ) ∫ ( )
Pembuktian rumus harga opsi put di atas diberikan sebagai berikut. Dari nilai maks(K-ST,0), yang dihitung integralnya adalah nilai ST yang lebih kecil dari K.
Sedangkan untuk nilai ST yang lebih besar dari K, nilai maksimalnya akan sama
dengan nol. Integral dari fungsi nol akan sama dengan nol. Penjabaran Secara matematisnya dapat dilihat sebagai berikut:
Untuk integral yang pertama
∫ ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) Kita tahu bahwa (r-0.5σ2)T+σWT ~ N((r-0.5σ2)T, σ2T). Dengan transformasi
variabel random diperoleh
( ) ( )
√ √ ( )
Selanjutnya diperoleh
2 0 2 0 2ln
ln
0.5
Pr
ln
/
0.5
Pr
.
K T TK
S
r
T
g S dS
Z
T
S
K
r
T
Z
T
N
d
Untuk Integral yang kedua dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard (8.5) di atas. Batas atas ST = K menjadi
√ . Integralnya menjadi ∫ ( ) ∫ √ ( ) √
Dari persamaan (8.6) di atas diperoleh
√ ( ) ( √ ) Selanjutnya diperoleh ∫ ( ) ∫ ( √ ) √
Misalkan z-σ√T = y, dz = dy, batas atas z dikurangi σ√T. Dengan menggunakan sifat sifat distribusi normal integral di atas menjadi
(
√ √ )
(
√ )
( )
Diperoleh rumus harga opsi jual model Black Scholes sebagai berikut:
[ ( )]
[ ( ) ( )]
( ) ( )
Dapat diringkas, harga opsi call dan opsi put tipe Eropa model Black-Scholes, tanpa pembayaran dividen adalah sebagai berikut :
C = S0 N(d1) – Ke-rT N(d2)
dan
P = Ke-rT N(–d2) – S0 N(–d1)
Contoh 8.7. Harga saham 6 bulan dari waktu ekspirasi suatu opsi adalah $42, dan
harga kontrak opsi tersebut $40, suku bunga bebas resiko 10% per tahun, dan volatilitas 20% per tahun. Ini berarti S0 = 42, K = 40, r = 0.1, σ = 0.2, T = 0.5,
d1 = (ln(42/40) + (0.1 + 0.22/2)0.5)/(0.2*sqrt(0.5)) = 0.7693
d2 = 0.7639- )/(0.2*√0.5) = 0.6278
Untuk opsi call tipe Eropa, harga opsinya adalah c = 4.76, sedangkan untuk opsi put, harga opsinya adalah p = 0.81.
Contoh 8.8 Suatu perusahaan dengan 1 juta lembar saham seharga
masing-masing $40 sedang mempertimbangkan mengeluarkan 200,000 warrant yang memberikan pemegangnya hak untuk membeli 1 lembar saham dengan harga $60 dalam 5 tahun. Ingin diketahui biaya untuk hal ini. Tingkat suku bunga 3% per tahun, volatilitas 30% per tahun. Tidak ada deviden yang dibagikan. Dari persamaan (13.20), harga dari opsi call tipe Eropa 5 tahun adalah $7.04. Pada kasus ini, N = 1,000,000 dan M = 200,000, sehingga harga warrant adalah
1,000,000/(1,000,000 + 200,000)*7.04 = $5.87.
Biaya total dari warrant adalah 200,000 × 5.87 = $1.17 million. Assuming the market perceives no benefits from the warrant issue, we expect the stock price to decline by $1.17 to $38.83.
Latihan Soal
1. Opsi put tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K
=$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi put tersebut di atas?
a. $1.88 b. $3.28 c. $9.07 d. $10.39
2. Opsi call tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K
=$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi call tersebut di atas?
a. $1.88 b. $3.28 c. $9.06 d. $10.39
3. Suatu sekuritas dijual seharga $40. Suatu opsi call dengan harga kontrak $42, dengan waktu jatuh tempo 3 bulan dan suku bunga bebas resiko 3%, berharga $2.49 Berapakah harga opsi put menurut put-call parity?
a. $1.89 b. $3.45 c. $4.18 d. $6.03
4. Saham ABC diperdagangkan seharga $60. Opsi call dan put nya dikeluarkan untuk waktu jatuh tempo 1 tahun dengan harga kontrak $60. Standard deviasi tahunannya 10% dan suku bunga majemuk kontinunya 5%. Harga opsi call dan put versi Black Scholes adalah
a. $6.21 dan $1.16 b. $4.09 dan $3.28 c. $4.09 dan $1.16 d. $6.21 dan $3.28
a. Opsi hanya dapat dijalankan pada waktu jatuh tempo b. Suku bunga bebas resiko konstan
c. Return majemuk kontinu berdistribusi lognormal d. Saham pokok tidak menghasilkan aliran dana
Jawab: 1. Dihitung nilai d1 = (ln(50/45) + (0.05 + 0.0625/2)1)/(0.25*sqrt(1)) = 0.74644 d2 = 0.74644 - 0.25*sqrt(1) = 0.49644 N(-d1) = 0.2266 N(-d2) = 0.3085 p = 45e-0.05(1) (0.3085) – 50(0.2266) = $1.88 2. Dihitung nilai d1 = (ln(50/45) + (0.05 + 0.0625/2)1)/(0.25*sqrt(1)) = 0.74644 d2 = 0.74644 - 0.25*sqrt(1) = 0.49644 N(d1) = 0.7731 N(d2) = 0.6915 c = 50 (0.7731) – 45e-0.05(1) (0.6915) = $9.055 3. Dengan menggunakan formula put call parity, diperoleh
P = c + Ke-rT – S = 2.49 + 42e-0.03×0.25 – 40 = $4.18 4. Dihitung nilai d1 = (ln(60/60) + (0.05 + 0.5×0.102)1)/(0.1*sqrt(1)) = 0.55 d2 = 0.55 - 0.1*sqrt(1) = 0.45 N(d1) = 0.7088 N(d2) = 0.6736 c = 60 (0.7088) – 60e-0.05(1) (0.6736) = $42.53-$38.44 = $4.09 selanjutnya dihitung p = c + Ke-rT – S0 = $4.09 + 60e-0.05×1 – 60 = $1.16
5. Beberapa asumsi model BSM dapat disebutkan sebagai berikut a. Tidak ada kesempatan arbitrase
b. Harga saham berdistribusi lognormal, bukan return saham
c. Volatilitas aset pokok konstan
d. Aset tidak mempunyai cash flow atau aliran dana e. Tipe opsi adalah tipe Eropa
